Operario A B C D Total Obstrucciones

Transcripción

1 Ua empresa de imprimir, alimetada a mao, estaba sujeta a lo que parecía ser u úmero irrazoable de obstruccioes causadas por iterferecias de las hojas de papel a la presa. Se hizo ua prueba para ver si diferetes operarios ecotraba o o diferetes grados de dificultad co la máquia. Cada operario alimetó la máquia itroduciedo el mismo úmero de hojas, cotádose luego el úmero de atascos sufridos por cada uo, lo que dio lugar a la siguiete tabla: perario A B C D Total bstruccioes Existe o o diferecia etre los operarios a u ivel α 0, 05?. Y au ivel α 0, 05?. Aalizar los resultados. El valor teórico viee dado por la expresió: χ0,05; 3 7,85 χ0,05; 3 9, 348

2

3 E u hospital se esayó la eficacia de cico medicametos e u grupo de pacietes, co el objeto de determiar si al fial del tratamieto u paciete determiado mejoraba o o. Las observacioes que se ecotraro está aotadas e la siguiete tabla: Tratamietos A B C D E Total Número de pacietes Pacietes mejorados Existe diferecia etre los medicametos a u ivel de 0,05? a 50 b 50 c 50 d 50 e a 0, b 0, 8 b 9, 6 b 9, 8 e 9, El estadístico de cotraste: χ i , ,03 e i 0, 0,8 9,6 9,8 9,6 i Por tato, como χ 4 6,03 < 9, 488 χ0,05; 4, aceptamos la hipótesis ula H o, es decir, o existe diferecia etre los diferetes medicametos, co u riesgo α 0, 05, e la mejora de los pacietes al fializar el medicameto.

4 Las leyes de la herecia de Medel predice la aparició de tipos de guisates co ascedecia específica 9:3:3: para las clases lisa y amarilla, lisa y verde, arrugada y amarilla, arrugada y verde. E cierto experimeto se obtuviero, respectivamete, 35, 08, 0 y 3. A u ivel de 0,05, coicide los datos co la teoría? χ i , ,47 e i 3,75 04,5 04,5 34,75 i Se acepta la hipótesis ula H o porque χ 3 0,47 < 7, 85 χ0,05; 3, el valor teórico es meor que el valor esperado, afirmado que los datos observados coicide co la teoría.

5 E u laboratorio se observó el úmero de partículas α que llega a ua determiada zoa procedetes de ua sustacia radiactiva e u corto espacio de tiempo siempre igual, aotádose los resultados e la siguiete tabla: Número de partículas Número de períodos de tiempo Se pide: a) Ajustar los datos a ua distribució de Poisso. b) Calcular la probabilidad co que llega las partículas. c) Verificar si el ajuste es correcto mediate ua χ, co u ivel α λ x 6 i xi i , k, x k.e k 0,, L, 5 k!,. Por tato, ( ) P

6

7 χ i ,3 e i 48, 77,8 06,7 4,7 5,8 i Como ( 3,3 > 7, χ ) χ ,05; 3 el valor observado es mayor que el valor teórico, rechazamos la hipótesis ula. Es decir, la distribució de datos e estudio o se puede ajustar a ua distribució de Poisso a u ivel de cofiaza del 95%.

8 E ua exame fial de estadística, los estudiates recibiero las siguietes calificacioes: Verificar si las calificacioes obteidas sigue ua distribució ormal, co ua fiabilidad del 95%.

9 Itervalos xi i xi. i i i 34 6 i xi.i 70 6 i x i. i xi.i 000 μ σ x 6 i 6 i x 34 i x. i i. i ( 80) ,4 σ, 4 Itervalos xi i pi ei pi. i i e ,09 0,4, ,08,7 4, ,366 8, , ,34, , ,366 8, , ,08,7 9 3, i 35, 87 ei i i

10 Como (,87 < 7, χ ) χ ,05; 3, el valor observado es meor que el valor teórico o esperado, afirmamos que las calificacioes se distribuye ormalmete a u ivel de cofiaza del 95%.

11 Tres métodos de empaquetado de tomates fuero probados durate u período de cuatro meses; se hizo u recueto del úmero de kilos por 000 que llegaro estropeados, obteiédose la tabla adjuta: Se pide: Meses A B C Total Total a) bservado simplemete los datos, qué creeremos que se puede iferir sobre el experimeto? b) Co u ivel de sigificació α 0, 05, comprobar que los tres métodos so igualmete bueos.

12 e x.y 3.3 x ,8 e 3 y 3 7, e x.y 3.44 x ,09 e 3 y , 39 e3 x.y x ,0 e 3 y , e4 9,5 e4 3,5 e ,97 El estadístico de cotraste: χ( k ).( m ) k m i j ( e ) ij e ij ij k m i j e ij ij E uestro caso, ( k ).( m ) ( 4 ).( 3 ) 6 χ6 4 3 ij eij i j ,35 9,0 0,65 7,8,09 3, ,4 7,3 0,39,8 9,5 3,5 5,97

13

14 La siguiete tabla muestra el resultado de u experimeto para ivestigar el efecto de la vacuació de aimales de laboratorio cotra ua determiada efermedad: Efermos Sufriero la No sufriero Vacua efermedad la efermedad Vacuados 9 4 No Vacuados 8 8 Se pide: a) Afecta la vacua a u ivel α 0,05? b) Y a u ivel α 0,0? c) Respoder al apartado (a) utilizado la correcció de Yates.

15 33, e, e 36, e 4, e y x y x y x y x 5, , 8,8 8 36,8 4 4, 9 e i j ij ij χ

16

17 Sobre ua decisió de importacia acioal los votos de demócratas y republicaos registraro los datos de la siguiete tabla: A favor E cotra Abstecioes Demócratas Republicaos Se pide: a) Hay diferecia etre ambos partidos a u ivel α 0,05? b) Y a u ivel α 0,0? x e x e x e3.y.y.y , , ,68 4 x. y e x. y e x. y3 e , , ,3 4

18 El estadístico de cotraste: 3 ij χ eij i j ,5 69,8 3,68 03, ,94 4 0,94 7, 33,3 Se acepta la hipótesis ula H o cuado el estadístico de cotraste χ ( k ). ( m ) es meor o χ. Atediedo a que: α ; k. m igual que el estadístico teórico ( ) ( ) χ χ0,05 ; χ 0,94 > 5,99 0,94 > 9, 0 χ E ambos casos, co u riesgo de α 0, 05 y α 0, 0 0,0 ;, se rechaza la hipótesis ula, cocluyedo que existe diferecia etre los dos partidos cara a la votació. χ x ,53 + 3,43 4 y + y + 3 y , x y y y 3 4 χ χ0,05 ; χ 0,96 > 5,99 0,96 > 9, 0 χ E ambos casos, co u riesgo de α 0, 05 y α 0, 0 0,0 ;, se rechaza la hipótesis ula, cocluyedo que existe diferecia etre los dos partidos cara a la votació.

19 U agricultor desea saber si existe diferecia etre diez aboos e el cultivo del plátao e ua determiada zoa. Para ello aboa seis matas co cada aboo, observa el mismo úmero de kilos y obtiee los siguietes resultados: Aboo xi x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x0 si ( si variaza del aboo x i ) ( 6) Es cierto que hay diferecia etre los aboos a u ivel α 0, 0?. Y a u ivel α 0, 05? El estadístico de cotraste: ( i elemetos muestra x i ) k k χ k L s. i i. L s i i i ( ) ( ) [( ) ( )]

20 Si todas las muestras tuviera los mismos elemetos, esto es, k llega a ua expresió más simplificada: χ k Se acepta la hipótesis ula χ k < χ α ; ( k ) ( ) (. ) k. L s L s i i k L, se H o, para u ivel de sigificació α, cuado se verifica. E caso cotrario se rechaza. Aboo xi x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x0 si L s i,0,0,39,0,6,39 0,69,39,6,0 3,58 0 si 4 s i 4, 0 0 k χ k. k. L s L s i χ L 4, 3,58 a i El estadístico teórico o esperado: χ0.05 ; 9 6,99 χ0.0 ; 9, 66 ( ) ( ) ( ) ( ) 3, 85 E ambos casos el estadístico observado χ 9 3, 85 es meor que el estadístico teórico χ 0.05 ; 9 6,99 (ivel 0,05) o χ 0.0 ; 9, 66 (ivel 0,0), por lo que aceptamos la hipótesis ula de que o hay diferecia etre los aboos (las variazas so iguales).

21 Se está estudiado la distribució de los grupos saguíeos, A, B, AB e dos comuidades. Los resultados obteidos so: A B AB Comuidad Comuidad a) Se puede cosiderar que so homogéeas ambas comuidades? b) Cosiderado ahora sólo los datos de la Comuidad, el modelo teórico asiga las siguietes probabilidades a cada uo de los grupos: r A p + pr B q + qr AB pq ( p + q + r ) A partir de los datos de la muestra se ha obteido las siguietes estimacioes de los parámetros: pˆ 0, 465 y qˆ 0, 73. bteer las frecuecias esperadas segú el modelo teórico y cotrastar la hipótesis de que los datos se ajusta a él. A B AB Comuidad (7,67) 0 (05,85) 79 (98,47) 33 (3,0) x 353 Comuidad 8 (,33) 95 (09,5) (0,53) 30 (3,98) x 364 y 39 y 5 y y 77

22 x. y x , 67 e y, e x. y x ,85 e y 09, e x e y 3 x ,47 e y 3 3 0, x e y 4 x ,0 e y 4 4 3,

23 b) Sea la hipótesis ula H o : El modelo geético es correcto Comuidad A B AB 0 79 e. (p + pr) e3. (q + qr) e. r 33 e 4. (pq) 4 χ i 4 χ , ei i 0,43 Como χ 0,43 < 3, 84 χ0,05; se acepta la hipótesis ula, cocluyedo que el modelo geético es correcto, a u ivel de sigificació de 0,05.

24 Se ha desarrollado u modelo teórico para las diferetes clases de ua variedad de moscas. El modelo dice que la mosca puede ser de tipo L co probabilidad p, de tipo M co probabilidad q y de tipo N co probabilidad pq. Para cofirmar el modelo experimetalmete se toma ua muestra de 00 moscas, obteiedo 0, 50 y 40, respectivamete. a) Hallar la estimació de máxima verosimilitud de p co los datos obteidos. b) Se ajusta los datos al modelo teórico, al ivel de sigificació 0,05?

25 χ i k p χ3 χ ei i 0,7 El estadístico teórico χ 0,05; 3, 84 Como χ 0,7 < 3,84 χ0,05; se acepta la hipótesis ula H o, y e cosecuecia, se acepta el modelo teórico, co ua fiabilidad del 95%. El úmero de defectos cogéitos e ua muestra de 00 idividuos de ua població estableció la siguiete distribució: Número de defectos Frecuecia Se ajusta los datos a ua distribució de Poisso?. Número de defectos 0 Probabilidad 0,7408 0, 0,0368

26 3 χ i , ei 74,08, 3,68 i Siedo χ, > 6, 635 χ0,0; se rechaza la hipótesis ula, cocluyedo que el úmero de defectos cogéitos o sigue ua distribució de Poisso, co u ivel de cofiaza del 99%. Co el objeto de cotrolar la producció de ua máquia que produce lamias de madera se ispeccioa 00 lámias al azar. Los resúmees de los resultados muestrales so: μ ˆ x 9,7 σ ˆ, lámias co espesor iferior a 9 mm - 38 lámias co espesor etre 9 y 0 mm - 5 lámias co espesor etre 0 y mm - 7 lámias co espesor superior a mm -. Se ajusta los datos a ua distribució ormal, co ua cofiaza del 95%?.

27 Como χ 5,06 > 3, 84 χ0,05; se rechaza la hipótesis ula y se cocluye que el espesor de las lámias de madera o se ajusta a ua distribució ormal, co u ivel de sigificació de 0,05.

28 Se clasificaro 000 idividuos de ua població segú el sexo y segú fuera ormales o daltóicos. Masculio Femeio Normal Daltóicos 38 6 Segú u modelo geético, las probabilidades so: p p + pq q q dode q - p proporció de gees defectuosos de la població. A partir de la muestra se ha estimado que qˆ 0, 087. Cocuerda los datos co el modelo?. La tabla de frecuecias observadas y esperadas [ e i. p i ] será:

29 Hombre Normal Hombre Daltóico Mujer Normal Mujer Daltóica (456,5) (43,5) (496,) (3,8) (000) Siedo χ 3,068 < 5, 99 χ0,05; se acepta la hipótesis ula H o y se cocluye que se acepta el modelo geético, co u ivel de cofiaza del 95%.