1 Definición de derivada

Transcripción

1 Tema Grado e Igeiería Mecáica FUNCIONES DE UNA VARIABLE POLINOMIOS DE TAYLOR CONOCIMIENTOS PREVIOS Para poder seguir adecuadamete este tema, se requiere que el alumo repase y poga al día sus coocimietos e los siguietes coteidos: Fucioes elemetales: gráfica, domiio, image, simetría y traslacioes. Defiició de derivada. Tabla de derivadas. Problemas de optimizació. DEFINICIÓN DE DERIVADA. REGLAS DE DERIVACIÓN Defiició de derivada La epresió de D = - a. - f ( a) f -a se deomia cociete icremetal de f e el puto a para u valor Esta epresió represeta la pediete de la secate a la gráfica de la fució f que ue los putos ( afa, ) y ( f, ( ) ) ( a fa, ( ) ) = +D +D. Defiició (Derivada). La derivada de ua fució y f ( ) f ( ) - f ( a) f ( a +D) -f ( a) cociete icremetal, lim = lim a -a D0 D = e u puto a es el límite del

2 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR Este valor represeta la pediete de la recta tagete a la gráfica de f e el puto ( af, ( a )) f a ó. Se deota por dy a d df ó ( a) d ( +D )- f a f a tg a = lim D 0 D Si ua fució f es derivable e el puto a la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució e el puto af, ( a ) es y = f ( a) + f '( a)( - a). Si ormal es y = f a - - a. f ' Reglas de derivació a REGLAS DE DERIVACIÓN f = f ( ), g g( ) Producto por u úmero ( a f)' = a f ' f ' a ¹ 0, la ecuació de la recta =, a Î Suma y resta ( f + g)' = f ' + g' ( f - g)' = f '- g' Producto y cociete ( f g)' = f ' g + f g' é Composició f ( g( ù )) ' = f '( g( ) ) g' ( ) Derivada de la fució iversa êë úû ' = = f ' - - f co f y ( y) ' æf ö f ' g -f g' ç = çèg ø g Regla de la cadea Si y = f ( u) es derivable e g( ) y u g( ) compuesta y = ( f g)( ) = f ( g( ) ) = es derivable e, etoces la fució es derivable e, siedo la derivada ( f g)( ) = f ( g( ) ) g ( ) que se puede epresar tambié co la siguiete otació dy dy du =. d du d

3 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA La depedecia de uas variables respecto de otras se puede idicar mediate u diagrama de depedecia, que para este caso sería: y u g f g() f(g()) TIPO FUNCIÓN DERIVADA a y = a y = a - y = éf ( ) ù a ê ë ú û y = a é êf ë úû f Tipo potecial y = y = y = f ( ) y = f f Tipo epoecial Tipo logarítmico Tipo seo Tipo coseo Tipo tagete y y y y = e = e = a = a f f y = log y = log f y = log a y = log a f y = se se y f y = cos y = cos( f ( ) ) y = tg y = tg( f ( ) ) y = e a- ù ( ) f( ) y = e f y = a loga log f( ) y = a f a y = f y = f y =. log a ( ) f y = f y = cos. log a cos y = f ' f y =- se ' se( ) y =-f f y cos y =. f cos f tg

4 4 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR TIPO FUNCIÓN DERIVADA y = cotg Tipo cotagete y = cotg( f ( ) ) y = arcse y = arcse f y = arccos y arccos f Fucioes arco - y = se - y = f se f y = - ( ) y = f - f y = - = - ( ) y = - f - f y = arctg y = y = arctg f + y =. f + f ( ) Derivada de la fució implícita Cuado la fució viee dada e forma eplícita, es decir, de la forma y f calcular la derivada de f se reduce a aplicar la defiició o algua de las reglas de derivació estudiadas. Si embargo, muchas veces ua fució viee dada a través de ua ecuació de la forma F, y 0 e la que o es fácil, o resulta imposible, obteer eplícitamete y e fució de. Este tipo de fucioes recibe el ombre de fucioes implícitas de ua variable. Defiició (Fució implícita). Ua ecuació de la forma F(, y ) = 0 defie a la variable y como fució implícita de, e u etoro de (, y ), si eiste u itervalo D 0 0 cetrado e de forma que, para todo e D, eiste 0 ( ) F, f = 0. y f tal que se verifica Para este tipo de fucioes se debe proceder de la siguiete maera para obteer la derivada de y respecto de :. Se deriva ambos miembros de la epresió co respecto a, aplicado la regla de la cadea, teiedo e cueta que y es fució de.. Se despeja la epresió dy d. Por ejemplo, si se cosidera la fució dada mediate 8 y y 5 0 se tedrá:

5 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5. Derivado ambos lados de la igualdad y aplicado la regla de la cadea supoiedo que y es fució de 4. Despejado dy d dy d 7 y y 8y 0 dy - y = d y+ 8y 7 4 Derivada de la fució iversa Si y = f ( ) es ua fució iyectiva y derivable e y además fució iversa, f -, tambié es derivable e y = f ( ), verificádose f ' ¹ 0, etoces la - ( f ) ( y) = f ( ) f f - f() 5 Derivada eésima Si y f ( ) = es derivable e u domiio D queda defiida la fució derivada: f ': D f ' Si esta fució f '( ) a su vez es derivable se puede calcular su derivada, ( f '' ) el ombre de derivada seguda. Se deota, f '' ( ) dy = d, que recibe Este proceso puede cotiuar y se tedría la derivada de orde o derivada eésima que cosistiría e derivar la fució veces. Si la fució es y f ( ) f ( ( ) dy = d = se deotará:

6 6 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR FÓRMULA DE LEIBNIZ (Derivada eésima de u producto). Si f y g so derivables hasta el orde etoces la fució h( ) f ( ) g( ) ( ( h f g = = = es derivable hasta el orde y además æ ö æ ö æ f g f g ö æ f g ö = f g 0 ç ç ç - ç è ø è ø è ø è ø ( ( - ( - ' ( '... Nota El factorial de u úmero atural se defie como!... 0! Por ejemplo,!!! 6 4! 4 4 5! ! Se cumple que!! Nota Los úmeros combiatorios se defie como! Cm, m m! m! siedo u úmero atural y 0 m El úmero combiatorio C,m represeta el úmero de grupos distitos de m elemetos que se puede formar a partir de objetos, de forma que cada grupo se diferecie de otro e algú elemeto (combiacioes de elemetos tomados de m e m). 6 Recta tagete. Aproimació lieal Defiició (Diferecial). Sea y f ( ) = ua fució derivable e u itervalo abierto que cotiee al úmero, La diferecial de es igual al icremeto de, D = d La diferecial de y se defie como = ' dy f d Iterpretació geométrica: La diferecial de y para u icremeto de, D = d, es igual al icremeto de la ordeada de la recta tagete correspodiete a ese icremeto de.

7 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 7 Diferecial seguda d y d dy d f d df d f d d f ( dd ) f( d ) f ( ) d f( d ) Aproimació lieal. Cosideremos la gráfica de ua fució y f derivable e el puto a. Si dibujamos la tagete e el puto a, f a vemos que para valores próimos al puto a, los valores que toma la ordeada de la recta tagete y la fució casi coicide. Diremos por ello que la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e el puto a es ua liealizació (aproimació lieal) de la fució e ese puto. Teiedo e cueta que la ecuació de la recta tagete e el puto, pediete f ( a ) se tedrá que su ecuació es: y - f ( a) = f ( a)( -a) y = f ( a) + f ( a)( - a) La epresió L( ) f ( a) f ( a)( a) de f e a af a tiee por = + - se deomia liealizació (aproimació lieal)» = + ( - ) f L f a f a a

8 8 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR POLINOMIOS DE TAYLOR. DEFINICIÓN Y CÁLCULO 7 Defiició Defiició (Poliomio de Taylor). Supogamos que f ( ) es ua fució derivable veces e el puto = a. Se defie el poliomio de Taylor de grado correspodiete a la fució f e el puto = a como ( a) ( k f k T éf ( ) ; aù ê = - a = ë úû å k= 0 k! f ' a f a f a = f ( a) + - a + - a + + -a!!! E el caso e que a = 0 el poliomio se llama de MacLauri. '' (... Veamos alguas propiedades que os permitirá obteer poliomios de Taylor a partir de otros coocidos Sea f y g fucioes que admite poliomio de Taylor hasta el grado e el puto a etoces se cumple las propiedades siguietes: Liealidad: T ( af + bg; a) = at ( f; a) + bt ( g; a ) Derivació, itegració: T f; a' T f '; a Otras operacioes: Se puede obteer el poliomio de productos y cocietes de fucioes a partir de los correspodietes a cada ua de las fucioes ivolucradas. 8 Resto eésmo Defiició (Resto ésimo de Taylor). Sea f ua fució para la que eiste T éf ( ); aù êë úû. Se defie el resto ésimo de Taylor correspodiete a la fució f e el puto = a, y lo escribiremos R éf ( ); aù êë ú como û R é f ( ); a ù f ( ) T é f ( ); a ù ê = - ë úû êë úû La epresió f ( ) = T é f ( ); a ù R é f ( ); a ù ê + ë úû êë úû se llama fórmula de Taylor de f ( ) de grado e el puto = a. E las proimidades del puto = a se verifica o sólo que el resto eésimo es pequeño (ifiitésimo) sio que se hace pequeño e comparació co ( - a). Esto se epresa e el siguiete teorema.

9 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 9 TEOREMA DE TAYLOR: Si f es derivable veces e el puto correspodiete resto de Taylor etoces R éf ( ) ; aù ê lim ë úû = 0 a -a = a y R éf ( ); aù êë úû es su Resto de Lagrage ( + f () t! R éf ; aù a ê ú = - ë û + siedo t u puto itermedio etre a y. + Resto de Cauchy. Sea f es ua fució derivable + veces e u itervalo abierto I, que cotega al puto a. Si R éf ( ); aù êë ú es el resto eésimo de Taylor û correspodiete a la fució f e el puto a etoces: ( + f () t R éf ( ) ; aù ê =! ( - t ) ( - a ë úû ) siedo t u puto itermedio etre a y. Resto Itegral t ( f R f ; a t dt! defiido si la derivada + de f es itegrable e el itervalo I. a APLICACIÓN DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR. CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS 9 Ifiitésimos. Defiició E el cálculo de límites de fucioes surge las mismas idetermiacioes que e el caso de sucesioes y se aplica las mismas técicas para su resolució. Ua de esas técicas cosiste e la comparació de los órdees de ifiitud o los órdees de magitud de los ifiitésimos que produce estas idetermiacioes. Defiició (Ifiitésimo). Ua fució j ( ) es u ifiitésimo para si tiede a cero cuado se aproima al puto a, lim 0 a

10 0 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR PROPOSICION. La suma, diferecia y producto de ifiitésimos para = a es u ifiitésimo para a. El producto de u ifiitésimo para = a por ua fució acotada e u etoro del puto a es u ifiitésimo para = a. 0 Orde de u ifiitésimo Defiició (Ifiitésimos del mismo orde, orde superior y orde iferior). Se dice que so dos ifiitésimos del mismo orde para = a si j ( ) y j ( ) lim = l a m( ) co l ¹ 0, l ¹. E este caso se escribe j( ) O m( ) j( ) y m ( ) so equivaletes para a si lim = a m( ) j ( ) es de orde superior a m ( ) para a si lim = 0. a m( ) E este caso se escribe o =. Defiició (Ifiitésimos de orde p). Decimos que u ifiitésimo es de orde p para p j = a si O a es decir, si lim = l co l ¹ 0, l ¹ a p -a PROPOSICION. El orde de u ifiitésimo para a o varía al sumarle o restarle otro de orde superior para = a. Cosideremos ahora u ifiitésimo de orde p para a, esto sigifica que E este caso se tiee que: j ( ) ( -a) lim = l co l ¹ 0, l ¹ a p p p p p a o a a o a

11 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA Parte pricipal de u ifiitésimo Defiició (Parte pricipal de u ifiitésimo). Si a y se cumple lim co 0, a p La epresió p a l - a se llama parte pricipal de dicho ifiitésimo. Nótese que j ( ) es u ifiitésimo equivalete a su parte pricipal. u ifiitésimo de orde p para PRINCIPIO DE SUSTITUCION. Si e la epresió de u límite se sustituye u ifiitésimo que sea factor o divisor por su parte pricipal o por otro equivalete, el valor del límite o se ve alterado. IMPORTANTE: Cuado los ifiitésimos aparezca como sumados la sustitució de u ifiitésimo por otro equivalete puede coducir e geeral a errores Si 0 etoces se» Si 0 etoces - cos» Si 0 etoces tg» etoces Si 0 siguiete maera: si Si 0 Tabla de equivalecias log +». Esta equivalecia se puede epresar de la etoces ( ) log» - etoces log( k k + )» ( k > 0) Si 0 etoces a -» loga Si 0 etoces arcse Si 0 etoces arctg» etoces ( ) Si 0 a +» + a etoces P ( )» térmio de meor grado Si 0

12 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR Cálculo de la parte pricipal utilizado poliomios de Taylor y = f ua fució que es u ifiitésimo para a co todas sus derivadas Sea ulas hasta el orde ( k k - e el puto a y cumpliedo f a ¹ 0. Utilizado la fórmula de Taylor se tedrá: ( a) k ç( ) ( k f æ kö f ( ) = - a + o - a k! ç è ø y = f para a es k y su De esta epresió se deduce que el orde del ifiitésimo parte pricipal es ( k f a k a k! -. Ifiitos Defiició (Ifiitos). Ua fució w ( ) es u ifiito para = a si tiede a ifiito cuado se aproima al puto a, es decir, si lim w ( ) = OBSERVACION. Todo lo visto ateriormete para ifiitésimos puede aplicarse a ifiitos w es u ifiito para a etoces teiedo e cueta que si ( ) j ( ) ( ) a = es u ifiitésimo para a w E particular, la sustitució de ifiitos e la epresió de u límite se rige por las mismas reglas que las de los ifiitésimos. Defiició (Ifiitos de orde iferior, superior). Sea = a se dice que: es u ifiito de orde iferior a ( ) es u ifiito de orde superior a ( ) es u ifiito del mismo orde que ( ) w ( ) lim = l co l ¹ 0, l ¹ a t ( ) y t para a t para a dos ifiitos para si w a t ( ) si w lim a t ( ) t para a si lim = 0 E el caso particular de que l = etoces se dice que so equivaletes. =

13 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA Defiició (Ifiito de orde p). Decimos que u ifiito ( ) w ( ) si lim = l co l ¹ 0, l ¹ a ( -a) p w para = a es de orde p A cotiuació, se da e la tabla los deomiados órdees fudametales de ifiitud para tediedo a ifiito. Segú se avace de izquierda a derecha e las columas los órdees de ifiitud va decreciedo. Potecial Epoecial Epoecial Potecial Logaritmo a b a 0 b > c 0 c ( log ) q p q > p > 0 APLICACIÓN DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR. ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCIÓN Etremo relativo y absoluto Defiició (Etremo relativo). Sea D. Decimos que f tiee u míimo relativo e u puto a D y f ua fució real defiida sobre u domiio Î si eiste u itervalo ( a - r, a + r) coteido e D de forma que f ( ) > f ( a) para Î( a - r, a + r), ¹ a. si eiste u itervalo ( a - r, a + r) coteido e D de forma que f ( ) < f ( a) para Î( a - r, a + r), ¹ a. u máimo relativo e u puto a D Si u puto es míimo o máimo relativo se dice que es u etremo relativo o local. Defiició (Etremo absoluto). Sea y f ( ) D. Decimos que f alcaza su valor míimo absoluto e u puto a D su valor máimo absoluto e u puto a D = ua fució real defiida sobre u domiio Î si f ( ) f ( a) Î si f ( ) f ( a) > para D, ¹ a. < para Î D, ¹ a. Si u puto es míimo o máimo absoluto se dice que es u etremo absoluto o global.

14 4 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR PROPOSICIÓN. Cosideremos ua fució y f ( ) e el puto a, etoces se podrá escribir = co derivadas hasta el orde ( ç( ) f '' a f a æ ö f ( ) - f ( a) = f '( a)( - a) + - a a + o - a!! ç è ø ( f ' a f '' a... f a 0, etoces Supogamos que Si es par y ( 0 Si es par y ( 0 f a > etoces e el puto a la fució tiee u míimo local. f a < etoces e el puto a la fució tiee u máimo local. Si es impar e el puto a hay u puto de ifleió. APLICACIÓN DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR. DERIVACIÓN NUMÉRICA E este apartado se cosidera el caso e que solo se cooce el valor de ua fució e putos,,,...,, equiespaciados. E este caso, se puede calcular ua aproimació de la o derivada e = a, f '( a ), siedo a cualquiera de estos putos, utilizado diferecia progresiva, diferecia regresiva o diferecia cetrada. 4 Diferecia progresiva f '( a)» ( + )- f a h f a h Para acotar el error que se comete e esta aproimació hay que teer e cueta la fórmula de Taylor de grado, Luego Como R Oh ( + ) = + ' + f a h f a f a h R f ' ( a) ( + )- f a h f a R = - h h, etoces el error de trucamieto ( + )- f a h f a Error = f '( a) - = O h h Ua cota del error podría obteerse cosiderado que Si M es ua cota de '' '' f t h h! co ta, a h f t e éaa, + hù êë úû etoces ua cota del error será: R Error R = h M h!

15 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5 5 Diferecia cetral f '( a)» ( + )- ( - ) f a h f a h h Para acotar el error que se comete e esta aproimació hay que teer e cueta la fórmula de Taylor de grado, y las epresioes Restado es decir, f' a f'' a f ah fa h h Oh!! f' a f'' a f ah fa h h Oh!! ' f a h f a h f a h O h f ' ( a) Luego, el error de trucamieto ( + )- ( - ) O( h ) f a h f a h = - h h ( + )- ( - ) f a h f a h Error = f '( a) - = O h h Observació: Es iteresate ver que la diferecia cetrada aproima mejor el valor de la derivada que las diferecias progresivas y regresivas, ya que e el primer caso el error es u ifiitésimo de orde mietras que e los restates casos es de orde. Ejercicios propuestos Hallar la derivada eésima de f = e =0 a) se b) f ( ) cos c) f = e =0 = e e =0 d) f ( ) log( ) e) f) = + e =0 f () = - 4 f () = ( - ) ( + ) g) f ( ) log( ( )( ) ) <. h) f ( ) = acos( a) Solució: = - - e ì ( ü f ( ) se( ï = - ) ï í 0,,,... ý = (+ f ( ) = (-) cos( ï ) î ïþ ì ( f ( 0) 0 ü = ï í ï ý (+ f ( 0) = (-) ïî ïþ Tambié æ ( f ( ) se p ö æ ( = + ç f ( 0) se p ö = çè ø ç çè ø b) ì ( ü f ( ) cos( ï = - ) ï í 0,,,... + ý = (+ f ( ) se( ï = - ) î ïþ ì ( ü f ( 0) = (- ) ï í ï ý (+ f ( 0) = 0 ïî ïþ Tambié

16 6 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR æ pö = cos + ç çè ø ( f f ( æpö 0 = cos ç çè ø ( ( c) f ( ) = e - - ( d) f ( ) = (-) ( - )!( + ) ( f 0! f 0 = é ù (-)! ( e) f ( ) = ê( - ) ( + ë ) ú û ( f ( ) = (-)! é ù f) ( + ) ê( -) ( - ) ( + ë ) ú û g) é ù - ( f ( ) = (-) ( - )! + ( ) ( ) ê - - ë ú û æ ( pö + h) f ( ) = a cos a + ç çè ø Hallar de forma aproimada los siguietes valores, utilizado la aproimació lieal 0.4 a b e log( 0.9) c 70 ( d ) 8'0 Solució: a log b e.4 c d 8 ' 0» +» ' La arista de u cubo es de 6 cm, co u error posible de 0,05 cm. Si se calcula el volume del cubo a partir de esta medida, se pide: a) Estimar, utilizado aproimació lieal, el máimo error posible e el cálculo de dicho volume. b) Epresar el error estimado e el apartado aterior como porcetaje del volume del cubo. c) Para ua arista y u error de medida dados, Qué relació hay etre el porcetaje de error del volume y el de la arista? 4 Calcular, mediate la diferecial, ua aproimació de cos(55º) y dar ua cota del error cometido. Solució: æpö p cos( 55º ) = cos - =-0,9097 çè 6 ø 7 æ p ö Error < ç çè6 ø Dada la fució y = -. Calcula el poliomio de Taylor de grado de la fució alrededor del puto a= 0.. Calcula, mediate el poliomio aterior, u valor aproimado de 0,5.. Halla ua cota del error cometido e dicha aproimació. 4. Comprueba co Matlab cómo mejora la aproimació cuato mayor sea el grado del poliomio de Taylor utilizado. Escribe ua tabla co las aproimacioes que da los poliomios de Taylor de grados, 5, Escribe la fórmula de Taylor de orde y acota el resto eésimo. Utiliza esta acotació para añadir a la tabla aterior las cotas del error correspodietes a los poliomios de grados 5 y Represeta e ua figura la gráfica de la fució y la gráfica de los poliomios de grados, 5 y 0 e el itervalo 0.5,.5 Solució: (a) T 4 8 (b) (c) (e) , 5 8 7/ Error < < = 56 4! 56 4! 8 (k - )!! k - = - -å -, k 4 k= k! ( - )!! æ t ö ( + )! çè ø Se cosidera f ( ) -(+ )/ t Î ( 0, ) æ + ö = log ç è - ø. Se pide:. Calcula el domiio de la fució f ( ).. Escribe la fórmula de Taylor de orde de f ( ) e a = 4 co el resto de Lagrage.

17 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 7. Calcula ua cota del error cometido æ6'ö cuado se aproima log ç por el çè 6' ø poliomio de Taylor grado. 4. Cuál es el grado del poliomio de Taylor de f ( ) e a = 4 que habría que æ6'ö cosiderar para aproimar log ç çè 6' ø co u error meor que 0 -? y para que el 6 error sea meor que 0? 5. Comprueba co Matlab los resultados de los apartados ateriores y represeta la curva y los poliomios obteidos e el itervalo é.9, 4.ù êë úû Solució: (a) dom f = (-,-) È (, ) (b) (-) - T - ( 4 ) æ - ö = ç 6 - çè ø R æ ö ( - ) = ç ( t ) ( t çè + - ) ø ( 4) (c) R (d) Poliomio de grado 0. (e) Poliomio de grado. 7 Determiar el orde y la parte pricipal de los ifiitésimos siguietes cuado 0 (a) f() = se + cos - (b) f = 5 se + 6 Solució: (a) Ifiitésimo de orde, la parte 7 pricipal es (b) Ifiitésimo de orde, + la parte pricipal es para 0 y - para 0. 8 U estudio del medio ambiete de cierta comuidad suburbaa idica que el ivel medio de moóido de carboo e la atmósfera es de C ( p) p = 0, partes por milló cuado la població es p miles de persoas. Se estima que, detro de t años, la població será de pt =, + 0,t miles de persoas. Cuál será la tasa de variació del ivel de moóido de carboo, dc dt, co respecto al tiempo detro de tres años? Solució: 0, 4 partes por milló / año 9 U cohete es lazado e direcció vertical y rastreado por ua estació de observació situada e el suelo a 5km de la plataforma de lazamieto. Supó que el águlo de elevació de la visual hacia el cohete aumeta a razó de grados/seg cuado q = 60 o. Calcula la velocidad del cohete e ese mometo. Solució: 00 p km / h 0 Calcular los águlos que forma al cortarse las curvas defiidas por + y - 4 =, + y + y = 9 Nota: El águlo que forma dos curvas es el águlo determiado por sus rectas tagetes. m - m Se puede calcular así tga = dode + mm m y m so las pedietes de las rectas tagetes a ambas curvas e el puto de itersecció. Solució: Hay dos putos de corte etre las dos curvas, los putos (, ) y (, ). El águlo p que forma al cortarse vale: a =. Este 4 águlo es el mismo e los dos putos de itersecció de ambas curvas. Hallar la ecuació de la recta tagete y de la ormal a la curva de ecuació + se y + y + = 9 e el puto ( 0, ).

18 8 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR Solució: Recta tagete: y - 6 = -, Recta ormal: y - 9 = Hallar las ecuacioes de la tagete y de la ormal a la curva 4 - y + 6-5y - 8y = 0 e el puto (-, ) Represetar co Matlab las gráficas defiidas por las ecuacioes de los apartados ateriores, e u etoro de los putos dados. Solució: Recta tagete: y - =- ( + ) 9 Recta ormal: y- = ( + ) y y 6 Determiar los putos de la curva = 8 cuyas distacias al puto ( 6, 0 ) sea míimas. Solució: Los putos so el (, 4 ) y el (, 4) La distacia míima es Se quiere fabricar latas cilídricas para bebidas refrescates, de 00 cm de capacidad, utilizado la míima catidad posible de material. Idicar las dimesioes (radio de la base y altura) que garatice la míima superficie. Solució: El radio de la base y la altura de la lata que hace míima la superficie so radio = 00 p cm ; altura = 00 cm ; p superficie míima = 6 00 p cm. 5. Obteer los etremos relativos de la 4 fució f ( ) e.. Hallar los etremos absolutos de la fució f ( ) = / ( 5- ) e el itervalo [,.. Calcular los máimos y míimos de la 4 fució: f Demostrar que la fució: f ( ) = e tiee u!! míimo e =0. Solució:. Como (4 f ' 0 = f '' 0 = f ''' 0 = 0, f 0 = 4> 0 la fució tiee u míimo relativo e = 0, cuyo valor es f ( 0) = 0. Además tiee dos máimos relativos, que vale lo 4 mismo, f (- ) = f =. e. Los putos críticos de la fució f ( ) e el itervalo [, so: = 0 (f o es derivable e dicho puto); = (porque f ' () = 0); = y = (etremos del itervalo).. Máimo absoluto de f ( ) e [, es f (- ) = 7. Míimo absoluto de f [, es f 0 0 Máimo relativo de f ( ) e [, es e f, =- es u míimo relativo y absoluto, f (- ) = - 4. Se cumple f f f iv f 0 = > 0 '0 = ''0 = '''0= 0y

19 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 9 Test de autoevaluació La fució f = e - 6e + 6 verifica: A) Es creciete e todo. B) Es creciete e (0, ). C) Tiee u etremo relativo e = log. D) No tiee etremos relativos. Dadas las curvas y = + e y tiee por ecuació: A) y = +. B) y =-. C) y =. D) Nigua de las ateriores. =-, ua recta tagete a ambas curvas El poliomio -, e potecias de se escribe: A) ( -) -( - ) + ( -)-. B) ( - ) + ( - ) + ( -)-. C) ( - ) + ( -) -( -)-. D) Nigua de las ateriores. 4 Si aproimamos e u etoro del puto = por Taylor ua fució mediate u poliomio de tercer grado, el error que se comete: A) Es ulo e =. B) Es meor que si el poliomio fuera de 4º grado. C) Es idepediete de la distacia etre el puto e el que se desea la aproimació y puto =. D) Depede eclusivamete de valor que toma la derivada cuarta e =. 5 El valor de arctg lim 0 (se ) cos(se ) es: A) / B) /4 C) D) Nigua de las ateriores. 6 f La derivada eésima de = e = 0 es + + æ ( 7ö ç çè 4 8 ø A) f ( 0) = (-)! - ( - ) + ( -) ( -( + ) B) f ( 0) = (- )( + )! ( - ) ( C) f 0 D) Nigua de las ateriores. 7 U puto se mueve a lo largo de la curva y = - 6, cuáles so las coordeadas del puto de la curva e el cual se cumple que la velocidad de variació de la ordeada es cuatro veces la velocidad de variació de la abscisa? A) (- 5, 0). B) ( 5, - 5). C) ( 0, 0 ). D) Nigua de las ateriores. 8 Sea y ua fució implícita de, defiida por la ecuació y- e = sey, etoces la derivada de y respecto de es: ( y -e ) A) y = cosy-. ( y -e ) B) y = cosy + ( y + e ) C) y = cosy- D) Nigua de las ateriores 9 para para Sea f ( ) u ifiitésimo de orde = a, y = a etoces A) f ( ) g( ) B) f ( ) g( ) g u ifiitésimo de orde + podría o ser u ifiitésimo para = a + es u ifiitésimo para = a de orde

20 0 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR C) f ( ) g( ) + es u ifiitésimo para = a de orde D) Nigua de las ateriores. D) Si f () tiee u etremo relativo e a y es dos veces derivable e a etoces f '' a 0 0 Justificar si so ciertas o falsas las siguietes afirmacioes: A) El poliomio de MacLauri de grado de la fució f () = e es: h !! B) Sea la fució f =, etoces el poliomio de Taylor de grado 4 correspodiete a f e el puto a es: A B úmeros aturales. C) El poliomio de Taylor de grado 4 de la fució f () = log e el puto a = es , dode A y B so ( -) ( -) ( -) ( -) Dados los ifiitésimos para 0 = ( ) g( ) = - e = log( - ) k( ) = arctg( 6 ) f se podemos afirmar que: A) Todos so equivaletes. B) Sólo so equivaletes g y h. C) Sólo so equivaletes f y h. D) No se cumple igua de las afirmacioes ateriores La fució f ( ) 4 cos( ) = tiee e el orige: A) U puto de ifleió. B) U máimo. C) U míimo. D) No se cumple igua de las afirmacioes ateriores. Solucioes del Test: C D C A D D B A C,, Ciertas D C Ejercicios resueltos æö se ç çè ø Hallar la derivada eésima de f = + b) g = / e + Solució a) Utilizado la defiició de valor absoluto, podemos epresar f ( ) como ua fució defiida a trozos, así E el domiio - { 0} la fució ìï + si > 0 f = + =í ï ï - si < 0 ïî f es cotiua porque está defiida mediate poliomios. Tomado los límites laterales e el puto = 0, aalizamos la cotiuidad e dicho puto

21 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA lim f = lim - =- ; lim f = lim + = Hay discotiuidad de salto fiito e 0 E coclusió,, siedo el valor del salto salto lim f ( ) lim f ( ) 0 0 f es cotiua 0. b) Debido a que las fucioes se() y e so cotiuas e todo, el problema de cotiuidad de g solo se platea e el puto = 0, ya que la epresió defiida e dicho puto, porque se produce divisió por cero. o está Estudiamos los límites laterales de g( ) e el puto = 0 para ver si eiste o o el límite e dicho puto. æö æ ö æö se se se 0 e - e è ç ø è ç - ø è ç ø lim - g = lim - = lim + = lim / e0 / ( 0-e) e0 -/ e e + e + e + + El umerador es ua fució que o se acerca a u valor fijo cuado e 0, sio que oscila, tomado todos los valores posibles de la fució seo, se, al variar el parámetro. El límite del deomiador tiede hacia, porque -/ e - lim + e e = = 0. e0 e E cosecuecia, el límite de g por la izquierda de = 0 o eiste, es oscilate. æö lim - g lim + se 0 = e0 - ç çèe ø oscila e el itervalo [,] Aálogamete æö æ ö æö se se se ç 0 e e è ø è ç + ø çè ø lim + g = lim + = lim + = lim / e0 / ( 0+ e) e0 / e e + e + e + E este caso el deomiador o está acotado, pues E cosecuecia, el límite de Resumiedo, lim e / e e + e0 = g por la derecha de 0 eiste y vale 0, ya que se valor oscila e, lim g lim g tiee ua discotiuidad ievitable e el puto = 0, porque o eiste el límite de la fució e dicho puto. E coclusió, g es cotiua " Î -{ 0}.

22 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR U puto P se mueve sobre la parábola = y situada e el primer cuadrate de forma que su coordeada está aumetado a razó de 5 cm/seg. Calcular la velocidad a la que el puto P se aleja del orige cuado =9. Solució Se trata de u problema de razoes de cambio relacioadas. La fució distacia de u puto situado e las coordeadas (, y) al orige es: d() t = () t + y () t Si el puto (, y) está e la parábola = y será: d t t t La velocidad a la que se aleja del orige aplicado la regla de la cadea es: -/ d' () t = ( () t + () t ) ( () t '() t + '() t ) E el istate e que =9 y teiedo e cueta que '() t = 5 cm / seg se cocluye que la velocidad a la que el puto P se aleja del orige es: -/ ( 9 + 9) ( ) = = E ua empresa la fuerza laboral L se mide e horas trabajador y es ua fució del tiempo, L = f () t. Sea M = g() t la producció media por persoa. Supoga que la producció Q está dada por el producto LM. E cierto mometo la fuerza laboral L está creciedo a u ritmo de 4% aual y la producció media está creciedo a ua razó de 5% al año. Ecotrar la razó de cambio de la producció total cuado Q=0. Solució Datos del problema: Q LM f t g t

23 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA Se pide: dl = 0'04 L dt dm = 0'05 M dt dq dl dm M L dt dt dt dq dt Q0 0'04 LM L0'05M 0'09 LM 0'09 Q0,9 4 U depósito de agua es cóico, co el vértice hacia arriba, y tiee 40 m. de alto y 0 m. de radio e la base. El depósito se llea a 80 m / mi. A qué velocidad se eleva el ivel de agua cuado la profudidad del agua es de m.? Nota: El volume de u coo de altura h y radio de la base r es: V = p r h Solució E cualquier istate de tiempo el volume V es V = p p r 40 - h dode r y h so fucioes del tiempo. Además estás dos fucioes está relacioadas de la maera siguiete: h = r = 40 - h r 40 h h r 40 0 E cosecuecia el volume e u istate t es: () ù é 40 ê - h t ú V () t = p p ë û 4 Derivado respecto de t e ambos lados de la igualdad dv 40 dh ht dt 4 dt E el istate e el que h= m el deposito se llea a 80 m / mi luego,

24 4 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR p dh dh 0 80 = é40 ù 0 ' m / mi 4 êë - úû =» dt dt 49p 5 Dada la curva y y = 0, se pide represetarla y calcular la recta tagete y ormal a dicha curva e el puto P(, - + ). Solució Completado cuadrados y y y ( ) ( + ) = y + 6 = y Se tiee que y y y = = 4 luego la curva es ua circuferecia cetrada e el puto (, ) y de radio. Para calcular la pediete de la recta tagete calculamos la derivada e el puto P. Derivado implícitamete: - + yy' y' = 0 y' =- y + 6 e el puto P y ' P - =- = la ecuació de la recta tagete es: y = (- + ) - ( - ) y la de la recta ormal y = (- + ) + ( - )

25 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5 6 Se cosidera la fució f ( ) = + = + por su poliomio de Taylor de grado e el puto a = 0 cuado perteece al itervalo. Calcula ua estimació del error de la aproimació de f ( ) 0. Calcula para esta fució la diferecial e a = 0 e D = 0.5. Haz u bosquejo de esta fució y represeta el valor obteido.. Puedes dar ua cota del error que se comete al aproimar Solució por?. Cosideramos la fució f ( ) = + derivado -/ f = + f 0 = - -/ - f '( ) = ( + ) f '( 0) = -5/ f ''( ) = ( + ) f ''( 0) = 4 El poliomio de Taylor de grado es: Utilizado el resto de Lagrage el error es () c T f 8 (,0) = - + ''' f 7/ 5 - f ( ) - T ( f ( ) ;0) = = ( + c) c puto itermedio etre 0 y a!! Si 0 ua estimació del error es æ ö ( + c) 6 = 6 ç çè ø 5-7/ c + + c -7/ -7/ + + ( ) ( c). La diferecial es: - dy = f '( 0) D = 0,5 = - 0,5 7

26 6 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR Para que se vea mejor la gráfica se ha cosiderado u icremeto de valor D =.. Se está pidiedo calcular ua cota del error de sustituir f æ ö ç = = çè ø + f 0. Es decir acotar y que sabemos que para icremetos pequeños se puede aproimar por la diferecial, luego, y 0.5. Otra forma es utilizar el resto de Lagrage es decir, Por el mismo razoamieto que ates 7 () c æö f ' D y = f ç - f ( 0) = co 0 < c < çè ø! æö / f - - ç f 0 = - + c co 0 < c < çè ø æö - / f ç - f 0 = - + c = 0,5 çè ø Calcular mediate el poliomio de Taylor co u error meor que ua décima el valor de Represetar de forma aproimada la gráfica de la fució y del poliomio de e Taylor obteido. Solució por

27 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 7 Observamos que f fució -/ = e. Ua posibilidad para hacer el ejercicio es tomar como e = e. El puto dode desarrollaremos será a=0 y el puto dode aproimaremos la fució por el poliomio de Taylor será Como es secillo ver que la fórmula de Taylor es dode R ( f, ) ( ) ( ( f e f 0 = " Î = " Î f R f!! = (, ) t + e = siedo t u puto itermedio etre 0 y. +! Haciedo se tiee que el error al sustituir de grado e el puto / es f / e por el poliomio de Taylor æ ö t e - æ ö ç R çè ø f, ç - = çè ø +! ( ) + siedo 0 t Como + + æ ö æö t e - æ + ö R f, çè ø çè ø ç - = = çè ø +! +! +! + ( ) - < t< 0 ( ) ( ) t 0 e < e = Hay que ecotrar el valor de que hace + ( + ) +! ( ) + + 0! < < + 0 (I) ya que así se tedrá: æ ö R f, ç - < çè ø +! ( ) Dado valores a e la desigualdad (I) = < 0! NO = < 0! SI

28 8 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR Luego el poliomio buscado es el segudo æ ö - - ç çè ø 5 e! 9 9 -/ = + + = - + = 8 Qué precisió debe de teer la medida del radio r de ua esfera para calcular el área de su superficie detro de u % de su valor real? (Superficie de ua esfera: 4 r ) Solució Sea D r el error e la medida de r. Sea superficie, correspodiete al error D r. Sabemos que, D S el error e la medida del área de la D S S = 4 pr La aproimació lieal de S es ds S r 8 r r dr Epresado la codició del euciado se tiee, 4p 0,5 r r 8prD r D r = r Por lo tato se deberá medir el radio co u error meor que el 0,5 por cieto del valor verdadero. 9 f e e = - e = 0. se Ecotrar u ifiitésimo equivalete a la fució Solució Utilizado poliomios de Taylor aalizamos el orde de la primera derivada o ula e =0. Se tiee que: se f ' = e -e cos f ' 0 = 0 se se f '' = e - e cos + e se f '' 0 = 0 se se se se f ''' = e - e cos + e cos se + e se cos + e cos Aplicado la fórmula de Taylor: () f ''' = ¹ 0 f ' 0 f '' 0 f ''' 0 f ( ) = f ( 0) R = + R!!! 6

29 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 9 dode el resto es u ifiitésimo de orde superior a tres. Por lo tato f ( ) es u ifiitésimo de orde y su parte pricipal es 6. 0 Utilizado poliomios de Taylor calcular los siguietes límites: (a) arctg lim 0 cos se ( ) = (b) 8 se - cos lim = 0 ( - cos) (c) lim 0 ( -se) ( se ) = 6 a e -cos a -se a (d) lim 0 Solució = a (a es u úmero real o ulo) (a) La parte pricipal de las fucioes ifiitesimales del umerador y del deomiador so: Fució: f arctg æ ö = ç çè ø = cos é ù êë úû Fució: f ( ) ( ) se( )

30 0 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR El poliomio de Taylor e =0 de f ( ) arctg = es: cos se ( ) Se cumple etoces, æ ö arctg ç çè ø lim = lim = 0 0 cos se 4 8 La parte pricipal de las fucioes ifiitesimales del umerador y del deomiador so: Fució: f = se - cos

31 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA Fució: f ( ) = ( - ) cos Luego, se - cos ( - cos ) lim = lim = 0 0 La parte pricipal de las fucioes ifiitesimales del umerador y del deomiador so: Fució: f = - se

32 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR Fució: f ( ) = ( se) (d) Llamamos 6 ( -se) Luego, lim lim 6 = = se 6 a e -cos a -se a lim 0 (a es u úmero real o ulo) a = - - f e cos a se a Etoces a f ' = ae + ase a -a cos a f ' 0 = 0 a f '' = a e + a cos a + a se a f '' 0 = a

33 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA a e -cos a -se a a Luego lim = lim = a 0 0 Se cosidera u caal, abierto por su parte superior, co secció e forma de trapecio isósceles. Por el caal circula agua; se cooce la altura h y el área S de la secció trasversal de la corriete. Determiar el águlo de icliació j que debe de teer las paredes laterales para que el perímetro mojado sea míimo y hallar dicho perímetro. Solució b l S j h Perímetro mojado: a h P = a + l = a + se j El área S de la secció es, Despejado a, S = h( a + b) = h éa + a + hcotg = h a + hcotg êë úû ( j) ù ( j) S a = - hcotg j h Sustituyedo e el perímetro mojado, S h P hcotg h se Para hallar el míimo de esta fució resolvemos P 0 cos cos P h h h 0 cos se se se E este puto hay u míimo ya que P æp e ö ç - < 0 çè ø y P 0 æpö S El valor del perímetro e este puto es: P ç = + h çè ø h Dada la fució f ( ) = + (a) Escribir el poliomio de Taylor de orde cetrado e el puto 0 de f.

34 4 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR (b) Utilizar el poliomio de grado para dar u valor aproimado de f 0. estimado Solució el error cometido e la aproimació. a)cálculo del poliomio de Taylor = + f / f' f ' 0 f'' f '' 0 ( ) æ öæ ö f ''' ( ) = ( ) ( ) f '''( 0) + = ç è øè ç ø iv 5 iv f f 0 4 (-)(-)(-5 )...( - - ) - (-)(-)(-5 )...( -) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) 4 4 ( ( = + = f f 4 El poliomio de Taylor de grado e a=0 es ( f' 0 f'' 0 f''' 0 f 0 T f0...!!!! (-)... ( -) + T ( ) = !!! 9 7 T 8 6 El poliomio de Taylor de grado : El resto de Taylor de orde es: () t ( iv 4 f R ( ) = = 4 - t 0. co t Î 0, 0. 4! 4! La cota del error para acotar co este poliomio f(0.) es R , t 0 t Se cosidera la fució e el puto P(, ). y 9 6. Calcula la recta ormal a esa curva

35 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5 Solució + y + + yy' = Derivado implícitamete: y yy' 8 Simplificado: Despejado y : ( + y + ) yy' = 8 - ( + y + ) y ' y 8 y y Sustituyedo e el puto P se obtiee la pediete de la recta tagete a la curva e P -( + + ) ( + + ) 8 y'( P) = = 5 La recta ormal e P tiee por pediete: 5 m 4 Calcula ' () Solució -5 y - = - ( ) Dada las fucioes f y g derivables se cosidera la fució h f g h sabiedo que: g () =, g ', f ( 4) =, f '( 4) = 4. Aplicado la regla de la cadea a la fució h f g Sustituyedo e = 5 se tiee que: = ( )( + ) h' f ' g g g' () ( ())( () ()) h ' = f '4 g 4 g + 4 g ' = f ' = 4 = 48 Dada la fució f ( ) log. æ ö = - ç, se pide calcular, utilizado u poliomio de çè ø Taylor, u valor aproimado de log 0.5 co u error meor que Solució 0 -. Como se pide obteer u valor aproimado para log(0.5) se tedrá que æ ö æö log log - = para =. Tomamos a=0. çè ø çè ø E este ejercicio se trata de escribir el resto del poliomio de Taylor de grado de la fució f e el puto a=0 cuado el valor de = y, ua vez acotado, aalizar para qué valor de se podría asegurar que el resto es meor que geeral es: 0 -. La epresió del resto de orde e

36 6 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR ( + f () t + (, ) +! R = -a t Î a E este caso t! ( f R t 0, Calculamos etoces la derivada de orde + de f. f log f ' f '' f '''! ( f El resto del poliomio de Taylor de grado para a=0 y = tiee por epresió: R Acotado el resto: () ( t ) ! - - = = t Î 0, + +! + t - R t Para asegurar que el resto sea meor que es decir, =00. t 0, 0 - basta elegir cumpliedo 00 Para calcular el valor aproimado de log(0.5) calculamos la aproimació por el poliomio de Taylor de grado 00 Cosiderado siedo (00 f '0 f ''0 f 0 T00 f 0...!! 00! (! f 0 y. 00