PRUEBAS ESTADÍSTICAS CON LA DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO

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1 PRUEBAS ESTADÍSTICAS CON LA DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO. BONDAD DE AJUSTE Las pruebas de bodad de ajuste tiee por objetivo determiar si los datos se ajusta a ua determiada distribució, esta distribució puede estar completamete especificada (hipótesis simple) o perteeciete a ua clase paramétrica (hipótesis compuesta). Co mucha frecuecia o se cooce la distribució de probabilidad de la variable aleatoria e estudio, digamos X, y se desea probar la hipótesis de que X sigue ua distribució de probabilidad particular. Por ejemplo, podría ser de iterés probar la hipótesis de que X sigue ua distribució ormal, ua expoecial, etc. Existe dos procedimietos para realizar pruebas de bodad de ajuste que so los más coocidos. El primero se basa e ua técica gráfica muy útil llamada gráfica de probabilidad y el segudo procedimieto se basa e la distribució Chi-cuadrada.. INTRODUCCIÓN A LA CHI-CUADRADO La prueba de Chi- cuadrado (X ), permite calcular la probabilidad de obteer resultados que úicamete por efecto del azar se desvíe de las expectativas e la magitud observada si el modelo es correcto. Para realizar ua prueba de Chi-cuadrado, el primer paso es comparar el úmero de idividuos observado e cada categoría co los úmeros esperados cosiderado el tamaño de la muestra y el modelo propuesto. Las desviacioes so elevadas al cuadrado y divididas por los valores esperados, lo cual proporcioa u valor de Chi-cuadrado. Se utiliza el úmero de idividuos y o las proporcioes, X toma e cosideració el tamaño de la muestra.

2 La formula para X es como se idica a cotiuació: x ( resultados observados resultados esperados ) i resultados esperados El siguiete paso es determiar los grados de libertad. Los grados de libertad so el úmero de categorías o clases variables idepedietes que existe. Geeralmete, esto es igual a uo meos el úmero total de clases. Por ejemplo, si hay dos clases de semillas, amarillas y verdes, úicamete ua de ellas es variable idepedietemete ua vez se coozca el úmero de semillas amarillas e u tamaño de muestra determiado, tambié se cooce el úmero de semillas verdes. Por lo tato, los grados de libertad e este ejemplo so uo. El paso fial e la aplicació de la prueba de Chi-cuadrado es buscar el valor de Chi-cuadrado y los grados de libertad e ua tabla o grafica como las que se preseta a cotiuació y determiar el valor de la probabilidad. Este valor es la probabilidad de que el azar por sí mismo pudiera ser resposable de ua desviació ta grade o mayor que la observada, si la hipótesis es correcta. Si la probabilidad es alta se cosidera que los datos está de acuerdo co el modelo, lo cual o prueba que el modelo sea correcto, sio que simplemete o se puede demostrar que sea icorrecto. Si la probabilidad es baja, la desviació o es debida al azar y se cosidera que los datos o respalda el modelo. Seguidamete se tiee que decidir que ta baja probabilidad es posible aceptar ates de rechazar el modelo propuesto. Geeralmete, el ivel de cofiaza escogido es de 5%. Si la probabilidad es meor de 0.05, la diferecia es sigificativa, y si es meor de 0.0, esta es cosiderada altamete

3 sigificativa. Las probabilidades e estos itervalos geeralmete causa el rechazo de u modelo, si embargo, el rechazo de la hipótesis al ivel del 5% sigifica que se rechaza hipótesis correctas 5% de las veces.

4 Tabla Distribució de ji-cuadrado Probabilidad de u valor superior Grados de libertad 0, 0,05 0,05 0,0 0,005,7 3,84 5,0 6,63 7,88 4,6 5,99 7,38 9, 0,60 3 6,5 7,8 9,35,34,84 4 7,78 9,49,4 3,8 4,86 5 9,4,07,83 5,09 6,75 6 0,64,59 4,45 6,8 8,55 7,0 4,07 6,0 8,48 0,8 8 3,36 5,5 7,53 0,09,95 9 4,68 6,9 9,0,67 3,59 0 5,99 8,3 0,48 3, 5,9 7,8 9,68,9 4,73 6,76 8,55,03 3,34 6, 8,30 3 9,8,36 4,74 7,69 9,8 4,06 3,68 6, 9,4 3,3 5,3 5,00 7,49 30,58 3,80 6 3,54 6,30 8,85 3,00 34,7 7 4,77 7,59 30,9 33,4 35,7 8 5,99 8,87 3,53 34,8 37,6 9 7,0 30,4 3,85 36,9 38,58 0 8,4 3,4 34,7 37,57 40,00 9,6 3,67 35,48 38,93 4,40 30,8 33,9 36,78 40,9 4,80 3 3,0 35,7 38,08 4,64 44,8 4 33,0 36,4 39,36 4,98 45, ,38 37,65 40,65 44,3 46, ,56 38,89 4,9 45,64 48,9 7 36,74 40, 43,9 46,96 49, ,9 4,34 44,46 48,8 50, ,09 4,56 45,7 49,59 5, ,6 43,77 46,98 50,89 53, ,8 55,76 59,34 63,69 66, ,7 67,50 7,4 76,5 79, ,40 79,08 83,30 88,38 9, ,53 90,53 95,0 00,43 04, 80 96,58 0,88 06,63,33 6, ,57 3,5 8,4 4, 8, ,50 4,34 9,56 35,8 40,7

5 3. TABLAS DE CONTINGENCIA E estadística las tablas de cotigecia se emplea para registrar y aalizar la relació etre dos o más variables, habitualmete de aturaleza cualitativa, omiales u ordiales. Las tablas de cotigecia tiee dos objetivos fudametales: ) Orgaizar la iformació coteida e u experimeto cuado ésta es de carácter bidimesioal, es decir, cuado está referida a dos factores (variables cualitativas). ) A partir de la tabla de cotigecia se puede además aalizar si existe algua relació de depedecia o idepedecia etre los iveles de las variables cualitativas objeto de estudio. El hecho de que dos variables sea idepedietes sigifica que los valores de ua de ellas o está ifluidos por la modalidad o ivel que adopte la otra. Supógase que se dispoe de dos variables, la primera el sexo (hombre o mujer) y la seguda que recoge si cosume o o alimetos ecológicos. Se ha observado esta pareja de variables e ua muestra aleatoria de 00 idividuos. Se puede emplear ua tabla de cotigecia para expresar la relació etre estas dos variables, del siguiete modo: CONSUME NO TOTAL CONSUME HOMBRE MUJER TOTAL

6 Las cifras e la columa de la derecha y e la fila iferior recibe el ombre de frecuecias margiales y la cifra situada e la esquia iferior derecha es el gra total. La tabla os permite ver de u vistazo que la proporció de hombres cosumidores es aproximadamete igual a la proporció de mujeres cosumidoras. Si embargo, ambas proporcioes o so idéticas y la sigificació estadística de la diferecia etre ellas puede ser evaluada co el test Chi Cuadrado de Pearso, supuesto que las cifras de la tabla so ua muestra aleatoria de ua població. Si la proporció de idividuos e cada columa varía etre las diversas filas y viceversa, se dice que existe asociació etre las dos variables. Si o existe asociació se dice que ambas variables so idepedietes. El grado de asociació etre dos variables se puede evaluar empleado distitos coeficietes: el más simple es el coeficiete phi que se defie por ϕ x N dode χ se deriva del test de Pearso, y N es el total de observacioes -el gra total-. φ puede oscilar etre 0 (que idica que o existe asociació etre las variables) y (asociació total). Para idetificar relacioes de depedecia etre variables cualitativas se utiliza u cotraste estadístico basado e el estadístico x (Chi-cuadrado), cuyo cálculo os permitirá afirmar co u ivel de cofiaza estadístico determiado si los iveles de ua variable cualitativa ifluye e los iveles de la otra variable omial aalizada. Siguiedo co el ejemplo propuesto, el cálculo de la Chi-cuadrado os permitiría saber si el sexo de ua persoa es u factor determiate e que dicha persoa fume o o fume.

7 Cómo podemos determiar si existe ua relació de depedecia o idepedecia etre las variables aalizadas? Dos variables so idepedietes si: a) las frecuecias relativas codicioadas so iguales a las frecuecias relativas margiales, es decir: Β Α Β Α Β Α j j i f f f Β Α Β Α Β Α j j f f f Frecuecias relativas margiales: Β Α f i ij i ij j i f Α Β f j ji j ij i j f

8 b) O bie si se cumple que la frecuecia relativa cojuta es igual al producto de las frecuecias relativas margiales: f ( ) Αi Β j ij x i j De esta forma, comparado las frecuecias teóricas esperadas e caso de idepedecia etre los factores co las frecuecias observadas e la muestra, podremos cocluir si existe ua relació de depedecia o idepedecia etre los factores o atributos aalizados. Segú la otació de la tabla iicial, y utilizado el cocepto frecuetalista de probabilidad, podemos estimar la probabilidad de que se de u suceso determiado a partir de sus frecuecias relativas: Ρ ij ; ij Ρ i ; i j Ρ j De esta forma, si las variables so idepedietes Ρ Ε ij i x ij j dode E ij sería el úmero de casos o frecuecia absoluta esperada o teórica e codicioes de idepedecia. Por lo tato podremos calcular las frecuecias esperadas: Ε ij i j x E lugar de los E ij, habremos observado los ij. Tedremos tatos valores E ij y ij como celdas de la matriz, cocluyedo que si hay poca diferecia etre estos valores los atributos será idepedietes, o

9 pudiédose afirmar lo mismo e caso cotrario. Supuesto que el atributo A tiee filas y el atributo B, k columas, la tabla será de orde xk. Pearso plateó la utilizació del estadístico c para aalizar la idepedecia, defiido por: x h i k j ( ) ij Ε ij Ε La hipótesis ula a cotrastar será la de idepedecia etre los factores, siedo la hipótesis alterativa la de depedecia etre los factores. El valor de x calculado se compara co el valor tabulado de ua x para u ivel de cofiaza determiado y (-) (k-) grados de libertad. Si el valor calculado es mayor que el valor de tablas de ua ( )( k ), sigificará que las diferecias etre las frecuecias observadas y las frecuecias teóricas o esperadas so muy elevadas y por tato diremos co u determiado ivel de cofiaza que existe depedecia etre los factores o atributos aalizados. ij x Resumiedo: x x( )( k ) Rechazar hipótesis ula (depedecia etre las variables) x x( )( k ) Aceptar hipótesis ula (idepedecia etre las variables)

10 Veámoslo co el mismo ejemplo aterior: SEXO HOMBRE MUJER MARGINAL CONSUME ALIMENTO ECOLÓGICO NO CONSUME MARGINAL Frecuecias relativas margiales: P (ser hombre) 08/ % P (ser mujer) 5/ % P (cosumir) 3/ % P (o cosumir) 0/ % Frecuecias relativas cojutas: P (hombre y cosumir) 65/ % P (hombre y o cosumir) 43/ % P (mujer y cosumir) 58/ % P (mujer y o cosumir) 67/ % Frecuecias relativas teóricas esperadas e caso de idepedecia: E (hombre y cosumir) 46.4% x 5.8% 4.5% E (hombre y o cosumir) 46.4% x 47.%.9% E (mujer y cosumir) 53.6% x 5.8% 8.3% E (mujer y o cosumir) 53.6% x 47.% 5.3% Frecuecias absolutas teóricas esperadas e caso de idepedecia: E (hombre y cosumir) 3 * 08 /33 57 E (hombre y o cosumir) 08*0/33 5 E (mujer y cosumir) 3*5/33 66 E (mujer y o cosumir) 5*0/33 59

11 Valor de la Chi-cuadrado: x h i k j ( ) ij Ε ij Ε ij ( ) ( ) ( ) ( ) , Dado que el valor calculado de la x para u ivel de cofiaza del 95% (5% ivel de sigificació) es mayor que el valor de tablas, se rechaza la hipótesis ula de idepedecia etre los factores, aceptado por tato que el sexo de ua persoa ifluye e que ésta sea cosumidora o o de alimetos ecológicos. 4. TABLAS PIVOTE EN EXCEL Tambié llamadas tablas diámicas, es ua tabla iteractiva que cotiee campos, la que se usa para resumir y aalizar los datos de múltiples filas de iformació de ua tabla o de ua lista origial. Ua tabla diámica puede actualizarse cada vez que se modifique los datos origiales de la misma, o sea los utilizados para su cofecció. EJEMPLO: Dispoemos de ua hoja de cálculo co las horas trabajadas durate ua semaa por los trabajadores de ua plata de procesado de fruta de ua empresa segú los diferetes cargos que ocupa.

12 Queremos crear ua tabla diámica que muestre, para cada empleado de la empresa, e págias idividuales, el total de horas trabajadas e cada uo de las fucioes durate la última semaa.. Sitúate e ua de las celdas que cotiee los datos y ve a Datos (Meú pricipal), Asistete para tablas diámicas. Se iiciará el Asistete, que costa de cuatro cuadros de diálogo cosecutivos.. E el primer cuadro de diálogo (paso de 4) se solicita el orige de los datos a orgaizar e forma de tabla diámica. E este caso, dejamos la opció preseleccioada (Lista o base de datos de Microsoft Excel) y pulsamos Siguiete. 3. El siguiete cuadro de diálogo (paso de 4) permite seleccioar el rago de celdas e el que está situados los datos a orgaizar.

13 4. E el tercer cuadro de diálogo (paso 3 de 4) se diseñará la distribució de los campos e la tabla a crear. E la parte derecha de la vetaa se muestra u botó para cada campo de la lista y e la parte izquierda aparece el área e dode se diseñará la tabla, que está dividida e cuatro seccioes (PÁGINA, FILA, COLUMNA y DATOS), e las que se puede colocar los distitos campos, pulsado sobre el botó del campo y arrastrádolo a ua secció. A la hora de orgaizar los datos e uestro ejemplo deberá teerse e cueta lo siguiete:

14 . El campo que se coloque e la secció PÁGINA aparecerá e forma de ua lista desplegable desde la que se podrá seleccioar aquel elemeto del que se desee mostrar el resume. Existirá además la posibilidad de mostrar el resume correspodiete a cada empleado e ua hoja diferete.. El campo que se coloque e la secció FILA mostrará sus elemetos como ecabezados o títulos de las filas e la tabla 3. El campo que se coloque e la secció COLUMNA, mostrará sus elemetos como ecabezados de las columas de la tabla 4. E cuato al campo que se coloque e la secció DATOS, sus datos se someterá a ua determiada operació de cálculo: Suma (es la que se ofrece por defecto cuado los datos de este campo so todos uméricos), Cotar (la que se ofrece por defecto e los demás casos), Promedio, Míimo, Máximo, Producto, etc.

15 E uestro ejemplo, por tato, colocaremos los campos del siguiete modo: El campo Empleado e la secció PÁGINA El campo Proyecto e la secció FILA El campo Fecha e la secció COLUMNA El campo Horas (que cotiee los valores que queremos sumar) e la secció DATOS, aceptado la fució de SUMA que Excel propoe por defecto.

16 Notas: a) La forma elegida aquí para orgaizar los datos sólo es ua de etre todas las posibles. Cabe orgaizar los datos de otra maera; o obstate, hemos de procurar que la forma elegida sea la más clara y fácil de iterpretar. b) Auque los datos de ua tabla diámica tiee el mismo aspecto que cualquier hoja de cálculo, o se puede itroducir i editar los datos directamete e ella. Para modificar sus resultados deberá modificarse forzosamete los datos a partir de los cuales se ha creado.

17 c) No obstate, las tablas diámicas o se actualiza automáticamete cuado los datos de orige cambia, sio que, cambiados los datos fuete es ecesario seleccioar co el botó derecho del rató ua celda cualquiera de la tabla y elegir la opció Actualizar datos del meú cotextual correspodiete. d) Ua vez creada la tabla diámica, se puede cambiar fácilmete su diseño arrastrado los botoes sombreados co los ombres de los campos a otras posicioes de la tabla (por esta razó se llama diámicas, precisamete) 5. DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO EN EXCEL DISTR.CHI Devuelve la probabilidad de ua variable aleatoria cotiua siguiedo ua distribució chi cuadrado de ua sola cola. La distribució γ está asociada a ua prueba γ. Utilice la prueba γ para comparar los valores observados co los esperados. Por ejemplo, u experimeto geético podría estar basado e la hipótesis de que la próxima geeració de platas presetará u cojuto determiado de colores. Al comparar los resultados observados co los resultados esperados, puede decidir si su hipótesis origial es válida. Sitaxis DISTR.CHI(x;grados_de_libertad) X es el valor al que desea evaluar la distribució.

18 Grados_de_libertad es el úmero de grados de libertad. Observacioes Si uo de los argumetos o es umérico, DISTR.CHI devuelve el valor de error # VALOR! Si el argumeto x es egativo, DISTR.CHI devuelve el valor de error # NUM! Si el argumeto grados_de_libertad o es u etero, se truca. Si el argumeto grados_de_libertad < o si grados_de_libertad 0^0, DISTR.CHI devuelve el valor de error # NUM! DISTR.CHI se calcula como DISTR.CHI P(X>x), dode X es ua variable aleatoria de γ. PRUEBA.CHI Devuelve la prueba de idepedecia. PRUEBA.CHI devuelve el valor de la distribució chi cuadrado (γ) para la estadística y los grados de libertad apropiados. Las pruebas γ puede utilizarse para determiar si u experimeto se ajusta a los resultados teóricos. Sitaxis PRUEBA.CHI(rago_actual;rago_esperado) Rago_actual es el rago de datos que cotiee observacioes para probar frete a valores esperados. Rago_esperado es el rago de datos que cotiee la relació del producto de los totales de filas y columas co el total global.

19 Observacioes Si rago_actual y rago_esperado tiee u úmero diferete de putos de datos, PRUEBA.CHI devuelve el valor de error #N/A. La prueba γ primero calcula ua estadística γ y después suma las diferecias etre los valores reales y los valores esperados. La ecuació para esta fució es PRUEBA.CHIp( X>γ ), dode: y dode: Aij frecuecia actual e la iésima fila, jésima columa Eij frecuecia esperada e la iésima fila, jésima columa r úmero de filas c úmero de columas PRUEBA.CHI devuelve la probabilidad para ua estadística γ y grados de libertad, gl, dode gl (r - )(c - ). PRUEBA.CHI.INV Devuelve para ua probabilidad dada, de ua sola cola, el valor de la variable aleatoria siguiedo ua distribució chi cuadrado. Si el argumeto probabilidad DISTR.CHI(x;...), etoces PRUEBA.CHI.INV(probabilidad,...) x. Utilice esta fució para comparar los resultados observados co los resultados esperados, a fi de decidir si la hipótesis origial es válida. Sitaxis PRUEBA.CHI.INV(probabilidad;grados_de_libertad) Probabilidad es ua probabilidad asociada co la distribució chi cuadrado. Grados_de_libertad es el úmero de grados de libertad.

20 Observacioes Si uo de los argumetos o es umérico, PRUEBA.CHI.INV devuelve el valor de error # VALOR! Si probabilidad < 0 o si probabilidad >, PRUEBA.CHI.INV devuelve el valor de error # NUM! Si el argumeto grados_de_libertad o es u etero, se truca. Si grados_de_libertad < o si grados_de_libertad 0^0, PRUEBA.CHI.INV devuelve el valor de error # NUM! PRUEBA.CHI.INV usa ua técica iterativa para calcular la fució. Dado u valor de probabilidad, PRUEBA.CHI.INV itera hasta que el resultado tega ua exactitud de ± 3x0^-7. Si PRUEBA.CHI.INV o coverge después de 00 iteracioes, la fució devuelve el valor de error #N/A.

21 6. BIBLIOGRAFÍA I. cc/prueba%50de%50bondad%50y%50ajuste%50.d oc+bodad+de+ajuste&hles&ctclk&cd7&gles II. III. IV. V. VI. VII.

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