La Probabilidad. Heraldo Gonzalez S.

Transcripción

1 La Probabilidad Heraldo Gozalez S.

2 2 Pla de Regularizació, Estadistica I La Ciecia se ocupa e geeral de todos aquellos feómeos que se puede observar, básicamete, se ha ido desarrollado hasta la actualidad formulado leyes que explique los feómeos observables y realizado experimetos para validarlos o rechazarlos. Todos los feómeos aturales se desarrolla siguiedo uo de dos esquemas: el determiista y el estocástico; estos se caracteriza de forma bie distita: Esquema Determiista: Cada vez que se preseta el cojuto de circustacias C, etoces siempre se produce el acotecimieto A. Esquema Estocástico: Si se preseta el cojuto de circustacias C, etoces uas veces se produce el acotecimieto A y otras veces o, siedo imposible predecirlo. Para el primer tipo de feómeos, sería posible ecotrar leyes que explique la aparició de los resultados, dado u cojuto de codicioes iiciales a la realizació de u experimeto. Si embargo, para los feómeos del segudo tipo o es posible ecotrar tales leyes, a o ser que se especifique, de algua forma, la icertidumbre de la aparició de los resultados. Las ciecias empíricas como la Física, Química, Biología, etc., estudia por lo geeral los feómeos determiistas. La Estadística se ocupa de estudiar los feómeos estocásticos. Si embargo, existe importates coexioes etre las primeras y las Estadística, pues e el estudio de los feómeos aturales los métodos empleados o so uca lo suficietemete precisos i uestro coocimieto de las leyes aturales ta perfectos como para o mirar los resultados obteidos co cierta icertidumbre. Cosideramos, por ejemplo, el feómeo de la desitegració radioactiva de los átomos de cierto elemeto. Co la ivestigació empírica, se ha visto que el tiempo de vida (hasta su desitegració) de u átomo o se puede predecir, pero es posible, basádose e métodos estadísticos, determiar el tiempo de vida que por térmio medio tiee u átomo. Cosiderado ua gra masa de átomos, se puede calcular el período de semidesitegració (el tiempo hasta que se desitegre la mitad de la masa). Cada elemeto radiactivo tiee u período cocreto de semidesitegració, y esto ya se puede cosiderar como ua ley física que rige el feómeo de la desitegració radiactivo. Esta ley física que se puede cosiderar

3 Heraldo Gozalez S. 3 determiista (a cada elemeto radiactivo le correspode u período de semidesitegració) se ha obteido, si embargo, de cosideracioes estocásticas. U feómeo determiado se cosidera ESTOCÁSTICO cuado cocurre ua o más de las siguietes circustacias: - Las leyes que sigue el feómeo o so coocidas e su totalidad. - Los factores que iterviee e el feómeo so demasiado umerosos para coocerlos e su totalidad, o so difíciles de apreciar, o o so medibles si alterar los codicioes e que se desarrolla el feómeo. Puede ser el caso, por ejemplo, del lazamieto de u dado, o de la medició de la posició de los electroes de u átomo. A los experimetos relacioados co feómeos estocásticos se les deomia EXPERIMENTOS ALEATORIOS, y se caracteriza por poseer tres propiedades básicas: 1. Se cooce previamete los posibles resultados del experimeto. 2. Es imposible la predicció del resultado del experimeto, ates de realizarlo. 3. E sucesivas realizacioes del experimeto, co las mismas codicioes iiciales puede aparecer distitos resultados. A modo de ejemplo, proporcioamos ua serie de experimetos que puede ser cosiderados como aleatorios, puesto que se verifica las tres propiedades ateriores. a) El lazamieto de u dado ordiario y aotar el úmero obteido. b) El lazamieto de ua moeda y aotar su resultado. c) El tiempo de vida hasta la desitegració de u átomo radiactivo. d) El cosumo de gasolia por mes de u vehículo. e) La altura de u ciudadao elegido al azar etre la població de Satiago.

4 4 Pla de Regularizació, Estadistica I f) El úmero de defectos, e los datos del ceso, de u habitate elegido al azar e ua ciudad. g) El cosumo diario de agua e ua ciudad. No es de extrañar que aparezca e la lista aterior juegos de azar. Precisamete, los fudametos de la Teoría de la Probabilidad se obtuviero cosiderado este tipo de juegos etre los siglos XVII y XVII. A cotiuació vamos a modelar los experimetos aleatorios, co la itroducció de defiicioes básicas y la obteció de propiedades que será utilizados para formular leyes de los mismos. Estas leyes o será determiistas, puesto que está basadas e el azar y e la icertidumbre. El Espacio Muestral asociado a u experimeto aleatorio. Dado u experimeto aleatorio, defiimos su ESPACIO MUESTRAL, y lo represetamos co el símbolo Ω, como el cojuto de todos los posibles resultados del experimeto. La elecció de los resultados puede hacerse bajo distitas codicioes de sus características, resultado posible la obteció de distitos espacios muestrales para u mismo experimeto aleatorio. EJEMPLO 1 E el experimeto aleatorio cosistete e lazar u dado ordiario, se puede cosiderar los siguietes espacios muestrales: Ω 1 Ω 2 = {1,2,3,4,5,6} si se cosidera el putaje obteido e el lazamieto. = {par, impar} si cosideramos la paridad del putaje obteido. EJEMPLO 2 Al lazar dos moedas ordiarias, se puede cosiderar los espacios muestrales. Ω 1 Ω 2 = {cc, cs, sc, ss}. = {igua cara, ua cara,. dos caras}.

5 Heraldo Gozalez S. 5 EJEMPLO 3 Ua caja cotiee 3 bolitas rojas y 2 bolitas egras. Se extrae ua bolita tras otra hasta extraer 2 bolitas rojas. Determie el espacio muestral. Solució El siguiete diagrama de árbol os puede ayudar Etoces Ω= {RR, RNR, RNNR, NRR, NRNR, NNRR}. Tipos de espacios muestrales. Atediedo al úmero de resultados del espacio muestral, podemos distiguir tres tipos de espacios muestrales. 1) Espacio muestral fiito. Es aquel que cotiee u cojuto fiito de resultados. Los ejemplos ateriores correspode a este tipo de espacio muestral. 2) Espacio muestral ifiito umerable. Se llama así al espacio muestral co ifiitos resultados, pero que se puede poer e biyecció co los úmeros aturales. Los resultados se puede ordear como los úmeros aturales, si que falte iguo e la ordeació.

6 6 Pla de Regularizació, Estadistica I EJEMPLO 4 Cosideramos el experimeto cosistete e lazar ua moeda ordiaria repetidas veces hasta obteer por primera vez cara. Sus resultados se puede ordear como sigue: W 1 : C. W 2 W 3 : SC. : SSC.. W : S... SC (-1 sellos).... y el espacio muestral es Ω = {W 1,..., W,...} que es ifiito umerable. 3) Espacio muestral cotiuo. Es u espacio muestral formado por ifiitos resultados, que costituye u cojuto çotiuoçomo es el caso de u itervalo e R, ua regió del plao R 2, etc. EJEMPLO 5 Cosideramos el experimeto aleatorio cosiste e medir el tiempo de vida de ua ampolleta. Es evidete que, auque uestros aparatos de medida o pueda medir tiempos, por ejemplo, iferiores a ua milésima de segudo, la bombilla se puede fudir e cualquier istate etre dos valores medibles por osotros. Por tato, los resultados posibles so el cojuto de los úmeros reales o egativos, así etoces: SUCESOS. Ω = [0, [ = W R / W 0 Dado u experimeto aleatorio, llamamos suceso a cualquier acotecimieto que se puede producir e la realizació del experimeto. Para cada suceso, debe ser posible decidir si ha ocurrido o o, cotemplado cada resultado obteido e el experimeto.

7 Heraldo Gozalez S. 7 EJEMPLO 6 Cosideremos el experimeto cosistete e elegir, al azar, u úmero e el itervalo [0, 1]. El espacio muestral es el cojuto de los úmeros reales etre 0 y 1 y etoces Ω = {W R / 0 W 1}. Si defiimos A: el úmero elegido e meor que 1/2, hemos elegido u suceso, pues para cada resultado del experimeto, es posible decidir si A ocurre o o ocurre: Si W < 1/2 etoces A ocurre; si W 1/2 etoces A o ocurre. Operacioes co sucesos. Para dotar a los sucesos de ua estructura matemática co la cual poder obteer propiedades más geerales y expresioes co mayor operatividad, es ecesario itroducir operacioes co sucesos. Estudiamos pricipalmete cuatro de ellas: 1) Operació de Complemetació. La defiició de sucesos complemetarios sugiere ua operació que podemos realizar co u suceso A; hallar su complemetario A c. Dado el suceso A, el suceso A c es aquel que ocurre si o ocurre A y que o ocurre si ocurre A. E térmios de Teoría de cojutos: Sea A u cojuto e cierto uiverso U, etoces el complemeto de A, deotado A c, es el cojuto tal que A c ={x / x U x A} 2) Operació de Producto o Itersecció. Dados dos sucesos A y B, se llama itersecció de A y B, y lo represetamos como A B, al suceso que ocurre si y sólo si ocurre los dos sucesos A y B a la vez. Por ejemplo, e el lazamieto de dos moedas, dados los sucesos A obteer por lo meos ua cara y B obteer por lo meos u sello, el suceso itersecció es: A B: obteer resultados distitos e las dos moedas. E térmios de Teoría de cojutos: Sea A y B dos cojutos e el uiverso U. La itersecció de A co B es el cojuto deotado A B tal que A B = {x / x A x B} Como ejercicio se puede probar que las siguietes propiedades so ciertas

8 8 Pla de Regularizació, Estadistica I a) A B = B A; Comutatividad de la itersecció. b) A (B C) = (A B) C; Asociatividad de la itersecció. c) A A c =. d) A A = A; Idempotecia. e) A =. f) A B etoces A B = A. 3) Operació de suma o uió. Dados dos sucesos A y B, se llama uió de A y B, y lo represetamos como A B, al suceso que ocurre si y sólo si A ocurre, o B ocurre, o ambos ocurre a la vez, es decir, A B, ocurre si al meos uo de los dos sucesos ocurre. Por ejemplo, e el lazamieto de dos moedas, dados A: obteer dos caras y B: obteer dos sellos, etoces A B es el suceso obteer resultados iguales e las dos moedas. E térmios de Teoría de cojutos: Sea A y B dos cojutos e el uiverso U. La uió de A co B es el cojuto deotado A B tal que A B = {x / x A x B}. Alguas propiedades de la uió, que se puede probar fácilmete so: a) A B = B A; Comutatividad de la uió. b) A (B C) = (A B) C; Asociatividad de la uió. c) A A c = Ω. d) A A = A; Idempotecia. e) A = A. f) A B etoces A B = B. 4) Operació Diferecia. Dados dos sucesos A y B, se llama diferecia etre A y B, y se represeta como A B, al suceso que ocurre si y sólo ocurre A y o ocurre B (sólo ocurre A).

9 Heraldo Gozalez S. 9 Se cumple etoces que: A B = A B c. Otras propiedades. a) Distributivas A (B C) = (A B) (A C). A (B C) = (A B) (A C). b) Leyes de De-Morga (A B) c = A c B c. (A B) c = A c B c. La Probabilidad. Los orígees de la Teoría de la Probabilidad podemos ecotrarlos e el Atiguo Egipto, pues se ha ecotrado evidecias de la recolecció de datos para elaborar cesos, y de los primero juegos de azar. Si embargo, fue e Europa, hacia el siglo XIV, e dode la Teoría de la Probabilidad tomó los causes que la llevaría al desarrollo que preseta actualmete. Las primeras cosideracioes sobre el cálculo de probabilidad aparece e tratados atiguos sobre juegos de azar. Recordemos que e cualquier experimeto aleatorio, e relació co u feómeo estocástico, es imposible predecir el resultado de ua realizació del experimeto. Si se repite varias veces e codicioes aálogas, se obtiee e geeral resultados distitos para los cuales o se aprecia igua relació causa-efecto. Si embargo, la repetició del experimeto u úmero grade de veces produce ua estabilizació de las frecuecias relativas de los distitos resultados e toro de ciertos valores. Ua ley que itete explicar la aparició de resultados es ecesario que se base e el azar o icertidumbre. Esta ley es la probabilidad. Para ilustrar lo declarado ateriormete, lacemos ua moeda ormal, cierta catidad de veces para descubrir el comportamieto del suceso sale sello ; e cada lazada aotamos el resultado, cara o sello.

10 10 Pla de Regularizació, Estadistica I Iterpretació frecuecial de la probabilidad. Dado u suceso A asociado co u experimeto aleatorio, la probabilidad de este suceso correspode al límite de su frecuecia relativa, cuado el úmero de repeticioes del experimeto crece idefiidamete lím a = lím f a. siedo a el úmero de veces que ocurre A e las repeticioes. Evidetemete, co muchísimas repeticioes del experimeto el valor de la frecuecia relativa se ecotrará muy estabilizado, pero o puede ser cosiderada esta iterpretació como ua defiició matemática de la probabilidad de u suceso. Si embargo, se basa e los resultados empíricos obteidos a base de repetir u experimeto aleatorio. Auque esta modelizació de la probabilidad o es e modo alguo operativa, sí os permite obteer ciertas propiedades de las frecuecias que debe teer su reflejo e ua defiició matemática de la probabilidad. 1. Para cualquier suceso A: f A = A 0.

11 Heraldo Gozalez S La frecuecia relativa del suceso seguro es: f Ω = = Dados dos sucesos A y B excluyetes se deduce: f A B = A+ B = A + B = f A + f B. Todos los modelos matemáticos de probabilidad que se pueda defiir sobre los sucesos de u experimeto aleatorio debe ser compatibles co la aterior iterpretació de la probabilidad y las propiedades de sus frecuecias, pues estas cosideracioes se ha obteido empíricamete. De ada sirve u modelo teórico para estudiar u feómeo que etre e cotradicció co las experiecias e el mudo real. Iterpretació Clásica de la Probabilidad (Laplace). Aparece a través de aálisis de los juegos de azar, co el iteto de explicar de forma teórica e ideal la frecuecia de los distitos resultados. Cosideremos u experimeto aleatorio co espacio muestral Ω fiito. Deotamos por W 1, W 2,..., W a los resultados del experimeto, y que costituye el espacio muestral. Dado u suceso A relacioado co el experimeto, debe ser posible decidir si ocurre o o cotemplado cada uo de los resultados. Siguiedo co el modelo de álgebra itroducido, la propiedad aterior equivale a cosiderar A como u subcojuto de resultados de Ω. Si supoemos que los resultados aparece co idética frecuecia e las repeticioes del experimeto, es decir, si o hay igua razó para que uo de los resultados se produzca co más frecuecia, podemos dar ua medida de la frecuecia co que ocurre u suceso A, que llamaremos probabilidad de A y represetamos por P (A): P (A) = (A) = (A) (Ω) dode (A) es el umero de resultados favorables a A y además la catidad de elemetos e Ω es : (Ω) = ({W 1, W 2,..., W }) =. Esta defiició es compatible co las tres propiedades empíricas de la secció aterior pues se cumple: 1) P (A) = (A) 0.

12 12 Pla de Regularizació, Estadistica I 2) P (Ω) = = 1. 3) Si A B = etoces P (A B) = (A B) = (A)+(B) = (A) + = (B) = P (A) + P (B). Numerosos experimetos aleatorios admite esta iterpretació, que es ua buea regla de cálculo de probabilidades de sucesos cuado el espacio muestral es fiito. EJEMPLO 7 Cosideremos el lazamieto de dos moedas equilibradas. Los resultados del experimeto so cuatro: W 1 = (c,c), W 2 = (c,s), W 3 = (s,c), W 4 = (s,s). Como las moedas está perfectamete equilibradas, podemos supoer que las ateriores secuecias de caras y sellos aparece co igual frecuecia y etoces podemos calcular la probabilidad de cualquier suceso asociado co el experimeto. Por ejemplo, si el suceso es: A = obteer algua cara etoces A = {W 1, W 2, W 3 } y P (A) = 3/4. Si el suceso es ahora: B = obteer resultados distitos e las dos moedas etoces P (B) = 2/4. Sería posible pesar e cosiderar como resultado del experimeto el úmero de caras obteidas, así etoces: v 0 = obteer 0 caras, v 1 = obteer 1 cara, v 3 = obteer 2 caras y las probabilidades ateriores so P (A) = 2/3, P (B) = 1/3. E la práctica, para determiar el úmero de resultados total y los favorables a la ocurrecia de u suceso, se ocurre a utilizar las técicas del aálisis combiatorio. Veamos alguos ejemplos: EJEMPLO 8 De u lote co 10 artículos, 3 de los cuales so defectuosos, se extrae simultáeamete 5 de ellos. Calcular la probabilidad de que etre los artículo extraídos se ecuetre 2 defectuosos. Solució. Cada grupo de 5 artículos elegidos de etre los 10 del lote puede ser elegido co la misma probabilidad y costituye u resultado; dos resultados so

13 Heraldo Gozalez S. 13 distitos cuado algú elemeto es distito, así, (Ω) = ( 10 5 ) = 252 grupos distitos. Si defiimos el suceso ( ) A ( = hay ) dos artículos defectuosos e el grupo de etoces (A) = (los dos defectuosos de seleccioa etre los defectuosos que hay e el lote, y los restates 3 artículos o defectuosos de etre los 7 o defectuosos del lote), así, EJEMPLO 9 P (A) = (A) (Ω) = = = 0,4167. E ua habitació 10 persoas tiee isigias umeradas del 1 al 10. Se elige tres persoas al azar y se les pide que abadoe la habitació y se aota el úmero de las isigias. a) Cuál es la probabilidad de que el úmero meor de las isigias sea 5?. b) Cuál es la probabilidad de que el úmero mayor de las isigias sea 5?. Solució. a) Hay maeras ( ) de formar grupos de 3 de etre 10, así, 10 (Ω)= = Sea el suceso A = el úmero meor aotado de las isigias es 5. Los elemetos de A so cojutos de 3 úmeros, uo de los cuales es el 5 y los restates ( úmeros ) perteece al cojuto {6, 7, 8, 9, 10}, 5 así (A) = 1 = 10, de dode P (A) = 2 10 = 0, b) Sea el suceso B = el úmero mayor aotado de las isigias es 5. Los elemetos de A so cojutos de 3 úmeros, uo de los cuales es el 5 y los restates úmeros perteece al cojuto {1, 2, 3, 4}, así (B) = 1 ( 4 2 ) = 6, de dode P (B) = = 0,05.

14 14 Pla de Regularizació, Estadistica I EJEMPLO 10 Ua máquia de juego de azar tiee 4 orificios e dode puede aparecer e cada jugada, cada uo de los 10 símbolos distitos de que dispoe la máquia. La máquia da u premio especial cuado los símbolos que aparece e los 4 orificios so iguales. Cuál es la probabilidad de obteer el premio especial?. Solució. Cosideramos como resultado del juego cualquier cojuto de 4 símbolos etre los 10 símbolos que cotiee la máquia. Naturalmete que los símbolos puede estar repetidos e u resultado y dos resultados so distitos si difiere e el orde o e algú símbolo. El Aálisis Combiatorio os idica que el úmero de resultados diferetes viee dado por variacioes co repetició y etoces (Ω) = V R 10,4 = 10 4 = 10,000; por otro lado, los resultados favorables del suceso A = los 4 símbolos so iguales es (A) = 10. Si la máquia fucioa correctamete, los 10,000 resultados so equiprobables, de dode P (A) = (A) = 10 = 0,001. (Ω) 10,000 EJEMPLO 11 Se laza 4 dados, perfectamete equilibrados cuyas caras está marcadas co los úmeros 1, 2, 3,..., 6. Calcular la probabilidad de que e u lazamieto aparezca igú putaje repetido. Solució. Los resultados posibles so secuecias de 4 cifras, formadas co las del cojuto {1, 2, 3,..., 6}. Dos resultados so distitos si difiere e el orde o e ua cifra, pudiedo repetirse, por lo tato: (Ω = V R 6,4 = 6 4 = 1,296. Los resultados favorables al suceso A = o hay putaje repetido es (A) = = 360 de dode P (A) = (A) = 360 = 0, (Ω) 1,296 EJEMPLO 12 E ua reuió hay persoas. Cuál es la probabilidad de que dos o más tega el cumpleaños el mismo día y mes?

15 Heraldo Gozalez S. 15 Solució No cosideramos el día 29 de febrero y etoces teemos 365 posibles fechas que cosideramos igualmete probables; la dimesió del espacio muestral es (Ω) = 365. Si defiimos el suceso A = o coicide cumpleaños etoces la dimesió de A es (A) = V 365, = 365! (365 )! = ( ) de dode la probabilidad de que o coicida cumpleaños es P (A) = (A) (Ω) = (365 +1) 365. Debemos arreglar este resultado, teemos P (A) = 1 (1 1 ) (1 2 1 )... (1 ) de dode, la probabilidad pedida es 1 P (A c ) = 1 P (A) = 1 (1 k 365 ) Como los térmios del producto aterior so meores que 1 y dismiuye coforme crece etoces la probabilidad tiede a 1. Es lógico, ya que si hay más persoas es más seguro que dos persoas tega el mismo cumpleaños. Calculemos la probabilidad p para alguos valores de. k= p 0, 027 0, 507 0, 970 0, 994