INTERPOLACIÓN POLINOMIAL.

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1 INTERPOLACIÓN POLINOMIAL. co OOoBasic Y OOoCalc (VERSIÓN AGOSTO 16, 2011.) Walter Mora F., Escuela de Matemática Istituto Tecológico de Costa Rica. Textos Uiversitarios Revista digital Matemática, Educació e Iteret (

2 Coteido PART I INTERPOLACIÓN POLINOMIAL. ASPECTOS PRÁCTICOS (co OOoBasic Y OOoCalc) Itroducció 2 I.1 Iterpolació poliomial. 3 1 Forma de Lagrage del poliomio iterpolate Forma modificada y forma baricétrica de Lagrage Forma baricétrica co odos igualmete espaciados. 11 Ejercicios 11 2 Forma de Newto para el poliomio iterpolate Diferecias Divididas de Newto Forma de Newto e el caso de odos igualmete espaciados. 17 Ejercicios Forma de Lagrage vs Forma de Newto Estimació del error Itroducció Error e iterpolació lieal Error e iterpolació cuadrática Error e iterpolació cúbica Error co iterpolació co poliomios de grado Iterpolació Iterada de Neville Algoritmo Otros casos. 29 Ejercicios 30 4 Trazadores Cúbicos (Cubic Splies). 32 Ejercicios 36 5 Algoritmos e implemetació co OOoBasic y Calc Forma de Lagrage del poliomio iterpolate 38 Ejercicios Forma modificada y forma baricétrica de Lagrage. 43 Ejercicios Forma de Newto del poliomio iterpolate. 45 Ejercicios Trazadores cúbicos 51

3 Ejercicios 55 PART II INTERPOLACIÓN. ASPECTOS TEÓRICOS. Itroducció 57 I.5 Forma de Lagrage para el poliomio iterpolate. 59 I.6 Forma de Lagrage modificada y forma baricétrica de Lagrage. 59 I.7 Forma de Newto para el poliomio iterpolate. 61 I.8 Estimació del error. 63 I.9 Poliomios de TChebyshev y covergecia. 65 Ejercicios 68 Solució de los Ejercicios 69 Bibliografía 70 3

4 PARTE I INTERPOLACIÓN POLINOMIAL. ASPECTOS PRÁCTICOS (co OOoBasic Y OOoCalc)

5 Itroducció La iterpolació poliomial es la base de muchos tipos de itegració umérica y tiee otras aplicacioes teóricas. E la práctica a meudo teemos ua tabla de datos {(x i,y i ), i = 0,1,2,...,}, obteida por muestreo o experimetació. Supoemos que los datos correspode a los valores de ua fució f descoocida (a veces es coocida, pero queremos cambiarla por ua fució más secilla de calcular). El ajuste de curvas trata el problema de costruir ua fució que aproxime muy bie estos datos (es decir, a f ). U caso particular de ajuste de curvas es la iterpolació poliomial: E este caso se costruye u poliomio P(x) que pase por los putos de la tabla. La iterpolació poliomial cosiste e estimar f (x ) co P(x ) si x o está e la tabla pero se puede ubicar etre estos valores. Ua situació típica se muestra e el siguiete ejemplo e el que teemos datos que relacioa temperatura co el segudo coeficiete virial. 1 Ejemplo 1 Cosidere los siguietes datos para el itrógeo (N 2 ): T(K) B(cm 3 /mol) ? dode T es la temperatura y B es el segudo coeficiete virial. Cuál es el segudo coeficiete virial a 450K?. Para respoder la preguta, usado iterpolació poliomial, costruimos u poliomio P que pase por los seis putos de la tabla (ya veremos cómo), tal y como se muestra e la figura (I.1). Luego, el segudo coeficiete virial a 450K es aproximadamete P(450) = 13.5cm 3 /mol Figura I.1 Poliomio iterpolate 1 El comportamieto de gases o ideales se describe a meudo co la ecuació virial de estado PV RT = 1 + B V + C V , dode P es la presió, V el volume molar del gas, T es la temperatura Kelvi y R es la costate de gas ideal. Los coeficietes B = B(T), C = C(T),... so el segudo y tercer coeficiete virial, respectivamete. E la práctica se usa la serie trucada PV RT 1 + B V

6 Ejemplo 2 Cosideremos la fució f defiida por e f (x) = t dt, 1 x 1 5 t x La itegral que defie a f es ua itegral o trivial (o se puede expresar e térmios de fucioes elemetales). La tabla de la izquierda os muestra alguos valores para f. x f (x) ? Tabla I Podemos usar u poliomio iterpolate para iterpolar f (0.25). E el mudillo del ajuste de curvas hay varias alterativas, Usar u poliomio iterpolate. Es el método de propósito geeral más usado. Usar trazadores (splies). Estas so fucioes poliomiales a trozos. Usar Poliomios trigoométricos e [0, 2π]. So la elecció atural cuado la fució f es periódica de periodo 2π. Usar sumas expoeciales. Se usa si coocemos que f preseta decaimieto expoecial coforme x. Si los datos so aproximados ( datos experimetales ), lo coveiete sería usar Míimos Cuadrados Aquí solo vamos a tratar co iterpolació poliomial y trazadores cúbicos. I.1 Iterpolació poliomial. U problema de iterpolació poliomial se especifica como sigue: dados + 1 pares (x 0,y 0 ),(x 1,y 1 ),...,(x,y ), siedo todos los x i s distitos, y y i = f (x i ) para algua fució f ; ecotrar u poliomio P (x) de grado tal que P(x i ) = y i, i = 0,1,2,..., Métodos Numéricos. Iterpolació Poliomial. Walter Mora F. Derechos Reservados 2011 Revista digital Matemática, Educació e Iteret ( (I.1) 3

7 4 INTRODUCCIÓN Teorema 3 (Poliomio iterpolate). Dados + 1 putos (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ),...,(x,y ) co x i = x j si i = j; existe u úico poliomio P (x) de grado tal que P(x i ) = y i i = 0,1,..., A P (x) se le llama poliomio iterpolate, a cada x i le decimos odo de iterpolació y a cada y i valor iterpolado. El problema tiee solució úica, es decir hay u úico poliomio que satisface (I.2). No se requiere que los datos esté igualmete espaciados i e algú orde e particular. Si f es u poliomio de grado k, el poliomio iterpolate de f e + 1 putos coicide co f. Figura I.2 Poliomio iterpolate. Defiició 4 Si de ua fució f coocemos los putos (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ),...,(x,y ), co los x i s todos distitos, y si N = {x 0, x 1,..., x } y x / N pero mí N < x < máx N; etoces iterpolar f e x co u subcojuto de k + 1 odos cosiste e calcular P k (x ) dode P k es el poliomio iterpolate obteido co u subcojuto de k + 1 odos alrededor de x. El poliomio iterpolate es úico, es decir, solo hay u poliomio que pasa por estos + 1 putos. Aquí vamos a ver cuatro maeras de calcular este poliomio iterpolate: La forma de Lagrage del poliomio iterpolate, la fórmula baricétrica de Lagrage, la modificada de Lagrage y la forma de Newto del poliomio iterpolate (método de diferecias divididas de de Newto). Los cuatro métodos da el mismo poliomio (auque co diferete aspecto), y los cuatro métodos so importates porque de ellos se hace otras derivacioes teóricas. Métodos Numéricos. Iterpolació Poliomial. Walter Mora F. Derechos Reservados 2011 Revista digital Matemática, Educació e Iteret (

8 1 FORMA DE LAGRANGE DEL POLINOMIO INTERPOLANTE. Lagrage 2 calculó el úico poliomio iterpolate de maera explícita: El poliomio P (x) de grado que pasa por los + 1 putos (x 0,y 0 ),(x 1,y 1 ),...,(x,y ) (co x i = x j para todo i, j) es P (x) = y 0 L,0 (x) + y 1 L,1 (x) y L, (x) dode L,k (x) = Por ejemplo, i=0 i =k x x i = (x x 0)(x x 1 ) (x x k 1 ) (x x k+1 ) (x x ) x k x i (x k x 0 ) (x k x k 1 ) (x k x k+1 ) (x k x ). L,0 (x) = L,1 (x) = L,3 (x) =.. L, (x) = (x x 1 ) (x x 2 ) (x x ) (x 0 x 1 ) (x 0 x 2 ) (x 0 x ). (x x 0 ) (x x 2 ) (x x ) (x 1 x 0 ) (x 1 x 2 ) (x 1 x ). (x x 0 ) (x x 2 ) (x x 4 ) (x x ) (x 3 x 0 ) (x 3 x 2 ) (x 3 x 4 ) (x 3 x ).. (x x 0 ) (x x 1 ) (x x 1 ) (x x 0 ) (x x 1 ) (x x 1 ). 2 Joseph Louis Lagrage ( ) fue uo de los más grades matemáticos de su tiempo. Nació e Italia pero se acioalizó Fracés. Hizo grades cotribucioes e todos los campos de la matemática y tambié e mecáica. Su obra pricipal es la Mécaique aalytique (1788). E esta obra de cuatro volúmees, se ofrece el tratamieto más completo de la mecáica clásica desde Newto y sirvió de base para el desarrollo de la física matemática e el siglo XIX. Métodos Numéricos. Iterpolació Poliomial. Walter Mora F. Derechos Reservados 2011 Revista digital Matemática, Educació e Iteret ( 5

9 6 FORMA DE LAGRANGE DEL POLINOMIO INTERPOLANTE. Ejemplo 5 Determie la forma de Lagrage poliomio iterpolate, de grado 2, que pasa por (0,1),(1,3), (2,0). Solució: P 2 (x) = y 0 L 2,0 (x) + y 1 L 2,1 (x) + y 2 L 2,2 (x) = 1 L 2,0 (x) + 3 L 2,1 (x) + 0 L 2,2 (x) (x 1)(x 2) (x 0)(x 2) = (0 1)(0 2) (1 0)(1 2) Ejemplo 6 De ua fució f, coocemos la iformació de la tabla que sigue. Iterpolar f (0.35) usado u poliomio iterpolate P 3 (x). (Idicar la subtabla de datos que va a usar.) x f (x) Solució: Como se requiere u poliomio iterpolate P 3 (x), se ecesita ua subtabla de cuatro datos. Ua opció es x f (x) Si usamos la forma de Lagrage del poliomio iterpolate, etoces P 3 (x) = 0.32 (x 0.3)(x 0.4)(x 0.5) ( )(0.2.4)( ) (x 0.2)(x 0.4)(x 0.5) ( )( )( ) (x 0.2)(x 0.3)(x 0.5) ( )( )( ) (x 0.2)(x 0.3)(x 0.4) ( )( )( ) y etoces f (0.35) P 3 (0.35) =

10 7 Ejemplo 7 (Iterpolació lieal). Verifique que el poliomio iterpolate de grado 1 que pasa por (x 0,y 0 ),(x 1,y 1 ) Solució: Usado la fórmula de Lagrage, P 1 (x) = (y 0 y 1 ) (x 0 x 1 ) (x x 1) + y 1. P 1 (x) = y 0 L,0 (x) + y 1 L,1 (x) = (x x y 1 ) 0 (x 0 x 1 ) + y (x x 0 ) 1 (x 1 x 0 ). Simplificado, = (y 0 y 1 ) (x 0 x 1 ) (x x 1) + y 1 Ejemplo 8 E la tabla que sigue aparece las estadísticas de u curso co la catidad de estudiates e cada rago de otas. Rago de Notas N o Estudiates Estime la catidad de estudiates co ota meor o igual a 55. Solució: Para hacer la estimació ecesitamos ua tabla co las frecuecias acumuladas, Ahora calculamos el poliomio iterpolate, x y P 4 (x) = (x 80)(x 70)(x 60)(x 50) (80 x)(x 70)(x 60)(x 40) (x 80)(x 70)(x 50)(x 40) (80 x)(x 60)(x 50)(x 40) (x 70)(x 60)(x 50)(x 40) Así, la catidad de estudiates co ota meor o igual a 55 es aproximadamete P 4 (x) = 120.

11 8 FORMA DE LAGRANGE DEL POLINOMIO INTERPOLANTE. Ejemplo 9 (Nodos igualmete espaciados-feómeo de Ruge). E geeral, el poliomio iterpolate se podría ver afectado por el cojuto {x 0,..., x } y por la fució f. 1 Este ejemplo es algo extremo y es coocido como feómeo de Ruge ; si f (x) =, el poliomio x2 iterpolate preseta problemas de covergecia si tomamos los x i s igualmete espaciados e [ 1,1], es decir si x i = 1 + i h co h = 2/. Observe que la iterpolació se ve afectado hacia los extremos del itervalo o asi e el cetro; esto parece ser ua tedecia geeral. Si se puede escoger los odos, ua buea opció de ajuste se obtiee co odos de Tchebychev 3 Ejemplo 10 (Nodos de Tchebychev). Si hay posibilidad de escoger los putos de iterpolació, e el itervalo [ 1, 1], la elecció podría ser los odos ( ) 2i + 1 x i = cos π, coocidos como odos de Tchebychev. A diferecia de lo que podría suceder co odos igualmete espaciados, co estos odos el poliomio iterpolate ajusta bie si f C 1 [ 1,1]. Para u itervalo [a,b] es válido hacer el cambio de variable u = e el itervalo [a,b]. E este caso, los odos sería u i = (b a)(x i 1) 2 + b co (b a)(x 1) 2 ( ) 2i + 1 x i = cos π. + b que mapea el itervalo [ 1,1] 3 Pafuti Lvóvich Tchebychev ( ). El más promiete miembro de la escuela de matemáticas de St. Petersburg. Hizo ivestigacioes e Mecaismos, Teoría de la Aproximació de Fucioes, Teoría de los Números, Teoría de Probabilidades y Teoría de Itegració. Si embargo escribió acerca de muchos otros temas: formas cuadráticas, costrucció de mapas, cálculo geométrico de volúmees, etc.

12 9 Cotiuació.. 1 Como se prueba más adelate, e este caso, si x [a,b], f (x ) P (x ) M 1 ( + 1)! 2 si f (+1) (x) M para todo x [a,b]. 1.1 Forma modificada y forma baricétrica de Lagrage. La forma de Lagrage del poliomio iterpolate es atractiva para propósitos teóricos. Si embargo se puede reescribir e ua forma que se vuelva eficiete para el cálculo computacioal además de ser uméricamete mucho más estable (ver [2]). La forma modificada y la forma baricétrica de Lagrage so útiles cuado queremos iterpolar ua fució e todo u itervalo co u co u poliomio iterpolate. Supogamos que teemos + 1 odos distitos x 0, x 1,..., x. Sea l(x) = (x x i ) y defiimos los pesos baricétricos como i=0 ω k = Es decir, l(x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x ) y i=0 i =k 1 x k x i, k = 0,1,...,. ω k = 1 x k x 0 1 x k x 1 1 x k x k 1 1 x k x k+1 1 x k x. Ahora podemos defiir la forma modificada y forma baricétrica de Lagrage: Defiició 11 La forma modificada del poliomio de Lagrage se escribe como P (x) = l(x) j=0 ω j x x j y j (1.1) Métodos Numéricos. Iterpolació Poliomial. Walter Mora F. Derechos Reservados 2011 Revista digital Matemática, Educació e Iteret (

13 10 FORMA DE LAGRANGE DEL POLINOMIO INTERPOLANTE. Defiició 12 La forma baricétrica del poliomio de Lagrage se escribe = y i si x = x i, P (x) = k=0 k=0 ω k y x x k (1.2) k, si x = x i ω k x x k Ejemplo 13 Cosideremos la siguiete tabla de datos, x f (x) Calcule la forma modificada y la forma baricétrica de Lagrage e iterpole co ambos poliomios, f (0.35). Solució: Primero calculamos l(x) = (x 0.2)(x 0.3)(x 0.4)(x 0.5). Ahora, los pesos baricétricos, ω 0 = ω 1 = ω 2 = ω 3 = = , = 500, = 500, = Etoces, la forma modificada de Lagrage es, ( P 3 (x) = (x 0.2)(x 0.3)(x 0.4)(x 0.5) x x x ), x 0.5 y la forma baricétrica es, P 3 (x) = E ambos casos, f (0.35) P 3 (0.35) = x x x x x x x x 0.5

14 EJERCICIOS Forma baricétrica co odos igualmete espaciados. La forma baricétrica toma ua forma especialmete simple cuado los odos so igualmete espaciados. Sea h > 0 y x k = x 0 + k h; k = 0,1,2...,, etoces ω 1 m = k=0 k =m (x m x k ) = k=0 k =m (x 0 + m h x 0 k h) = ( 1) m h m!( m)! Ahora, como la fórmula (1.2) o cambia si cambiamos ω m por ω m = cω m co c = 0, etoces tomado c = ( 1) h!, los pesos modificados se covierte e coeficietes biomiales co sigo alterado, ( ) ωm = ( 1) m, m = 0,1,..., m Fialmete, la forma baricétrica para odos igualmete espaciados o depede del peso h y sus coeficietes so eteros, = y i si x = x i, P (x) = ) yk m=0( 1) m( m x x (1.3) m m=0( 1) m( ), si x = x i 1 m x x m EJERCICIOS 1.1 Cosidere los cuatro putos (0,1),(1,2),(3,0),(4,4). a) Calcule el poliomio iterpolate P 3 (x), e la forma de Lagrage. b) Verifique que efectivamete P 4 (x i ) = y i, es decir, P 3 (0) = 1,etc. c) Iterpolar f (3.5). 1.2 Cosidere los cuatro putos (0,1),(1,2),(3,0),(4,4). e la forma de modificada y la forma baricétrica de Lagrage. a) Calcule el poliomio iterpolate P 3 (x), e la forma de modificada. b) Calcule el poliomio iterpolate P 3 (x), e la forma de Baricétrica. c) Verifique que efectivamete P 3 (x i ) = y i, es decir, P(0) = 1,etc. d) Iterpolar f (3.5). 1.3 Cosideremos la siguiete tabla de datos, x f (x) Calcule la forma modificada y la forma baricétrica de Lagrage e iterpole f (0.35). Ayuda: Estas fórmulas permite reutilizar los cálculos!

15 12 FORMA DE LAGRANGE DEL POLINOMIO INTERPOLANTE. 1.4 Usado la forma de Lagrage del poliomio iterpolate verifique que si P(x) pasa por (x 0,y 0 ),(x 1,y 1 ) etoces P(x) = (y 0 y 1 ) (x 0 x 1 ) (x x 1) + y 1. Ayuda: E algú mometo de la simplificació debe sumar y restar y 1 x Cosidere la fució de Bessel J 0 (x) = 1 π π 0 cos(x se θ) dθ. Teemos la siguiete iformació, x π J 0 (x) a) Obteer la forma de Lagrage del poliomio iterpolate. b) Iterpolar J 0 (0.25) 1.6 Cosidere la siguiete tabla de salarios, Salarios ($) Frecuecia Estimar la catidad de persoas co salario etre $1000 y $ Iterpolar cos(1.75) usado la tabla x i cos(1 + 3x i ) / / Ayuda: La estimació que se obtiee co el poliomio iterpolate es Cosidere la siguiete tabla de vapor para H 2 O caletada a 200MPa. v (m 3 /kg) s (kj/kg K) a) Use iterpolació lieal para ecotrar la etropía s para u volume especifico v de 0.108m 3 /kg. b) Use iterpolació cuadrática para ecotrar la etropía s para u volume especifico v de 0.108m 3 /kg. 1.9 Usado la tabla del ejemplo (2), iterpolar f (0.25). Métodos Numéricos. Iterpolació Poliomial. Walter Mora F. Derechos Reservados 2011 Revista digital Matemática, Educació e Iteret (

16 2 FORMA DE NEWTON PARA EL POLINOMIO INTERPOLANTE. La represetació P(x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 )(x x 1 ) + + a (x x 0 ) (x x 1 ), para el poliomio iterpolate que pasa por los + 1 putos (x 0,y 0 ),...,(x,y ), es coocida como la represetació de Newto del poliomio iterpolate. 2.1 Diferecias Divididas de Newto. La maera más coocida para calcular la represetació de Newto del poliomio iterpolate, está basada e el método de diferecias divididas. Ua gra vetaja sobre la forma clásica del método de Lagrage es que podemos agregar más odos a la tabla de datos y obteer el poliomio iterpolate si teer que recalcular todo. Comparado co la forma modificada de Lagrage, o hay gaacia y más bie esta última forma es más estable. Aú así, el método de diferecias divididas tiee aplicacioes adicioales e otros cotextos. Podemos calcular los a i s usado el hecho de que P(x i ) = y i, P(x 0 ) = y 0 = a 0 = a 0 = y 0, P(x 1 ) = y 1 = a 0 + a 1 (x 1 x 0 ) = a 1 = y 1 y 0 x 1 x 0 P(x 2 ) = y 2 = a 0 + a 1 (x 2 x 0 ) + a 2 (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) = a 2 = y 2 a 0 a 1 (x 2 x 0 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) Si y k = f (x k ), la fórmula aterior os muestra que cada a k depede de x 0, x 1,..., x k. Desde muchos años atrás se usa la otació a k = f [x 0, x 1,...x k ] para sigificar esta depedecia. Al símbolo f [x 0, x 1,...x ] se le llama diferecia divida de f. Usado esta ueva otació tedríamos que la forma de Newto del poliomio iterpolate es P(x) = f [x 0 ] + f [x 0, x 1 ](x x 0 ) + f [x 0, x 1, x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) + + f [x 0,..., x ](x x 0 ) (x x 1 ), dode f [x 0 ] = y 0 y f [x 0,..., x i ] es el coeficiete pricipal de la forma de Newto del poliomio que iterpola la fució f e los odos x 0, x 1,..., x i. Métodos Numéricos. Iterpolació Poliomial. Walter Mora F. Derechos Reservados 2011 Revista digital Matemática, Educació e Iteret ( 13

17 14 FORMA DE NEWTON PARA EL POLINOMIO INTERPOLANTE. Ejemplo 14 (Iterpolació lieal). El poliomio iterpolate de grado 1 que pasa por (x 0,y 0 ),(x 1,y 1 ) es P 1 (x) = f [x 0 ] + f [x 0, x 1 ](x x 0 ) dode f [x 0, x 1 ] = (y 0 y 1 ) (x 0 x 1 ) y f [x 0] = y 0 Si cosideramos al coeficiete f [x 0, x 1,...x ] como ua fució de + 1 variables, etoces esta fució es simétrica, es decir, permutar las variables de cualquier maera o afecta el valor de la fució. Esto es así porque el poliomio que iterpola los putos {(x i,y i )} i=0,..., es úico, por lo tato si importar el orde e que vega los putos, el coeficiete pricipal siempre es a = f [x 0, x 1,...x ]. Qué es f [x k, x k+1,..., x k+j ]?. Es el coeficiete pricipal de la forma de Newto del poliomio que iterpola ua fució f e los odos x k, x k+1,..., x k+j. Por ejemplo, si teemos + 1 datos (x 0,y 0 ),(x 1,y 1 ),...,(x,y ), el poliomio que iterpola (x 3,y 3 ),(x 4,y 4 ) sería P 1 (x) = y 3 + f [x 3, x 4 ](x x 3 ). El ombre diferecia divida viee del hecho de que cada f [x k, x k+1,..., x k+j ] se puede expresar como u cociete de diferecias. Teorema 15 La diferecia dividida f [x k, x k+1,..., x k+j ] satisface la ecuació f [x k, x k+1,..., x k+j ] = f [x k+1, x k+2,...x k+j ] f [x k, x k+1,...x k+j 1 ] x k+j x k (2.1) Ejemplo 16 El teorema (15) idica que cada diferecia dividida se puede calcular e térmios de otras diferecias previamete calculadas. Los ejemplos que sigue so casos particulares para mostrar cómo se aplica el teorema. f [x i, x j ] = y i y j x i x j f [x 0, x 1, x 2 ] = f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1 ] x 2 x 0 f [x 1, x 2, x 3 ] = f [x 2, x 3 ] f [x 1, x 2 ] x 3 x 1

18 15 Cotiuació... f [x 0, x 1, x 2, x 3 ] = f [x 1, x 2, x 3 ] f [x 0, x 1, x 2 ] x 3 x 0 f [x 1, x 2, x 3, x 4 ] = f [x 2, x 3, x 4 ] f [x 1, x 2, x 3 ] x 4 x 1. f [x 0, x 1,..., x k ] = f [x 1, x 2,..., x k ] f [x 0, x 1,..., x k 1 ] x k x 0 Este esquema recursivo se puede arreglar e forma matricial como sigue, x 0 y 0 x 1 y 1 f [x 0, x 1 ] x 2 y 2 f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1, x 2 ] x 3 y 3 f [x 2, x 3 ] f [x 1, x 2, x 3 ] f [x 0, x 1, x 2, x 3 ]..... E geeral, para calcular f [x 0 ], f [x 0, x 1 ], f [x 0, x 1, x 2 ],, f [x 0,..., x ], debemos calcular ua matriz e la que las uevas columas se costruye co los datos de la columa aterior. f [x 0, x 1, x 2 ] = f [x 0, x 1 ] f [x 1, x 2 ] x 2 x 0 La misma matriz se puede usar para calcular la forma de Newto para subcojutos de datos: E el arreglo que sigue, la diagoal pricipal (e rojo) correspode a los coeficietes del poliomio que iterpola los datos (x 0,y ),...,(x,y ). La diagoal e azul correspode a los coeficietes del poliomio que iterpola los datos (x 1,y 1 ),...,(x,y ). y 0 y 1 f [x 0, x 1 ] y 2 f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1, x 2 ] y 3 f [x 2, x 3 ] f [x 1, x 2, x 3 ] y f [x 1, x ] f [x 2, x 1, x ] f [x 1,..., x ] f [x 0, x 1,..., x ] Por ejemplo, para calcular el poliomio que iterpola los datos (x 3,y 3 ),...,(x 6,y 6 ) se usa la (sub)matriz, y 3 y 4 f [x 3, x 4 ] y 5 f [x 4, x 5 ] f [x 3, x 4, x 5 ] y 6 f [x 5, x 6 ] f [x 1, x 2, x 3 ] f [x 3, x 4, x 5, x 6 ] La diagoal pricipal (e rojo) correspode a los coeficietes del poliomio que iterpola estos cuatro datos. ( Clic para ir al programa e Iteret: Liga 1 Liga 2)

19 16 FORMA DE NEWTON PARA EL POLINOMIO INTERPOLANTE. Ejemplo 17 Usado diferecias divididas, calcular el poliomio iterpolate para los datos ( 1, 2),(1, 1),(2, 2), (3, 2) y el poliomio iterpolate para los datos (1,1),(2,2),(3, 2). Solució: Primero costruimos la matriz de diferecias divididas usado todos los datos. E rojo está los coeficietes del poliomio que iterpola todos los datos y e azul los coeficietes del poliomio que iterpola los datos (1,1),(2,2),(3, 2). x 0 y 0 x 1 y 1 f [x 0, x 1 ] x 2 y 2 f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1, x 2 ] x 3 y 3 f [x 2, x 3 ] f [x 1, x 2, x 3 ] f [x 0, x 1, x 2, x 3 ] 2 1 1/ / /2 3/4 El poliomio iterpolate, e la forma de Newto, para todos los datos es P(x) = 2 1/2(x + 1) + 1/2(x + 1)(x 1) 3/4(x + 1)(x 1)(x 2) El poliomio iterpolate, e la forma de Newto, para los datos (1,1),(2,2),(3, 2) es P(x) = (x 1) + 5/2(x 1)(x 2) Ejemplo 18 De ua fució f, coocemos la iformació de la tabla (2.1). Iterpolar f (0.35) usado u poliomio iterpolate P 3 (x). Primero que todo, escriba la tabla de datos que va a usar. x f (x) Tabla 2.1 Solució: Como se requiere u poliomio iterpolate P 3 (x), se ecesita ua tabla de cuatro datos. Ua opció es x f (x) Si usamos la forma de Newto del poliomio iterpolate, etoces 3.2 P (x) = (x 0.2) + 0 (x 0.2)(x 0.3) (x 0.2)(x 0.3)(x 0.4) Por tato f (0.35) P 3 (0.35) =

20 Forma de Newto e el caso de odos igualmete espaciados. Si teemos odos igualmete espaciados co x k = x 0 + k h, k = 0,1,,...,, etoces la diferecia hacia adelate de orde 1 e y k es 1 y k = y k+1 y k. La diferecia hacia adelate de orde m se defie recursivamete como: m y k = ( m 1 y k ). Así, E particular 0 y k := y k, 1 y k = y k+1 y k, 2 y k = (y k+1 y k ) = y k+2 y k+1 y k+1 + y k = y k+2 2y k+1 + y k,... y k = j=0( 1) j( ) y j k+ j y 0 = j=0( 1) j( ) y j j. Recordemos que si s R, ( ) s 0 ( ) s 1 ( ) s 2 ( ) s 3 ( ) s 4 = 1, = s, = = = s(s 1), 2 s(s 1)(s 2), 6 s(s 1)(s 2)(s 3), La relació etre estas diferecias hacia adelate y los coeficietes de la forma de Newto del poliomio iterpolate (e el caso de odos igualmete espaciados) se expresa mediate la fórmula, k! h k f [x 0, x 1,..., x k ] = k y 0. De esta maera, la forma de Newto del poliomio iterpolate, para odos igualmete espaciados, es P (x) = y 0 + (x x 0 ) f (x 0) + (x x 0 )(x x 1!h 1 ) 2 f (x 0 ) 2!h (x x 0 )(x x 1 ) (x x 1 ) f (x 0 )!h. Se puede hacer ua simplificació más; si x = x 0 + s h etoces x x 0 h x x i h = s = x (x 0 + i h) h = s i

21 18 FORMA DE NEWTON PARA EL POLINOMIO INTERPOLANTE. De este modo, (x x 0 ) f (x 0) 1!h = (x x 0) 1 f (x 0 ) = h ( ) s 1 f (x 0 ), 1 (x x 0 )(x x 1 ) 2 f (x 0 ) 2!h 2 = (x x 0)(x x 1 ) 2!h 2 2 f (x 0 ) =... s(s 1) 2 f (x 0 ) = 2! (x x 0 )(x x 1 ) (x x 1 ) f (x 0 )!h = (x x 0)(x x 1 ) (x x 1)!h f (x 0 ) = = s(s 1)(s 2)... (s + 1) f (x 0 ) ( )! s f (x 0 ). Es decir, si los odos so igualmete espaciados (de paso h) y x = x 0 + s h, Ejemplo 19 P (x) = P (x 0 + s h) = Usado la tabla de datos, iterpolar f (0.35). k=0 ( ) s k y 0 = k x f (x) k=0 ( ) s k! h k f [x 0, x k 1,...x k ]. Solució: Los odos so igualmete espaciados co h = 0.1. La matriz de diferecias divididas es, ( ) s 2 f (x 0 ), 2 Como 0.35 = ,= s = 1.5, f (0.35) P 3 (0.35) = ( ) 1.5 0! (0.1) ( ) 1.5 1! (0.1) ( ) 1.5 3! (0.1) = (0.1) = EJERCICIOS 2.1 Sea P(x) = a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0, si se cooce que este poliomio pasa por ( 1,3),(0,0),(1,4),(2,0), (3,1),(4,0), determie los coeficietes a i del poliomio.

22 EJERCICIOS Cosidere los datos (x 0,1),(x 2,2),(x 3,3),(x 4,4),(x 5,5), dode x 0 = 0.1, x 1 = 0.2, x 3 = 0.3, x 4 = 0.4 y x 5 = 0.5. Calcule f [x 2, x 3, x 4 ]. 2.3 Verifique que f [x 0, x 1, x 2 ] = y 0 (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) + y 1 (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) + y 2 (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ). 2.4 Cosidere los 4 datos (0,1),(1,2),(3,0),(4,4). a) Determie la matriz de diferecias divididas y la forma de Newto del poliomio iterpolate P 3 (x). b) Verifique que efectivamete P 3 (x i ) = y i, es decir, P(0) = 1,etc. c) Iterpolar f (3.5). 2.5 Cosidere la siguiete tabla de datos para el itrógeo, T(K) B(cm 3 /mol) Tabla 2.2 Segudos Coeficietes viriales B(cm 3 /mol) para el itrógeo dode T es la temperatura y B es el segudo coeficiete virial. Iterpolar el segudo coeficiete virial a 450K. 2.6 Usar la forma de Newto del poliomio iterpolate para completar la siguiete tabla de datos para el agua, T(C) ρ(kg/m 3 ) ? Tabla 2.3 dode T es temperatura y ρ es la desidad. 2.7 Verifique que f [x i, x j ] = f [x j, x i ]. 2.8 Usado la forma de Newto del poliomio iterpolate, obtega el poliomio P 1 (x) que pasa por (x 6,y 6 ),(x 7,y 7 ). 2.9 Cosidere la fució de Bessel J 0 (x) = 1 π π 0 cos(x se θ) dθ. Teemos la siguiete iformació, x π J 0 (x) a) Obteer la forma de Newto del poliomio iterpolate. b) Iterpolar J 0 (0.25) 2.10 E la tabla que sigue aparece las estadísticas de u curso co la catidad de estudiates e cada rago de otas. Rago de Notas N o Estudiates a) Estime la catidad de estudiates co ota mayor o igual a 65. b) Estime la catidad de estudiates e el rago La siguiete tabla muestra los pesos ormales de bebés durate los primeros 12 meses de vida,

23 20 FORMA DE NEWTON PARA EL POLINOMIO INTERPOLANTE. Edad e meses Peso e libras Determie el peso de los bebés etre los 5 y 5.6 meses de vida Iterpolar cos(1.75) usado la tabla x i cos(1 + 3x i ) / / Ayuda: la estimació que se obtiee co el poliomio iterpolate es Cosidere la siguiete tabla de vapor para H 2 O caletada a 200MPa. v (m 3 /kg) s (kj/kg K) a) Use iterpolació lieal para ecotrar la etropía s para u volume especifico v de 0.108m 3 /kg. b) Use iterpolació cuadrática para ecotrar la etropía s para u volume especifico v de 0.108m 3 /kg E la siguiete tabla de diferecias divididas, complete los datos que falta. x i y i Forma de Lagrage vs Forma de Newto. Usualmete se reserva la forma de Lagrage del poliomio iterpolate para trabajo teórico y diferecias divididas de Newto para cálculos. La realidad es que la forma modificada de Lagrage es ta eficiete como diferecias divididas de Newto e cuato a costo computacioal y además es uméricamete mucho más estable. Hay varias vetajas que hace de esta forma modificada de Lagrage, el método a escoger cuado de iterpolació poliomial se trata ([9], [10]). Para mostrar la iestabilidad del poliomio iterpolate obteido co diferecias divididas versus el obteido co la forma modificada de Lagrage, cosideramos la fució de Ruge f (x) = 1/(1 + 25x 2 ) e [ 1,1]. Para u bue ajuste, usamos 52 odos de TChebyshev. E la figura (2.3,(a)) se muestra la gráfica de f juto co la gráfica del poliomio iterpolate obteido co diferecias divididas (PN(x)) y del poliomio iterpolates obteido co la forma modificada de Lagrage (PML(x)). Usado la aritmética usual de la máquia, se ota iestabilidad de PN(x) e las cercaías de x = 1. E la figura (2.3,(b)) se muestra el error relativo de la aproximació a f co cada poliomio e [ 1, 0.9]. EPN(x) correspode al error relativo etre f y la forma de Newto del poliomio iterpolate y EPML(x) correspode al error relativo etre f y la forma modificada de Lagrage. Métodos Numéricos. Iterpolació Poliomial. Walter Mora F. Derechos Reservados 2011 Revista digital Matemática, Educació e Iteret (

24 EJERCICIOS 21 PN(x) PML(x) (a) Iterpolació. Diferecias divididas vs forma modificada de Lagrage EPN(x) EPML(x) (b) Error relativo. Métodos Numéricos. Iterpolació Poliomial. Walter Mora F. Derechos Reservados 2011 Revista digital Matemática, Educació e Iteret (

25 3 ESTIMACIÓN DEL ERROR. 3.1 Itroducció La estimació del error, cuado iterpolamos co u poliomio iterpolate, es de iterés práctico e varias áreas, por ejemplo e el desarrollo de métodos de aproximació e ecuacioes difereciales ordiarias y e ecuacioes difereciales e derivadas parciales. Ua estimació del error se puede obteer si coocemos algua iformació acerca de la fució f y sus derivadas. Sea f C +1 [a,b] y P (x) el poliomio de iterpolació de f e (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ),...,(x,y ), co x i [a,b]. Etoces, usado poliomios de Taylor podemos establecer la siguiete fórmula para el error f (x) P (x) = f (+1) (ξ(x)) ( + 1)! (x x 0 )(x x 1 ) (x x ) dode a < ξ(x) < b y x [a,b]. Aquí, la expresió ξ(x) sigifica que ξ o es ua costate fija, sio que varía segú el valor que tome x. Para efectos prácticos, a y b so el míimo y el máximo del cojuto {x 0, x 1,..., x }. Si M es el el máximo absoluto de la fució f (+1) e [a,b], es decir, f (+1) (x) M para todo x [a,b], etoces podemos obteer ua estimació del error f (x) P (x) co la desigualdad, f (x) P (x) M ( + 1)! (x x 0 )(x x 1 ) (x x ) ; x [a,b]. (3.1) Observe que u poliomio iterpolate de grado alto o garatiza ua mejora e el error: Si usamos más putos (posiblemete más cercaos etre ellos) se puede esperar que el producto i (x x i ) se haga más pequeño co, pero todavía debería pasar que la derivada de orde + 1 o crezca más rápido que ( + 1)! y esto parece o ser la regla 4. Si los odos so igualmete espaciados, y supoiedo que teemos y M fijos, la estimació del error depede de la fució l(x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x ). La forma geeral de esta fució se muestra e la figura que sigue, 4 Georg Faber (1912) demostró que para cada juego de odos, existe u fució cotiua para la cual los poliomios iterpolates o coverge uiformemete a f y tambié, para cada fució cotiua existe u juego de odos dode los poliomios iterpolates si coverge de maera uiforme. Aú e este último caso, los odos o siempre fáciles de obteer.

26 Figura 3.1 l(x) = (x x 0 ) (x x 7 ) co 7 odos igualmete espaciados. Esto sugiere que e el caso de odos igualmete espaciados (excepto = 1), el error es más pequeño si x está hacia el cetro y empeora e los extremos. La desigualdad (3.1) sería suficiete para estimar el error al iterpolar e u valor x, pero os iteresa tambié ua estimació que os sirva para todo x [x 0, x ]. 3.2 Error e iterpolació lieal. Si teemos dos putos (x 0,y 0 ),(x 1,y 1 ) co x 0 < x 1, el error es f (x) P 1 (x) = (x x 0)(x x 1 ) f (ξ(x)). Cuál es 2 el error máximo si x está etre x 0 y x 1 y si f permaece acotada e [x 0, x 1 ]?. Si f (x) M 2 e [x 0, x 1 ], etoces f (x) P 1 (x) M 2 2! (x x 0 )(x x 1 ). El error máximo depede del máximo valor de la fució (x x 0 )(x x 1 ) 2 e el itervalo [x 0, x 1 ]. Como l(x) = (x x 0)(x x 1 ) es ua parábola cócava hacia 2 arriba (figura 3.2), es egativa si x [x 0, x 1 ], por lo tato el máximo e valor absoluto lo alcaza e x = x 0 + x 1, y es 2 (x 1 x 0 ) 2. 8 Si se usa iterpolació lieal, el error geeral esta acotado por (x f (x) P 1 (x) M 1 x 0 ) 2 2. Figura 3.2 l(x) = (x x 0 )(x x 1 ) y l(x) 8 Métodos Numéricos. Iterpolació Poliomial. Walter Mora F. Derechos Reservados 2011 Revista digital Matemática, Educació e Iteret ( 23

27 24 ESTIMACIÓN DEL ERROR. Ejemplo 20 Si tabulamos la fució se x para x 0 = 0, x 1 = 0.002, x 2 = 0.004,... etoces el error geeral al iterpolar liealmete es se x P 1 (x) 1 (0.002) 2 8 = , pues se x 1 x (Aquí supoemos que el poliomio se evalúa de maera exacta). Esto os dice que la fució se x es apropiada para iterpolació. lieal. Si deseamos más precisió e u caso particular, podemos usar la fórmula (3.1). Si por ejemplo x = 0.003, etoces se(0.003) P 1 (0.003) se(0.004) ( )( ) pues el máximo absoluto de 2 se x e el itervalo [0.002, 0.004] es se(0.004). 3.3 Error e iterpolació cuadrática Si iterpolamos co tres putos ( = 2) igualmete espaciados x 0, x 1 = x + h y x 2 = x 0 + 2h; etoces si x [x 0, x 2 ] y si f (x) M 3 e [a,b], la estimació geeral del error es, f (x) P 2 (x) M 3 3! (x x 0)(x x 1 )(x x 2 ) M 3 6 (x x 0)(x x 0 h)(x x 0 2h) Para obteer el máximo absoluto de la fució l(x) = (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) calculamos sus putos críticos: l (x) = 3x 2 + x( 6h 6x 0 ) + 6hx 0 + 3x h2, los ceros de esta cuadrática so r 1 = 1 3 (3h + 3h + 3x 0 ) y r 2 = 1 3 (3h 3h + 3x 0 ). Como l(x) se aula e x 0 y x 2, el máximo absoluto de l(x) es máx{ l(r 1 ), l(r 2 ) } = 2h El error geeral al iterpolar co tres putos igualmete espaciados es f (x) P 2 (x) M 3h 3 Ejemplo , x [x 0, x 2 ]. Si tabulamos la fució se x para x 0 = 0, x 1 = 0.01, x 2 = 0.02,... etoces el error geeral al iterpolar co u poliomio de grado dos es pues se x 1 x. se x P 2 (x) 1 (0.01) ,

28 Error e iterpolació cúbica Si teemos cuatro putos igualmete espaciados (x 0,y 0 ),(x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ),(x 3,y 3 ) co x 0 < x 1 < x 2 < x 3, ua estimació del error es f (x) P 3 (x) M 4 4! (x x 0)(x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ), co f (4) (x) M 4 e [x 0, x 3 ]. De uevo, dados y M 4 fijos, la estimació del error geeral depede del máximo absoluto del poliomio l(x) = (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ). Como x i = x 0 + i h,i = 1,2,3; l(x) = (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) = (x x 0 )(x x 0 h)(x x 0 2h)(x x 0 3h) l (x) = 2(2x 3h 2x 0 )(x 2 + x( 3h 2x 0 ) + h 2 + 3hx 0 + x 2 0 ) Los putos críticos so r 1 = 0.5(3h + 2x 0 ), r 2 = 0.5(3h 5h + 2x 0 ) y r 3 = 0.5(3h + 5h + 2x 0 ). Como l(x) se aula { 9h 4 } e x 0 y x 3, etoces el máximo absoluto de l(x) es máx{ l(r 1 ), l(r 2 ), l(r 3 ) } = 16, h4 = h 4. Fialmete, el error geeral al iterpolar co cuatro putos igualmete espaciados es f (x) P 3 (x) M 4h 4 24, x [x 0, x 3 ]. Si solo iterpolamos valores x [x 1, x 2 ], el máximo absoluto de l(x) e este itervalo se alcaza e el puto medio x = (x 1 + x 3 )/2 = 0.5(3h + 2x 0 ) y es 9h4. E este caso la estimació del error geeral es 16 f (x) P 3 (x) 3M 4h 4 128, x [x 1, x 2 ]. Figura 3.3 l(x) = (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 )(x x 3 )

29 26 ESTIMACIÓN DEL ERROR. Ejemplo 22 Si tabulamos la fució se x para x 0 = 0, x 1 = 0.05, x 2 = 0.10, x 3 = 0.15,... etoces el error al iterpolar co P 3 etre x 1 y x 2 es se x P 3 (x) (0.05) , pues se x 1 x (Aquí supoemos que el poliomio se evalúa de maera exacta). 3.5 Error co iterpolació co poliomios de grado. Si iterpolamos sobre putos igualmete espaciados x i = x 0 + i h, i = 0,1,...,; y si h es pequeño etoces f (+1) (ξ(x)) e geeral o se espera que varíe gra cosa. El comportamieto del error es etoces pricipalmete determiado por l(x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x ) Figura 3.4 l(x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x ) co = 7. Pero las oscilacioes de l(x) se hace más violetas si crece,, Figura 3.5 l(x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x ) co = 41. Si embargo, la sucesió de poliomios iterpolates {P (x)} podría coverger a f (si importar si los odos so o o igualmete espaciados); esto depede del comportamieto de la derivada k ésima de f : La sucesió {P (x)}

30 27 coverge a f uiformete e [a, b] (que cotiee a los odos) si (b a) k lim M k k! k = 0 y esto sucede si f es aalítica e ua regió suficietemete grade, e el plao complejo, que cotega a [a, b] ([1, pág 84]). 3.6 Iterpolació Iterada de Neville Si o teemos iformació acerca de las derivadas de ua fució o podemos usar la fórmula para el cálculo del error. Etoces, cuál es el grado del poliomio de iterpolació más adecuado para iterpolar u valor?. Para respoder esta preguta podemos usar el algoritmo de Neville, este método iterpola u valor particular co poliomios de grado cada vez más alto (iiciado e grado cero) hasta que los valores sucesivos está suficietemete cercaos. Luego por ispecció podemos decidiros por u valor e particular. Usemos la siguiete otació: P 0,1 es el poliomio iterpolate que pasa por (x 0,y 0 ),(x 1,y 1 ); P 0,1,2 es el poliomio iterpolate que pasa por (x 0,y 0 ),(x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ); P 1,2,3,4 es el poliomio iterpolate que pasa por (x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ), (x 3,y 3 ),(x 4,y 4 ); etc. Como o teemos iformació acerca de las derivadas de f, el criterio para estimar el error es empírica e implícita: Nos quedamos co la estimació que presete meos variació. Cosideremos la siguiete tabla de datos, x f (x) Para iterpolar e x = 1.35 teemos varias opcioes y combiacioes, co tres odos, co cuatro odos, etc. Usado uestra otació, alguos resultados so P 0,1,2 (1.35) = ; P 123 (1.35) = ; P 0123 (1.35) = ; P 1234 (1.35) = ; P (1.35) = La meor variació la ecotramos co P 0123 (1.35) = ; P 1234 (1.35) = y P (1.35) = y de estos tres, los más cercaos so P 0123 (1.35) = y P (1.35) = E este caso parece lo mejor quedaros co la aproximació P (1.35) = ya que toma e cueta toda la tabla. El problema e el aális aterior es la gra catidad de poliomios que se debe evaluar, el algoritmo de Neville precisamete automatiza esta tarea usado cálculos ateriores para obteer el uevo cálculo. El algoritmo de Neville o calcula P(x) sio que evalúa varios poliomios iterpolates de Lagrage e u valor dado. Sea Q i,j el poliomio iterpolate que pasa por (x i j,y i j )... (x i,y i ), es decir, Q i,j = P i j,i j+1,i j+2,...,i 1,i es el poliomio iterpolate (e la forma de Lagrage) que pasa por los odos (x i j,y i j ),(x i j+1,y i j+1 ),...,(x i,y i ), 0 j i. Por ejemplo, Q 0,0 = P 0 pasa por (x 0,y 0 ), es decir, P 0 (x 0 ) = y 0. Q 4,0 = P 4 pasa por (x 4,y 4 ), es decir, P 4 (x 4 ) = y 4. Q 5,2 = P 3,2,1 pasa por (x 3,y 3 ),(x 4,y 4 ),(x 5,y 5 ) Q 4,4 = P 0,1,2,3,4 pasa por (x 0,y 0 ),(x 1,y 1 ),...,(x 4,y 4 )

31 28 ESTIMACIÓN DEL ERROR. Co esta defiició de Q i,j se tiee la siguiete relació recursiva, Q i,j (x) = (x x i j)q i,j 1 (x) (x x i )Q i 1,j 1 (x) x i x j 1 (3.2) Aplicado esta relació para i = 1, 2,.., ; j = 1, 2,..., i se logra calcular varios poliomios iterpolates de Lagrage e u valor x, como se muestra e la siguiete tabla (para el caso de 5 odos) x 0 Q 0,0 = y 0 x 1 Q 1,0 = y 1 Q 1,1 = P 0,1 x 2 Q 2,0 = y 2 Q 2,1 = P 1,2 Q 2,2 = P 0,1,2 x 3 Q 3,0 = y 3 Q 3,1 = P 2,3 Q 3,2 = P 1,2,3 Q 3,3 = P 0,1,2,3 x 4 Q 4,0 = y 4 Q 4,1 = P 3,4 Q 4,2 = P 2,3,4 Q 4,3 = P 1,2,3,4 Q 4,4 = P 0,1,2,3,4 ( Clic para ir al programa e Iteret: Liga 1 Liga 2) Ejemplo 23 La distribució gamma se defie como x/β F(x; β,α) = 0 u α 1 e u du Γ(α) Supogamos que teemos la siguiete tabla de datos, obteida co β = 1 y α = 2. x F(x;1,2) x 0 = x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = Si queremos estimar F e 0.25 debemos usar poliomios que al meos pase por x 2 y x 3. Por ejemplo P 0,1,2,3, P 1,2,3,4, etc. Aplicado el algoritmo de Neville e x = 0.25, obteemos la tabla (redodeado a 7 cifras decimales), x 0 P x 1 P 1 P 0, x 2 P 2 P 1,2 P 0,1, x 3 P 3 P 2,3 P 1,2,3 P 0,1,2, x 4 P 4 P 3,4 P 2,3,4 P 1,2,3,4 P 0,1,2,3, La meor variació la teemos etre P 1,2,3,4 y P 0,1,2,3,4 (0.25). Como F(0.25;1,2) = , la mejor aproximació e realidad es P 1,2,3,4, pero e la práctica, por suspuesto, tomamos decisioes si esta iformació.

32 Algoritmo El algoritmo es muy parecido al método de diferecias divididas de Newto, escribimos la primera columa de la matriz Q (las y i s) y luego completamos la matriz co la relació recursiva (3.2) Algoritmo 3.1: Algoritmo de Neville Datos: Valor a iterpolar x y los odos (x 0,y 0 ),(x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ),...,(x,y ) Salida: Matriz Q for i = 0,..., do Q i,0 = y i for i = 1,..., do for j = 1,...,i do Q i,j (x) = (x x i j)q i,j 1 (x) (x x i )Q i 1,j 1 (x) x i x j 1 6 retur Matriz Q 3.7 Otros casos. Si la fució f y sus derivadas so coocidas, se puede hacer ua estimació del error co el máximo absoluto. Ejemplo 24 Sea f (x) = 1 2 e(x 1)/2. Usado la fórmula de error, estime el error que se cometería al iterpolar f (1) co el poliomio iterpolate obteido de la tabla x f (x) Solució: So cuatro datos (o igualmete espaciados), + 1 = 4. Luego, la fórmula para estimar el error es f (1) P 3 (1) = f (4) (ξ) 4! (1 0.7)(1 0.8)(1 1.1)(1 1.2) M (1 0.7)(1 0.8)(1 1.1)(1 1.2) 4! dode M es el máximo absoluto de f (4) (x) = 1 32 e x 1 2, e [0.7, 1.2] Cálculo de M Putos críticos: La ecuació f (5) (x) = 1 64 e x 1 2 = 0 o tiee solució, así que o hay putos críticos. Comparació: M = máx{ f (4) (0.7), f (4) (1.2) } = Fialmete, la estimació del error es f (1) P 3 (1) M (1 0.7)(1 0.8)(1 1.1)(1 1.2) 4! =

33 30 ESTIMACIÓN DEL ERROR. EJERCICIOS 3.1 Sea f (x) = x 2 l x x 2. Supogamos que P(x) es el poliomio iterpolate de f obteido co los datos (1, 1),(2, 1.2),(3, 0.88). Estime el error cometido al aproximar f (2.71) co P(2.71). 3.2 Sea f (x) = l(4x 2 + 2) Usado la fórmula de error, estime el error que se cometería al iterpolar f (1.22) co el poliomio iterpolate obteido de la tabla 3.3 Cosidere la tabla de datos x f (x) x e e Estime el error cometido al aproximar e 0.6 co el poliomio de iterpolació correspodiete, e el itervalo [0,1]. e x 3.4 Sea f (x) = cos(3x + 1). Supogamos que P(x) es el poliomio iterpolate de f obteido co los datos (0., 0.54), (0.5, 0.80), (1., 0.65). Estime el error cometido al estimar f (0.71) co P(0.71). 3.5 Cosidere la tabla de datos x i cos(1 + 3x i ) / / Estime el error cometido al iterpolar cos(1.75) co el poliomio de iterpolació obteido co la tabla aterior, e el itervalo [0,1/3]. Ayuda: Observe que e este caso, x = 1.75! 3.6 Sea f (x) = 1 2 (cos x + se x). Cosidere el cojuto de putos {(x i, f (x i ))} i=0,1,2,3 co x i = i π/2. Estime el error geeral cometido al aproximar f (3π/4) co P 3 (3π/4). 3.7 Sea f (x) = x6 3 cos(2 x). Cosidere el cojuto de putos {(x 84 8 i, f (x i ))} i=0,1,2,3 co x i = i 0.2. Estime el error geeral cometido al aproximar f (0.65) co P 3 (0.65). 3.8 Complete la fila 6 e la tabla x 0 Q 0,0 = P 0 x 1 Q 1,0 = P 1 Q 1,1 = P 0,1 x 2 Q 2,0 = P 2 Q 2,1 = P 1,2 Q 2,2 = P 0,1,2 x 3 Q 3,0 = P 3 Q 3,1 = P 2,3 Q 3,2 = P 1,2,3 Q 3,3 = P 0,1,2,3 x 4 Q 4,0 = P 4 Q 4,1 = P 3,4 Q 4,2 = P 2,3,4 Q 4,3 = P 1,2,3,4 Q 4,4 = P 0,1,2,3,4 x 5 Q 5,0 = P

34 EJERCICIOS Aproximar F(0.25; 1, 2) (fució gamma, ver ejemplo 23) usado iterpolació lieal, cuadrática y cúbica Use el algoritmo de Neville para aproximar F(0.25; 1, 2) usado uestro criterio empírico para obteer ua mejor aproximació Supogamos que x 0, x 1,..., x so odos distitos de u itervalo fiito [a,b]. Sea P (x) el poliomio iterpolate obteido co los datos {(x i, f (x i )} i=0,1,...,. Si f (+1) (x) M para x e [a,b], muestre que si x [a,b], f (x ) P (x ) M (b a)+1 ( + 1)! Métodos Numéricos. Iterpolació Poliomial. Walter Mora F. Derechos Reservados 2011 Revista digital Matemática, Educació e Iteret (

35 4 TRAZADORES CÚBICOS (CUBIC SPLINES). U trazador (splie) es ua bada de hule delgada y flexible que se usa para dibujar curvas suaves a través de u cojuto de putos. Los trazadores cúbicos (cubic splies) aturales se utiliza para crear ua fució que iterpola u cojuto de putos de datos. Esta fució cosiste e ua uió de poliomios cúbicos, uo para cada itervalo, y está costruido para ser ua fució co derivada primera y seguda cotiuas. El splie cúbico atural tambié tiee su seguda derivada igual a cero e la coordeada x del primer puto y el último puto de la tabla de datos. Supogamos que teemos + 1 putos (x 0,y 0 ),...,(x,y ) co x 0 < x 1 <... < x. E vez de iterpolar f co u solo poliomio que pase por todos estos putos, iterpolamos la fució f e cada subitervalo [x k, x k+1 ] co u poliomio cúbico (e realidad de grado 3) S k (x) de tal maera que el poliomio cúbico (o trazador cúbico) S i (x) e [x i, x i+1 ] y el trazador cúbico S i+1 (x) e [x i+1, x i+2 ], coicida e x i+1 y que tambié sus derivadas primera y seguda coicida e este puto. Cada trazador cúbico coicide co f e los extremos de cada itervalo. Ua aplicació directa de los trazadores cúbicos es la de suavizar curvas. Tato e MSExcel como e Calc de OpeOffice o LibreOffice, e las gráficas de dispersió, los pares ordeados (x i,y i ) se puede uir co segmetos, co trazadores cúbicos o co el poliomio iterpolate (tambié hay otras opcioes, segú el modelo o tedecia que se esté aplicado). E la gráfica de la figura (4) se muestra u cojuto de datos uidos por segmetos, uidos por trazadores cúbicos y uidos por el poliomio iterpolate.

36 (a) Gráfico de líeas (b) Gráfico ajustado co trazadores cúbicos (c) Gráfico ajustado co trazadores y ajustado co el poliomio iterpolate Defiició 25 (Trazador Cúbico). U trazador cúbico S es ua fució a trozos que iterpola a f e los + 1 putos (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),..., (x,y ) (co a = x 0 < x 1 <... < x = b). S es defiida de la siguiete maera, S(x) = S 0 (x) si x [x 0, x 1 ], S 1 (x) si x [x 1, x 2 ],.. S 1 (x) si x [x 1, x ], Dode, 1. S i (x) = a i + b i (x x i ) + c i (x x i ) 2 + d i (x x i ) 3 para i = 0,1, S(x i ) = y i, i = 0,1,...,. Para efectos prácticos, S j (x j ) = y j, j = 0,1,..., 1 y S 1 (x 1 ) = y 1 y S 1 (x ) = y. El siguiete item asegura que S j (x j+1 ) = y j S i (x i+1 ) = S i+1 (x i+1 ) para i = 0,1,..., 2 4. S i (x i+1) = S i+1 (x i+1) para i = 0,1,..., 2 5. S i (x i+1) = S i+1 (x i+1) para i = 0,1,..., 2 6. Se satisface ua de las dos codicioes que sigue, (a) S (x 0 ) = S (x ) = 0 (frotera libre o atural) (b) S (x 0 ) = f (x 0 ) y S (x ) = f (x ) (frotera sujeta) Alguas curvas preseta picos así que se costruye u trazador para cada curva etre cada dos picos. El tratamieto de picos requiere usualmete u trazador co frotera sujeta. El proceso de costrucció del trazador cúbico cosiste e determiar cada poliomio cúbico S j (x), es decir, buscar sus coeficietes a i, b i, c i y d i. La defiició os da las codicioes que se debe cumplir. De estas codicioes podemos obteer u sistema de ecuacioes 4 4, dode las icógitas so todos los coeficietes a i, b i, c i y d i, i = 0,1,..., 1. Lo que obteemos es u trazador cúbico úico. Métodos Numéricos. Iterpolació Poliomial. Walter Mora F. Derechos Reservados 2011 Revista digital Matemática, Educació e Iteret ( 33

37 34 TRAZADORES CÚBICOS (CUBIC SPLINES). Ejemplo 26 Determiar el trazador cúbico (frotera libre) para la siguiete tabla, x i y i = cos(3xi 2)l(x3 i + 1) x 0 = 0 0 x 1 = x 2 = Solució: El trazador es, { S0 (x) = a S(x) = 0 + b 0 (x x 0 ) + c 0 (x x 0 ) 2 + d 0 (x x 0 ) 3 si x [x 0, x 1 ], S 1 (x) = a 1 + b 1 (x x 1 ) + c 1 (x x 1 ) 2 + d 1 (x x 1 ) 3 si x [x 1, x 2 ]. Hay que determiar los coeficietes de S 0 y S 1 resolviedo el sistema 8 8, S 0 (x 0 ) = y 0 S 1 (x 1 ) = y 1 S 1 (x 2 ) = y 2 S 0 (x 1 ) = S 1 (x 1 ) S 0 (x 1) = S 1 (x 1) S 0 (x 1) = S 1 (x 1) S 0 (x 0) = 0 S 1 (x 2) = 0 La solució de este sistema es a 0 = 0 a 1 = a b c d 1 = a b c d 0 = a 1 b c d 0 = b 1 2c d 0 = 2c 1 2c 0 = 0 2c d 1 = 0 a 0 = 0, b 0 = , c 0 = 0, d 0 = , a 1 = , b 1 = , c 1 = , y d 1 = Es decir, { S0 (x) = x x S(x) = 3 si x [0, 0.75] S 1 (x) = (x 0.75) (x 0.75) (x 0.75) 3 si x [0.75, 1.5]. La represetació gráfica para de S y f es f(x) S(x) E las figuras (4.1) se muestra el trazador correspodiete a los odos x 0 = 0, x 1 = 0.5, x 2 = 1, x 3 = 1.5 y x 0 = 0, x 1 = 0.375, x 2 = 0.75, x 3 = 1.125, x 4 = 1.5. f(x) S(x) Figura 4.1 Trazador S y f co 3 y 4 putos

38 35 Ejemplo 27 Determiar el trazador cúbico (frotera libre) para la siguiete tabla, x i y i = xi 4 x 0 = xi 3 x 1 = 1 5 x 2 = 0 0 x 0 = 2 3 x 1 = 1 16 Observe que la fució x 4 4x 3 tiee u puto de iflexió e x = 0. Solució: El trazador es, S 0 (x) = (x + 2) (x + 2) + 48 si x [ 2, 1], S S(x) = 1 (x) = (x + 1) (x + 1) (x + 1) + 5 si x [ 1,0]. S 2 (x) = x x 2 + 2x si x [0,1], S 3 (x) = (x 1) (x 1) (x 1) 3 si x [1,22] Algoritmo para obteer el trazador cúbico (frotera atural). El proceso geeral sería como sigue. Sea h i = x i+1 x i, De acuerdo al item (1.) de la defiició (25), S i (x i ) = y i = a i = y i. Haciedo alguas maipulacioes algebraicas e el sistema, se obtiee La codició de frotera atural hace que c 0 = c = 0. d i = c i+1 c i b 3h i = y i+1 y i h i i h i 3 (2c i + c i+1 ). (4.1) Ahora todo depede del cálculo de los c i s. Éstos se calcula resolviedo el sistema ( + 1) ( + 1) h 0 2(h 0 + h 1 ) h 1 0 c 0 0 h 1 2(h 1 + h 2 ) h 2 0 c 1 3( f [x 2, x 1 ] f [x 1, x 0 ]) 3( f [x 3, x 2 ] f [x 2, x 1 ]) = 0 h 3 2(h 3 + h 2 ) h 2 c 1. 3( f [x c, x 1 ] f [x 1, x 2 ]) Como ates, f [x i, x j ] = (y i y j )/(x i x j )..

39 36 TRAZADORES CÚBICOS (CUBIC SPLINES). Ejemplo 28 Determiar el trazador cúbico (frotera atural) para la siguiete tabla, Solució: El trazador es, S(x) = x i y i = cos(3xi 2)l(x3 i + 1) x 0 = 0 0 x 1 = x 2 = x 3 = S 0 (x) = a 0 + b 0 (x x 0 ) + c 0 (x x 0 ) 2 + d 0 (x x 0 ) 3 si x [x 0, x 1 ], S 1 (x) = a 1 + b 1 (x x 1 ) + c 1 (x x 1 ) 2 + d 1 (x x 1 ) 3 si x [x 1, x 2 ]. S 2 (x) = a 2 + b 2 (x x 1 ) + c 2 (x x 1 ) 2 + d 2 (x x 1 ) 3 si x [x 2, x 3 ]. Hay que determiar los coeficietes de S 0, S 1 y S 2. Iiciamos calculado los c i s. Resolvemos el sistema 4 4. Recordemos que h i = x i+1 x i, h 0 2(h 0 + h 1 ) h h 1 2(h 1 + h 2 ) h c 0 c 1 c 2 c 3 = 0 ) y2 y 3( 1 x 2 x 1 y 1 y 0 x 1 x 0 ) y3 y 3( 2 x 3 x 2 y 2 y 1 x 2 x c 0 c 1 c 2 c 3 = Obteemos c 0 = 0, c 1 = , c 2 = y, por coveio, el comodí c 3 = 0. Ahora podemos obteer el resto de coeficietes: a i = y i, los b i s y los d i s usado la ecuació (4.1). b 0 = , b 1 = , b 2 = d 0 = , d 1 = , d 2 = Fialmete, el trazador cúbico es S 0 (x) = x x x si x [0,0.5], S 1 (x) = (x 0.5) (x 0.5) (x 0.5) si x [0.5,1], S 2 (x) = (x 1) (x 1) (x 1.) si x [1,1.5]. ( Clic para ir al programa e Iteret: Liga 1 Liga 2) EJERCICIOS 4.1 Calcule el trazador cúbico (atural) para el cojuto de datos (0,0),(1,1),(2,8). 4.2 Cosidere la tabla de datos,

40 EJERCICIOS 37 T(K) B(cm 3 /mol) Tabla 4.1 Segudos Coeficietes viriales B(cm 3 /mol) para el itrógeo dode T es la temperatura y B es el segudo coeficiete virial. a) Calcule el trazador cúbico (atural) para el cojuto de datos de la tabla. b) Cuál es el segudo coeficiete virial (iterpolado) a 450K? c) Hacer la represetació gráfica del trazador cúbico y del poliomio iterpolate P 5 (x). 4.3 Cosidere la siguiete tabla de datos para el agua, T(C) ρ(kg/m 3 ) Tabla 4.2 dode T es temperatura y ρ es la desidad. Hacer la represetació gráfica del trazador cúbico y del poliomio iterpolate P 4 (x). Métodos Numéricos. Iterpolació Poliomial. Walter Mora F. Derechos Reservados 2011 Revista digital Matemática, Educació e Iteret (

41 5 ALGORITMOS E IMPLEMENTACIÓN CON OOOBASIC Y CALC. 5.1 Forma de Lagrage del poliomio iterpolate E esta primera implemetació calculamos P (x ), es decir, o calculamos el poliomio iterpolate; más bie calculamos este poliomio evaluado e u úmero x. Obteer el poliomio es secillo. Al fial de esta subsecció se idica cómo hacerlo. Recordemos que la forma de Lagrage del poliomio iterpolate es P (x) = y 0 L,0 (x) + y 1 L,1 (x) y L, (x) Para calcular de maera eficiete 5 los úmeros L,k (x ), separamos el producto e dos factores L,k (x ) = (x x 0 ) (x k x 0 ) (x x 1 ) (x k x 1 ) (x x k 1 ) (x k x k 1 ) (x x k+1 ) (x k x k+1 ) (x x ) (x k x ) El primer factor y el segudo factor se calcula co el ciclo 1 For k = 0 To 2 L(k) = 1 3 Next k 4 For j = 1 To +1 5 For k = 0 To j-1 6 L(k)=(x*-X(j))/(X(k)-X(j))*L(k) 7 Next k 8 For k = 0 To j-1 9 L(j)=(x*-X(k))/(X(j)-X(k))*L(j) 10 Next k 11 Next j E el ciclo pricipal, el segudo For produce el segudo factor de cada uo de los L k s, 5 Para datos, el algoritmo que presetamos requiere 2 operacioes para calcular los L k. El algoritmo directo For j = 0 To -1 For k=0 to -1 If k<>j The Lk=... require 2 2 operacioes para hacer lo mismo.

42 j = 1 L(0) = (x x 1 )/((x 0 x 1 )) j = 2 L(0) = (x x 1 )(x x 2 )/((x 0 x 1 )(x 0 x 2 )) L(1) = (x x 2 )/((x 1 x 2 )) j = 3 L(0) = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 )/((x 0 x 1 )(x 0 x 2 )(x 0 x 3 )) L(1) = (x x 2 )(x x 3 )/((x 1 x 2 )(x 1 x 3 )) L(2) = (x x 3 )/((x 2 x 3 )) j = 4 L(0) = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 )(x x 4 )/((x 0 x 1 )(x 0 x 2 )(x 0 x 3 )(x 0 x 4 )) L(1) = (x x 2 )(x x 3 )(x x 4 )/((x 1 x 2 )(x 1 x 3 )(x 1 x 4 )) L(2) = (x x 3 )(x x 4 )/((x 2 x 3 )(x 2 x 4 )) L(3) = (x x 4 )/((x 3 x 4 ))... Tabla y el tercer For produce el primer factor de cada uo de los L k s (excepto e el caso de L(0)). Algoritmo 5.1: Forma de Lagrage del poliomio iterpolate Datos: + 1 datos {(x i,y i )} i=0,1,..., co los x i s distitos; y x Salida: Poliomio iterpolate evaluado e x, i.e. P (x ) suma= 0; for k = 0 to do L(k)= 1; for j = 1 to do for k = 0 to j 1 do L(k)=(x x j )/(x k x j )*L(k) for k = 0 to j 1 do L(j)=(x x k )/(x j x k )*L(j) for k = 0 to do suma= suma + Y(k)*L(k) retur suma Implemetació e OOo Basic y Calc. Implemetamos ua fució Lagrage(X,Y,x ) que recibe los vectores X = (x 0, x 1,..., x ), Y = (y 0,y 1,...,y ), y el valor a iterpolar x. Esta fució devuelve P (x ). La fució Lagrage la llamamos desde la subrutia Mai. E esta subrutia usamos ua variable rago para la selecció de datos que hace el usuario. E OOoCalc los ragos iicia e 0, por lo que si seleccioamos + 1 datos, = rago.rows.getcout()-1. El vector X y el vector Y los iicializamos co 1 For i=0 To 2 X(i)=rago.getCellByPositio(0, i).value 3 Y(i)=rago.getCellByPositio(1, i).value 4 Next i Métodos Numéricos. Iterpolació Poliomial. Walter Mora F. Derechos Reservados 2011 Revista digital Matemática, Educació e Iteret ( 39

43 40 ALGORITMOS E IMPLEMENTACIÓN CON OOOBASIC Y CALC. Ua vez hecho esto, ya podemos llamar la fució Lagrage(X(),Y(),x ). E esta fució, como el último subídice de X es, poemos = UBoud(X). 1 Fuctio Lagrage(X(), Y(), xx) 2 Dim suma,j, k, 3 Dim L() 4 = UBoud(X) 5 ReDim L(0 to ) 6 7 For k = 0 To 8 L(k) = 1 9 Next k 10 For j = 1 To 11 For k = 0 To j-1 12 L(k)=(xx-X(j))/(X(k)-X(j))*L(k) 13 Next k 14 For k = 0 { To} j-1 15 L(j)=(xx-X(k))/(X(j)-X(k))*L(j) 16 Next k 17 Next j 18 For k = 0 { To} 19 suma= suma+y(k)*l(k) 20 Next k 21 Lagrage= suma 22 Ed Fuctio Par usar esta fució, vamos a usar el cuadero de la figura (5.1). El usuario debe seleccioar ua subtabla y hacer clic e el botó. Como ya idicamos, e OOoBasic este eveto lo maejamos así: la selecció se recibe e ua variable rage. Luego pasamos la iformació de este rago a los vectores X() e Y(). Luego llamamos a la fució Lagrage(X,Y,x ). Observe que o es ecesario pasar los valores del rago a los vectores X e Y, solo lo hacemos porque de esta maera la implemetació va a la par de la teoría. La lectura del rago y la lectura del valor x la hacemos desde la subrutia Mai. Ua vez leídos estos datos, se llama a la la fució Lagrage. El botó tedrá asociada esta subrutia. Figura 5.1 Cuadero para la implemetació de la forma de Lagrage del poliomio iterpolate.

44 41 1 Optio Explicit 2 Sub Mai 3 Dim xx o podemos poer x* 4 Dim rago 5 Dim X(), Y() 6 Dim,i 7 8 xx = ThisCompoet.Sheets(0).getCellRageByName("C6").Value 9 Rago seleccioado por el usuario 10 rago = ThisCompoet.getCurretSelectio() 11 = rago.rows.getcout()-1 +1=úmero de datos If <1 The 14 MsgBox "Por favor, seleccioe los datos." 15 Exit Sub 16 Ed If X() y Y() 19 ReDim X(0 To ) 20 ReDim Y(0 To ) 21 For i=0 To 22 X(i)=rago.getCellByPositio(0, i).value 23 Y(i)=rago.getCellByPositio(1, i).value 24 Next i 25 Imprimimos e la celda "D6" 26 ThisCompoet.Sheets(0).getCellRageByName("D6").Value=Lagrage(X,Y,xx) 27 Ed Sub Cómo imprimir el poliomio?. Para imprimir el poliomio solo habría que hacer ua pequeña modificació. La fució polylagrage(x,y) devuelve u cadea de texto ( Strig ). Usamos la fució Str() para covertir los úmeros a cadea de texto y la cocateació del texto se hace co el operador +. Fuctio polylagrage(x(), Y()) Dim suma,j, k, Dim D, N, P Variables para el texto Dim L() = UBoud(X) ReDim L(0 to,1 to 2) For k = 0 To L(k,1) ="" L(k,2) ="" Next k For j = 1 To For k = 0 To j-1 L(k,1)=L(k,1)+"(x-"+Str(X(j))+")" L(k,2)=L(k,2)+"("+Str(X(k))+"-"+Str(X(j))+")" Next k

45 42 ALGORITMOS E IMPLEMENTACIÓN CON OOOBASIC Y CALC. For k = 0 To j-1 L(j,1)="(x-"+Str(X(k))+")"+L(j,1) L(j,2)="("+Str(X(j))+"-"+Str(X(k))+")"+L(j,2) Next k Next j For k = 0 To P=P+"+"+Str(Y(k))+"*"+L(k,1)+"/("+L(k,2)+")" Next k Depuració -- = +,+- = - P=ReplaceStrig(P," + ","- -",) P=ReplaceStrig(P," - ","+ -") PolyLagrage = "P\_(x)= " + P Ed Fuctio E el caso de la tabla de la figura (5.1), la corrida etrega el poliomio P_(x)= -0.19*(x - 0)(x - 0.1)/((-0.1-0)( )) +0.29*(x + 0.1)(x-0.1)/(( )(0-0.1)) -0.38*(x + 0.1)(x-0)/(( )(0.1-0)) Observe que usamos la fució ReplaceStrig. E caso de que o esté dispoible, puede agregar el código 1 Fuctio ReplaceStrig(ByVal Strig, NewReplace, OldReplace as Strig) as Strig 2 ReplaceStrig=joi(split(Strig,OldReplace),NewReplace) 3 Ed Fuctio Implemetació e MATHEMATICA. E MATHEMATICA podemos escribir el código de maera más directa. El código se puede escribir usado la paleta "Basic Iput". El módulo Lagrage calcula el poliomio iterpolate, Para hacer ua corrida co la misma selecció de la figura (5.1), ejecutamos el código XY = {-0.1, -0.19}, {0, 0.29}, {0.1, -0.38}}; P[x] = Lagrage[XY], P[0.35]

46 EJERCICIOS 43 La salida es {-9.5 ( x) x ( x) (0.1+ x) -19. x (0.1+ x), }. EJERCICIOS 5.1 Vamos a usar la tabla (I.1, pág 3.) para iterpolar f (0.25) y comparar co el valor correcto f (0.25) = a) Iterpolar f (0.25) co tres datos b) Iterpolar f (0.25) co cuatro datos c) Iterpolar f (0.25) co toda la tabla 5.2 E este ejercicio vamos a hacer la represetació gráfica de ua fució f coocida y su poliomio iterpolate P 3 (x). a) Calcule la forma de Lagrage del poliomio iterpolate P 3 (x), usado la tabla de datos que está a la derecha. Hacer la represetació gráfica de ambas fucioes e [0,2] b) Repita el ejercicio aterior ampliado la tabla a 15 datos Cosidere la fució de Ruge, f (x) = x 2. a) Cosidere el cojuto de datos x y = cos(3x 2 )l(x 3 + 1) x i = 1 + i 2, y i = f (x i ), i = 0,1,..., [ 1,1]. Hacer la represetació gráfica de los poliomios iterpolates para = 5, 10, 20. Represete estos poliomios cojutamete co f. ( ) 2i + 1 b) (Nodos de TChebyshev). Usado los datos {(x i, f (x i ))} i=0,1,..., [ 1,1] co x i = cos π, calcule los poliomios iterpolates para = 3, 8, 20 y represete estos poliomios cojutamete co f. 5.2 Forma modificada y forma baricétrica de Lagrage. La implemetació se cetra e el cálculo de los ω k. Ua vez calculados estos úmeros, armar cada poliomio iterpolate es algo directo. Recordemos que dode ω k = P (x) = l(x) k=0 ω k x x k y k 1 (x k x 1 )(x k x 2 )...(x k x k 1 )(x k x k+1 )...(x k x ). E el algoritmo, para calcular cada ω k, separamos el deomiador e dos factores (x k x 1 )(x k x 2 )...(x k x k 1 )(x k x k+1 )...(x k x ). El primer factor y el segudo factor e el deomiador de cada uo de los ω k s se calcula co el ciclo Métodos Numéricos. Iterpolació Poliomial. Walter Mora F. Derechos Reservados 2011 Revista digital Matemática, Educació e Iteret (

47 44 ALGORITMOS E IMPLEMENTACIÓN CON OOOBASIC Y CALC. w k = 1, para cada k = 0,..., For j = 1 To For k = 0 To j 1 w k = (x k x j )w k For k = 0 To j 1 w j = (x j x k )w j E este ciclo, el primer For aidado produce el segudo factor e el deomiador de cada uo de los ω k s, w 0 = (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) (x 0 x ), w 1 = (x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) (x 1 x ), w 2 = (x 2 x 3 )(x 2 x 4 ) (x 2 x ), y el segudo For aidado completa el producto, w 1 = (x 1 x 0 )(x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) (x 1 x ), w 2 = (x 2 x 0 )(x 2 x 1 )(x 2 x 3 )(x 2 x 4 ) (x 2 x ), etc. Fialmete, ω k = 1/w k. Si usamos odos de TChebyshev, el cálculo es directo:ω k = ( 1) k se obtiee del siguiete cálculo: (2k + 1)π. Este último resultado se ω 1 k l(x) = lim x xk (x x k ) = lim x xk l(x) l(k) (x x k ), pues l(x k) = 0; = l (x k ) Algoritmo 5.2: Cálculo de los Pesos Baricétricos Datos: + 1 odos distitos {x i } i=0,1,...,. Salida: Pesos baricétricos ω k, k = 0,1,..., if {x i } i=0,..., so odos de TChebyshev the w k = ( 1) k (2k + 1)π se 2 + 2, k = 0,..., else for k = 0 to do w k = 1 for j = 1 to do for k = 0 to j 1 do w k = (x k x j )w k for k = 0 to j 1 do w j = (x j x k )w j for k = 0 to do w k = 1/w k 13 retur w 0, w 1,...,w

48 EJERCICIOS 45 Implemetació e OOo Basic y Calc. Aquí solo implemetamos la fució ModificadaLagrage(X,Y,x ). Esta subrutia recibe los vectores X = (x 0, x 1,..., x ), Y = (y 0,y 1,...,y ), y el valor a iterpolar x. Esta fució devuelve P (x ). El código de esta fució sería, 1 Fuctio ModificadaLagrage(X(),Y(), xval) 2 Dim suma,j, k,,l 3 Dim W() 4 = UBoud(X) 5 ReDim W(0 to ) 6 For k = 0 To 7 W(k) = 1 8 Next k 9 For j = 1 To 10 For k = 0 To j-1 11 W(k)=(X(k)-X(j))*W(k) 12 Next k 13 For k = 0 To j-1 14 W(j)=(X(j)-X(k))*W(j) 15 Next k 16 Next j For k = 0 To 19 W(k)=1/W(k) 20 Next k L=1 23 For k = 0 To 24 L=(xval-X(k))*L 25 Next k For k = 0 To 28 suma = suma+y(k)*w(k)/(xval-x(k)) 29 Next k 30 ModificadaLagrage = L*suma 31 Ed Fuctio EJERCICIOS 5.4 Agregar la forma modificada de Lagrage al cuadero que cotiee la fució Lagrage. 5.5 Implemetar la forma baricétrica de Lagrage e el caso geeral y el caso de odos igualmete espaciados. 5.3 Forma de Newto del poliomio iterpolate. Métodos Numéricos. Iterpolació Poliomial. Walter Mora F. Derechos Reservados 2011 Revista digital Matemática, Educació e Iteret (

49 46 ALGORITMOS E IMPLEMENTACIÓN CON OOOBASIC Y CALC. La forma de Newto del poliomio iterpolate es P(x) = f [x 0 ] + f [x 0, x 1 ](x x 0 ) + f [x 0, x 1, x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) + + f [x 0,..., x ](x x 0 ) (x x 1 ), dode los coeficietes está e la diagoal de la matriz de diferecias divididas, y 0 = f [x 0 ] y 1 f [x 0, x 1 ] y 2 f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1, x 2 ] y 3 f [x 2, x 3 ] f [x 1, x 2, x 3 ] y f [x 1, x ] f [x 2, x 1, x ] f [x 0, x 1,..., x ] Para la implemetació de la fórmula de diferecias divididas de Newto es coveiete reescribir el poliomio como P(x) = C 0,0 + C 1,1 (x x 0 ) + C 2,2 (x x 0 )(x x 1 ) + + C, (x x 0 ) (x x 1 ), y la matriz de diferecias divididas como Para el cálculo de los C i,i s usamos la fórmula recursiva: y 0 = C 0,0 y 1 C 1,1 y 2 C 2,1 C 2,2 y 3 C 3,1 C 3, y C,1 C,2 C, C i,0 = y i, i = 0,2,..., C i, j = C i, j 1 C i 1, j 1 x i x i j, j = 1,2,..., i = j,2,..., (5.1) Algoritmo 5.3: Diferecias Divididas de Newto Datos: {(x i,y i )} i=0,1,..., co los x i s distitos. Salida: Coeficietes del poliomio iterpolate:c 0,0, C 1,1,...,C, for i = 1 to do C i,0 = y i ; for j = 1 to do for i = j to do C i, j = C C i, j 1 i 1, j 1 x i x i j retur C 0,0, C 1,1,...,C,

50 EJERCICIOS 47 Para evaluar el poliomio iterpolate e x se requiere los coeficietes C j,j y los odos x 0,...x Algoritmo 5.4: Evaluar la forma de Newto del poliomio iterpolate Datos: Nodos x 0, x 1,..., x), coeficietes C 0,C 1,...,C y x Salida: P (x ) suma= C 0 ; factor= 1; for j = 1 to do factor=factor (x x j 1 ); suma=suma+c j factor; retur suma Implemetació e OOo Basic y Calc. Como e la implemetació de la forma de Lagrage, aquí tambié teemos los datos e dos vectores X e Y. La fució DDNewto(X,Y) devuelve u vector co la diagoal de la matriz de diferecias divididas: C 0,C 1,...,C. Para evaluar la forma de Newto implemetamos la fució EvalDDNewto(C(),X(),x*) usado el algoritmo (5.4). Tambié se icluye la fució PolyDDNewto(C(),X()) que devuelve el poliomio P (x) y la subrutia MatrizDDNewto(X(), Y(),columa, fila) para imprimir la matriz de diferecias divididas desde la celda (columa,fila). Para ejecutar estas macros, usamos como referecia el cuadero de la figura (5.2). Figura 5.2 Cuadero para la implemetació de la forma de Newto del poliomio iterpolate. El botó ejecuta la subrutia Mai.

51 48 ALGORITMOS E IMPLEMENTACIÓN CON OOOBASIC Y CALC. 1 Optio Explicit 2 Sub Mai 3 Dim xx,i,hoja 4 Dim rago 5 Dim X(), Y(),C() 6 Hoja= ThisCompoet.Sheets(0) 7 xx = Hoja.getCellRageByName("C6").Value 8 9 Rago seleccioado por el usuario 10 rago = ThisCompoet.getCurretSelectio() 11 = rago.rows.getcout()-1 +1=úmero de datos If <1 The 14 MsgBox "Por favor, seleccioe los datos." 15 Exit Sub 16 Ed If 17 ReDim X(0 To ) 18 ReDim Y(0 To ) 19 ReDim C(0 To ) For i=0 To 22 X(i)=rago.getCellByPositio(0, i).value 23 Y(i)=rago.getCellByPositio(1, i).value 24 Next i 25 C= DDNewto(X, Y) 26 imprimir P(x*) 27 Hoja.getCellRageByName("D6").Value= EvalDDNewto(C,X, xx) 28 imprimir P(x) 29 Hoja.getCellRageByName("D8").setStrig(PolyDDNewto(C,X)) 30 imprimir la matriz 31 Call MatrizDDNewto(X, Y,3,9) 32 Ed Sub Las fucioes DDNewto usa dos vectores C1 y C2. E C1 se almacea la columa actual y e C2 la ueva columa.cada elemeto de la diagoal C2(j) se almacea e el vector Cij. Para recalcular C2 se actualiza C1. E vez de poer C1=C2 se usa u For para hacer la copia compoete a compoete (e las uevas versioes de OpeOffice y Libre- Office esto puede haber cambiado y se podría poer directamete C1=C2 de maera segura). Fuctio DDNewto(X(), Y()) As Variat Dim i, j,,k Dim C1() As double, C2() As double, Cij() as double = UBoud(X) ReDim C1(0 to ) ReDim C2(0 to ) ReDim Cij(0 to ) cotiua e la pág siguiete

52 EJERCICIOS 49 For i = 0 To C1(i) = Y(i) Next i Cij(0)=Y(0) For j = 1 To For i = j To Calcula la columa j C2(i) = (C1(i) - C1(i - 1)) / (X(i) - X(i - j)) Next i Cij(j)=C2(j) Actualiza C1 For k = 0 To C1(k) = C2(k) Next k Next j DDNewto = Cij() Ed Fuctio 1 Fuctio EvalDDNewto(Cij(),X(), xx) As Double 2 Dim j,, suma, factor 3 suma=cij(0) 4 factor=1 5 = UBoud(Cij) 6 For j = 1 To 7 factor=factor*(xx-x(j-1)) 8 suma = suma+cij(j)*factor 9 Next j 10 EvalDDNewto=suma 11 Ed Fuctio 1 Fuctio PolyDDNewto(Cij(),X()) As Strig 2 Dim j, 3 Dim P, factor 4 P= Str(Cij(0)) 5 factor="" 6 = UBoud(Cij) 7 For j = 1 To 8 factor=factor+"(x -"+Str(X(j-1))+")" 9 P = P+"+"+Str(Cij(j))+"*"+factor 10 Next j 11 Depuració -- = +,+- = - 12 P=ReplaceStrig(P," + "," - -",) 13 P=ReplaceStrig(P," - ","+ -") 14 PolyDDNewto="P\_(x)= " + P 15 Ed Fuctio

53 50 ALGORITMOS E IMPLEMENTACIÓN CON OOOBASIC Y CALC. Si o esta dispoible la subrutia ReplaceStrig, se agrega 1 Fuctio ReplaceStrig(ByVal Strig, NewStr, OldStr as Strig) as Strig 2 ReplaceStrig=joi(split(Strig,OldStr),NewStr) 3 Ed Fuctio Para imprimir la matriz de diferecias divididas se modifica la fució DDNewto. 1 Sub MatrizDDNewto(X(), Y(),columa, fila) 2 Dim i, j,, k, Hoja 3 Dim C1(), C2(), Cij() 4 Hoja= ThisCompoet.Sheets(0) 5 = UBoud(X) 6 ReDim C1(0 to ) 7 ReDim C2(0 to ) 8 ReDim Cij(0 to ) 9 For i = 0 To 10 C1(i) = Y(i) Imprime primera columa 11 Hoja.getCellByPositio(columa, fila+i).value=c1(i) 12 Next i 13 Cij(0)=Y(0) 14 For j = 1 To 15 For i = j To Imprime la columa j 16 C2(i) = (C1(i) - C1(i - 1)) / (X(i) - X(i - j)) 17 Hoja.getCellByPositio(columa+j, fila+i).value=c2(i) 18 Next i 19 Cij(j)=C2(j) 20 For k = 0 To 21 C1(k) = C2(k) 22 Next k 23 Next j 24 Ed Sub EJERCICIOS 5.6 Vamos a usar la tabla (I.1, pág 3) para iterpolar f (0.25) y comparar co el valor correcto f (0.25) = a) Iterpolar f (0.25) co tres datos b) Iterpolar f (0.25) co cuatro datos c) Iterpolar f (0.25) co toda la tabla 5.7 E este ejercicio vamos a hacer la represetació gráfica de ua fució f coocida y su poliomio iterpolate P 3 (x).

54 EJERCICIOS 51 a) Calcule la forma de Newto del poliomio iterpolate P 3 (x), usa-do la tabla de datos que está a la derecha. Hacer la represetació gráfica de ambas fucioes e [0, 2] b) Repita el ejercicio aterior ampliado la tabla a 15 datos Cosidere la fució de Ruge, f (x) = x 2. a) Cosidere el cojuto de datos x y = cos(3x 2 )l(x 3 + 1) x i = 1 + i 2, y i = f (x i ), i = 0,1,..., [ 1,1]. Hacer la represetació gráfica de los poliomios iterpolates para = 5, 10, 20. Represete estos poliomios cojutamete co f. ( ) 2i + 1 b) (Nodos de Chebyshev). Usado los datos {(x i, f (x i ))} i=0,1,..., [ 1,1] co x i = cos π, calcule los poliomios iterpolates para = 3, 8, 20 y represete estos poliomios cojutamete co f. 5.4 Trazadores cúbicos Recordemos que u trazador cúbico S es ua fució a trozos que iterpola a f e los + 1 putos (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),..., (x,y ) (co a = x 0 < x 1 <... < x = b). S es defiida de la siguiete maera, S(x) = S 0 (x) si x [x 0, x 1 ], S 1 (x) si x [x 1, x 2 ],.. S 1 (x) si x [x 1, x ], Dode, S i (x) = a i + b i (x x i ) + c i (x x i ) 2 + d i (x x i ) 3 para i = 0,1, Para el cálculo de los coeficietes a i, b i,c i y d i usamos el algoritmo Métodos Numéricos. Iterpolació Poliomial. Walter Mora F. Derechos Reservados 2011 Revista digital Matemática, Educació e Iteret (

55 52 ALGORITMOS E IMPLEMENTACIÓN CON OOOBASIC Y CALC Algoritmo 5.5: Trazador cúbico co frotera atural Datos: (x 0,y 0 ),(x 1,y 1 ),...(x,y ) co x 0 < x 1 < < x. Salida: Coeficietes a j,b j,c j,d j, para cada j = 0,1, for j = 0,1,... 1 do h j = x j+1 x j ; a j = y j ; a = y ; for j = 1,... 1 do α j = 3 (a h j+1 a j ) 3 (a j h j a j 1 ). j 1 l 0 = 1, µ 0 = 0, z 0 = 0; l = 1, z = 0, c = 0; for i = 1,2,..., 1 do l i = 2(x i+1 x i 1 )µ i 1 ; µ i = h i /l i ; z i = (α i h i 1 z i 1 )/l i ; for j = 1, 2,...,0 do c j = z j µ j c j+1 ; b j = (a j+1 a j )/h j h j (c j+1 + 2c j )/3; d j = (c j+1 c j )/(3h j ); retur a j,b j,c j,d j, j = 0,1, Implemetació e OOo Basic y Calc. La fució TrazadorCubico(X(), Y()) recibe los datos e dos vectores X,Y y devuelve ua matriz co los coeficietes de las poliomios S i (x). E esta implemetació usamos la fució CeldaCF de la biblioteca BblMatematica. Para ejecutar estas macros, usamos como referecia el cuadero de la figura (5.3). Figura 5.3 Cuadero para la implemetació de el trazador cúbico. El botó ejecuta la subrutia Mai.