Prácticas de Cálculo Infinitesimal. Así se define una función, cuyo nombre es f, de variable x. Podemos trabajar numérica o simbólicamente:

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1 de 07/07/00 5:8 To prit higher-resolutio math symbols, click the Hi-Res Fots for Pritig butto o the jsmath cotrol pael. If the math symbols prit as black boxes, tur off image alpha chaels usig the Optios pae of the jsmath cotrol pael. Prácticas de Cálculo Ifiitesimal Podemos defiir uestras fucioes propias f(x)=x^-3*x+ Así se defie ua fució, cuyo ombre es f, de variable x. Podemos trabajar umérica o simbólicamete: f() - a=var('a'); f(a) a^ - 3*a + f(+a) (a + )^ - 3*a - Recordemos que e SAGE cualquier objeto debe ser defiido como perteeciete a u tipo, por eso hemos defiido "a" ates de usarlo. Por otra parte veamos que tato f como f(x) so del tipo de las expresioes simbólicas. type(f) <type 'sage.symbolic.expressio.expressio'> type(f(x)) <type 'sage.symbolic.expressio.expressio'> No obstate so expresioes diferetes: f x --> x^ - 3*x + f(x) x^ - 3*x + Para los efectos de esta práctica, recordemos que las sucesioes so fucioes defiidas sobre los aturales. Los objetivos de esta práctica so: -Defiir sucesioes reales mediate fórmulas explícitas y calcular límites. -Defiir sucesioes mediate reglas de recurrecia; estudiar sus propiedades hasta hallar el límite.

2 de 07/07/00 5:8 -Estudiar el carácter de series. Órdees de SAGE [ 'expr(k)' for k i [a..b]] geera ua lista co elemetos expr(k) co k variado etre los eteros a y b. list.apped(a) modifica la lista "list" añadiédole al fial el elemeto "a" list_plot(lista) dibuja los putos co coordeadas X: 0,,,... y coordeadas Y los elemetos de la lista. limit(expr, x=x0) calcula el límite de expr cuado x tiede a x0. Se puede escribir 'lim' e vez de 'limit'. graf+graf combia los gráficos graf y graf e uo solo. show(graf) muestra el gráfico graf. if codicio: acció si la codició es cierta, ejecuta acció. if codició: acció acció si la codició es cierta, ejecuta varias accioes, hay que poerlas e líeas diferetes. Es importate la idetació. for k i [a..b]: acció acció k va tomado los valores desde el etero a hasta el etero b, para cada uo de dichos valores de k se ejecuta las accioes (que usualmete ivolucrará a k).. Sucesioes y límites de sucesioes. Podemos geerar u úmero fiito de térmios de ua sucesió. Estos elemetos so dados como listas, que e SAGE so ua secuecia de elemetos etre corchetes y separados por comas. Por ejemplo, cosideramos la sucesió =var('') b()=si(*pi/8) b(0000) 0 Podemos geerar los 0 primeros térmios de la sucesió y meterlos e ua lista: [b() for i [..0]] si si 8 si si 8 0si 8 Así hemos calculado los 0 primeros, pero podemos determiar qué térmios de la sucesió queremos que calcule: [b() for i [3..3]] si si 8 si 8 0si 8 si 8 si 8 8 m=[b() for i [0..50]] list_plot(m)

3 3 de 07/07/00 5:8 La sitaxis de las órdees que calcula límites de sucesioes se preseta a cotiuació: Veamos alguos ejemplos de cálculo de límites de sucesioes: ) Calcular el límite de la sucesió (-3)⁴/(3-7)⁴; represetar esta sucesió y compararla co su límite; estudiar la velocidad de covergecia de la sucesió. Estamos ate la típica idetermiació /. =var('') ((-3+*)^4/(-7+3*)^4).limit(=oo) limit 6/8 expr.limit(x=x0) halla el valor del límite de expr cuado x se acerca a x0 gg=list_plot([(-3+*)^4/(-7+3*)^4 for i [0..00]]) gg

4 4 de 07/07/00 5:8 list_plot list_plot([y,y,...]) dibuja ua lista de valores. La coordeada x para cada puto se toma 0,,,... gg=list_plot([6/8 for i [0..00]]) gg show(gg+gg) =var('') resta()=expad((-3+*)^4/(-7+3*)^4-6/8).simplify_full() resta list_plot([resta() for i [0..00]])

5 5 de 07/07/00 5:8 ) Calcular el límite de la sucesió a = ( + ) Aquí se preseta ua idetermiació del tipo ( - )/( - ). a()=(-^3+(+sqrt(*))^3)/(^-*sqrt(^5)) limit(a(), =oo) 3 3) Calcular el límite de la sucesió b = Aquí teemos ua idetermiació del tipo b()=((+^4)/) * ((+)/^5) limit(b(),=oo) 4) Calcular el límite de la sucesió c = 3+ + Aquí teemos ua típica idetermiació del tipo ^, tambié llamada del úmero "e". c()=((3+)/(-+))^ limit(c(),=oo) 4 e 5) Calcular el límite de la sucesió Estamos ate ua idetermiació del tipo ⁰. d()=(5*)^(/) limit(d(),=oo) d =( 5) 6) Calcular el límite de la sucesió e =! Estamos ate ua idetermiació del tipo /. e

6 6 de 07/07/00 5:8 limit((e^)/factorial(),=oo) 0 limit(si(sqrt(+))-si(sqrt()),=oo) id Aquí 'id' sigifica que o sabe ada sobre el límite, pero que la sucesió es acotada. Ejercicios propuestos: Calcular el límite de las siguietes sucesioes: a) b) c) d) e) f) (4) 3 +( +) g) e h) i)! 3 j) k) log l) Sucesioes recurretes Veamos alguos ejemplos sobre sucesioes recurretes: ) Sea la sucesió dada por u()=, u()= +, u(3)= + +,... Probar que tiee límite y hallarlo. La sucesió respode a la regla u()= + u( ), co u()=. Costruiremos ua lista co uos cuatos térmios de la sucesió para haceros ua idea del comportamieto. L=[sqrt()] for i [..30]: L.apped(sqrt(+L[-])) list_plot(l)

7 7 de 07/07/00 5:8 Esto os sugiere que la sucesió es creciete y su límite es. Pasos para estudiar la covergecia de muchas sucesioes defiidas recurretemete: ) Buscar la fució f asociada a la recurrecia; ) Calcular los putos fijos de f; 3) Estudiar la mootoía de f; 4) Estudiar la mootoía de la sucesió; 5) Estudiar la acotació de la sucesió; 6) Probar la covergecia de la sucesió y hallar el límite. () Como la sucesió respode a la regla u()= + u( ), co u()=, defiimos la fució f(x)= +x. Etoces la regla es u()=f(u(-)). f(x)=sqrt(+x) () Supogamos por u mometo que la sucesió fuera covergete (o sabemos si lo es o o), tomado límite e la regla u()= + u( ) resultaría: lim u () = +lim u( ) Etoces, bajo la suposició de que u() es covergete, su límite, que le llamaremos L cumpliría: L= +L Resolvamos etoces esta ecuació: L=var('L') solve(l==f(l),l,to_poly_solve=true)

8 8 de 07/07/00 5:8 L = Esto sigifica que si la sucesió coverge, coverge a. Por tato sólo resta decidir si la sucesió coverge o o. Para ello: (3) Estudiemos la mootoía de f plot(f(x),-,50) E prácticas posteriores podremos estudiar la mootoía haciedo que SAGE calcule la derivada. (4) Coocer la mootoía de f os ayuda a estudiar la mootoía de la sucesió y su acotació. Al ser f moótoa creciete e todo su domiio, la relació de desigualdad que haya etre u() y u() será la misma que tedremos etre u() y u(+) para todo. Es decir, como u()<u() (ya que ( + ), tomamos f a ambos lados de la desigualdad (recordemos que f es moótoa creciete, que se defie como x<y implica f(x)<f(y), esto es, tomar f preserva el setido de la desigualdad) y teemos f(u())<f(u()). Es decir: u()<u(3). Así, sucesivamete, (e realidad, se debe probar por iducció) teemos u(-)<u() para todo. Por tato la sucesió es moótoa creciete. (5) Ahora veamos que la sucesió es acotada. Al ser f moótoa creciete e todo su domiio, la relació de desigualdad que haya etre u() y (puto fijo de f) será la misma que tedremos etre u() y para todo. Es trivial que u()=. Por tato tomado f sucesivamete llegamos a que f()< para todo. (6) Hemos probado que la sucesió es creciete y está acotada superiormete, así que tiee u límite real. Y, como habíamos visto al pricipio, e ese caso el límite es. Ejercicios propuestos: 3 ) Sea la sucesió dada por a()= 4, a()= ( ) 3, a(3)= (4 +( ) 3 ) 3,... probar que tiee límite y hallarlo. ) Sea la sucesió dada por s()=4, s()= 6 + s( ). Probar que tiee límite y hallarlo..3. Series uméricas.

9 9 de 07/07/00 5:8 Criterios de covergecia. Los criterios de comparació de series tiee el icoveiete de que o so itrísecos. Es decir, es ecesario ecotrar otra serie co la que comparar. Por el cotrario hay otros criterios que sólo depede de la serie que estudiamos. Veamos alguo de estos criterios: Criterio del cociete o criterio de D'Alambert = a a(+) () es covergete si lim a() = a a(+) () es divergete si lim a() E caso de que el límite sea, o se puede asegurar ada acerca del setido de la covergecia de la serie. Criterio de la raíz o criterio de Cauchy. = a () es covergete si = a () es covergete si a() a() E caso de que el límite sea, o se puede asegurar ada acerca del setido de la covergecia de la serie. Criterio de comparació e el límite Sea a() y b() dos sucesioes tal que lim a() = Le toces : b() i) Si 0<L<, etoces las series = a () y = b() coverge o diverge simultáeamete. ii) Si L=0. Etoces, = b () coverge implica que = a() coverge. = a () diverge implica que = b() diverge. iii) Si L=. Etoces, = a () coverge implica que = b() coverge. = b () diverge implica que = a() diverge. La serie armóica. La serie = p coverge si y sólo si p>. Veamos alguos ejemplos para usar estos criterios: ) Estudiar el carácter de la serie = 3 Primero otar que esta serie es de térmios positivos y que su térmio geeral tiee límite 0. =var('')

10 0 de 07/07/00 5:8 limit(/(sqrt()-/3),=oo) 0 Aplicamos el criterio de comparació co la serie lim((/(sqrt()-/3))/(/sqrt()),=oo) 3 Como la serie diverge, se deduce que la serie tambié diverge ) Estudiar el carácter de la serie +! E este caso vamos a usar el criterio del cociete o de D'Alambert: =var('') a()=(+^)/factorial() lim(a(+)/a(),=oo) 0 Como el límite es meor que, la serie +! coverge. 3) Estudiar el carácter de la serie. =var('') b()=((+)/)^(-^3) + 3 Usamos el criterio de la raíz lim(b()^(/),=oo) 0 El límite es meor que, luego la serie coverge. 4) Estudiar el carácter de la serie. Aplicamos el criterio del cociete:,p=var(',p') c()=/p^ lim(c(+)/c(),=oo) p p Luego si p> la serie coverge, si p< la serie diverge y si p=, obteemos la serie de térmio geeral, que diverge. Ejercicios propuestos: Ejercicio. Estudiar el carácter de las series de térmio geeral: + ) ; ) 3) e e + +

11 de 07/07/00 5:8 + (+)(3+)! 4) 5) 6) co p parámetro. p (+p)!!p! Ejercicio. Diseñar u pequeño programa que usado el criterio del cociete os aalice la covergecia de ua serie dada (usar el comado "if"). =var('') a()=^/factorial() l=lim(a(+)/a(),=oo) if l<: prit 'la serie sum',a(),'coverge' if l>: prit 'la serie sum',a(),'diverge' if l==: prit 'debe aplicar otro criterio' la serie sum ^/factorial() diverge =var('') a()=(/)^(+/) l=lim(a(+)/a(),=oo) if l<: prit 'la serie sum',a(),'coverge' if l>: prit 'la serie sum',a(),'diverge' if l==: prit 'debe aplicar otro criterio' la serie sum (/)^( + /) coverge =var('') a()=/ l=lim(a(+)/a(),=oo) if l<: prit 'la serie sum',a(),'coverge' if l>: prit 'la serie sum',a(),'diverge' if l==: prit 'debe aplicar otro criterio' debe aplicar otro criterio