Potencias y raíces de números enteros

Transcripción

1 Potecias y raíces de úmeros eteros Objetivos E esta quicea aprederás a: Expresar multiplicacioes de u mismo úmero e forma de potecia. Realizar operacioes co potecias. Trabajar co potecias de base 0. Expresar úmeros e otació cietífica. Calcular raíces cuadradas. Realizar cálculos co la ayuda de ua calculadora. Ates de empezar.potecias de u etero. pág. 6 Qué es ua potecia? Sigo de ua potecia.operacioes co potecias... pág. 8 Potecia de productos y cocietes Producto y cociete de potecias Potecia de ua potecia.potecias de 0. Notació cietífica pág. Potecias de base 0 Notació cietífica.cuadrados perfectos. Raíces pág. Cuadrados perfectos Raíces cuadradas Ejercicios para practicar Para saber más Resume Autoevaluació Actividades para eviar al tutor MATEMÁTICAS º ESO

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3 Ates de empezar Seguro que más de ua vez habrás hablado de megas o de gigas al referirte a u ordeador. Pero, a qué os referimos cuado ombramos estas uidades. La uidad más pequeña para represetar la iformació guardada e u ordeador es el bit. U bit (de biary digit, dígito biario) equivale a escribir u 0 o u e u ordeador. Para represetar más iformació se usa grupos de bits. Por ejemplo 000 es u Byte. A partir de aquí, las uidades se calcula usado potecias de Kilobyte equivale a 0 Bytes KB = 0 Bytes Después del Kilobyte se utiliza dos medidas que seguro te soará más: El Megabyte, que equivale a 0 KB MB = 0 KB El Gigabyte, que equivale a 0 MB GB = 0 MB Y qué teemos después del Giga? El Terabyte, TB = 0 GB El Petabyte, PB = 0 TB El Exabyte, EB = 0 PB El Zettabyte, ZB = 0 EB Para que te hagas ua idea de las eormes uidades de almaceamieto de iformació que estamos maejado, veamos u ejemplo: El Yottabyte, YB = 0 ZB Cuátos MB equivale a YB? YB = 0 ZB = 0 EB = 0 PB = = 0 TB = 0 GB = 60 MB = = MB Ua potecia de base u etero y expoete u atural es ua multiplicació repetida. Quizá te covega repasar las operacioes combiadas y la jerarquía de operacioes. MATEMÁTICAS º ESO

4 . Potecias de u úmero etero Qué es ua potecia? Ua potecia cuya base es u úmero etero y cuyo expoete es u úmero atural, es u producto de factores iguales. a = a a a a el producto se hace veces La base, a, es el factor que se repite. El expoete,, idica el úmero de veces que se repite la base. Ejemplos: = (-) = (-) (-) (-) (-) 0 = = (este es u caso especial, ya que o podemos multiplicar u úmero por sí mismo 0 veces) Sigo de ua potecia Al calcular potecias de base u úmero etero, presta ateció al sigo de la base y al expoete. Tambié debes distiguir a qué úmero exactamete está afectado la potecia. No es lo mismo - que (-) E geeral cualquier potecia de u úmero positivo será positiva. Y el opuesto de esa potecia será siempre egativo. Si la base es egativa y el expoete par o cero, el valor de la potecia será positivo. Pero si la base es egativa y el expoete es impar, el valor de la potecia será egativo. Ejemplos: = 8 = 7 (-) 8 = 6 (-) 9 = - 8 = 6-8 = -6 (se trata del opuesto de la potecia aterior) 0 = - 0 = - (de uevo el opuesto) 6 MATEMÁTICAS º ESO

5 EJERCICIOS resueltos. Calcula el valor de las potecias siguietes:, -, (-) y - 0 = 6 - = -6 (-) = 6-0 = -. Calcula el valor de las potecias: -, (-), (-) 0 y = - (-) = - (-) 0 = - 0 = -. Es lo mismo calcular a b que b a? E geeral o es lo mismo. Esto qué quiere decir? Pues que ormalmete las dos potecias o dará el mismo resultado, pero puede ocurrir que e algú caso sí coicida. Por ejemplo = 8, que o coicide co = 9. Esto es lo que es ormal. Ahora bie, fíjate e y. Ambas potecias vale 6. Eres capaz de ecotrar algú otro ejemplo e el que coicida? MATEMÁTICAS º ESO 7

6 . Operacioes co potecias Potecia de productos y cocietes Para hacer el producto de dos úmeros elevado a ua misma potecia tiees dos camios posibles, cuyo resultado es el mismo: Puedes primero multiplicar los dos úmeros, y después calcular el resultado de la potecia: ( ) = 0 = O bie puedes elevar cada úmero por separado al expoete y después multiplicar los resultados. ( ) = = 6 6 = De forma aáloga puedes proceder si se trata del cociete de dos úmeros elevado a la misma potecia. =, = =,06 8 = =,06 6 Ejemplos: ( ) = 6 = 6 ( ) = = 8 7 = = 6 = = 9 = 6 = 9 Observa que de las dos formas obtiees el mismo resultado. Ahora bie, o siempre será igual de secillo de las dos formas. Así que piesa de atemao qué método va a ser más coveiete para realizar el cálculo. ( a b) = a b y a b a = b Producto de potecias de igual base Observa el siguiete ejemplo: = ( ) ( ) = = Es decir, el resultado de multiplicar potecias de igual base es ua potecia co la misma base, y cuyo expoete es la suma de los expoetes de las potecias iiciales. 7 Ejemplos: = = ( ) ( ) = ( ) = ( ) x x = x = x a a m = a + m 8 MATEMÁTICAS º ESO

7 Cociete de potecias de igual base Veamos cómo se haría u cociete de potecias de igual base: 7 = = = Observa que el resultado de dividir dos potecias de igual base es otra potecia co la misma base, y e dode el expoete es la resta de los expoetes iiciales. Ejemplos: = 6 = 6 6 ( ) ( ) = ( ) 7 0 = 7 = 7 = 7 9 = ( ) a m a m = a x 0 x 0 = x = x Potecia de ua potecia Ua potecia cuyo expoete es u úmero atural equivale a la multiplicació repetida de la base tatas veces como idica el expoete. Qué es etoces la potecia de ua potecia? Observa el siguiete ejemplo: + + ( ) = = = = Ejemplos: ( ) = = [ ] ( ) = ( ) = ( ) 8 8 ( y ) = y = y 8 Es decir, el resultado de calcular la potecia de ua potecia es ua potecia co la misma base, y cuyo expoete es la el producto de los dos expoetes. m (a ) = a m MATEMÁTICAS º ESO 9

8 EJERCICIOS resueltos. Calcula el valor de los siguietes productos y cocietes: a) ( ) b) ( 0 ) c) 6 d) a) Nos iteresa multiplicar primero: ( ) b) Calculamos cada potecia por separado: ( 0 ) = 0 = = c) Primero dividimos: = = = 0 = 000 d) Calculamos las potecias y después dividimos: = 6, = puedes dejar el resultado expresado e forma de fracció.) (Tambié. Expresa e forma de potecia el resultado: a) ( ) b) 7 c) a) ( ) = = b) 7 9 = = c) = = ( ) = 6. Tiee setido la potecia? Cómo debemos calcularla? El problema al calcular la potecia es saber e qué orde debemos elevar. Por ello ecesitamos parétesis que os aclare este orde. Podemos iterpretarla como ( ) = ( ) 8 Pero tambié como =, que o coicide co el resultado aterior. 0 MATEMÁTICAS º ESO

9 . Potecias de base 0.Notació cietífica Potecias de base 0 Es muy secillo calcular potecias cuya base es diez. 0 0 =, 0 = 0, 0 = 00, 0 = 000 La forma e que escribimos los úmeros utiliza potecias de base 0. Por ello se deomia umeració decimal. Cualquier úmero puede escribirse como ua suma de aturales que multiplica a potecias de base 0, es lo que se cooce como descomposició poliómica de u úmero: Ejemplo: 76= El úmero tiee: uidades de millar ceteas 7 deceas 6 uidades 97 = Notació Cietífica Para facilitar la lectura de catidades muy grades o muy pequeñas que aparece co frecuecia e el trabajo cietífico se utiliza la otació cietífica. U úmero e otació cietífica costa de u úmero decimal, llamado matisa, multiplicado por ua potecia de diez. La matisa tedrá ua úica cifra delate de la coma decimal. Esta cifra o puede ser cero. Ejemplos: 000 =, =, = 9 0 0, =, 0-7 0, =, ,007 = Por ejemplo, la masa de la tierra es: m tierra = kg E otació cietífica será,97 0. Observa que si realizas la multiplicació se obtiee el resultado de arriba. Otro ejemplo, la masa del electró: m elec =0, g E otació cietífica es 9, 0-8. Notació cietífica: a,bcd 0, siedo a 0 MATEMÁTICAS º ESO

10 EJERCICIOS resueltos 7. Obté la descomposició poliómica de = Halla la descomposició poliómica de u úmero que tiee deceas, uidades, 8 ceteas y 7 uidades de millar. Lo primero será ordear coveietemete los datos 7 uidades de millar, 8 ceteas, deceas y uidades, es decir: Expresa e otació cietífica =, Expresa 0, e otació cietífica. 0, =, 0 -. Qué úmero decimal se correspode co,7 0 8?,7 0 8 = Qué úmero decimal se correspode co,7 0-9?,7 0-9 = 0, El úmero,9 0 - o está escrito correctamete e otació cietífica. Escríbelo de forma correcta. Lo que debes hacer es pasar,9 a otació cietífica, y después multiplicar por 0 -,9 0 - =, =,9 0 - =,9 0 - MATEMÁTICAS º ESO

11 . Cuadrados perfectos. Raíces cuadradas Cuadrados perfectos U cuadrado perfecto es u úmero que es cuadrado de algú úmero etero. Como es lógico, la raíz cuadrada de u cuadrado perfecto es siempre u úmero etero. Por ejemplo cuadrados perfectos so: 0 porque 0 = 0, porque =, 9 porque 9 =... Para resolver ua actividad de proporcioalidad compuesta se hace de forma ordeada co el procedimieto de reducció a la uidad. U cuadrado perfecto es el área de u cuadrado. Raíces cuadradas Veamos u ejemplo. Al escribir el úmero haz grupos de dos cifras, de derecha a izquierda: 7 y 9. Cálculo de la raíz: Busca el úmero cuyo cuadrado más se acerca a 9. Es. = 9, lo restamos de 9 y bajamos las dos cifras siguietes. Bajo el escribimos su doble, 6 Busca el úmero 6x, tal que 6x x sea el más cercao a 7 si pasarse. 6 = se pasa, 6 =6 sí sirve. Restamos 7-6 =. Poemos dos ceros y ua coma e el radicado. Abajo escribimos el doble de, 6 Busca 6x tal que 6x x sea el más cercao a 00 si pasarse. 6 = es el más cercao. Por tato 97, Para hallar más decimales, escribe dos ceros tras el 6 y repite el proceso. MATEMÁTICAS º ESO

12 EJERCICIOS resueltos. Idica si los úmeros, 69 y 8 so cuadrados perfectos. o lo es, puesto que =, = 69 = es u cuadrado perfecto. (Es el área de u cuadrado de uidades de lado.) 8 o lo es, ya que 6 = 6 y 7 = 89. Co u decimal, calcula la raíz cuadrada de 8.. Calcula la raíz cuadrada de 798, co ua cifra decimal. MATEMÁTICAS º ESO

13 Para practicar. Escribe e forma de potecia: a) b) (-) (-) (-) (-) (-) (-) c) d). Calcula el valor de las siguietes potecias: a) - b) (-) c) - 0 d) (-) 0. Calcula el valor de las siguietes potecias: a) - b) (-) c) - d) (-). Ordea de meor a mayor, utilizado para ello el símbolo <. (-), (-), -,, (-) 0. Ordea de mayor a meor, utilizado los símbolos > e = cuado segú los ecesites. (-),, -, 0, -, (-) 0, So iguales las siguietes potecias? a) 9 y b) ( ) y 7. Escribe e forma de potecia de ua potecia: a) b) (-) (-) (-) 8. Escribe e forma de potecia de ua potecia: a) b) 9. Calcula el valor de las siguietes potecias de productos: a) ( ) b) (- ) c) (- ) d) [(-) (-)] 0. Calcula el valor de las siguietes potecias de cocietes: a) c) 7 b) d). Calcula los siguietes productos. Expresa el resultado e forma de potecia: a) b) (-7) (-7) 6 c) 0 d) x x. Escribe como ua potecia de diez: a) b) c) Qué fracció elevada al cubo da? 7. Qué fracció elevada a la quita potecia da como resultado? MATEMÁTICAS º ESO

14 . Calcula los siguietes cocietes. Expresa el resultado e forma de potecia: a) c) b) ( ) ( ) 8 x d) 6. Calcula. Expresa el resultado e forma de potecia: a) ( ) 7 b) (x ) c) [(-) ] d) (y 8 ) 8 7. Calcula. Expresa el resultado e forma de potecia: a) b) 7 c) x 8. Escribe la descomposició poliómica de los siguietes úmeros: a) 978 b) 7 c) 09 d) Escribe la masa del protó e otació cietífica: 0, g 0. Escribe e otació cietífica la masa de la lua: kg x. Escribe e otació cietífica el tamaño del virus que provoca la fiebre aftosa. 0, m. Escribe e otació cietífica el diámetro ecuatorial del plaeta Júpiter m. Qué úmero decimal es,88 0 -?. Qué úmero decimal es,06 0 9?. 78,7 0, auque está bie escrito, o está bie expresado e otació cietífica. Escríbelo correctamete e otació cietífica , 0 - o está bie expresado e otació cietífica, auque es perfectamete válido. Escríbelo de forma correcta e otació cietífica. 7. Idica si los úmeros siguietes so o o cuadrados perfectos. a) b) 9 c) 600 d) 0 8. Calcula las raíces cuadradas de los úmeros siguietes, co ua cifra decimal. a) 9 b) 97 c) 9 d) Halla el área de u cuadrado cuyo lado mide m (recuerda que el área de u cuadrado es su lado elevado a ). 0. Halla el volume de u cubo cuyo lado mide m (recuerda que el volume del cubo es su lado elevado a ). 6 MATEMÁTICAS º ESO

15 Cómo de grade es el buscador Google? E muchas ocasioes habrás usado el buscador Google. Cooces la historiga de su ombre? El matemático Edward Kaster le pidió a su sobrio de diez años, Milto Sirotta, ivetar u ombre para u úmero muy grade: 0 00 Milto llamó a ese úmero, u seguido de 00 ceros, u Googol. Si te parece que o es u úmero ta grade, piesa e lo siguiete: Cuado e 997 Sergey Bri y Larry Page compra u domiio para su uevo buscador, adquiere por u error tipográfico google.com e vez de googol.com. U googol es eorme, pero mayor es seguido de u googol de ceros, u googol plex. googol plex = googol 0 = 0 (0 00 ) Ua hoja de papel suficietemete grade para escribir u googol plex o cabría detro del uiverso El leguaje de los ordeadores Los ordeadores usa cadeas de iformació formadas por ceros y uos. U sistema de umeració de este tipo se deomia biario, igual que el que usualmete utilizamos se llama decimal, por usar 0 símbolos (0 a 9). La descomposició poliómica de u biario usa potecias de e vez de 0. Por ejemplo, el biario 0 es el decimal : 0 = = = MATEMÁTICAS º ESO 7

16 Recuerda lo más importate. Potecias de u úmero etero. Ua potecia cuya base es u úmero etero y cuyo expoete es u úmero atural, es u producto de factores iguales. Ua potecia de u úmero positivo es positiva. El opuesto de esa potecia es egativo. Si la base es egativa y el expoete par o cero, el valor de la potecia será positivo. Si la base es egativa y el expoete es impar, la potecia será egativa. Al elevar u etero positivo o egativo a cero, el resultado es.. Operacioes co potecias. Potecia de u producto o cociete: ( a b) = a b a b a = b Operacioes co potecias de igual base: m a a a a m = a = a + m m Potecia de ua potecia: m (a ) = a m a. Potecias de base 0. Cualquier úmero puede escribirse como ua suma de aturales que multiplica a potecias de base 0, es lo que se cooce como descomposició poliómica de u úmero: 97 = b. Notació cietífica. U úmero e otació cietífica costa de ua matisa multiplicada por ua potecia de diez. La matisa tedrá ua úica cifra o ula delate de la coma decimal. 000 =, 0 0, =, a. Cuadrados perfectos. U cuadrado perfecto es u úmero que es cuadrado de algú úmero etero. b. Raíces cuadradas. Ejemplo: La raíz cuadrada de u cuadrado perfecto es siempre u úmero etero. 00 es cuadrado perfecto, pues 00=0 Pero 8 o lo es, porque = y 6 =6 8 MATEMÁTICAS º ESO

17 Autoevaluació. Calcula el valor de: a) - (-) b) (-) 0 (- 8 ). Calcula el valor de: a) ( 8) b). Es lo mismo ( ) 9 que ( )? ( ). Calcula. 8. Escribe la descomposició poliómica del úmero Cuátos de los úmeros compredidos etre 0 y 0 so cuadrados perfectos? 7. Qué úmero decimal es 7,87 0 -? 8. Escribe e otació cietífica el úmero 0, El úmero 69,7 0 - o está correctamete escrito e otació cietífica. Escríbelo de forma correcta. Escribe tambié el úmero decimal a que correspode. 0. Calcula 68 co ua cifra decimal. MATEMÁTICAS º ESO 9

18 Solucioes de los ejercicios para practicar. a) 7 b) (-) 6 c) 6 d). a) - b) c) - d). a) -7 b) -7 c) -9 d) 9. (-) < - < (-) 0 < (-) <. > 0 =(-) 0 >- 0 >- >- =(-) 6. a) sí b) sí 7. a) (7 ) b) [(-) ] 8. a) b) 9. a) b) -7 c) 0000 d) 6 0. a), b) -8 c) 0,06 d),. a) 7 b) (-7) c) 8 d) x. a) 0 9 b) 0 7 c) a) b) (-) 7 c) 0 d) x 6 6. a) b) x 0 c) (-) d) y 6 7. a) 0 b) c) x 8. a) b) c) d) , g 0. 7,9 0 kg., 0-8 m., m. 0, , , a) No b) Sí c) Sí d) No 8. a), b) 9,8 c), d), 9. m 0. m = 0,06 m 6 Solucioes AUTOEVALUACIÓN. a) b) -. a) 6 b) -7. Sí, ambos vale Hay : 6, 8, 00, y 7. 0, , , = 0, ,6 No olvides eviar las actividades al tutor 0 MATEMÁTICAS º ESO