Sucesiones (corrección)

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Sucesiones (corrección)"

Julián Maldonado Villalobos
hace 7 años
Vistas:

1 Sucesioes (correcció). La suma de los tres primeros térmios de ua proresió aritmética es y la diferecia es 6. Calcula el primer térmio. =a a a =a (a d)(a d )= a d= a 6 a = 48 a =. Halla la suma de todos los úmeros pares compredidos etre 98 y 00. Catidad de pares icluyedo 98 y 00 = =45 (para eteder por qué el térmio piesa e cuátos úmeros hay etre el 0 y el 0, que so, esto es: 0-0 ) Suma de pares Suma de 45 térmios de ua proresió aritmética S 45 = ( a a ) ( 9800) 45 = =4950. El último térmio de ua proresió aritmética de 0 térmios vale 6. La suma de todos sus térmios vale 70. Calcula el primer térmio y la diferecia. S 0 = (a a 0 )0 (a 6) 0=40 a =4 6 a = a 0 =a (0 ) d 9 d ( )=6 d= 6 ( ) 9 d = 4. El primer térmio de ua proresió aritmética es, el seudo y la suma de todos sus térmios 0. Averiua cuátos térmios tiee esta proresió. a =, a =,... a = (sucesió de úmeros aturales) S = (a a ) 0= () 40=0 = ± 680 = ±4 = 0 ( es positivo) 5. Los primeros térmios de ua proresió aritmética so: -0, -9, -8, Halla dos térmios cosecutivos de dicha proresió cuyas raíces cuadradas se diferecie e ua uidad. d= 9 ( 0)= Térmio eeral: a =a ( )d a = 0( ) a = 4 a =a = 4= 0 a a = 0= 4 ( 0) =( 4) 0= 4 4 4=0 4=5 =6 a 6 = 6 4=5 a 6 = 5 a 7 =6 6. Al preutar a u empleado cuáto tiempo llevaba trabajado e ua empresa, cotestó: "No lo sé; sólo puedo decir que llevo cobrados , que este año me ha dado y que cada año he teido u aumeto de salario, respecto al aterior de 600." Cuátos años lleva trabajado e esa empresa? Proresió aritmética: a =a ( )d 4400=a ( ) =a a = Suma de sueldos: S = (a a ) 74000= 49580=0 = ( ) =0 49± 40 0 = { =9 a = = 400 (el sueldo iicial o puede ser eativo) = 0 a = =000 (esta es la solució válida, 0 años empleado) 7. Ua persoa, o pudiedo paar de ua vez ua deuda de 950, propoe a su acreedor paarle 600 al fial del primer mes y cada mes 50 más que el mes aterior. E cuátos meses se cacelará la deuda y cuál será el importe del último pao? Proresió aritmética: a =a ( ) d a =600( )50 a =55050 Suma de paos: S = (a a ) 950= ( ) =0 58=0 58=0 = ± 5907 = { = 7 (o puede ser eativo) =4 úmero de cuotas a 4 = =50 último pao 8. Justifica si la sucesió cuyos primeros térmios so los siuietes es ua proresió aritmética: {,,,,...} (E este caso o hace referecia al orde del térmio, sio que es ua costate umérica) Reescribiedo térmios: a = = = a = a = = = a 4 = = = Podemos ver que a 4 =a a =a a =a Proresió aritmética de diferecia 9. U coroel que mada 00 soldados quiere formarlos e triáulo, de maera que la primera fila tea soldado, la seuda, la tercera y así sucesivamete. Cuátas filas tedrá la formació? Filas e proresió aritmética: a =,a =,a =...a = Total de soldados = Suma de la proresió S = (a a ) El úmero de filas es, lueo : 00= () 6006=0 = ± 404 = ±55 = 77 filas (o puede ser < 0)

2 0. Hallar el úmero de térmios y la razó de ua proresió eométrica cuyo primer térmio es 4, el último 6500 y la suma de todos sus térmios 784. Suma de térmios de ua proresió eométrica: S =a r r = r a a 6500 r 4 784= 784 r 784=6500 r 4 r=5 r r Térmio eeral de ua proresió eométrica: a =a r 6500=4 5 5 =565 5 =5 6 =7 térmios. El primer térmio de ua proresió eométrica iitada de razó meor que es /, y el límite de la suma de todos sus térmios es. Calcula la razó de la proresió. Suma de todos los térmios de ua proresió eométrica: S =a = r r= r r =. La població de ua provicia ha aumetado durate 5 años e proresió eométrica, pasado de a.0 habitates. Cuál ha sido la razó de la proresió? Cada año se multiplica la població por u factor r. E 5 años: p 5 = p iicial r 5 0=00000 r 5 r= 5 0 r=, crece u 0% aual Hay que teer cuidado co el ídice al cosiderar ua proresió eométrica ( o idica cuátos años ha pasado sio e qué año estamos situados, e este caso si la evolució es durate 5 años estaríamos e el iicio del año 6 =6 p = p r p 6 = p.r 5 ). U pueblo hace uos años teía ua població de habitates, y hoy de Cada año la dismiució ha sido del 0%. Cuátos años hace que la població era de 0.000? Cada año se multiplica la població por u factor 0,9. Al cabo de años: p = p iicial 0,9 656=0000 0,9 0,9 =0,656 =lo 0,9 0,656= lo 0,656 0 = 4 hace 4 años lo 0 0,9 4. Cueta la leyeda que el ivetor del jueo del ajedrez pidió como recompesa a su rey u rao de arroz por la primera casilla, dos por la seuda, cuatro por la tercera, 8 por la cuarta y así sucesivamete hasta completar las 64 casillas que tiee el tablero. Cuáto arroz pidió el ivetor supoiedo que e u kilo hay raos de arroz? Suma de 64 térmios (los escaques del tablero) de ua proresió eométrica de razó y teŕmio iical : S 64 = 64,84 09 raos de arroz, raos 0000 raos /k,84 04 k (el arroz esparcido por el suelo cubriría toda la superficie de la Tierra) 5. A las 9 de la mañaa ua persoa cueta u secreto a tres amios co la codició de que o se lo cuete absolutamete a adie. A las 9 0 horas de la mañaa cada uo de esos tres amios se lo ha cotado a otros tres co la misma codició. A las 0 de la mañaa cada uo de estos amios se lo ha cotado a otros tres y así sucesivamete cada media hora. Supoiedo que se ha teido la imesa suerte de que a adie se lo ha cotado por dos vías diferetes, cuáta ete estaría eterada del secreto a las 4 de la tarde? El úmero de persoas que se etera cada media hora siue ua proresió eométrica de razó y teŕmio iical :,, 9, 7... Para averiuar cuátos cooce la iformació habrá que sumar la proresió: A las 4 de la tarde ha trascurrido 4 medias horas S 4 = 4 = persoas cooce el secreto 6. Como previsió para mi jubilació decido ahorrar ua parte de mi sueldo. E cocreto ivierto cada mes el 5% de mi sueldo e u fodo de pesioes que me aratiza ua retabilidad del,4% aual, paadera mesualmete. Si mi sueldo es de.40 al mes y o preveo iú cambio e el futuro, de cuáto diero dispodré detro de 0 años si cotiúo co mi ritmo de ahorro actual? Iterés del,4% aual = 0,% mesual Ahorro mesual = 5% de 40 = Total de meses = 0 = 40 meses Toda catidad ivertida se multiplica por,00 cada mes que esté e el fodo de pesioes. La que ivierta ahora estará durate 40 meses, la del mes que viee durate 9, la del siuiete durate 8... lueo el capital total será:,00 40,00 9,00 8, ,00,00 Esto o es otra cosa que la suma e orde iverso de ua proresió eométrica de 4 térmios, razó,00 y térmio iicial : S =, de capital acumulado,00 7. Calcular el límite de las sumas: (... ) ( ) ( )... ( ( ) ( )... )

3 Cada uo de los sumados es la suma de ifiitos térmios de ua proresió eométrica co razó meor que : S =a r...= = = 5 = = 9 = Cada sumado se reduce a las potecias sucesivas de de modo que fialmete se obtiee la suma de térmios de ua proresió eométrica de razó y primer térmio : (... ) ( ) ( )... ( ( ) ) =... =a r r = = 8. Se deja caer ua pelota desde metro de altura. E cada rebote la pelota sube hasta / de la altura desde la que ha caído. Qué distacia recorrerá la pelota desde que se deja caer hasta que se detiee completamete? Como extra, sabrías calcular el tiempo que tarda e pararse desde que se dejó caer?(u cuerpo e caída libre tarda h e caer desde ua altura h, siedo =9,8 m/s² la aceleració de la ravedad; e cada rebote la pelota tarda el mismo tiempo e subir que e bajar). E cada rebote la altura aterior se multiplica por /, de modo que se eera ua proresió eométrica de primer térmio y razó = = =... Si sumamos la altura de los ifiitos rebotes:s =a r = = m. Cada ua de esas alturas de rebote se recorre dos veces, de subida y de bajada, excepto la primera caída que sólo se recorre de bajada, por tado la distacia total recorrida será: S =5 m (cotamos todos dos veces y restamos el primero que lo hemos cotado ua vez de más) Para computar el tiempo hemos de cosiderar que, dado que e cada ocasió la pelota cae desde ua altura que es / de la del bote aterior, el tiempo se reduce e u factor. Veámoslo usado la forma idicada: Rebote : h t = h = Rebote : h = h t h = h = t Los tiempos de caída por tato siue ua proresió eométrica de térmio iicial (primer tiempo de caída) y razó. De uevo el tiempo de cada rebote hay que cotabilizarlo dos veces (subida y bajada) salvo el primero. Haciedo la suma ifiita de tiempos: S =a r = 9,8,46 s Tiempo hasta deteció: S 4, 47s 9,8 9. Calcula los siuietes límites cuado sea posible: 5 a) = () = b) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) =0 ( ) ( ) ( ) e) ( ) ( ) f) ( 5 ) ( ) = =4 ( ) lo ) 0 ( ) lo 0 ( 5 ) lo 0 ( ) lo 0 ( 5 ) ( ) lo 0 5lo 0 = 5 4 ( ) =0

4 h) (5) = = i) x j) 5 = = 4 k) 6 = 5 5 = 4 l) 4 m) 9 (5) = ) (5) o) l l l =0 = 5 = 5 ( )( ) =0 p) q) r) 5 ( 5) = s) e e = ( ) t) e e u) (5) 5 e =0 (4 )( 5 7) ( ) v) = 0 =0 w) 5 9 x) = 8 = =0 = = 0. Calcula los siuietes límites. Recuerda que e ( ) :

5 a) ( ) [( ) ] =[ ( ) ] =e b) ( ) = ( ) ( ) [( ) ] =[ ( ) ] c) ( ) : aalizado térmios domiates ( ) =e d) ( ) 4 e) ( l ) lo 0 f) ( ) ( ) 4 ( ) 4 ( = CAMBIO DE BASE =e ( ) 4 ( ) 4 [( ) ] 4 =e 4 ( l ) l l 0 [( l ) l ] l 0 l0 =e () ( )( )) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) [( ) ]=e

Documentos relacionados

UNIDAD 3. b b.1 Es una P.G. con a 1 5 y d 0,5. Por tanto: a n a 1 n 1 d 5 n 1 0,5 5 0,5n 0,5 0,5n 4,5 a n 0,5n 4,5

UNIDAD 3. b b.1 Es una P.G. con a 1 5 y d 0,5. Por tanto: a n a 1 n 1 d 5 n 1 0,5 5 0,5n 0,5 0,5n 4,5 a n 0,5n 4,5 UNIDAD 3 a Escribe los cico primeros térmios de las sucesioes: a.1) a 2, a 3 1 2 a a a 1 2 a.2 b 2 + 1 b Halla el térmio geeral de cada ua de estas sucesioes: b.1 3, 1, 1, 3, 5,... b.2 2, 6, 18, 54,...