Definición de límite de una función. Unicidad del límite. Límite por sucesiones

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1 Capítulo 4 Cotiuidad 4.1. Límites de fucioes reales de ua variable real Defiició de ite de ua fució. Uicidad del ite. Límite por sucesioes Defiició Dado a R, u cojuto V R es u etoro de a si cotiee u itervalo (a ε,a + ε) para algú ε > 0. Si V es u etoro de a, se dice que el cojuto V \ {a} es u etoro reducido de a. Ejemplos. a) Si b < a < c, los itervalos (b,c), [b,c), (b,c] y [b,c] so etoros de a. Tambié lo so los itervalos (b,+ ), [b,+ ), (,c) y (,c]. b) Todo cojuto que cotega u etoro de u puto es a su vez etoro de ese puto. Defiició Sea A R, a R; a es u puto de acumulació de A si todo etoro reducido de a cotiee putos de A; equivaletemete, si para cada ε > 0 existe algú y A tal que y a, y a < ε, o sea, tal que 0 < y a < ε. El cojuto de putos de acumulació de u cojuto A suele deomiarse cojuto derivado de A y represetarse por A. Iformalmete, a A si y solo si hay putos de A, distitos de a, arbitrariamete próximos al puto a. Ejemplos. a) Si A es fiito, A = /0. b) N = Z = /0, Q = R. c) (a,b) = [a,b] = [a,b]. d) Si A = {1/ : N}, 0 A (auque 0 / A) y 1 / A (auque 1 A). Observació. Se puede probar que a A si y solo si existe ua sucesió (x ) de putos de A distitos de a que coverge al puto a. Defiició (ite de ua fució e u puto). Sea A R, f : A R, a A, b R. Se escribe f (x) = b cuado se cumple lo siguiete: para cada ε > 0 existe algú δ > 0 tal que para todo x A co 0 < x a < δ se tiee f (x) b < ε. Se dice etoces que b es ite de f (x) cuado x tiede al puto a. 63

2 64 Capítulo 4. Cotiuidad 2ε b 2ε b f (a) f (a) a 2δ 0 < x a < δ f (x) b < ε a 2δ 0 < x a < δ = f (x) b < ε La codició de que f (x) b < ε para todo x A co 0 < x a < δ se puede escribir de esta otra forma: f (U) (b ε,b + ε), U = [A (a δ,a + δ)] \ {a}. Podemos parafrasear esta defiició diciedo que f (x) se acerca a b cuado x se acerca al puto a detro del domiio de f, o que b puede ser aproximado tato como se quiera por valores de f e putos de su domiio suficietemete próximos al puto a, pero distitos de a. Ejemplo. Si f : R R está dada por f (x) = { 0 si x 0; 1 si x = 0, etoces x 0 f (x) = 0 (si que importe que f (0) = 1). Proposició (uicidad del ite). Sea A R, f : A R, a A, b 1, b 2 R. Si etoces b 1 = b 2. f (x) = b 1 y f (x) = b 2 Demostració. Supogamos, por ejemplo, que b 1 < b 2. Elijamos ε = b 2 b 1. Debe existir u δ 1 > 0 2 tal que para todo x A co 0 < x a < δ 1 es f (x) < b 1 + ε = b 1 + b 2 2 x A co 0 < x a < δ 2 es b 1 + b 2 2 todo x A co 0 < x a < δ es b 1 + b 2 2 y u δ 2 > 0 tal que para todo = b 2 ε < f (x). Defiiedo δ = mí{δ 1,δ 2 }, resulta que para < f (x) < b 1 + b 2. Esto es ua cotradicció. 2 El resultado aterior tambié se puede obteer como ua cosecuecia de la proposició siguiete y de la uicidad del ite para sucesioes. Proposició (ite a través de sucesioes). Sea A R, f : A R, a A, b R. Las siguietes propiedades so equivaletes: a) f (x) = b.

3 4.1. Límites de fucioes reales de ua variable real 65 b) para cada sucesió (s ) de putos de A \ {a} tal que s = a se verifica f (s ) = b. Demostració. a)= b) Supogamos que f (x) = b. Para cualquier ε > 0 se puede ecotrar δ > 0 de modo que para todo x A co 0 < x a < δ se cumple f (x) b < ε. Sea (s ) ua sucesió de putos de A\{a} tal que s = a. Dado δ > 0, existirá u N N tal que para todo > N se verifica s a < δ, y como s a, se deduce que f (s ) b < ε; e otras palabras, f (s ) = b. b)= a) Vamos a probar que si a) o se cumple, etoces b) tampoco. Que o se cumpla a) sigifica que existe algú ε > 0 tal que para todo δ > 0 hay al meos u x δ A que cumple 0 < x δ a < δ y si embargo f (x δ ) b ε. Para cada N, elijamos δ = 1. Hay algú puto s A que cumple 0 < s a < 1 y si embargo f (s ) b ε. La sucesió (s ) así obteida tiee las siguietes propiedades: está coteida e A \ {a}, porque s A, pero 0 < s a ; s = a, porque 0 < s a < 1 sadwich, proposició ). (basta aplicar la defiició de ite, o bie la regla del pero la sucesió f (s ) o tiede a b, porque para todos los N, f (s ) b ε. Por lo tato, o se cumple b) Límites ifiitos y ites e el ifiito Defiició U cojuto V R es u etoro reducido de + o si exsite u r R tal que (r,+ ) V (respectivamete, (,r) V ). Defiició Se dice que + es u puto de acumulació de u cojuto A R si A o está acotado superiormete, e cuyo caso se escribe + A. Se dcie que es u puto de acumulació de u cojuto A R si A o está acotado iferiormete, y e ese caso se escribe A. Defiició (ites ifiitos y ites e el ifiito). Sea A R, f : A R, a, b R {± }, a A. Se escribe f (x) = b si para cada etoro V de b existe u etoro reducido U de a tal que f (U) V. Puede darse defiicioes e térmios de desigualdades, desglosado los diferetes casos posibles. Cocretamete, sea A R, f : A R, a,b R. a) f (x) = + si para cada M R existe algú δ > 0 tal que todos los x A co 0 < x a < δ cumple f (x) > M. b) f (x) = si para cada M R existe algú δ > 0 tal que todos los x A co 0 < x a < δ cumple f (x) < M. c) f (x) = b si para cada ε > 0 existe algú K R tal que todos los x A co x > K cumple x + f (x) b < ε. d) x + f (x) = + si para cada M R existe algú K R tal que todos los x A co x > K cumple f (x) > M.

4 66 Capítulo 4. Cotiuidad e) f (x) = si para cada M R existe algú K R tal que todos los x A co x > K x + cumple f (x) < M. f) f (x) = b si para cada ε > 0 existe algú K R tal que todos los x A co x < K cumple x f (x) b < ε. g) f (x) = + si para cada M R existe algú K R tal que todos los x A co x < K x cumple f (x) > M. h) f (x) = si para cada M R existe algú K R tal que todos los x A co x < K x cumple f (x) < M. Co esta ampliació, sigue habiedo uicidad de ite. Igualmete se matiee la caracterizació mediate sucesioes: Proposició Sea A R, f : A R, a,b R {± }, a A. Las siguietes propiedades so equivaletes: a) f (x) = b. b) para cada sucesió (s ) de putos de A \ {a} tal que s = a se verifica f (s ) = b. Demostració. Basta adaptar a cada caso la demostració de la proposició Cálculo de ites Proposició (operacioes algebraicas co ites). Sea A R, a R {± } u puto de acumulació de A, c R y f,g : A R. Se tiee: a) ( f (x) + g(x)) = f (x) + g(x), si estos últimos ites existe y su suma está defiida e R {± }. b) c f (x) = c f (x), si este último ite existe y su producto por c está defiido e R {± }. c) f (x)g(x) = f (x) g(x), si estos últimos existe y su producto está defiido e R {± }. f (x) f (x) d) g(x) =, si estos últimos ites existe y su cociete está defiido e R {± }. g(x) Demostració. Basta aplicar la proposició y el resultado aálogo para sucesioes. Proposició (acotació y ite cero). Sea A R, a R {± } u puto de acumulació de A, y f,g : A R. Supogamos que: a) la fució f está acotada, es decir, existe M > 0 tal que f (x) M para todo x A. b) g(x) = 0; Etoces f (x)g(x) = 0.

5 4.1. Límites de fucioes reales de ua variable real 67 Demostració. Basta aplicar la proposició y el resultado aálogo para sucesioes. Proposició (cambios de variable). Sea A, B subcojutos de R, a u puto de acumulació de A, b u puto de acumulació de B, f : A R y g : B R tales que f (A) B y supogamos que f (x) = b, g(y) = c y b Si b f (A), etoces existe g( f (x)) = c. Demostració. Sea ε > 0. Como g(y) = c, existe algú r > 0 tal que para todo y B co 0 < y b y b < r, se tiee g(y) c < ε. Ahora, como f (x) = b, existe algú δ > 0 tal que para todo x A co 0 < x a < δ, se tiee f (x) b < r. Sea x A co 0 < x a < δ. No solo es f (x) b < r, sio que como b f (A) y f (A) B, resulta Por lo tato, g( f (x)) c < ε. 0 < f (x) b < r, f (x) B La hipótesis adicioal b f (A) es suficiete, auque o ecesaria para que se verifique la tesis. Bastaría tambié, por ejemplo, que f fuese iyectiva; o que b B y c = g(b). Si añadir algua codició como estas, o puede garatizarse la validez del resultado fial: cosidérese, por ejemplo, el caso de las fucioes defiidas e R por Etoces g( f (x)) = 1 para todo x, y así f (x) = 0, g(y) = { 0 si y 0 1 si y = 0. f (x) = 0, x 0 g(y) = 0, y 0 g( f (x)) = 1. x 0 A veces es útil e el cálculo de ites teer e cueta las siguietes cosecuecias imediatas de la defiició de ite: Proposició Si A R, a puto de acumulació de A y f : A R, a) f (x) = b R f (x) b = 0. b) f (x) = b R = f (x) = b. El recíproco solo es cierto, e geeral, cuado b = 0. c) f (x) = b (a R) t 0 f (a +t) = b.

6 68 Capítulo 4. Cotiuidad Límites laterales Si e las defiicioes de ites añadimos ua de las dos codicioes x > a, x < a, etoces se habla de ites laterales (por la derecha y por la izquierda, respectivamete). Se emplea la otació f (x), f (x). + Defiició (ites laterales: por la derecha y por la izquierda). Sea A R, f : A R, a R u puto de acumulació de A y b R. a) Se dice que f (x) = b si para cada ε > 0 existe algú δ > 0 tal que todos los x A co + 0 < x a < δ cumple f (x) b < ε. b) Se dice que f (x) = + si para cada M R existe algú δ > 0 tal que todos los x A co + 0 < x a < δ cumple f (x) > M. c) Se dice que f (x) = si para cada M R existe algú δ > 0 tal que todos los x A co + 0 < x a < δ cumple f (x) < M. d) Se dice que f (x) = b si para cada ε > 0 existe algú δ > 0 tal que todos los x A co 0 < a x < δ cumple f (x) b < ε. e) Se dice que f (x) = + si para cada M R existe algú δ > 0 tal que todos los x A co 0 < a x < δ cumple f (x) > M. f) Se dice que f (x) = si para cada M R existe algú δ > 0 tal que todos los x A co 0 < a x < δ cumple f (x) < M. E térmios de etoros reducidos, la defiició aterior se puede escribir de maera más breve. Para los ites laterales se puede probar el resultado aálogo a la proposició Tambié, y como cosecuecia imediata de las defiicioes, teemos: Proposició Sea A R, f : A R y a R de modo que (a δ,a+δ) A para algú δ > 0. Sea b R {± }. Etoces, f (x) = b f (x) = f (x) = b. + Las proposicioes siguietes demuestra que las fucioes moótoas tiee ites laterales e todos los putos. Proposició Sea A R, f : A R moótoa o decreciete, a R {± }. a) si a [A (,a)], etoces f tiee ite por la izquierda e a (fiito o ifiito) y es f (x) = sup{ f (x) : x A (,a)} (etediedo que si el cojuto o está acotado superiormete, su supremo es + ). b) si a [A (a,+ )] etoces f tiee ite por la derecha e a (fiito o ifiito) y es f (x) = íf{ f (x) : x A (a,+ )} + (etediedo que si el cojuto o está acotado iferiormete, su ífimo es ).

7 4.1. Límites de fucioes reales de ua variable real 69 Demostració. Solo demostramos el apartado a) y e el caso de que a R y el cojuto { f (x) : x A (,a)} esté acotado. Los demás casos so similares. Sea L = sup{ f (x) : x A (,a)} R. Sea ε > 0. Etoces, L ε o es ua cota superior del cojuto { f (x) : x A (,a)}, así que existe algú r A (,a) tal que L ε < f (r). Si ahora elegimos δ = a r, todos los x A tales que 0 < a x < δ cumple r = a δ < x, luego L ε < f (r) f (x) L < L + ε, es decir: f (x) L < ε. La variate para fucioes moótoas o crecietes, que euciamos a cotiuació, se demuestra de igual maera. Proposició Sea A R, f : A R moótoa o creciete, a R {± }. a) si a [A (,a)], etoces f tiee ite por la izquierda e a y es f (x) = íf{ f (x) : x A (,a)} (etediedo que si el cojuto o está acotado iferiormete, su ífimo es ). b) si a [A (a,+ )] etoces f tiee ite por la derecha e a y es f (x) = sup{ f (x) : x A (a,+ )} + (etediedo que si el cojuto o está acotado superiormete, su supremo es + ) Límites de fucioes elemetales Si f (x) represeta ua cualquiera de las fucioes e x, logx, sex, cosx, tgx, arcsex, arccosx, arctgx, x r, etoces f (x) = f (a) para cualquier puto a del domiio de la fució. Otros ites so los siguietes: x ex = 0 logx = x 0 + tgx = + x (π/2) arctgx = π x 2 x 0 xr = 0 + x 0 xr = + + x + ex = + logx = + x + tgx = x (π/2) + arctgx = π x + 2 x + xr = + (si r > 0) x + xr = 0 (si r < 0) Si f (x) = a r x r + a r 1 x r a 0 es u poliomio (co r N y a r 0), etoces f (x) = + (si a r > 0), x + f (x) = (si a r < 0). x +

8 70 Capítulo 4. Cotiuidad Tambié se tiee el siguiete orde de ifiitud, dode a > 0 y b > 1: logx x a b x x x (x + ). Aquí, f (x) g(x) cuado x + sigifica que (o bie que g(x)/ f (x) + ). f (x) x + g(x) = 0 Defiició Sea A R, a R {± } u puto de acumulació de A, y f, g : A R. Decimos que f es equivalete a g cuado x tiede al puto a, y escribimos f (x) g(x) (x a) si se verifica f (x) g(x) = 1. Nota. Los resultados sobre sucesioes equivaletes se traslada si dificultad a fucioes equivaletes. E geeral, podemos traducir las equivalecias etre sucesioes a equivalecias etre fucioes. Por ejemplo: Equivalecias de ifiitésimos: cuado x 0, e x 1 x log(1 + x) x (1 + x) α 1 αx sex x 1 cosx x 2 /2 tgx x arcsex x arctgx x Equivalecias de ifiitos: sea f (x) = a r x r + a r 1 x r a 0, co a r 0; cuado x +, Límites y desigualdades f (x) a r x r, log f (x) r logx (si a r > 0). Notació. Para abreviar y uificar alguos euciados, a veces es cómoda la siguiete otació: dados a R {± }, r R, {x R : 0 < x a < r} si a R (y etoces r > 0) E(a;r) = {x R : x > r} si a = + {x R : x < r} si a =. Proposició Sea A R, a R {± } u puto de acumulació de A y f : A R para la que existe f (x) = b R {± }. Se tiee:

9 4.1. Límites de fucioes reales de ua variable real 71 a) dado c < b, existe r tal que c < f (x) x A E(a;r) (e palabras, cuado el ite de f e a es mayor que c, tambié la fució f se matiee mayor que c e putos suficietemete próximos al puto a, pero distitos de a). b) dado c > b, existe r tal que f (x) < c x A E(a;r) (e palabras, cuado el ite de f e a es meor que c, tambié la fució f se matiee meor que c e putos suficietemete próximos al puto a, pero distitos de a). Corolario Sea A R, a R {± } u puto de acumulació de A y f,g : A R y supogamos que existe f (x) = b R {± } y g(x) = c R {± }. Se tiee: a) Si b > 0, etoces existe algú r > 0 tal que b) Si b < 0, etoces existe algú r > 0 tal que 0 < f (x) x A E(a;r). f (x) < 0 x A E(a;r). c) Si b < c, etoces existe algú r > 0 tal que f (x) < g(x) x A E(a;r). E particular, f coserva el sigo del ite e putos suficietemete próximos al puto a, pero distitos de a (cuado el ite o es ulo). Observació. E la proposició y e el corolario , o se puede cambiar < por. Corolario Sea A R, a R {± } u puto de acumulació de A y f : A R, g : A R fucioes para las que existe f (x) = b R {± }, g(x) = c R {± }. Si existe algú r > 0 tal que f (x) g(x) para todo x A E(a;r), etoces b c. Observació. E el euciado aterior, o se puede cambiar por <. Proposició (regla del sadwich para fucioes co ite fiito). Sea A R, a R {± } u puto de acumulació de A y f : A R, g : A R, h : A R fucioes tales que: a) existe r de modo que f (x) g(x) h(x) para todo x A E(a;r). b) existe f (x) = h(x) = b R. Etoces tambié existe g(x) y es igual a b. Demostració. Basta aplicar la caracterizació del ite mediate sucesioes (proposició 4.1.9) y la regla del sadwich para sucesioes (proposició ). O bie, se puede demostrar de maera similar al caso de las sucesioes.

10 72 Capítulo 4. Cotiuidad La versió para ites ifiitos es más simple: Proposició (regla del sadwich para fucioes co ite ifiito). Sea A R, a R {± } u puto de acumulació de A y f : A R, g : A R fucioes tales que existe r de modo que f (x) g(x) para todo x A E(a;r). a) si f (x) = +, etoces tambié se tiee g(x) = +. b) si g(x) =, etoces tambié se tiee f (x) =. Demostració. Basta aplicar la proposició y el resultado aálogo para sucesioes Codició de Cauchy para fucioes Proposició Sea A R, a R {± } u puto de acumulació de A y f : A R. Las siguietes propiedades so equivaletes: a) f tiee ite fiito cuado x tiede al puto a; b) se cumple la siguiete codició de Cauchy: para cada ε > 0 existe r R tal que para cualesquiera x,y A E(a;r) se verifica f (x) f (y) < ε; c) para cada sucesió (x ) de putos de A \ {a} tal que x = a se verifica que la sucesió ( f (x )) es de Cauchy. Demostració. a) = b) Sea f (x) = b. Dado ε > 0 existe r R tal que para todo x A E(a;r) se tiee luego para cualesquiera x, y A E(a; r) será f (x) b < ε 2, f (x) f (y) f (x) b + b f (y) < ε 2 + ε 2 = ε. b) = c) Es ua comprobació secilla. c) = a) Dada ua sucesió (x ) de putos de A \ {a} tal que x = a, como la sucesió ( f (x )) es de Cauchy tedrá u ite b, posiblemete distito para cada sucesió (x ). Segú la caracterizació del ite mediate sucesioes (proposició 4.1.9), para completar la demostració será suficiete que probemos que f (x ) es el mismo para todas las sucesioes (x ). Sea, pues, (y ), (z ) sucesioes de putos de A \ {a} tales que y = a = z, y sea c = f (y ), d = f (z ). La sucesió (x ) defiida por x 2 1 = y, x 2 = z sigue siedo ua sucesió de putos de A \ {a} co x = a, luego ( f (x )) será ua sucesió covergete. Si b es su ite, como ( f (y )), ( f (z )) so subsucesioes suyas, debe cumplirse c = b = d.

11 4.2. Fucioes cotiuas Límites de restriccioes y extesioes de fucioes Proposició Sea f : A R R, a R {± } u puto de acumulació de A, b R {± }. Se cumple: a) si A 1 A, a A 1, f 1 = f A1, etoces f (x) = b = f 1(x) = b. El recíproco, e geeral, o es cierto. Si embargo: b) cuado A 1 = A E(a;r) para algú r, f (x) = b f 1(x) = b (os referimos a este hecho diciedo que el cocepto de ite es u cocepto local). c) si A = A 1 A 2 A m y para 1 j m es a A j, f j = f A j, etoces Observació. Suele poerse f j(x) = b (1 j m) = f (x) = b. f (x) x c x S e vez de x c ( f S )(x), y se lee «ite de f (x) cuado x tiede a c a través de S» Fucioes cotiuas Defiicioes de cotiuidad. Operacioes co fucioes cotiuas Defiició Sea f : D R R, a D. Se dice que f es cotiua e el puto a si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para cualquier x D co x a < δ es f (x) f (a) < ε. 2ε f (a) a 2δ x a < δ = f (x) b < ε Proposició Sea f : D R R, a D. Se tiee: a) si a es u puto aislado de D, lo que sigifica que a / D, etoces f es cotiua e a.

12 74 Capítulo 4. Cotiuidad b) si a es u puto de acumulació de D, a D, etoces f es cotiua e a si y solo si existe f (x) y es igual a f (a). Defiició Sea f : D R R, S D. Se dice que f es cotiua e el cojuto S si f es cotiua e todos los putos de S. Si S = D, decimos simplemete que f es cotiua. Ejemplos. a) Dado c R, la fució costate f (x) = c es cotiua (e todos los putos). b) La fució idetidad, f (x) = x, es cotiua. c) La fució valor absoluto, f (x) = x, es cotiua. d) Las fucioes e x, logx, sex, cosx, tgx, arcsex, arccosx, arctgx, x r so todas ellas cotiuas e sus respectivos domiios de defiició. e) La fució de Dirichlet, o es cotiua e igú puto. f) La fució f : R R dada por f (x) = f (x) = { 1 si x Q 0 si x / Q { se 1 x si x 0 0 si x = 0 o es cotiua e 0. g) La fució f : R R dada por f (x) = { xse 1 x si x 0 0 si x = 0 es cotiua e 0. Proposició Sea f : D R R, a D. Las siguietes propiedades so equivaletes: a) f es cotiua e a; b) si (x ) es ua sucesió de putos de D covergete al puto a, etoces la sucesió ( f (x )) coverge a f (a); Demostració. Aáloga a la de la proposició Proposició Sea f, g : D R R, a D, c R, y supogamos que f y g so cotiuas e a. Se tiee: a) f + g es cotiua e a. b) c f es cotiua e a. c) f g es cotiua e a.

13 4.2. Fucioes cotiuas 75 d) si g(a) 0, f /g es cotiua e a. Demostració. Basta aplicar la proposició y el resultado aálogo para sucesioes. Proposició Sea f : D R R, g : E R R, a D, y supogamos que f (D) E. Si f es cotiua e a y g es cotiua e f (a), etoces la composició g f es cotiua e a. Demostració. Sea ε > 0. Como g es cotiua e el puto f (a), existe algú r > 0 tal que para todo y E co y f (a) < r, se tiee g(y) g( f (a)) < ε. Ahora, como f es cotiua e a, existe algú δ > 0 tal que para todo x D co x a < δ, se tiee f (x) f (a) < r. Sea x dom(g f ) [es decir, x D y f (x) E] co x a < δ. Etoces, f (x) f (a) < r, luego g( f (x)) g( f (a)) < ε. Corolario Sea f, g : D R R, a D. Si f y g so cotiuas e a, etoces máx( f,g), mí( f,g) so tambié cotiuas e a. Demostració. Es fácil comprobar que máx( f,g) = f + g + f g, 2 mí( f,g) = f + g f g. 2 Ahora, la fució f g es cotiua e a; por la proposició (tomado e el euciado f g e lugar de f y la fució valor absoluto e lugar de g), la fució f g tambié es cotiua e a. De aquí se deduce que máx( f,g) y mí( f,g) so cotiuas e a Propiedades de las fucioes cotiuas: teoremas de Weierstrass, Bolzao y Darboux; fucioes cotiuas moótoas Teorema (de Weierstrass). Sea f ua fució cotiua e u itervalo cerrado y acotado [a, b], (dode a,b R, a < b). Etoces: a) f está acotada; b) f alcaza u valor míimo y u valor máximo, es decir, existe putos r,s [a,b] (o ecesariamete úicos) tales que para todo x [a,b] es f (r) f (x) f (s). Demostració. a) Sea f : [a,b] R ua fució o acotada y probemos que etoces hay algú puto del itervalo [a,b] dode la fució o es cotiua. Dado que f o está acotada, para cada N hay algú puto x [a,b] tal que f (x ) >. E particular, f (x ) = +. Pero la sucesió (x ) =1 sí está acotada, así que, por el teorema de Bolzao-Weierstrass, hay algua subsucesió suya que coverge: x ϕ() c [a,b]. Sabemos que f (x ϕ() ) = +,

14 76 Capítulo 4. Cotiuidad por ser ua subsucesió de ( f (x ) ) =1. Etoces, la fució f o es cotiua e c, ya que si lo fuera debería ser f (x ϕ() ) = f (c). b) Sea f : [a,b] R cotiua. Por el apartado aterior, ya sabemos que está acotada, de modo que el cojuto { f (x) : x [a,b]} tiee supremo e ífimo e R; sea M = sup{ f (x) : x [a,b]} R, m = íf{ f (x) : x [a,b]} R. Se trata de probar que ese supremo y ese ífimo se alcaza, es decir, que existe ciertos r,s [a,b] tales que f (r) = m, f (s) = M. Para cada N, el úmero M 1 o es ua cota superior de f, de modo que podemos elegir algú x [a,b] tal que M 1 < f (x ) M. E particular, f (x ) = M. Como la sucesió (x ) =1 está acotada, tedrá algua subsucesió (x ϕ()) =1 covergete: x ϕ() s [a,b]. Por ua parte, la fució f es cotiua e todos los putos de [a,b]; por otra, ( f (x ϕ() ) ) es ua N subsucesió de ( f (x ) ) N. Etoces, f (s) = f (x ϕ() ) = M. De maera aáloga se demuestra que existe algú puto r [a,b] tal que f (r) = m. Pasamos a ver dos resultados ítimamete relacioados etre sí, el teorema de Bolzao y el teorema de los valores itermedios o propiedad de Darboux. Alguos libros comieza por probar el teorema de los valores itermedios (por ejemplo, [ROSS, teor. 18.2, pág. 96]) y el teorema de Bolzao resulta como caso particular; otros procede al revés, demostrado primero el teorema de Bolzao y obteiedo después el teorema de los valores itermedios como cosecuecia. Tomamos este segudo camio, que utiliza ua demostració más costructiva que sugiere u procedimieto (u tato rudimetario) para obteer aproximacioes de raíces de ecuacioes. Teorema (de los ceros o de Bolzao). Sea f : [a,b] R ua fució cotiua (a,b R, a < b). Supogamos que f (a) f (b) < 0. Etoces existe c (a,b) co f (c) = 0. Demostració. Sea, por ejemplo, f (a) < 0 < f (b). Veamos mediate iducció completa que podemos costruir sucesioes (x ), (y ) tales que a x 1 x 2 x < y y 1 b, y x = b a 2, f (x ) 0, f (y ) > 0 para todo N.

15 4.2. Fucioes cotiuas 77 Para ello, comecemos tomado z 1 = a + b 2. O bie f (z 1) 0, o bie f (z 1 ) > 0. E el primer caso, hagamos x 1 = z 1, y 1 = b; e el segudo caso hagamos x 1 = a, y 1 = z 1. E ambos casos, resulta a x 1 < y 1 b, y 1 x 1 = (b a)/2, f (x 1 ) 0, f (y 1 ) > 0. Supogamos costruidos x 1,..., x, y 1,..., y, de maera que a x 1 x 2 x < y y 1 b, y j x j = b a 2 j, f (x j ) 0, f (y j ) > 0 (1 j ). Tomamos etoces z +1 = x + y ; o bie f (z +1 ) 2 0, o bie f (z +1 ) > 0. E el primer caso, hagamos x +1 = z +1, y +1 = y, e el segudo caso hagamos x +1 = x, y +1 = z ; e ambos casos resulta a x 1 x 2 x x +1 < y +1 y y 1 b, y +1 x +1 = b a 2 +1, f (x +1) 0, f (y +1 ) > 0. La sucesió (x ) es ua sucesió moótoa o decreciete, acotada superiormete por b. Etoces tiee u ite c, y ecesariamete c b. Aálogamete, (y ) es ua sucesió moótoa o creciete acotada iferiormete por a. Así que tiee ite y ecesariamete y a. Pero como (y b a 2 = 0, resulta que y = x = c, co lo que a c b. Puesto que para cada N es f (x ) 0, f (y ) > 0, usado la cotiuidad de f e c se deduce x ) = fialmete f (c) = f (x ) 0, f (c) = f (y ) 0, o sea, f (c) = 0 (lo que garatiza además que a c b). Teorema (teorema de los valores itermedios o de Darboux). Sea I u itervalo, f : I R cotiua. Etoces f tiee la propiedad de los valores itermedios: si a < b y λ está etre f (a) y f (b), es decir, f (a) < λ < f (b) o f (a) > λ > f (b), etoces existe al meos u x (a,b) tal que f (x) = λ. Demostració. Aplicar el teorema de Bolzao a la fució f (x) λ e el itervalo [a,b]. Corolario Sea I u itervalo, f : I R cotiua. Etoces f (I) es u itervalo. Aplicacioes. a) Toda aplicació cotiua de [0,1] e [0,1] tiee u puto fijo (ver [ROSS, pág. 97]). E efecto, sea f : [0,1] [0,1] cotiua. U úmero x se dice que es u puto fijo de f si f (x) = x. Defiimos g : [0,1] R como g(x) = f (x) x. La fució g es cotiua, porque lo es f. Además, como 0 f (x) 1, teemos que g(0) = f (0) 0 = f (0) 0, g(1) = f (1) 1 0. Si g(0) = 0, etoces f (0) = 0; si g(1) = 0, etoces f (1) = 1; si o, etoces g(0) > 0 > g(1) y, por el teorema de Bolzao o el teorema de Darboux existirá algú x (0,1) tal que g(x) = 0, es decir, f (x) = x. E cualquier caso, hemos visto que f tiee algú puto fijo. b) Dado m N (m > 1), todo y > 0 tiee raíz m-ésima positiva (ver [ROSS, pág. 97]). E efecto: se trata de probar que existe algú x > 0 tal que x m = y; sea f : R R dada por f (x) = x m. Es ua fució cotiua. Si y < 1, etoces teemos f (0) = 0 < y < 1 = f (1),

16 78 Capítulo 4. Cotiuidad y basta aplicar el teorema de Darboux a la fució f : [0,1] R. Si y = 1, trivialmete podemos tomar x = 1. Si y > 1, etoces f (0) = 0 < y < y m = f (y), y aplicamos el teorema de Darboux a la fució f : [0,y] R. Lema Sea g ua fució estrictamete moótoa e u itervalo J y tal que g(j) es u itervalo I. Etoces g es cotiua e J. Demostració. Podemos supoer que g es estrictamete creciete (e el otro caso, se sigue de forma aáloga). Sea c J. Etoces, g(x) = sup{g(x) : x J, x < c} g(c), x c g(x) = íf{g(x) : x J, x > c} g(c) x c + (esto, e caso de que c o sea uo de los extremos del itervalo; si lo es, la demostració se reduce a tomar el úico ite lateral que tega setido). Se trata de probar que las dos desigualdades so igualdades. Supogamos que, por ejemplo, sup{g(x) : x J, x < c} < g(c) (para la otra desigualdad se procede de maera similar). Elijamos cualquier λ tal que sup{g(x) : x J, x < c} < λ < g(c). Etoces, g(x) < λ para todos los x J, x < c. Y si x J, pero x c, resulta que λ < g(c) g(x). Así que λ / g(j). Si embargo, tomado cualquier x J tal que x < c, se tiee g(x) < λ < g(c), g(x) g(j), g(c) g(j). Por lo tato, g(j) o es u itervalo, lo que cotradice las hipótesis. Proposició Sea I u itervalo, f : I R cotiua y estrictamete creciete (resp., estrictamete decreciete), J = f (I) el itervalo image. Etoces la fució iversa f 1 : J I es asimismo cotiua y estrictamete creciete (resp., estrictamete decreciete). Demostració. Es ua cosecuecia directa del lema , ya que la fució iversa de ua estrictamete moótoa es tambié estrictamete moótoa (y del mismo tipo) y f 1 (J) = I es u itervalo. Teorema (cotiuidad de la fució iversa). Sea f ua fució cotiua e iyectiva e u itervalo I. Etoces f es estrictamete creciete o estrictamete decreciete, y la iversa f 1 : f (I) R es asimismo estrictamete moótoa (del mismo tipo) y cotiua. Demostració. De acuerdo co la proposició , basta demostrar que f es estrictamete moótoa. Supogamos que f o es estrictamete decreciete; etoces existe ciertos a,b I tales que a < b, f (a) f (b). Como f es iyectiva, se deduce que f (a) < f (b). Vamos a probar que f es estrictamete creciete, es decir, que r,s I co r < s, resulta que f (r) < f (s).

17 4.2. Fucioes cotiuas 79 Cosideramos seis casos: e los tres primeros uo de los dos putos r, s es el puto a; e los tres últimos iguo es a. Tedremos e cueta que la fució es iyectiva, así que, por ejemplo, teemos descartado que sea f (r) = f (s). a) r = a, s = b. Ya sabemos que f (a) < f (b). b) r = a, a < s, s b. Hay que probar que f (a) < f (s). Pero si fuera f (s) < f (a), etoces f (a) estaría compredido etre f (s) y f (b), luego habría algú c compredido etre s y b tal que f (c) = f (a). Esto o puede ser, porque f es iyectiva. c) s = a, r < a. Hay que probar que f (r) < f (a). Pero si fuera f (r) > f (a), etoces podríamos tomar algú λ tal que f (a) < λ < f (r), f (a) < λ < f (b). Habría algú c compredido etre r y a tal que f (c) = λ y algú d compredido etre a y b tal que f (d) = λ. Esto o puede ser, porque f es iyectiva. d) r < a < s. Segú los apartados ateriores, ya sabemos que f (r) < f (a) < f (s). e) a < r < s. Ya sabemos que f (a) < f (r) y que f (a) < f (s). Si fuera f (r) > f (s), etoces f (s) estaría compredido etre f (a) y f (r), luego habría algú c (a,r) tal que f (c) = f (s). Esto o puede ser, porque f es iyectiva. f) r < s < a. Ya sabemos que f (r) < f (a) y que f (s) < f (a). Si fuera f (r) > f (s), etoces f (r) estaría compredido etre f (s) y f (a), luego habría algú c (s,a) tal que f (c) = f (r). Esto o puede ser, porque f es iyectiva Clasificació de discotiuidades Defiició (tipos de discotiuidades). Sea f : D R, c D. Decimos que f tiee e c ua discotiuidad evitable si existe f (x) R pero o bie el ite o coicide co f (c), o bie x c c / D. Nótese que e tal caso, la fució g defiida por g(t) = { f (t) si t D \ {c} f (x) x c si t = c que es casi la misma que f, resulta cotiua e el puto c: hemos evitado la discotiuidad de f redefiiedo adecuadamete el valor e c como f (x). Este ite se deomia a veces el valor x c asitótico de f e c. Decimos que f tiee e c ua discotiuidad de salto si existe f (x) R y f (x) R, x c x c + pero so distitos. E alguos libros llama a este tipo de discotiuidad discotiuidad de salto fiito. La diferecia f (x) f (x) recibe el ombre de salto de f e c (hay textos que da x c + x c este ombre al valor absoluto de la diferecia). Corolario Sea f : (a,b) R ua fució moótoa. Si c (a,b), etoces o bie f es cotiua e c o bie f tiee e c ua discotiuidad de salto. Nota. Puede probarse que, como cosecuecia de este resultado, el cojuto de discotiuidades de ua fució moótoa e u itervalo es fiito o umerable.

18 80 Capítulo 4. Cotiuidad f (a) f (x) f (a) f (x) f (x) + a Discotiuidad evitable a Discotiuidad de salto Cotiuidad uiforme. Teorema de Heie. Extesió de fucioes cotiuas Defiició Sea f : S R R. Etoces f es uiformemete cotiua e S si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que para cualesquiera x, y S co x y < δ es f (x) f (y) < ε. Nótese que ua fució uiformemete cotiua es, ecesariamete, cotiua. El recíproco, e geeral, o es cierto. Ejemplo. La fució f : (0,1] R, f (x) = 1 x es cotiua, pero o uiformemete cotiua. Si embargo, para cada a > 0, la fució g : [a,+ ) R, g(x) = 1 x es uiformemete cotiua. Nota. Por comodidad, diremos a veces que ua fució es uiformemete cotiua e u subcojuto de su domiio e lugar de decir que la restricció de la fució a dicho subcojuto es uiformemete cotiua. Así, e el ejemplo aterior, la fució 1/x es uiformemete cotiua e [a, + ) (para cualquier a > 0) pero o es uiformemete cotiua e (0,1]. Teorema (de Heie). Si f es cotiua e u itervalo cerrado y acotado [a,b], etoces f es uiformemete cotiua e [a,b]. Demostració. Sea f : [a,b] R, supogamos que o es uiformemete cotiua e [a,b] y probemos que etoces hay algú puto de [a,b] dode f o es cotiua. Como f o es uiformemete cotiua, existe algú ε > 0 tal que para cualquier δ > 0 hay al meos u par de putos x,y [a,b] (que depederá de δ) para los cuales x y < δ, pero f (x) f (y) ε. Etoces, para cada N teemos u par de putos x,y [a,b] tales que x y < 1, f (x ) f (y ) ε. E particular, x y 0. Dado que la sucesió (y ) =1 está acotada, hay algua subsucesió suya covergete: y ϕ() c [a,b].

19 4.2. Fucioes cotiuas 81 Por otra parte, y dado que x y 0, tambié x ϕ() y ϕ() 0. Por lo tato, x ϕ() = (x ϕ() y ϕ() ) + y ϕ() c. Por último, la fució f o puede ser cotiua e el puto c, ya que etoces se tedría f (x ϕ() ) f (y ϕ() ) f (c) f (c) = 0 y, si embargo, para todos los N. f (x ϕ() ) f (y ϕ() ) ε Si embargo, la cotiuidad e itervalos del tipo (a, b] o [a, + ) o produce el mismo efecto: ya hemos visto, por ejemplo, que f : (0,1] R, f (x) = 1 x o es uiformemete cotiua, pese a ser cotiua; tambié es cotiua, pero o uiformemete cotiua, la fució g : [0,+ ) R, g(x) = x 2 (cosidérese, por ejemplo, los valores de g e + 1 y ). Proposició Si f es uiformemete cotiua e u cojuto S y (s ) es ua sucesió de Cauchy coteida e S, etoces ( f (s )) es ua sucesió de Cauchy. Demostració. Sea ε > 0. Como f es uiformemete cotiua, existe algú δ > 0 tal que para cualesquiera x,y S co x y < δ, se tiee f (x) f (y) < ε. Ahora, como la sucesió (s ) =1 es de Cauchy, existe algú K N tal que para cualesquiera,m > K se tiee s s m < δ. Y además, s,s m S. Etoces, para cualesquiera,m > K se tiee f (s ) f (s m ) < ε. Por lo tato, la sucesió ( f (s )) =1 es de Cauchy. Proposició Ua fució f : (a,b) R es uiformemete cotiua si y solo si posee ua extesió cotiua e [a,b]. Demostració. Si f tiee ua extesió cotiua g : [a,b] R, etoces g es uiformemete cotiua, segú el teorema de Heie. Cualquier restricció de ua fució uiformemete cotiua tambié es uiformemete cotiua, y e particular, f. Ahora supogamos que f es uiformemete cotiua e (a,b); se trata de probar que existe los dos ites f (x), + f (x) x b y que so úmeros reales, ya que etoces la siguiete fució será ua extesió cotiua de f al itervalo [a,b]: f (x), si x (a,b) g(x) = f (x), si x = a + f (x), si x = b x b

20 82 Capítulo 4. Cotiuidad Solo vamos a probar que existe f (x) y que es u úmero real; el otro ite se prueba de maera + aáloga. Elijamos ua sucesió (s ) =1 coteida e el itervalo (a,b) y tal que s = a. Como es covergete, la sucesió es de Cauchy; y como la fució f es uiformemete cotiua, la sucesió ( f (s )) =1 es tambié de Cauchy y, por lo tato, covergete. Sea f (s ) = L R. t = a. Defia- Ahora sea (t ) =1 ua sucesió cualquiera coteida e el itervalo (a,b) y tal que mos la ueva sucesió r 2 = t, r 2 1 = s. Por la misma razó que ates, la sucesió ( f (r )) =1 es covergete. Como ( f (t )) =1 y ( f (s )) =1 so dos subsucesioes suyas, deducimos que f (t ) = f (r ) = f (s ) = L. Segú la proposició 4.1.9, f (x) = L R Ejercicios Ejercicio 4.1. Calcular los ites siguietes: x x 4 + x + 2 a) = + b) x + logx x + e x+5 = 0 x 5 logx (logx) 3 c) = + d) x + x x + e x 1 = 0 ( ) 2x x π e) x + e x = 0 f) + 4 x 0 xctg πx = π x 1 x a + x a g) = 1 h) x 0 x x 0 x 1 + x 1 i) = 1 j) 1 x 1 x + x 0 k) x 1 2x x 3 = 54 l) x 1 x p 1 x q 1 = p q e x e sex m) = 1 ) x 0 x sex x 0 = 1 2 a [ x + x + x x a x b x c x d (q 0) x = loga logb logc logd (a > 0) ] = 1 2 (a,b,c,d > 0) ñ) x 0 xx = 1 o) + x 0 + xxx = 0 ( 2x 2 ) 8x ( ) x p) x + 2x 2 = e 8 a 1/x + b 1/x + c 1/x q) = 3 abc (a,b,c > 0) + 5 x + 3 e x + sex 1 (se2x 2sex) 4 r) = 2 s) x 0 log(1 + x) x 0 (3 + cos2x 4cosx) 3 = 8

21 4.3. Ejercicios 83 sec 2 x 2tgx t) = 1 x π/4 1 + cos4x 2 v) x π/6 se(x π 6 ) = 1 w) 3 2cosx x 0 se(x π/3) x) = 1 y) x π/3 1 2cosx 3 ( π ) u) tg2xctg x π/4 4 + x = 1 2 ( se 2 x π/2 π 2 ax cosx 3 (1 sex) 2 ) sec 2 π 2 bx = e a 2 /b 2 (b 0) Ejercicio 4.2. Demostrar que los siguietes ites o existe: a) x cosx b) x 0 se 1 x a) x 2 c) x 0 e 1/sex Ejercicio 4.3. Hallar los siguietes ites laterales, si existe: { x + 1, si x 2 b) x 1 c) x 0 ± f (x), dode f (x) = ± 0, si x = 2 { 2x + 3, si x 1 f (x), dode f (x) = ± 3x 5, si x < 1 1 cos2x 1 1 x d) 2 x x 0 ± x f) x 1 ± x 2 1 x 1 i) x 0 ± 1 e 1/x + 1 e 1/x l) x 0 ± e 1/x 1 x e) x 0 ± x 2 + x 1 g) x 0 ± 2 2 1/x h) x 1 ±(x 1)ex/(x 1) se 1 x j) x 0 ± e 1/x + 1 x 2 2x m) x 2 ± x 2 4x + 4 k) x 0 ± e1/x se 1 x ) x 2 ± x 2 + x + 6 x 2 4 Ejercicio 4.4. Estudiar la cotiuidad de las siguietes fucioes: 0 si sex = 0 a) f (x) = 1/e si cos2x = 0 b) f (x) = (2se 2 x) 1/cos2x e otro caso 1 c) f (x) = x se 1 si x 0 x d) f (x) = 0 si x = 0 { 2(1 + e 1/x ) 1 si x 0 2 si x = 0 { x si x R \ Q 0 si x Q Ejercicio 4.5. Para cada ua de las siguietes fucioes poliómicas, hallar u etero tal que f (x) = 0 para algú x compredido etre y + 1: a) f (x) = x 3 x + 3 b) f (x) = 4x 2 4x + 1 c) f (x) = x 5 + x + 1 Ejercicio 4.6. Demostrar: a) La ecuació x2 x = 1 tiee al meos ua solució positiva o mayor que 1. b) La ecuació x x 2 + se 2 x = 119

22 84 Capítulo 4. Cotiuidad tiee al meos ua solució real. c) La ecuació sex = x 1 tiee al meos ua solució real. d) La ecuació π 2 x sex = 0 posee solució e [0, π 2 ]. e) La ecuació xsex π 4 = 0 posee al meos dos solucioes e [0,π]. Ejercicio 4.7. Sea I u itervalo y f : I R. Supogamos que existe K > 0 tal que f (x) f (y) K x y cualesquiera que sea x,y I. Ua fució de este tipo se llama lipschitziaa. Es f cotiua e I? Es uiformemete cotiua e I?

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CAPÍTULO XIII. SUCESIONES CAPÍTULO XIII SUCESIONES NUMÉRICAS SECCIONES A Sucesioes covergetes y límites de oscilació Sucesioes moótoas y acotadas B Sucesioes recurretes C Ejercicios propuestos 59 A SUCESIONES CONVERGENTES Y LÍMITES

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