UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA FACULTAD CIENCIAS DE LA SALUD CURSO DE ORIENTACIÓN Y NIVELACIÓN AL ESTUDIO UNIVERSITARIO EN CIENCIAS DE LA SALUD

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA FACULTAD CIENCIAS DE LA SALUD CURSO DE ORIENTACIÓN Y NIVELACIÓN AL ESTUDIO UNIVERSITARIO EN CIENCIAS DE LA SALUD AREA: MATEMÁTICA RESPONSABLES: Lic. Luís A. Berrodo Lic. María Rosales Lic. Vaesa, Figueroa Prof. Noelia, Saleme Ig. Rafael, Herrera Ig. Carlos, Salas Ig. Sáchez Brizuela, Ricardo Lic. Patricia, Guzmá Ig. Claudio Ubaid Lic. Fraco Cuello Lic. Alberto Díaz AÑO 08

2 Los úmeros Naturales y sus operacioes Las atiguas civilizacioes mesopotámicas represetaba los úmeros aturales mediate marcas cueiformes, que sigifica figura de cuña y es ua pieza termiada e forma de águlo diedro muy agudo. Su forma se debía a la presió ejercida por la puta de la caña sobre la tablilla de arcilla blada. La primera operació aritmética coocida fue la suma, utilizado objetos cocretos que estuviera al alcace de la mao: o bie sumaba amotoado piedrecitas o bie formado udos e ua cuerda como hacía los icas. Los úmeros Naturales: Al cojuto de los úmeros aturales se lo represeta co la letra N N =,,,...,0,,...,00,0,... Los úmeros aturales os sirve para cotar: los días de la semaa, los alumos de ua clase, el úmero de estrellas que vemos e el cielo. Además, os sirve para ordear: decimos que Júpiter es el º plaeta e tamaño del sistema solar o que tal persoa es la ª más alta de su familia. Los úmeros aturales se puede sumar y multiplicar y el resultado de esas operacioes es tambié u úmero atural. E cambio, o ocurre lo mismo co la resta y la divisió. - Propiedades de la suma y la multiplicació: Asociativa : Suma: (a + b) + c = a + (b + c) multiplicació: (a. b). c = a. (b. c) Comutativa : Suma: a + b = b + a multiplicació: a. b = b. a Existecia del elemeto eutro : Suma: es el 0 pues a + 0 = a multiplicació: es el pues a. = a Distributiva del producto co respecto a la suma y la resta : a. (b + c) = a. b + a. c a. (b c) = a. b a. c Ejemplos: Gracias a las propiedades asociativa y comutativa, podemos efectuar largas sumas co facilidad, modificado el orde y asociado los sumados segú covega: = (0 + 60) + 9 = = = (99 + ) + 5 = 5 La propiedad distributiva os permite realizar diversas tácticas segú uestras ecesidades: Sacar factor comú: =. ( + 5 +) =. 0 = 0 Deshacer parétesis:. (5 + x + x ) =.5 +.x +.x = 0 + x + 8x - Propiedad distributiva de la divisió:

3 Si a, b, c y d so úmeros aturales cualquiera se cumple: (a + b) : c = a : c + b : c (a b) : c = a : c b : c Siempre que las divisioes que resulte sea posibles (su cociete sea u úmero atural), esto quiere decir que el resto es cero o es ua divisió exacta. Aclaració: como la divisió o es comutativa solo es posible la distributiva por derecha y o por izquierda. Para saber hacer: Si e u cálculo aparece sumas, restas, multiplicacioes y divisioes, se resuelve: - las operacioes ecerradas etre parétesis. - las multiplicacioes y divisioes e el orde e el que aparece - las sumas y las restas e el orde e el que aparece Ejemplos: a) = = = + 7 = b) : 5 = = + 6 = 8 Tambié se puede operar quitado el parétesis como aplicació de la propiedad distributiva del producto respecto a la suma. Si hay varios parétesis, uo detro de otros, se comieza efectuado los de detro. Ejemplos: a) 7 (5 ) = 7 = 5 b). ( + ) =.6 = 8 = 6 Efectúa las siguietes operacioes paso a paso y mecioe lo efectuado a) + 8: + (8 9). = b) ( + 8): ( + 8) + 9. = c) 5. [ + (7 ). ] = d) (8 ): + (6 ): (8: 6) = e). : + (7 + ): ( + ) Poteciació y Radicació de úmeros Naturales La potecia atural de u úmero atural o es más que ua multiplicació reiterada. Simbólicamete: a a. a. a... a siedo a y úmeros aturales. veces Al úmero a se le llama base de la potecia, mietras que a se le llama expoete de la potecia. Ejemplos: Calcula las siguietes potecias: a) 5 b) c) a) 5 =... = b) = c) =... = 8 Todo úmero distito de cero elevado al expoete cero es igual a : a 0 = Ejemplos: 0 0 = 0 0 = = Todo úmero elevado al expoete, es igual a ese mismo úmero, por eso el expoete por geeral o se escribe: a = a Ejemplos: = = 65 = 65 Las propiedades de las potecias aturales de expoete atural so las siguietes:

4 ) Multiplicació de potecias de la misma base es otra potecia se la misma base y cuyo expoete es la suma de los expoetes Simbólicamete: a m.a = a m + Ejemplo: Expresa como ua sola potecia la multiplicació de potecias: = = 0 ) Divisió de potecias de igual base, es otra potecia de la misma base cuyo expoete es la diferecia de los expoetes. Simbólicamete: a m :a = a m-, siempre que m > Ejemplo: 6 : = ) Potecia de ua potecia es otra potecia de igual base y cuyo expoete es la multiplicació de los expoetes. Simbólicamete: (a m ) = a m. Ejemplo Calcula las siguietes potecias de potecias: ( ) y (a b ) ( ) =. = 6 = 6 (a b ) = a. b ) Distributiva de la poteciació co respecto de la multiplicació y divisió Simbólicamete: (a. b) = a. b y (a : b) = a : b Ejemplos: (. ) =. = 7. 8 = 6 (6 : ) = 6. = 6. = o bie:..5 = (.. 5) = 0 ) Expresa como ua sola potecia las siguietes multiplicacioes: a) = b) x.x.x.x = c) x. x. x = ) Quita parétesis y reduce: a) (x.y ) 5 = b) (5ª b ) = c) (x ).(x ).x = d) (a ).b.a.(b ) = e) [( ) ] 5 = La radicació es la operació iversa a la poteciació. Ecotrar la raíz eésima de u úmero cosiste e ecotrar otro úmero que elevado a la potecia os dé como resultado el úmero origial. Simbólicamete: a b si ocurre que b = a A la expresió a se la llama raíz o radical. E ella, al úmero a se le llama radicado y a ídice de la raíz. Ejemplos: 6 porque = 6; 5 5 porque 5 = 5; 8 porque = 8 La radicació cumple las mismas propiedades que la poteciació.

5 Operacioes Combiadas. Para resolver ua operació combiada debemos teer e cueta lo siguiete: - Idetificamos los térmios - Resolvemos las operacioes que está etre parétesis (cuado los haya idetificamos y resolvemos los térmios detro de éstos. - Resolvemos potecias y raíces - Resolvemos multiplicacioes y divisioes 5- Por último, resolvemos sumas y restas. Resuelva los siguietes cálculos 0 a) :. 5 b) 7 : ( ) : 0 c) 5.( ) 9. : d) 5. : (. ) e) f) g) 6 : Números Eteros Ya las atiguas civilizacioes hidú y árabe observaro que alguos problemas uméricos o teía solució etre los úmeros hasta etoces coocidos. Esto ocurría por ejemplo co las deudas moetarias a las cuales presetaba co el sigo - delate del úmero. Por ejemplo, -00, idicaba ua deuda de 00 moedas. El cojuto de úmeros eteros se desiga Z, este cojuto está formado por: Eteros positivos (Z + ): +, +, +,... (que tambié se aota:,, ) El cero: 0 Eteros Negativos (Z - ): -, -, -, -, Se llama valor absoluto de u úmero etero a y se lo idica a (se lee: valor absoluto de a), a la distacia desde el úmero hasta cero. Ejemplo: Suma de Números eteros: Regla practica para sumar dos úmeros eteros: Si tiee el mismo sigo, sumamos los valores absolutos y le asigamos al resultado dicho sigo. Ejemplo: -5 + (-) = -6 Si tiee distitos sigos, testamos sus valores absolutos y le asigamos al resultado el sigo del úmero de mayor valor absoluto. Ejemplo: 8 + (-) = (-0) = -

6 Resta de Números eteros: Restar u úmero etero es lo mismo que sumar su opuesto, es decir: a b = a + (-b) y a (-b) = a + b Ejemplos: 0 = + (-0) = -6 ; -0 (-0) = = 0 Resuelva las siguietes operacioes a) 50 ( 6) = e) = b) (- 5) (9 ) = f) (-8) = c) ( ) + (5 ) = g) (-0) + (-8) + (-) = d) (9 - ) (9 + ) = h) - + (-6) (-) = Multiplicació y divisió de Números eteros: Para multiplicar y para dividir dos úmeros eteros debemos teer e cueta esta regla: Si los dos tiee el mismo sigo, el resultado es positivo. (+). (+) = + (+) : (+) = + ( -). ( -) = + ( -) : ( -) = + Ejemplos: (+).(+7) = (+8) : (+7) = + (-6). (-8) = 8 (-5) : (-9) = +5 Si los dos tiee distitos sigos, el resultado es egativo. (+). ( -) = - (+) : ( -) = - ( -). (+) = - ( -) : (+) = - Ejemplos: (+5).(-9) = -5 (+) : (-6) = - (-6). (+) = - (-0) : (+5) = -6 Regla: El producto o cociete de varios úmeros distito de cero es otro etero tal que: Es positivo si el úmero de factores egativos es par Es egativo si el úmero de factores egativos es impar. Ejemplos: (-) (-) (+5) (+) (+) = +0 fact. egativos (-) (-) (+5) (+) (-) = -0 fact. egativos Resuelva los siguietes productos: a) (-8) (+9) (-) = b) (-) (-5) (-6) (-8) = c) (-0) (+) (-5) = d) (-8) (-0) (+) (-) = Resuelva los siguietes cocietes: a) (-) : (-8) = b) (-56) : (-7) = c) () : (-) = d) (-6) : (+) =

7 Poteciació de Números eteros: La poteciació es ua forma abreviada de escribir ua multiplicació de factores iguales: a = a.a.a. a ( veces multiplicamos a) La poteciació es ua operació etre dos úmeros a y, llamados base y expoete, respectivamete. Notació: a = p, a se llama base, se llama expoete y p se llama potecia Todo úmero, distito de cero elevado al expoete 0 es igual a uo: a 0 = Si la base de ua potecia es u úmero etero, este puede ser positivo o egativo. Si es positivo, el resultado es siempre u úmero positivo. Si es egativo teemos dos solucioes: ) si el expoete es u úmero par el resultado de la potecia es u úmero positivo: Ejemplos: 7 = 9 = 7 6 = 6 ) si el expoete es u úmero impar el resultado de la potecia es u úmero egativo Ejemplos: (-) = + (-) = +6 (-) = -8 (-) 5 = - Calcule cada ua de las siguietes potecias: a) (-8) = d) (-) 5 = f) (-) 0 = b) (-0) = e) (+) = Radicació de Números eteros: La radicació es ua operació etre dos úmeros a y llamados base e ídices, respectivamete: a y se defie como a b b a Ejemplos: 8 pues = 8 8 pues (-) = -8 6 No es posible e Z pues igú úmero etero elevado e expoete par da por resultado e úmero egativo (+) = 6 6 pues (-) = 6 Regla de los sigos: Si el ídice es impar la raíz tiee el mismo sigo del radicado. Si el ídice es par y el radicado es positivo, las raíces so dos úmeros opuestos. Si el ídice es par y el radicado es egativo, la raíz es imposible e Z. Calcula las siguietes raíces: a) 000 b) 5 6 c) d) 6 6 e) 5 Operacioes Combiadas: a) (-) -. 6 ( ) -.[.(-) + : (-6)] =

8 b) (-).(-) + 8 : + (-. 6) : (-) 7 = c) 5: + (-. + ) 0 (-) = d) (-7 + 5) : - 5. (-) = e) (-) : 9 - : (-) + 6 = f) [(-7) (-) ] : (-) ( -6) : = g). ( (-)) : (-) + (-) 0. (-) h). - + : (-5 + ) = i) ( + 5) 0 (-) +. (-) 5. (- + ) = j) ( ) ( ) + (-) + ( - + 6) : ( - ) = Números Racioales El cociete etre dos úmeros eteros a y b (co b distito de cero) represeta u úmero racioal. Para simbolizarlos se lo escribe del siguiete modo: a Numerador de la fracció b Deomiador de la fracció El cojuto de los úmeros racioales está formado por el cojuto de los úmeros eteros y los úmeros fraccioarios y se represeta co la letra Q. Los úmeros racioales puede expresarse mediate ua fracció o ua expresió decimal, Ejemplos: = 0,5 = -5 = -5, = 7 0 = Simplificació de Fraccioes: Para simplificar fraccioes dividimos al umerador y al deomiador por el mismo úmero. Ejemplo: 0 puede simplificarse por 5; etoces 0 : 5 =. 0 0 : 5 Podemos seguir simplificado esta fracció hasta obteer ua fracció irreducible. Operacioes co Números Racioales: Adició: a c ad bc Defiició: b d b.d Ejemplos: A) B) Cuado aplicamos la defiició debemos simplificar el resultado, siempre que sea posible. E los ejemplos ateriores es posible simplificar el ejemplo B. Calcula las siguietes sumas:

9 7 5 a) 7 8 b) c) d) e) Sustracció de úmeros Racioales: Regla: Para restar dos úmeros racioales, se suma al primero el opuesto del segudo. a c a c b d b d Ejemplo: Realiza las siguietes operacioes: a) c) b) d) d) 6 Multiplicació de úmeros racioales Defiició: a. b c d a.b c.d. 6 Ejemplo: Cuado sea posible, coviee simplificar (umerador co deomiador) ates de realizar la operació Ejemplo: La regla de los sigos es la misma que euciamos para la multiplicació de úmeros eteros. Calcula los siguietes productos: a). d) b). e) c)

10 Divisió de úmeros racioales Regla: Para dividir dos úmeros racioales, se multiplica el primero por el iverso del segudo y se simplifica el resultado siempre que sea posible a c a d E símbolo: :. b d b c Calcula los siguietes cocietes: 7 a) : b) : 6 6 c) : d) : e) : 8 0 Poteciació de úmeros racioales ) Potecia de expoete atural Para la potecia de expoete atural sigue siedo válida la defiició geeral de potecia eésima, que se dio para úmeros eteros. a a E símbolo: b b Tambié so válidas las defiicioes para la potecia de expoete cero y de expoete uo. a 0 a a b b b La regla de los sigos es la misma que euciamos para la poteciació de úmeros eteros. Ejemplos: ) Potecia de expoete egativo: Toda potecia de expoete egativo se puede trasformar e ua potecia cuya base es la iversa de la base dada de la potecia E símbolo: Ejemplos: a a

11 a) - = b) ( ) c) 5 5 Radicació de úmeros racioales La defiició geeral de raíz eésima de úmeros eteros sigue siedo válida para los racioales. Regla practica: a b a b x y x y a b La regla de los sigos es la misma que hemos euciado para la radicació de úmeros eteros a b Ejemplos: pues pues Calcula las siguietes potecias: 5 a) 7 b) Calcula las siguietes raíces: c) 9 d) 5 e) 8 a) 7 b) 6 5 c) d) 6 6 d) 8 Expresió decimal de u úmero Racioal Todo úmero racioal puede expresarse mediate ua fracció o u úmero decimal. Para obteer la expresió decimal de ua fracció se divide el umerador por el deomiador. E alguos casos, la cueta de dividir o termia dado que el

12 resto uca llega a ser cero. Etoces decimos que la expresió decimal es periódica. Por ejemplo: 0, 5 0, 75 0, , 6,8...,8 6 Las fraccioes cuyo deomiador es ua potecia de 0 (0,00, 000, o sea es u seguido de ceros) recibe el ombre de fraccioes decimales. 7 7 Ejemplos: Expresió fraccioaria de u úmero decimal Toda expresió decimal limitada puede aotarse como fracció: como umerador se coloca el úmero completo (si la coma) y como deomiador u seguido de tatos ceros como cifras decimales tega la expresió decimal. 6 Ejemplos: 0,06 = ,5 = 000 5,5 = 00 Coversió de ua expresió decimal periódica e fracció: ) Regla: Toda expresió decimal periódica pura, de parte etera ula, se puede trasformar e ua fracció, tal que: el umerador es el periodo y el deomiador está formado por tatos ueves como cifras tiee el periodo. 5 7 Ejemplos: 0,5 0, ) Regla: Toda expresió periódica mixta, de parte etera ula, se puede trasformar e ua fracció, tal que: el umerador es igual al úmero que forma la parte o periódica seguida del período, meos la parte o periódica y el deomiador está formado por tatos ueves como cifras tega el periodo seguido de tatos ceros como cifras tega la parte o periódica Ejemplos: 0,5 0, Cuado la parte etera es distita de cero la expresió decimal es igual a la parte etera más la fracció que resulta al aplicar la regla correspodiete Ejemplo:, , Trasforme e fracció las siguietes expresioes decimales: a),6 = f) 0,6 b) -0, = g) 0,56 c),6= h), d) 0,79 = i),5

13 RAZONES Y PROPORCIONES Frecuetemete has oído o has utilizado expresioes como las siguietes: Votaro 6 mujeres por cada 7 hombres E esta ciudad hay automóvil por cada 5 persoas. Decimos que la razó del úmero de mujeres al úmero de varoes es de 6 a 7 o bie que el úmero de mujeres es 7 6 del úmero de varoes. Aálogamete la razó del úmero de automóviles al úmero de persoas es de a 5 o bie, que el úmero de de automóviles es 5 del úmero de persoas. Defiició: Se llama razó etre dos úmeros a y b (b 0), al cociete de la divisió de a por b. El primer úmero, o sea a, recibe el ombre de atecedete y el segudo úmero, o sea b, recibe el ombre de cosecuete de la razó. a es a b se expresa: a : b o a atecedete b cosecuete Decir que hay 6 mujeres por cada 7 varoes equivale a decir que hay mujeres por cada varoes. La razó de 6 a 7 es igual a la razó de a : 6 = 7 Aálogamete la razó de a 5 es igual a la razó de a 5: =. 5 5 Defiició: La igualdad de dos razoes se llama proporció: a = c, se lee: a es a b como c es a d. b d a y d se llama extremos de la proporció b y c se llama medios de la proporció. Propiedad Fudametal de las proporcioes: e toda proporció el producto de a c los extremos es igual al producto de los medios: a.d b. c b d E las proporcioes: 6 es6 x 7 x a) b) = es x 5 = 5 x = 5 Para calcular u extremo o u medio de ua proporció debemos utilizar la propiedad fudametal. Ejemplo: Calcule el valor de x x x

14 x.. x aplicamos propiedad fudametal de las proporcioes 6x = x aplicamos propiedad distributiva 6x x = - + separamos e cada miembro térmios semejate 5x = - x = 5 ) Halle el valor de k que verifique la proporcioalidad a) k k 6 e) k b) k k 0, 0, 0,008 c) 0,0 k d) k k 6 Ecuacioes Ecuacioes de primer grado Ua ecuació es ua igualdad e la que hay por lo meos u dato descoocido, es decir ua icógita, y resolverla sigifica ecotrar el o los valores que hace verdadera la igualdad Ua ecuació lieal o de primer grado es aquella cuya forma geeral es: ax + b = 0, siedo a y b úmeros reales y a 0 Resolució de ua ecuació E toda ecuació se distigue dos miembros e la igualdad 5 5 a) x x : 0, 5 6 Primer miembro segudo miembro de la igualdad de la igualdad 5 5-6x + = x + 6 Aplicamos propiedad distributiva e cada miembro 5 5-6x + x = 6 - Agrupamos térmios semejates e cada uo de los miembros 7 7 x Resolvemos cada miembro x = 7 7 : x = - 5 b) y + y y (y ) 6 y + y = y - y

15 5 y + y 7 9 y 9 y = 7 7 : y ) Resuelva las siguietes ecuacioes s s t t a) s d) t 6 9 m m m b) m 5 c) 5.(x + 0,),8 = 7, 9 7 ) E las siguietes igualdades despeje la variable que se pide: a) x + xm + x + m = m.(x + 6) Despeje m y x c. i. t b) Cf = c + Despejar t y c 00 c) a = a + ( )d Despejar a d).. r a S Despejar r r Sistema de dos ecuacioes lieales co dos icógitas Cosideremos u cojuto de dos ecuacioes co dos icógitas: x y = 0 x + y 9 = 0 El cojuto de dos ecuacioes se llama sistema de ecuacioes co dos icógitas. Si ambas ecuacioes so de primer grado es u sistema de dos ecuacioes de primer grado co dos icógitas. Para idicar que forma u sistema, se abarca co ua llave. Resolució de u sistema de dos ecuacioes co dos icógitas Resolver u sistema de dos ecuacioes co dos icógitas sigifica hallar el cojuto de raíces comues, es decir, la itersecció de los cojuto solució de ambas ecuacioes. Existe diversos métodos para resolver u sistema de dos ecuacioes co dos icógitas. Nosotros estudiaremos solamete el método algebraico llamado método de igualació Ejemplo: Resolver el siguiete sistema aplicado método de igualació. x + y = I x y = 8 II ) despejamos la misma variable e ambas ecuacioes x + y = x y = 8 y = x (I) - y = 8 x y = (8 x) : (-) (II)

16 ) igualamos (I) y (II) x = (8 x) : (-) ) Resolvemos la ecuació que obtuvimos y averiguamos el valor de x x = (8 x) : (-) ( x).(-) = 8 x - + 6x = 8 x 6x + x = 8 + 0x = 0 x = 0 : 0 x = ) Reemplazamos el valor de x que obtuvimos, e (I) o e (II) para averiguar el valor de y. y =. (se reemplazo e (I)) y = -5 La solució que obtuvimos es x = ; y = -5. Resuelve por igualació los siguietes sistemas de ecuacioes. a) x = ( y) b) x - y = c) x = (y ). + y y = 5(x 5) + x y 5 (6x ): = + y = y x 0 5 x y 5 x y x y e) 5 y x 5 ) Respoda: a) Qué etiede por sistemas de ecuacioes lieales? b) Cómo defiiría la solució de u SEL? ) Resuelva los siguietes sistemas aalíticamete y clasifique los SEL. a) b) c) ) Escriba el cocepto de: a) Sistema compatible c) Sistema compatible determiado b) Sistema icompatible d) Sistema compatible idetermiado

17 ) Represete gráficamete los siguietes sistem as. a) b) c).) Establezca ua solució del sistema de ecuacioes..) Clasifique los SEL. 5) Respoda: Qué diferecia existe etre el Método Gráfico y el Aalítico? Cuál es más preciso? 6) Platee y resuelva los siguietes problemas utilizado SEL. a) U liceciado e sistemas de computació gastó $00 e comprar impresoras a $00 y software a $60. Si la suma del úmero de impresoras y el úmero de software que compró es. Cuátas impresoras y cuátos softwares, compró? b) U padre tiee el doble de la edad de su hijo, y la suma de ambas edades es igual a 5 años. Cuátos años tiee cada uo? c) E u vivero hay 500 platas etre rosas y jazmies. Si el úmero de rosas supera e 86 al úmero de jazmies. Cuátas platas hay de cada clase? d) Hace años, Aa teía 8 veces la edad de Sofía. Actualmete, la edad de Aa es veces la edad de Sofía. cuál es la edad de cada ua? ) Resuelve los siguietes S.E.L., clasifica y gráfica: a) R: (,-) b) R: (/, ) c) R: (-. ) d) R: a) R: Ecuacioes de segudo grado La forma geeral de las ecuacioes de segudo grado es: ax + bx + c = 0 dode a 0; a, b y c so úmeros reales. Ecuacioes icompletas

18 ) Si b = 0, la ecuació de segudo grado es icompleta de la forma ax + c = 0 Para resolver este tipo de ecuacioes se despeja el valor de x, teiedo e cueta que x x Ejemplo: a) x 9 = 0 b) -x + 50 = 0 x = 9 -x = -50 x = 9 x = -50 : - x = y x = - x = 5 x = 5 x= 5 y x = -5 ) Si c = 0, la ecuació de segudo grado es icompleta de la forma: ax + bx = 0 Para resolver este tipo de ecuacioes, se debe teer e cueta que: m. = 0 m = 0 = 0 Ejemplo: x x = 0 x(x ) = 0 x = 0 x = 0 x = x = Ecuacioes completas Si la ecuació está completa o sea que iguo de sus coeficietes es igual a cero, los valores de x que la satisface se ecuetra aplicado ua formula, e la cual estos iterviee. Ax + bx + c = 0 Ejemplo: x + x 0 = 0 a = b = c = -0 x ;x b b ac a.( 0) x ;x x x. 9 Resuelva las siguietes ecuacioes x a) x d) x 5x = 0 x 5 b) x e) 7 x x x c) (x ) = 5