a i x 1 t dt También tenemos que la función cos x se define como un número y tal que log x = 1 x [0, ] y 1 y t dt + y 1 1 t 2 dt = x 2

Transcripción

1 1. INTRODUCCIÓN. Los matemáticos cosidera como fucioes elemetales, etre otras, los poliomios, e, log, se y cos, las cuales hemos descrito e temas ateriores. Pero de todas ellas, solo los poliomios puede calcularse de forma secilla para cualquier valor de la variable idepediete. Eso es debido a que si p() es u poliomio, etoces p() = i=0 Recordemos que la fució e se calcula como iversa de log. Y esta última viee defiida por a i i log = 1 1 t dt Tambié teemos que la fució cos se defie como u úmero y tal que Y = cos A( y) = [0, ] Y como la fució A(y) es tedremos que A( y) = y 1 y 1 1 t dt + y y 1 y 1 + y 1 t dt = OBS Omitimos como etiede la fució cos de [0, ] a ΙΡ. Y recordemos que la defiició de la fució se es se = 1 cos E este tema vamos a tratar de aproimar estas fucioes elemetales, y e geeral todas aquellas que cumpla uas determiadas codicioes, por fucioes poliómicas e las proimidades de u puto. 1/6

2 . POLINOMIO DE TAYLOR DE GRADO N. Sea f() ua fució derivable e = a hasta el orde iclusive. Vamos a ecotrar u poliomio de grado o superior a, P (), cuyo valor = a coicida co el valor de f() e = a y los valores de sus derivadas tambié coicida, e = a, co las derivadas de f() hasta el orde -ésimo. Etoces teemos que P (a) = f(a) P (a) = f (a) P (a) = f (a). P ) (a) = f ) (a) (1) Escribamos el poliomio e forma de potecias de ( a): P () = a o + a 1 ( a) + a ( a) + a 3 ( a) a ( a) Los coeficietes de P () los calculamos teiedo e cueta las codicioes (1). Primero veamos el valor de P () y sus derivadas e = a P (a) = a o P (a) = a 1 P (a) = a P (a) = 3! a 3... DEF P ( ) P ) (a) =! a Y aplicado las codicioes (1) obteemos a = f (a), a = f (a), a o 1 = 1! f (a), a 3 = 1 3! f (a),, a = 1! f ) (a) El poliomio P () queda como ( ) ( ) ( )( ) f (a) ( ) f (a) ( ) 3 f ) (a) ( ) P = f a + f a a +! a + 3! a + +! a Llamamos Poliomio de Taylor de grado para f e = a al poliomio = f (a) ( i ) i i=0 i! a OBS Siedo riguroso, tedríamos que haber deotado al poliomio como P,a,f (), auque os coformaremos co P,a (a). /6

3 .1. Poliomios de Taylor de alguas fucioes elemetales. E geeral, las fucioes elemetales tiee poliomios de Taylor bastate secillos, auque los coeficietes parezca depeder de la fució f de forma complicada. Sea, e primer lugar, f() = se. f(0) = se 0 = 0 f (0) = cos 0 = 1 f (0) = - se 0 = 0 f (0) = - cos 0 = -1 A partir de f I V (0) las derivadas se repite co u ciclo de 4. Los coeficietes a K toma valores 0, 1, 0, 1,0, 1,0, 1,0, 1, ! 7! 9! Y el poliomio de Taylor de grado + 1 para se e = 0 es P +1,0 ( ) = ( 1) 3! 5! 7! ( +1)! Para o reiteraros, repitiedo los cálculos de maera aáloga para f() = cos e = 0, obteemos que el poliomio de Taylor de grado de f() = cos es = 0 es 4 6 P,0 ( ) = ( 1)! 4! 6! ()! El poliomio de Taylor de la fució f() = log o puede calcularse e = 0 ya que es u puto que o perteece al domiio. Tomaremos = 1. f (1) = log 1 = 0 f (1) = 1 = 1 1 f (1) = 1 = 1 1 f (1) = = 1 3 3/6

4 Y e geeral, como f i) () = ( 1)i 1 (i 1)! i teemos que f i (1) = ( 1) i 1 (i 1)! Siedo el poliomio de Taylor P ( ( ) 1) ( 1) ( ( ) 1) 3,1( ) = es Si tomamos la fució f() = log( + 1) si se puede calcular su poliomio e = 0 y 3 P ( ) = ( 1) 1,0 3 La iversa de la fució logaritmo, e, tiee ua epresió para el poliomio de Taylor e = 0 muy secilla, debido a que y etoces (e ) K) = e P,0 () = ! 3!! Pero o todas las fucioes elemetales tiee poliomios de Taylor ta secillos. Nos podemos ecotrar co otras fucioes cuyas derivadas sea complicadas o se vaya complicado coforme aumetamos el orde. Por ejemplo, la fució arctg, que tiee por derivadas arctg = arctg ( 0) = 1 arctg = arctg (0) = 0 (1 + ) arctg = (1 + ) ( ) + (1+ ) arctg (0) = (1+ ) 4 Y coforme aumetamos el orde, mas complicada es la derivada... Propiedades del poliomio de Taylor. De mometo teemos defiido el poliomio de Taylor de f() e = a de grado como aquel que tiee las primera derivadas coicidetes e = a co f(), además de P(a) = f(a). Esta relació etre el poliomio y f(), veremos que es mucho mas profuda de lo que parece. 4/6

5 Para empezar, sea P 1,a () el poliomio de Taylor de f() e = a de grado 1. Etoces P 1,a ( ) = f (a) + f (a)( a) A partir de esta epresió, cambiádola de sigo y sumado f() y después dividiedo por a llegamos a f () P 1,a () = f a a a f () f (a) Y como sabemos que la defiició de derivada e u puto es obteemos como coclusió que f (a) = lim a f () f (a) a ( ) lim a f () P 1,a a ( ) = 0 De esta epresió deducimos que la distacia etre f() y P 1,a () o solo se hace pequeña cuado a sio que icluso es más pequeña comparádola co la distacia etre y a. Geeralicemos este resultado que hemos obteido para = 1 a cualquier valor del grado del poliomio. TEOREMA Sea f() ua fució veces derivable e = a y sea P,a () el poliomio defiido como P,a ( ) = a i ( a) i co a i = i=0 f i) (a) i! Etoces f () P,a () lim = 0 a ( a) Dem. Si desarrollamos el cociete teemos 1 f () P () f () a i ( a) f () f i ) i (a) i! ( a) i f ) (a),a = i= 0 = i=0 ( a) ( a) ( a)! Defiamos las fucioes 5/6

6 Q() = 1 i) a y g() = ( a) f (a) i=0 i! ( Co estas fucioes, teemos que demostrar ) i lim a f () Q() = g( ) f ) (a)! Si os fijamos e la defiició de Q(), vemos que Q i ) (a) = f i) (a) i 1 Y la fució g() verifica Por tato, teemos que se verifica g i) ( ) = lim ( f () Q()) = f (a) Q(a) = 0 a lim ( f () Q ()) = f (a) Q (a) = 0 a!( a) k ( K )! lim ( f ) () Q ) ()) = f ) (a) Q ) (a) = 0 a y tambié lim g() = lim g () =... = lim g ) ( ) = 0 a a a Etoces, el límite a calcular es ua idetermiació de la forma 0 0, resolveremos aplicado la regla de L Hôpital, hasta u total de 1 veces. lim a f () Q() g() = lim a f () Q () g () =... = lim a f 1) () Q 1) () g 1) () = que Sabemos que Q -1) () = f -1) (a) y que g -1) () =! ( a). Sustituyedo = lim f () f (a) 1 lim f () f (a) 1 f (a) 1) 1) 1) 1) a!( a) =! a a =! ) c.q.d. 6/6

7 La tesis del teorema aterior os permite dar la siguiete defiició: DEF Dos fucioes f y g se dice que so iguales hasta el orde e = a si f () g() lim = 0 a ( a) Segú esta defiició, el teorema 1 dice que el poliomio de Taylor de f() de grado e = a, P,a (), y f() so iguales hasta el orde e = a. Podríamos dar ua defiició alterativa para el poliomio de Taylor, como aquel poliomio de grado que cumpla las propiedad aterior, que sabemos que es úico. La proposició siguiete os demuestra la uicidad. PROP Sea P y Q dos poliomios e a, de grado, y supogamos que P y Q so iguales hasta el orde e = a. Etoces P = Q. Dem. Defiamos el poliomio R() = P() Q(). R() es u poliomio de grado : R( ) = r i ( a) K =0 Si demostramos que R() verifica etoces R = 0. R() lim = 0 a ( a) La hipótesis para R() os garatiza que se verifica lim R() = 0 0 a ( a) i i y como Para i = 0 la codició es lim R( ) = 0 a i lim R() = lim r i ( a) = r o a a i=0 7/6

8 etoces r o = 0 y r () = r i ( a) i i=1 Para i = 1 lim R( ) = 0 a a y el cociete siedo R( ) = r ( a) i 1 = r + r ( a) r ( a) 1 a i 1 i=1 Por tato r 1 = 0 Reiterado el proceso obtedremos y por tato R = 0. lim R() = r 1 a a r o = r 1 = r = = r = 0 COROLARIO Sea f() ua fució derivable veces e = a y sea P() u poliomio e a de grado, ta que f() y P() so iguales hasta el orde e = a. Etoces P() = P,a (). Dem. Imediata. Si f() tiee derivadas e = a, el corolario aterior os muestra u método para hallar el poliomio de Taylor. Utilicémoslo ahora para hallar el poliomio de Taylor de la fució arctg que dejamos pediete. Sabemos que la fució arctg se puede epresar por medio de la ecuació 1 arctg = t dt Si realizamos la divisió que idica el cociete: 8/6

9 1 =1 t + t 4 t 6 + t ( 1 ) t ( ) t t 1 + t y etoces arctg = (1 t + t 4 t 6 + t ( 1) t )dt + ( 1) +1 t + + dt = t = ( 1) +1 + ( 1) t dt +1 t + Aplicado el corolario aterior, el poliomio que acabamos de obteer es el poliomio de Taylor de grado e = 0 para arctg siempre que se verifique lim 0 t + dt t = 0 +1 Y la epresió aterior es cierta si teemos e cueta que:.3. Teorema de Taylor. = + 3 t t + dt 0 1+ t dt Volviedo a la epresió obteida para la fució arctg arctg = ( 1) + ( 1) +1 y recordado la acotació obteida para el último sumado t + dr t t dt +1 t + podemos afirmar que si 1 etoces el último sumado tiee u valor máimo de 1, pudiédose hacer ta pequeño como se quiera ta sólo aumetado. + 3 Es decir, podemos usar el poliomio de Taylor para calcular el valor de la fució arctg co 1 co tata aproimació como queramos. Los teoremas de Taylor permite eteder el resultado obteido a otras fucioes. 9/6

10 Los resultados obteidos e el puto aterior ha eamiado el comportamieto del poliomio de Taylor P,a () para fijo, cuado tiede hacia = a. A partir de ahora dejaremos fijo y variaremos el valor de. DEF Llamaremos resto del poliomio de Taylor P,a () de la fució f() a la fució R,a () que verifica f () = P,a () + R,a () E el caso de la fució arctg hemos visto que +1 t + R +1,0 () = ( 1) t dt Sería deseable obteer ua epresió para R,a () que os permitiera estimar fácilmete su magitud. Vamos a ver que dicha epresió eiste y que ecierra ua itegral, como e el caso de al arctg. Vamos a obteer dicha epresió de dos formas diferetes. La seguda de ellas recibirá el ombre de Teorema de Taylor, y la primera que vamos a ver es la costructiva. Para = 0 teemos que f () = f (a) + R o,a ( ) y por el teorema fudametal del cálculo ifiitesimal podemos decir f () = f (a) + f (t )dt a co lo que R 0,a () = a f (t )dt Para obteer R 1,a () partiremos de la fórmula aterior aplicado itegració por partes: R () = f (t )dt = 0,a a u = f (t ) dv = dt u = f (t )dt v = t Escribimos v(t) = t ya que - es ua costate al ser fijo. = [ f (t)(t )] f (t )(t )dt = f (a)(a ) f (t)(t )dt a a a 10/6

11 Sustituyedo f () = f (a) + R 0,a ( ) = f (a) + f (a)( a) + a f (t )( t )dt por lo tato R 1,a ( ) = a f (t )( t )dt Si repetimos el proceso para R 1,a () tomado u(t) = f (t) u (t ) = f (t)dt v (t ) = ( t)dt v(t) = ( t ) obteemos R 1,a ( ) = f (a)( a) f (t) + ( t) dt a siedo R,a () = a f (t) ( t ) dt Reiterado el proceso veces llegamos a que si f +1) () es cotiua [a, ] etoces f +1) (t ) R,a ( ) = a! ( t) dt El teorema de Taylor es la seguda forma de obteer ua epresió para el resto que vamos a ver. Tiee como vetaja que o eige como hipótesis que f +1) () sea cotiua. TEOREMA Teorema de Taylor. Sea f() ua fució co derivadas hasta el orde + 1 e [a, ] y R,a () defiido como f () = f (a) + f (a)( a) f ) (a) ( a) + R ()! Etoces 1) R,a ( ) = f +1) (t) ( t) ( a) para algú t (a, )!,a 11/6

12 ) R,a ( ) = f +1) (t) ( + 1)! ( a)+1 para algú t (a, ) 3) Si f +1) () es itegrable sobre [a, ] etoces R Dem. 1) Sea u º fijo. Etoces t [a, ],a () = f +1) (t) ( t ) dt 0! f () = f (t ) + f (t )( t ) f ) (t)! Derivemos la epresió aterior como fució de t. El primer miembro: ( t ) + S (t ) t [a, ] df () = 0 dt y cada sumado f K ) (t ) ( t) K tiee por derivada K! f K ) (t) d ( t ) K K! dt = f K ) (t ) K! K ( t )K 1 ( 1) + f K 1) (t) ( t) K = K! = f K ) (t) ( K 1)! ( t) K 1 + f K +1 (t) ( t) K K! Sustituyedo tedremos 0 = f () + f (t ) f (t ) ( t) + f (t ) f (t ) ( t) + ( t) 1! 1!! f ) (t ) f +1) (t) + ( 1)! ( t) 1 + ( t ) + S (t )! Teiedo e cueta que se cacela casi todos los sumado, os queda S (t) = f +1) (t ) ( t)! Aplicado el teorema de Valor Medio de la fució t (a, ) tal que S(t) sobre [a, ] eiste u 1/6

13 S (t) = S( ) S (a) a por lo que S () S (a) = a f +1) (t )! ( t ) Si recordamos que S(t ) = R,t ( ) teemos que S( ) = R, () = 0 S(a) = R,a ( ) Por tato, sustituyedo +1) (t) 0 R,a ( ) f ( t ) a =! y despejado R,a ( ) = f +1) (t) ( t) ( a)! que llamaremos forma de Cauchy del resto. ) Aplicado el teorema del valor medio de Cauchy a S y g(t) = ( t) +1 eiste algú t (a, ) tal que (S () S(a))g (t ) = (g () g(a))s (t ) Sustituyedo g() = 0 g(a) = ( a) +1 g (t) = - ( + 1) ( t) obteemos R,a ( ) = f +1) (t) +1 ( a) ( + 1)! que es la forma de Lagrage del Resto. 3) Si f +1) es itegrable sobre [a, ] aplicado el teorema fudametal del cálculo itegral 13/6

14 S( ) S(a) = a S (t) y sustituyedo S (t) por su valor f S( ) S(a) = +1) (t) a! ( t) dt que os da f +1) (t ) R,a ( ) = a! ( t) dt Como aplicació del teorema aterior, vamos a escribir de uevo el poliomio de Taylor co el resto itegral para las siguietes fucioes: se + ) (t) +1 se = ( 1) 3! 5! ( + 1)! + 0 ( t ) dt ( +1)! 4 cos +) (t) cos = ( 1)! 4! ()! + 0 ( t ) dt ()! 3 e = e t! 3!! 0! + ( t ) dt Las itegrales que hemos obteido so demasiado complicadas como para resolverlas. Y más cuado sabemos que su valor será el de la fució meos el del poliomio. Lo que sí es fácil de hacer, y lo dejamos como ejercicio, es acotarlas superiormete. 3. DESARROLLO DE UNA FUNCIÓN EN SERIE DE POTENCIAS. DEF Llamaremos serie de potecia a ua serie de fucioes de la forma K = 0 a K K dode {a o, a 1,..., a,...} so úmeros costates llamados coeficietes de al serie. El domiio de covergecia de ua serie de potecias es u cierto itervalo que e alguos casos podría reducirse a u puto. TEOREMA. Teorema de Abel. 1) Si ua serie de potecias coverge para u cierto valor o o ulo, etoces coverge absolutamete, < o. 14/6

15 ) Si la serie diverge para cierto valor de o, etoces diverge > o. Dem. 1) Por hipótesis, la serie umérica a 0 + a a + + a coverge, su térmio geeral a 0, cuado 0 pero esto sigifica que eiste u úmero M positivo tal que todos los térmios de la serie so meores e valor absoluto que M. Sea la serie a 0 + a a a y cosideremos la serie de valores absolutos de sus térmios + (1) a 0 + a a a () Los térmios de esta serie so meores que los térmios correspodietes a la serie M + M 0 + M M + 0 (3) Cuado < 0, la serie (3) es ua progresió geométrica de razó <1, siedo 0 por tato covergete. Etoces la serie () tambié es covergete, por ser meor que (3). Y de aquí se deduce que la serie (1) tambié es covergete absolutamete. ) Supogamos que la serie a 0 + a 1 + a + + a + diverge e u cierto puto 0. Etoces esta serie tambié será divergete cualquier que verifique > ' 0, ya que si la serie fuese covergete para ese de, aplicado el apartado 1 tambié sería covergete e 0, lo cual sería ua cotradicció. c.q.d. para valor 15/6

16 El Teorema de Abel os permite determiar los putos tato de covergecia de la serie, como de divergecia. Si la serie coverge e o, etoces todos los putos (, ) o so putos de covergecia absoluta. Y aálogamete, si o es u puto de divergecia, tambié lo será todos (, ) (,+ ). o o Por tato, teemos COROLARIO El domiio de covergecia de ua serie de potecias es u itervalo co cetro el orige de coordeadas. DEF Llamaremos radio de covergecia de ua serie de potecias a R, que verifica que E(0, R) la serie es covergete y [-R, R] la serie es divergete. El caso de que = R ó = - R se resuelve de forma particular para cada fució. Sea f() ua fució derivable hasta el orde + 1 e u etoro de = a. Etoces podemos escribir que f () = f (a) + f (a)( a) f (a) ( a) + 1 f +1) (t)( t ) dt!! a Si la fució f() es de clase C e u etoro de = a (tiee ifiitas derivadas), podemos tomar arbitrariamete grade e la fórmula de Taylor. DEF Dada ua fució f() de clase C e u etoro del puto = a, llamaremos desarrollo de f() e serie de Taylor a la epresió f () = f K ) (a) K =0! ( a) K K Si e la fórmula de Taylor dejamos fijo y tomamos límites cuado tiede a ifiito, la serie covergerá solo e el caso de que se verifique que lim R,a () = 0. PROP Si lim R,a ( ) = 0 la serie de Taylor de f() es covergete para ese. Dem. Sea f () = P,a ( ) + R,a ( ) Dode P,a (a) es el poliomio de Taylor de f() e = a de grado y R,a () es el resto. Tomado límites e ambos miembros cuado tiede a ifiito teemos f () = lim P,a ( ) 16/6

17 ya que por hipótesis lim R,a ( ) = 0 Pero P,a () es la -ésima suma parcial de al serie de Taylor, por tato su límite es igual a al suma de al serie y se verifica que f () = f K (a) K =0! ( a) K K OBS Deducimos que la serie de Taylor represeta a la fució f() solo cuado lim R,a ( ) = 0. Si el límite o fuese ulo, la serie o es la fució dada, idepedietemete de que coverja o o. Como R ( ) = 1 f +1) (t)( t) dt e cualquier itervalo e toro al puto a e,a! a +1) el que f ( ) es cotiua, la codició suficiete de la proposició aterior podría ser epresada como: PROP f () C (E(a, r)). Sea A ΙΡ ua costate que f ) () A E(a, r) Etoces la serie de Taylor de f() e = a coverge hacia f () E(a, r) Dem. Como R ( ) = 1 f +1) (t) ( t) dt,a! a realizamos el cambio de variable t = + (a ) u dt = ( a)du quedado R,a ( ) = ( a)+1! 1 u +1) f ( + (a )u)du 0 y ahora 0 R,a ( ) a a A u du = A! 0 ( +1)! B +1 = ( +1)! siedo B = A a 17/6

18 La epresió B! sabemos que verifica lim B = 0! por lo que lim R,a () = 0 E(a, r) Por el teorema aterior, las fucioes se y cos so desarrollables e cualquier puto e serie de potecias (la serie siempre es covergete) ya que todas sus derivadas está acotadas por 1. Por lo que 3 se = + 3! ( 1) 5! +1 ( + 1)! +... cos = 1 +! ( 1) 4! ()! +... E el caso de e, su derivada es ella misma y es ua fució o acotada, pero e el itervalo [-R, R] está acotada por e R R ΙΡ +, por lo que tambié podemos decir que e = ! 3! ! 4. APLICACIONES AL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES Etremos relativos. Curvatura. Recordemos alguas aplicacioes de las derivadas, vistas e el tema aterior. Si a es u puto del domiio de f tal que f (a) = 0 etoces f teía u míimo relativo e a si f (a) > 0 o u máimo relativo si f (a) < 0. E caso de que f (a) = 0 o podríamos deducir ada. Se puede platear si e ese caso, el sigo de f (a) os aporta algú dato. O si fuese cero, si el dato lo aporta el sigo de f IV) (a). Veamos u teorema que os resuelve este problema. TEOREMA Sea f ua fució que verifica, para u cierto a Dom f. f (a) = f (a) =. = f -1) (a) = 0 f ) (a) 0 Se verifica: 1) Si es par y f ) (a) > 0 etoces f tiee u míimo relativo e a. ) Si es par y f (a) < 0 etoces f tiee u máimo relativo e a. 18/6

19 3) Si es impar, etoces f o tiee etremo relativo e a. Dem. Mediate Taylor podemos epresar f() como: f' (a) f() = f( 0 ) + ( a) + f" (a) ( a) f ( 1) (a) ( a) 1 + f () (8) ( a) 1!! ( 1)!! pero por las hipótesis iiciales se tiee que f() = f(a) + f () (8)! ( a) 1) Si es par, se tiee que las epresioes (-a) >0 y!>0 (que lo es simplemete por ser producto de úmeros aturales). Como además f () (a)>0 y f () () es cotiua > 0 tal que si: a < f () ()>0 Así, si (a ä, a + ä) f () ()>0 y f () (θ)>0 f() = f(a) + f () (8) ( a) > f(a) si (a ä, a + ä)! por lo tato, e a hay u míimo relativo estricto. ) Si es par, se tiee que (-a) >0 y!>0. Como además f () (a)<0 y f () () es cotiua > 0 tal que si: a < f () ()<0 Así, si (a ä, a + ä) f () ()<0 y f () (θ)<0 f() = f(a) + f () (8) ( a) < f(a) si (a ä, a + ä)! por lo tato, e a hay u máimo relativo estricto. 3) Si es impar, se tiee que (-a) >0 si >a y (-a) <0 si <a. Como f() = f(a) + f () (8) ( a) tiee u sigo si <a pero el cotrario si >a,! por lo tato o hay igú etremo relativo e =a. Podemos decir que e este caso teemos u puto de ifleió. 19/6

20 Veamos ahora u teorema similar, pero e lugar de hablar de etremos relativos, lo haremos co cocavidad. TEOREMA Sea f ua fució que verifica, para u cierto a Dom f. f (a) = = f -1) (a) = 0 f ) (a) 0 Se verifica: 1) Si es impar etoces f tiee u puto de ifleió e a. ) Si es par y f ) (a) > 0 f es covea. 3) Si es par y f ) (a) < 0 f es cócava. Dem. Aáloga a la aterior. 4.. Cálculo de límites. Ua de las aplicacioes más importates del poliomio de Taylor es su utilizació a la hora del cálculo de límites mediate equivalecias i ifiitésimos equivaletes. Notació de Ladau R ( ) Si lim +1 = 0 0 ( 0 ) etoces se epresa diciedo que: R f () = P (, 0 ) + R +1 ( ; 0 ) y lim +1 ( ; 0 ) = 0 0 ( ) pero tambié lo podemos epresar como: f () = P (, 0 ) + o(( ) ) 0 0 dode o(( ) ) 0 es la llamada o pequeña de la otació de Ladau y represeta a los térmios del poliomio que está por detrás del último que hemos puesto, idicado que tiee e comú grado +1 y que si tiede a 0 etoces todos iría a 0 siedo así u ifiitésimo represetate del resto. Ejemplo de Equivalecia. Dado el desarrollo de McLauri de la fució f()=se, teemos que: 0/6

21 3 5 7 se = + + o( 7 ) 3! 5! 7! se = o( ) 3! 5! 7! 4 6 se + = 1 + o( 6 ) 3! 5! 7! Haciedo el límite cuado 0, teemos que: lim se = lim o( 6 ) = ! 5! 7! por lo tato: lim se = 1 co lo que, cuado 0 la fució f()=se y la fució 0 g()= so equivaletes y lo epresamos como: se ~ o Esto quiere decir que si u límite, cuado 0 aparece la fució se podemos sustituirla por. Pero teemos ua salvedad para esto y es cuado aparezca (se-), e cuyo caso, la equivalecia se ~ o o es suficiete ya que o es lo suficiete fia, es decir, se es equivalete a e cero, pero o es igual, por eso cuado teemos (se-) debemos añadirle u térmio más a la equivalecia de maera que ésta sea más fia, es decir: se = + + o( 7 ) 3! 5! 7! 5 se = o( 7 ) 3! 5! 7! se = o( ) 3! Haciedo el límite cuado 0: se = o( 4 ) 3! 840 lim se = lim o( 4 ) = ! 4 por lo tato so equivaletes cuado 0, es decir: 1/6

22 3 se ~ o 3! o lo que es lo mismo 3 se ~ o 3! Ejemplo de Límites: A) lim se 0 3 Tomado f () = se f() = f(0) + f' (0) 1! f" (0) f' ''(0) +! + 3! 3 + f IV (0) 4! 4 + f V (0) 5! 5 + o( 5 ) se = o( 5 ) 3! 5! se = o( 5 ) 3! 5! 3 se = 1 + o( ) se 3! 0 3 3! = 1 + o( ) 0 lim 0 se = lim 1 + o( ) = ! por lo tato, se ~ o 3 3! y se tiee que: 1 cos B) lim Tomado 0 4 f () = cos se lim = lim ! = = 3! 6 IV V VI f() f' (0) f" (0) = f(0) f' ''(0) 3 + f (0) 4 + f (0) 5 + f (0) 6 + o( 6 ) 1!! 3! 4! 5! 6! 4 cos = o( 6 )! 4! 6! /6

23 4 cos 1 = o( 6 )! 4! 6! cos = + + o( 6 )! 4! 6! 4 1 cos = + + o( 6 )! 4! 6! 6 1 cos = o( )! 4! 30 1 cos! 4 4! = 1 + o( ) 30 1 cos lim! 0 4 4! = lim 1 + o( ) = Por lo tato: 1 cos ~ o 4 4! y se tiee que: 1 cos lim! 0 4 = lim 0 4 4! 4 = 1 = 1 4! Aproimacioes uméricas. Otra aplicació importate del poliomio de Taylor es la de poder calcular valores aproimados de fucioes co u error meor que u valor predetermiado. Por ejemplo: Calcular el valor de log(1'0) co u error meor de Tomaremos para ello la fució f () = log(1 + ) que la evaluaremos e =0 0 y utilizaremos como puto de referecia a=0. f () = log(1 + ) f I () = /6

24 1 f II () = (1 + ) f III () = (1 + ) 3 3 f IV ( ) = (1 + ) 4... ( 1) +1 ( 1)! f ( ) ( ) = (1 + ) Acotaremos el resto de Lagrage para localizar el meor valor de, para el cual, el error cometido e la aproimació será meor que R ( ) = f ( +1) (c) ( 1) + ()! ( a) +1 = (1+ c) '0 +1 = (0'0) +1 < ( +1)! ( +1)! ( +1)(1 + c) +1 a<c< 0<c<0 0 1 < + 1 (0'0) +1 = E < 10-4 Si =3 E= <10-4 Si = E= <10-4 Si =1 E=.10-6 </ <10-4 Etoces haremos la aproimació costruyedo el poliomio de Taylor hasta =. f() = f( 0 ) + f'( 0 ) (-0 ) + f"(0 ) (-0 ) + R () 1!! log(1 + ) = 1 + R ( ) log(1'0) = 0'0 1 (0'0) + R ( ) log(1'0) 0'0198 4/6

25 NOTA Si os pide u error meor que 10 r es porque el error lo cometemos e la (r+1)-ésima cifra decimal, pero a veces este error afecta a la cifra r-ésima, por eso cuado os pide que calculemos u valor co r cifras decimales eactas, debemos (r +1) calcularlo co u error meor que 10 para que el error esté e la cifra decimal (r+)-ésima, y como mucho afecte a la cifra decimal (r+1)-ésima, quedado así las r cifras primeras eactas. 5/6