MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA. Cálculo Diferencial Ejercicios y Problemas resueltos

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1 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA Cálculo Diferecial Ejercicios y Problemas resueltos

2 Juliá Rodríguez Ruiz (Catedrático de Ecoomía Aplicada. UNED) Mariao Matilla García (Profesor Titular de Ecoomía Aplicada. UNED). Carme García Llamas (Profesora Titular de Ecoomía Aplicada. UNED) MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA Cálculo Diferecial Ejercicios y Problemas resueltos

3 Reservados todos los derechos. «Cualquier forma de reproducció, distribució, comuicació pública o trasformació de esta obra solo puede ser realizada co la autorizació de sus titulares, salvo excepció prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Cetro Español de Derechos Reprográficos) si ecesita fotocopiar o escaear algú fragmeto de esta obra ( / )». Edicioes Académicas, S.A. Bascuñuelos, -P. 80 Madrid Juliá Rodríguez Ruiz, Carme García Llamas y Mariao Matilla García ISBN: Depósito legal: M Impreso por: Campillo Nevado, S.A. Atoio Gozález Porras, MADRID Impreso e España / Prited i Spai

4 ÍNDICE Prólogo... 9 Capítulo. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS... Coceptos Teóricos... Ejercicios y Problemas resueltos... Capítulo. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Coceptos Teóricos Ejercicios y Problemas resueltos Capítulo. DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN... 4 Coceptos Teóricos... 4 Ejercicios y Problemas resueltos... 5 Capítulo 4. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALES (I). 9 Coceptos Teóricos... 9 Ejercicios y Problemas resueltos... 7 Capítulo 5. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALES (II). 57 Coceptos Teóricos Ejercicios y Problemas resueltos Capítulo 6. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 05 Coceptos Teóricos Ejercicios y Problemas resueltos... 7 Capítulo 7. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO INTEGRAL Coceptos Teóricos Ejercicios y Problemas resueltos ÍNDICE

5 PRÓLOGO La eseñaza de las matemáticas e los plaes de estudios de los uevos Grados, supoe ua adecuació de sus capacidades y habilidades formales a las ecesidades que evetualmete pueda aparecer a lo largo de su formació. La asigatura de Matemáticas para la ecoomía: Cálculo que se imparte e el Grado de Ecoomía e la Facultad de Ciecias Ecoómicas y Empresariales, de la Uiversidad Nacioal de Educació a Distacia (UNED) es cuatrimestral, y de carácter formativo básico. El desarrollo del programa correspodiete a las Matemáticas para la ecoomía: Cálculo se recoge e siete capítulos. E cada capítulo se trata los aspectos más relevates de la materia objeto de estudio. E el capítulo, se estudia las Sucesioes y las series, e los capítulos, y se desarrolla de las Fucioes reales de variable real y las Derivadas de ua fució. E los capítulos 4, 5 y 6 se estudia las Fucioes reales de varias variables reales (I) y (II) y los Extremos de las fucioes de varias variables, respectivamete y fialmete e el capítulo 7 se desarrolla ua Itroducció al cálculo itegral que forma por sí sólo, ua uidad temática propia. Para facilitar la adquisició de las competecias previstas para esta materia cada capítulo tiee la misma estructura. Los coceptos teóricos se poe e valor mediate umerosos ejercicios y problemas, que aplicados al ámbito de la ecoomía, trata de clarificar y hacer más compresible las dificultades de carácter matemático co que se ecuetra el alumo. Los autores ha procurado, e la medida de lo posible, itroducir alguas aplicacioes a la ecoomía. Se pretede co ello que el estudiate aprecie la ecesidad de utilizar las matemáticas para resolver los problemas reales que, e cada mometo, se platea e el mudo ecoómico. La iteció de este libro, que ha sido elaborado por u equipo docete de la Uiversidad Nacioal de Educació a Distacia, experto e matemáticas y e métodos cuatitativos para la ecoomía y empresa, es que sirva para la formació matemática de los alumos que iicia sus estudios e la ciecia ecoómica. Los Autores Julio 0 9 PRÓLOGO

6 Capítulo SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS CONCEPTOS TEÓRICOS SUCESIÓN Cojuto de úmeros e correspodecia biyectiva co el cojuto de los úmeros aturales. Cada úmero es u térmio. PROPIEDADES Toda sucesió tiee primer elemeto; todo térmio tiee siguiete (o hay último); existe ua ley que permite coocer u térmio, sabiedo el lugar que ocupa. ENTORNO DE UN PUNTO Se llama etoro del puto P (de abscisa a) de radio δ, al segmeto (a δ, a + δ) del que se excluye los extremos (itervalo abierto). LÍMITE DE UNA SUCESIÓN (LÍMITE FINITO) La sucesió a tiede al ite a, ( a a) cuado para cada ε > 0 existe u N, tal que para todo > N: a a < ε. Detro de todo etoro del ite existe ifiitos térmios de la sucesió y fuera sólo u úmero fiito. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN (LÍMITE INFINITO) Si fijado cualquier úmero A, ta grade como se quiera, para todo > N, se cumple a > A se dice que lim a. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

7 CONVERGENCIA Ua sucesió co ite fiito es covergete. Si su ite es, se dice que es divergete. SUCESIONES MONÓTONAS Si e ua sucesió todo térmio es ( ) que su siguiete, la sucesió se llama moótoa creciete (decreciete). Toda sucesió moótoa creciete (decreciete) acotada superiormete (iferiormete) tiee ite. LÍMITE DE LOS RESULTADOS OPERATIVOS (SUMA, PRODUCTO Y COCIENTE) Si a y b tiee ites fiitos a y b, (a + b ) a + b, esto es, el ite de la suma igual a la suma de los ites. Si a y b tiee ites fiitos a y b, (a b ) ab, o sea, el ite del producto igual al producto de los ites. Si a y b tiee ites fiitos a y b 0, a b a b A cotiuació se icluye u cuadro co los valores de los ites, o sólo e los casos ormales, sio tambié e los sigulares. Las igualdades simbólicas tiee u setido covecioal, emotécico. Expresió a b simbólica Resultado a b a + b + b + + b + b + b (a + b ) b + b idetermiado MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

8 Expresió a b simbólica Resultado 0 b 0 0 acotado 0 a b ab (a b ) b 0 b 0 0 idetermiado b b 0 b a b a b 0 a b a a 0 a 0 a 0 b b idetermiado idetermiado E todos los casos a y b repreeta ite fiito, respectivamete de a y b. LÍMITES INDETERMINADOS DE LAS FORMAS SIMBÓLICAS 0,,, 0 0 El ite de la forma simbólica /, si procede de a p a p L+ a q q b + b + L+ b 0 p q SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

9 resulta Si p > q ite Si p q ite a 0 /b 0 Si p < q ite 0 Los ites 0/0, 0 e, operado coveietemete, se suele reducir a ites de la forma simbólica /. Para los ites de la forma simbólica, cuado aparece e forma de diferecias de raíces, coviee recordar las expresioes cojugadas: Diferecia de raíces dada A B A 4 4 A A B B B Cojugada A + B A + AB + B A + A B + AB + B A + A B + A B + L+ + AB + B El producto de cada expresió por su cojugada siempre es A B. FÓRMULA DE STIRLING Ua aproximació de!, se obtiee co! π e E el cálculo de ites! (e producto o cociete) se puede sustituir por π e CRITERIO DE STOLZ Si B es divergete y A /B es idetermiado A B A B A B 4 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

10 LÍMITES DE LOS RESULTADOS OPERATIVOS (LOGARÍTMOS Y POTENCIAS) Si a a > 0 y si b > : Si a > 0 y c c (fiito): log b a log b a a c ac Se excluye los casos e que a sea 0 ó + y c sea ±. A cotiuació se icluye u cuadro similar al aterior (co las mismas observacioes) y que icluye los casos sigulares. Expresió a c simbólica Resultado c < 0 0 c + 0 c idetermiado 0 c > 0 0 +c a > 0 c a c + (+) 0 + c < 0 (+) c 0 + c 0 (+) 0 idetermiado a c + c > 0 (+) c (+) + + a < a < + a + 0 a + + idetermiado a > + a + + a < a < a + a idetermiado a > a 0 Los casos de idetermiació resultates so de las formas simbólicas 0 0, 0 y 5 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

11 LÍMITES INDETERMINADOS DE LAS FORMAS SIMBÓLICAS 0 0 E 0. Se toma logaritmos eperiaos y se reduce a ites de la forma simbólica 0 Coviee recordar para las aplicacioes dode a >, p > 0, b >. p a ; ; p a log b LÍMITES DE LA FORMA SIMBÓLICA NÚMERO e El úmero e es el ite de la sucesió Tambié se verifica Su valor aproximado es e, a + e o sea + e L+ + L!!!! Si a b es ite idetermiado de la forma simbólica, se verifica a b b(a ) e resultado, e el expoete, u ite de la forma simbólica 0. SERIES Dada la sucesió u, u, u,..., u,..., se llama serie a la sucesió U, U, U,..., U,..., tal que U u ; U u + u ; U u + u + u ; U u + u + u + + u Si U U (fiito), la serie es covergete. Si U la serie es covergete. Si U o existe la serie es oscilate. 6 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

12 CONDICIÓN NECESARIA DE CONVERGENCIA La codició ecesaria, pero o suficiete, de covergecia de ua serie es u 0. La codició ecesaria y suficiete de covergecia es que, fijado u ε > 0 desde u valor de e adelate. u + + u u +k + < ε SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. CRITERIOS DE CONVERGENCIAS Criterio de D Alambert u Si u l < l l l > Covergete Dudoso Divergete Criterio de Cauchy Si u l < l l l > Covergete Dudoso Divergete Criterio de Raabe u Si u l > l l l < Covergete Dudoso Divergete Criterio logarítmico l u Si l l > l l l < Covergete Dudoso Divergete SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS Y NEGATIVOS Ua serie de térmios positivos y egativos es icodicioalmete covergete, si alterado arbitrariamete el orde de sus térmios, su suma o varía. 7 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

13 Teorema de Dirichlet: La codició ecesaria y suficiete para que ua serie sea icodicioalmete covergete es que la serie formada por los valores absolutos sea covergete. Si ua serie de térmios positivos y egativos cumple esta codició, se dice que es absolutamete covergete. SERIES ALTERNADAS Serie alterada es aquélla e la que los térmios so alterativamete positivos y egativos. La codició ecesaria y suficiete para que ua serie alterada sea covergete es que u 0. Nótese que aquí es codició ecesaria y suficiete, la que sólo era ecesaria e las series de térmios positivos. SERIE GEOMÉTRICA La serie u a, u ar, u ar...; u ar... es covergete si r < ; diverge si r > y si r ; es oscilate si r. E el caso de covergecia S a r SERIES ARITMÉTICO-GEOMÉTRICAS So el producto, térmio a térmio, de ua progresió aritmética de razó d y ua progresió geométrica de razó r. So covergetes si r <. Siedo S la suma de ua serie aritmético geométrica, se tiee que S Sr es ua serie geométrica. SERIES DE TIPO STIRLING So aquéllas e que su térmio geeral es cociete de dos poliomios, teiedo el deomiador sólo raíces reales simples. Si so covergetes, basta para obteer su suma, descompoer el térmio geeral e fraccioes simples. 8 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

14 SERIES DE FACTORIALES So de la forma P u ( ) ( + h)! dode P() es u poliomio e de grado k. Para obteer su suma se descompoe u e suma de k térmios de la forma Ai i k ( i)!, 0 +,,..., A i costates. Hay que teer e cueta que e L+ + L!!! SERIES DEL TIPO DE LA ARMÓNICA La suma de térmios de la llamada serie armóica es: H L dode H represeta la suma de térmios de la serie armóica. Se tiee que El valor de H es: H l H l + η + ε dode η es ua costate, η 0, ε 0 si. La suma P H 4 L L es la suma de los primeros térmios pares de la armóica, e I L 5 9 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

15 es la suma de los primeros térmios impares I L L 4 4 H P H H INTERÉS COMPUESTO Si u capital c, se capitaliza a iterés compuesto del r por (tato por cieto dividido por 00) el capital al cabo de t años es C t c( + r) t. INTERÉS CONTINUO Si la capitalizació e vez de aual fuera istatáea, el capital al cabo de t años sería C t ce rt. 0 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

16 EJERCICIOS RESUELTOS Calcular + + Se trata de u ite idetermiado de la forma simbólica. Dividiedo umerador y deomiador por : puesto que el umerador tiede a, ya que y tiede a cero; por la misma razó, el deomiador tiede a cero. E la práctica, basta observar que el grado del umerador () es mayor que el grado del deomiador () para poder afirmar que el ite es. Calcular + 4 Del mismo tipo del aterior. Dividiedo umerador y deomiador por 4 se obtiee: puesto que el umerador tiede a cero y el deomiador a. De forma geeral: p p a0 + a + L+ a q q b + b + L+ b 0 p 0 q si p < q SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

17 Calcular Dividiedo umerador y deomiador por se obtiee: De forma geeral: a p a p L+ a p p b + b + L+ b 0 p p a b 0 0 esto es, si umerador y deomiador tiee el mismo grado, el ite es el cociete de los coeficietes de los térmios de mayor grado. 4 Calcular El umerador resulta ser de grado luego 4 ; el deomiador es de primer grado; 4 + puesto que 4 >. MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

18 5 Calcular El umerador y el deomiador so del mismo grado:. ite será el cociete de los coeficietes de mayor grado, o sea: Por tato, el Calcular El ite de cada sumado es ; por tato, se trata de u ite de la forma idetermiada. Como: Se tiee + + ( + )( + ) ( + )( + ) + + ( + )( + ) SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

19 7 Calcular Ejercicio aálogo al aterior. De resulta: 8 Calcular El ite del primer factor es ; el del segudo es cero. Por tato, se trata de u ite idetermiado de la forma simbólica 0. Para deshacer la idetermiació basta efectuar el producto, covirtiédose etoces e u ite idetermiado de la forma Calcular ( ) Se trata de u ite idetermiado de la forma simbólica. Para desahacer este tipo de idetermiacioes, se multiplica y divide por la expresió cojugada: 4 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

20 dode para llegar al resultado se ha dividido umerador y deomiador por. Directamete se hubiese llegado al mismo resultado. 0 Obteer Como, multiplicado y dividiedo por se debe obteer: Calcular ( + 6 ) Procediedo como e el problema aterior se tedrá: ( + 6 ) ( + 6 ) ( ) ( )( ) ( ) + + ( + ) ( + 6 ) ( + 6 ) + 6 ( + 6 ) + ( + 6 ) + ( ) ( + 6 ) + ( + 6 ) + ( ) valor que resulta imediato después de dividir umerador y deomiador por. 5 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

21 Obteer Como todos los térmios del umerador y deomiador tiede a cero, se trata de u ite de la forma simbólica 0/0. Multiplicado umerador y deomiador por ( + ), se obtiee: ( + ) ( + ) + + ( + ) + + por ser los poliomios del umerador y deomiador del mismo grado y tal que los coeficietes de los térmios de mayor grado ( ) so iguales e iguales a uo. Obteer + + +,, L+ Se trata de ua idetermiació de la forma simbólica si coociéramos la ; suma de los cuadrados de los primeros úmeros aturales, podríamos sustituir el umerador por dicho valor, pero suele resultar vetajosa la aplicació del deomiado criterio de Soltz: A B A B A B dode A y B desiga las mismas expresioes que A y B, pero escribiedo e lugar de y, además, B es divergete. 6 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

22 Así, e uestro caso, como se tedrá A ( ) + A ( ) + ) y como B, B ( ). Por tato: L+ [ + + L+ ( ) + ] [ + + L+ ( ) + ( ) ] ( ) Calcular L+ ( ) L+ ( ) Aplicado el criterio de Stolz, como B es divergete y Se tedrá A [( ) ] B [( )] ] L+ ( ) ( ) L+ ( ) ( ) 4 7 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

23 5 Calcular dode l represeta logaritmo eperiao. Aplicado el criterio de Stolz: puesto que y, por tato, l l l l( l ) 0 ( ) l 0 6 Calcular Por aplicació sucesiva del criterio de Stolz: ( ) [ ( ) ] 0 8 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

24 7 Obteer Como se tiee: 0 puesto que 0. NOTA: Los resultados de los ejercicios 5, 6 y 7 se puede escribir directamete, teiedo e cueta lo dicho e el resume teórico e ites idetermiados. 8 Calcular + Sabiedo que si a y lim b, esto es, si a b es u ite de la forma simbólica, se tiee, se obtiee a b b(a ) e + e + Calculemos: ( ) 4 4 Por tato: + + e 4 9 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

25 9 Obteer y como Procediedo como e el ejercicio aterior, e + + b se tedrá: + e + 0 Calcular + + Es u ite de la forma simbólica, ya que + ( + ) MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

26 Por tato, + + e + + Calculado por separado el ite que figura e el expoete El ite pedido es e 0. Calcular dode a es u úmero positivo cualquiera. Formemos la sucesió: a ( ) de dode: ( a ) u a + u Tomado ites e ambos miembros como el ite de ua costate es ella misma se tedrá: y tomado logaritmos eperiaos: u a e u + e u o sea: u l a ( a ) l a SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

27 Obteer a + b Se trata de u ite idetermiado de la forma, luego y como: Así pues, se tedrá que dode se ha teido e cueta el resultado del problema aterior y que Calcular a + b [ ( a ) + ( b )] l a+ l b l ab a + a + b a b ( + ) ( a + b ) ( a ) + ( b ) e e e ab a logaa A a + b + c Similar al aterior; se trata de u ite de la forma simbólica, ya que a b c Por tato, recordado que si a y b b e a b b(a ) e a + b MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

28 Se tedrá a + b + c e a + b + c [I] Para mayor comodidad, calculamos el ite (del expoete, claro está) por separado a b c a b + + c + + Por tato, sustituyedo e [I] [( a ) + ( b ) + ( c )] [ a ) + ( b ) + ( c )] l a + l b + l c l( abc) a + b + c puesto que, como se ha visto e el ejercicio aterior a log a A A l abc e abc 4 Calcular, siedo h > 0; L+ l( + h) Aplicado el criterio de Stolz A B A B A B SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

29 ya que l ( + h) es divergete, L + + L+ l ( + h) l ( + h ) + h l + h + h l + + l h l + h + h + h Calculado + + h + h e e y como l e I, resulta que el ite buscado es la uidad. 5 Calcular Como el ite buscado se puede escribir se aprecia imediatamete que es de la forma simbólica 0. Tomado logaritmos eperiaos e se obtiee ( ) A o bie l A l( ) l l A l 4 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

30 Como se trata del ite de ua fució logarítmica etre ua fució potecial, se ha visto que su ite es cero; luego que es el ite buscado. l A 0 A e o 6 Obteer + resulta Se trata de u ite de la forma simbólica 0 0 ; tomado logaritmos eperiaos e l A l l l + + ( + ) [ ( )] Como e el ejercicio aterior, se trata del cociete de ua fució logarítmica dividida por ua potecial, cuyo ite es cero. Por tato, esto es, el ite pedido es la uidad. A + l A 0 ; A e 0 7 Sea la sucesió se pide demostrar que es moótoa creciete. La sucesió es moótoa creciete, puesto que dado que < +. u ; u + ; u u < u 5 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

31 Observemos que + u u. Sumado e los dos miembros de u < u y extrayedo raíz cuadrada: o sea: Repitiedo el proceso + u < + u u < u o sea: Por tato la sucesió es moótoa creciete. 8 u < u 4 u < u < u < u 4 < < u < u < Demostrar que la sucesió del ejercicio aterior está acotada superiormete. Veamos que u <. E efecto: Sumado e los dos miembros: + u < 4 y extrayedo raíz cuadrada (véase problema aterior), Repitiedo el proceso E geeral, u <, de dode + u < + u u < + u u < + u < 4; + u u < + u u < 4 Luego la sucesió está acotada superiormete. 6 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

32 NOTA. Al haber probado que la sucesió es moótoa creciete y que está acotada superiormete, queda probada la existecia del ite de dicha sucesió. Si se tratara de ua sucesió moótoa decreciete se debería probar que está acotada iferiormete. 9 Obteer el ite de la sucesió del ejercicio 7. Elevado al cuadrado los dos miembros de se obtiee u L+ o sea: u + u Desigado por x a u y como u x (puesto que el ite es úico), se tedrá: ecuació que proporcioa x Luego: u. u L+ x + x; x x 0 x (solució extraña itroducida al elevar al cuadrado) 0 E ua sucesió cada térmio es la semisuma de los dos ateriores. Si u a y u b, se pide u. Del euciado se desprede: u u + u u + u u + u4 u; u4; u5; + u u + u u 4 u ; ; u + u u 7 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

33 que podemos escribir: u + u u u + u u 4 u + u 4 u 5 u 4 + u u u + u u u + u u Sumado miembro a miembro y simplificado: pero como u a y u b; u + u u + u a + b u + u Pasado al ite, si desigamos u x, tambié u x, luego a + b x + x a b x + que es el ite pedido. Calcular! E los casos e que aparece factoriales, suele ser muy útil la aplicació de la fórmula de Stirlig π e! que poe de maifiesto que ambos ifiitos so equivaletes y, por tato, que! puede ser sustituido e productos o cocietes, por la expresió de Stirlig. E uestro problema, se tedrá: 8 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

34 ( Pero π! π e π e! e e Calcular Como ( )! se tedrá : (!), ( )! 4π( ) e (!) ( π e ) 4π e π e π π π Calcular L + + Para obteer este ite, observemos que u L + + > L + ya que y que h h + >, >, + 9 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

35 ( v L + + > + + ya que Pero h h + >, < L + + u + + v + + Luego el ite de la sucesió aterior que costatemete está compredida etre dos sucesioes que tiee el mismo ite será, ite comú de ambas sucesioes. 4 Calcular L+ + + La sucesió dada está costatemete compredida etre u L + (( y v + + L y como el ite pedido será tambié. u υ 40 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

36 5 Estudiar la covergecia de la serie: Apliquemos el criterio de D Alambert a uestro problema; para ello, empezamos por formar u, escribiedo e lugar de e u ; Hallamos la razó y simplificamos: u u! ( )! u u! ( )! y calcularemos el ite: u u 0 Como el ite es 0 <, la serie es, co seguridad, covergete, esto es, la suma de sus ifiitos térmios será u úmero fiito. Compruébese que se obtiee el mismo resultado mediate el criterio de Cauchy, ya que u 0! 4 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

37 6 Carácter de la serie de térmio geeral Aplicado el criterio de Cauchy: u ( ) ( + + ) u ( ( ) ) ( + + ) ( + + ) 0 puesto que el grado del umerador es iferior al del deomiador. Como u 0, la serie es covergete. 7 Carácter de la serie de térmio geeral Aplicado el criterio de D Alambert: + ( u! + )( )! + u ( ) + ( + )! ( + ) ( )! puesto que ( )! L ( )! L ( ) Pero ya que el grado del umerador es iferior al del deomiador. Como aplicado el criterio de D Alambert, se ha obteido la serie es covergete. u +! ( + ) + u u 0 4 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

38 8 Estudiar la covergecia de u 9 Aplicado el criterio de Cauchy: ya que. Luego la serie es covergete. Obtégase aálogo resultado por aplicació del criterio de D Alambert. Estudiar la covergecia de la serie de térmio geeral Apliquemos el criterio de D Alambert u u ( ) u u ( ) ( ) Nos ecotramos así, pues, e el caso dudoso. Para precisar, e estos casos, si la serie es o o covergete, se acostumbra aplicar el llamado criterio de Raabe- Duhamel, que dice: E uestro problema, la aplicació del criterio de Raabe proporcioa: u + u + + Luego la serie es covergete. u < u u u + L > 4 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

39 40 Estudiar si es covergete la serie u ( + )( + )( + ) Apliquemos el criterio de D Alambert: u ( + )( + )( + ) u + + ( )( ) ( + )( + ) Caso dudoso, apliquemos el criterio de Raabe: luego la serie es covergete. u u > 4 Carácter de la serie de térmio geeral: u + La serie es covergete, como deberá comprobar el lector, por aplicació sucesiva de los criterios de D Alambert y de Raabe; el último ite que se debe obteer vale. 44 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

40 4 Carácter de la serie de térmio geeral: u ( + )( + )( + ) Directamete se aprecia que la serie es divergete, ya que o verifica la codició ecesaria pero o suficiete de covergecia, que era: u 0, ya que, e uestro caso: u ( + )( + )( ) Obteer el carácter de la serie de térmio geeral siedo h u úmero atural. u h! Aplicado el criterio de D Alambert resultado al que se llega después de simplificar, sucesivamete, por ( )! y por. E el ite obteido, como h es u úmero fiito, el grado del umerador es iferior al del deomiador, luego: u u Por tato, la serie es covergete. h h u! h u ( ) ( ) ( )! + 0 h 45 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

41 44 Estudiar el carácter de Aplicado el criterio de D Alambert: u!! u ( ) ( ) u ( )! ( ) e u Como + <, la serie es covergete. u e 45 Carácter de la serie dode a es úmero real. u a! Aplicado el criterio de D Alambert: u a! u ( ) a ( ) a ( )! Si a > e, la serie es covergete; si a < e la serie es divergete, y si a e, estamos e el caso dudoso. Para resolver este caso de idetermiació se aplica el criterio logarítmico: l u l dode l represeta logaritmo eperiao. L L > covergete L < divergete e a a 46 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

42 Por tato, hay que calcular el ite: e! l l Recordado (fórmula de Stirlig) que resulta:! π e e π e l l l π l ( π ) + l l l luego si a e, la serie es divergete. 46 Carácter de la serie, cuyos primeros térmios so: 4 u ; u u u ; ; 4 ; L 4 5 Es imediato observar que se trata de ua serie alterada, cuyo térmio geeral es: Como: u + ( ) ( + ) + u ( ) ( + ) se trata de ua serie covergete, puesto que u era moótoa decreciete. 47 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

43 47 Carácter de la serie, cuyos primeros térmios so: Se trata de ua serie alterada, que será covergete si su térmio geeral tiede a cero. Se aprecia que la sucesió formada por los umeradores (e valor absoluto) es ua progresió aritmética de primer térmio y razó ; luego a a + ( )d + ( ) + Los deomiadores forma ua progresió aritmética de primer térmio 7 y razó 4; luego b b + ( )d 7 + ( ) Por tato, el térmio geeral de la serie es Como esto es, el ite del térmio geeral o es cero, la serie es divergete L u 0 4 Por comparació co ua serie geométrica, verificar que la serie u 4 + es covergete. u! E alguas ocasioes es útil aplicar el llamado criterio de comparació: Si la serie de térmio geeral u es tal que u υ (u υ ), siedo υ el térmio geeral de ua serie covergete (divergete), la serie u es covergete (divergete). NOTA. Las desigualdades idicadas basta que se verifique a partir de u cierto térmio. 48 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

44 Si comparamos! co, se tiee: Pero, a partir de aquí:! < ;! < ;! < 4! > 4 ; 5! > 5 ; y, e geeral,! > y, por tato, a partir del cuarto térmio: Pero como la serie de térmio geeral / es geométrica, de razó u medio, es, por tato, covergete, y como la serie de térmio geeral /! (a partir del cuarto térmio) se matiee iferior a ella, será tambié covergete. 49 Por comparació co la serie armóica, comprobar que la serie de térmio geeral es divergete. Se comprueba fácilmete que > l( + ); por tato, Luego los térmios de la serie propuesta se matiee superiores a los de ua serie (la armóica) que es divergete; esto es, la serie propuesta es divergete. 50 Sumar la serie geométrica! < u l ( + ) < l ( + ) S L Como la razó es u cuarto (cada térmio se obtiee multiplicado el aterior por /4) se tedrá: a S r SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

45 5 Hallar la fracció geeratriz de la decimal periódica pura,45. Se tiee , L Se trata, a partir del segudo sumado, de ua serie geométrica de razó /00. Por tato: 45, E u cuadrado de u metro de lado se iscribe otro cuadrado, segú se aprecia e la figura; e este segudo cuadrado se repite la operació y se cotiúa así sucesiva e idefiidamete. Hallar la suma de las áreas de los ifiitos cuadrados. Observado la figura, se aprecia que el área de cada cuadrado es la mitad de la del cuadrado precedete. Por tato, la suma de las áreas pedidas será: S L metros cuadrados puesto que forma ua serie geométrica de razó /. 50 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

46 5 Hallar Formemos la suma de térmios Multipliquemos ambos miembros por la razó de la geométrica, o sea / y restemos esta expresió de la precedete: S L E el ite: S S L L S (puesto que 0 + ) de dode S. NOTA: Para que ua serie aritmético-geométrica sea covergete basta que la razó, e valor absoluto, de la serie geométrica sea meor que la uidad. 54 Calcular + Es ua serie aritmético-geométrica: S L+ 4 5 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

47 Multiplicado ambos miembros por <. De dode, por diferecia, se ecuetra: S S o bie, pasado al ite L L S de dode: 55 Sumar la serie (caso de ser covergete) cuyos primeros térmios so Se observa que es el producto térmio a térmio de la progresió aritmética por la progresió geométrica, 7,, 5, 9, cuya razó es /. Por tato, como la razó de la geométrica es meor que la uidad, la serie propuesta es covergete. Siedo S la suma buscada S L, 4, 8, 6,, K S L MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

48 multiplicado por la razó de la geométrica y restado miembro a miembro y, después de simplificar: S L Como la suma Se tiee de dode la suma buscada es 56 S L S L L S + S 7 Descomposició de u cociete de poliomios e suma de fraccioes simples. Sea dos poliomios e, P() y Q(), tales que el grado de P() sea meor que el grado de Q(); si supoemos, además, que todas las raíces de Q() so reales y distitas, la fracció algebraica dada se puede descompoer: P( ) A B C Q( ) a + b + c +L dode a, b, c, represeta las raíces de Q() 0, y A, B, C, so úmeros calculables a partir de la igualdad establecida. Sea descompoer e suma de fraccioes simples: SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

49 Como el grado del umerador es iferior al del deomiador y, además, las raíces de so,, reales y distitas, se puede escribir Suprimiedo deomiadores: A( + ) + B( + ) Para (primera raíz hallada) se tiee: 5 ( ) + 7 A( + ) + B( + ); A y para (la otra raíz hallada) 5 ( ) + 7 A( + ) + B( + ); B; B Luego, sustituyedo A y B por sus valores, se tedrá: que expresa la fracció dada e suma de fraccioes simples. NOTA: El estudio geeral de la descomposició e suma de fraccioes simples, se desarrola co detalle e la teoría de itegrales idefiidas. E esta lecció sólo os iteresa el caso señalado, pues es el úico que aplicaremos e los sucesivos ejercicios A B + ( + )( + ) ( + )( + ) + + Descompoer e suma de fraccioes simples la fracció: + 5 ( + )( + )( + ) Como el grado del umerador es iferior al del deomiador y las raíces de éste so todas distitas:,,, la fracció dada se puede escribir y suprimiedo deomiadores: + 5 A B C + + ( + )( + )( + ) A( + )( + ) + B( + )( + ) + C( + )( + ) 54 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

50 para ; 4 A; A para ; B; B para ; C; C 58 Luego: Calcular ( + )( + )( + ) ( + )( + )( + ) Comprobaremos previamete que la serie de térmio geeral u + 5 ( + )( + )( + ) es covergete, lo cual se cosigue fácilmete aplicado sucesivamete los criterios de D Alambert y de Raabe. Etoces, descompuesto su térmio geeral e fraccioes simples, se tiee (véase ejercicio aterior): ( )( )( ) + Desarrollado cada uo de estos sumatorios y sumado miembro a miembro: L L L ( + )( + )( + ) 55 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

51 ya que los siguietes térmios de la suma se aula (puesto que + ( ) + 0) 4 Luego la suma pedida es /. + 0; + 0, etc Calcular + ( + ) La serie resulta ser divergete, puesto que Sus térmios supera a los de la serie armóica, que sabemos es divergete; luego + ( + ) Se llega al mismo resultado aplicado sucesivamete los criterios de D Alambert y Raabe. 60 Obteer la suma de la serie > ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Resolviedo la ecuació l se debe obteer, y ; descompoiedo e suma de fraccioes simples: A B C ( + )( + )( + ) Suprimiedo deomiadores A( + )( + ) + B( + )( + ) + C( + )( + ) 56 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

52 Para : A ; A Para : B ( ) ; B Para : C ( ) ( ) ; C 5 Obsérvese que De aquí Sumado: que es la suma pedida. A + B + C + + ( 5) L L L Calcular Comprobada la covergecia de la serie, descompoiedo su térmio geeral e suma de fraccioes simples, se debe obteer: Luego: SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

53 y, por tato, L L 4 5 y sumado: P() Descomposició de e suma de fraccioes más secillas. (P() repre! seta u poliomio e ). Veámoslo co varios ejemplos. Sea descompoer +! Se tedrá: + +!!! y como resulta, e defiitiva:! ( )!, Sea ahora descompoer + +! ( )!! + +! 58 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

54 Se tedrá: y la primera fracció se puede escribir: Se obtiee, e defiitiva: Sea ahora la fracció.! Se tiee: + ( )( + ) +! ( )! ( )! ( )! ( )! ( )! ( )! ( )! ( )! ( )! ( )! ( )! ( )! ( )! ( )! Aálogamete, se debe obteer: De forma geeral se procede como se idica e el ejemplo siguiete. Sea descompoer: + + ( + ) +!!! ( + ) ( )! ( )! ( )! ( )! ( )! ( )! ! ( )! ( )!! ( + )!! ( )! ( + )! + ( + )! ( )! ( )!! ( + )! ! 59 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

55 que se iguala a tratas fraccioes como idica el grado del umerador más uo y cuyos deomiadores so!, ( )!, ( )!... O sea Suprimiedo deomiadores y desarrollado a b c d + + +!! ( )! ( )! ( )! a + b + c ( ) + d ( )( ) a + b + c c + d d + d e idetificado los coeficietes del mismo grado: Luego : d ; d : 0 c d ; c : 0 b c +d ; b 0 6 a !! ( )! ( )! ( )! 6 Series del úmero e. Es coocido el desarrollo del úmero e L+ + L!!!! El coocimieto de este desarrollo permite la obteció de las sumas de diversas series. Sea, por ejemplo, Desarrollado: ( )! L L ( + )!! 4! 5!! 60 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

56 Nos basta completar el desarrollo, para lo cual L+ + L! 4! 5!! L+ + L!!! 4!!!! Por tato: e e 5 ( )! + 64 Calcular ( )! Desarrollado y completado: L+ ( )!!!!! L+ e!!!! 65 Calcular Como (véase ejercicio 66) se tedrá: ! ( )! ( )!! ! ( )! ( )!! 6 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

57 Desarrollado cada ua de las series: Luego: e 4e 8 ( )!!!! L L! L+ + L e e!! 4!!!! + + L+ + L e ( )!!!! ( e ) + ( 4e 8) + e 6e! 6 66 Obteer 5! Descompoiedo e suma de fraccioes 5 A B C + +!! ( )! ( )! Suprimiedo deomiadores, teiedo e cueta que!! ( )! y ( )! resulta 5 A + B + C( ) C + (B C) + A de dode, idetificado coeficietes de los térmios de igual grado C ; B C 5 ; A o sea A ; B y C 6 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

58 Por tato 67 Desarrollado cada suma parcial Luego la suma será S ( e) + ( e) + e 4 La serie armóica. Recuérdese que la suma de térmios de la serie armóica es la suma de térmios pares es y la suma de térmios impares es I P L e e!!!! + + L [ e ] e ( )!!! P H 4 6 L ; L L + ; 5 Sabiedo esto, obteer: 5 + +!! ( )! ( )! L e ( )!!! H L I + P H I H H + S L + ( ) La serie propuesta es covergete, puesto que es alterada y el ite de su térmio geeral es cero. 6 SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

59 Formado las sumas sucesivas de dos, cuatro, seis... térmios, se tiee S I P S4 + + I P S 6 I P y, e geeral, teiedo e cueta que H l + η + ε S I P H H H H H ( l + η + ε ) ( l + η + ε ) l + l + η + ε ( l + η + ε ) l + ε ε Pasado al ite S S puesto que ε y ε so ifiitésimos que tiede a cero si. 68 Calcular S L Formemos las sumas sucesivas: S + I P S I4 P S 9 I 6 P y, e geeral, S I P 64 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA

60 resulta Como (véase ejercicio aterior) I H4 H ( 4 + η + ε4 ) ( l + η + ε ) l 4 + l + η + ε4 ( l + l + η + ε ) I P + + ( l η ε ) P l 4 l + ε ε ε 4 y pasado al ite S l l l 69 Calcular la suma S Se forma las sumas de tres, seis, ueve... térmios S + H H S H + H H S H + + H H SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS

61 y e geeral S H H La suma pedida se hallará pasado al ite S S (H H ) [l + η + ε (l + η + ε )] (l + l + η + ε l η ε ) (l + ε ε ) l puesto que ε y ε so cero. 66 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA