ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Y SUS APLICACIONES

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1 TEMA ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Y SUS APLICACIONES.. MOTIVACIÓN Las euaioes difereiales de orde maor o igual que dos so bastate difíiles de resolver. De maera espeial se estudiará, alguas euaioes lieales, para las uales eiste ua teoría geeral a efetos de su itegraió (las lieales a oefiietes ostates). Ya se ha visto u tipo de problema que odue a euaioes de orde superior a uo: la determiaió de la euaió difereial de ua familia de urvas plaas que depede de más de u parámetro. Se resolverá, iiialmete, euaioes difereiales lieales de orde dos o superior, o oefiietes ostates. E las apliaioes las euaioes lieales de orde superior o oefiietes variables tiee la misma importaia, si o es que más, que las de oefiietes ostates. Ua euaió lieal seilla de segudo orde o oefiietes variables, omo es '', o tiee soluioes elemetales. Se puede eotrar dos soluioes liealmete idepedietes de esta euaió pero, segú se verá, estas soluioes está represetadas por series ifiitas... ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DE SEGUNDO ORDEN Defiiió. Ua euaió difereial lieal de segudo orde de oefiietes d d reales tiee la forma a b g() o bie a'' b' g() () o a, b, d d R, a, g() ua fuió otiua e u itervalo abierto I. Cuado g() es diferete de ero etoes se dirá que () es ua euaió difereial lieal o homogéea mietras que si g() etoes () es ua euaió difereial lieal homogéea. Defiiió. Sea a'' b' g() ua euaió difereial lieal de segudo orde o oefiietes reales o homogéea. A la euaió a'' b' () se le llamará su euaió homogéea asoiada. Prof. José Luis Quitero 59

2 .. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE LAS SOLUCIONES Defiiió. Se die que u ojuto de fuioes f (), f (),..., f () es liealmete depediete e u itervalo I si eiste ostates,,...,, o todas ulas, tales que f () f ()... f () para todo e el itervalo. Ejemplo. Las fuioes f () se f () se os so liealmete depedietes e el itervalo < < puesto que se se os se satisfae para todo si se elige /. Ejemplo. Las fuioes f () 5, f () 5, f (), f 4(), so liealmete depedietes e < < a que f ().f () 5.f ().f 4 () para todo del itervalo. Defiiió 4. Se die que u ojuto de fuioes f (), f (),..., f () es liealmete idepediete e u itervalo I si o es liealmete depediete e el itervalo. E otras palabras, u ojuto de fuioes es liealmete idepediete e u itervalo si las úias ostates para las uales f () f ()... f (), para todo e el itervalo, so.... Ejemplo. Las fuioes f () f () so liealmete idepedietes e el itervalo < <. El itervalo e el ual las fuioes está defiidas es importate e las osideraioes sobre depedeia lieal. Las fuioes f () f () so liealmete idepedietes e el itervalo < < a que se satisfae para ualquier valor o ulo de tal que..4. EL WRONSKIANO TEOREMA. Supoga que f (), f (),, f () tiee al meos derivadas. Si el determiate f () f () L f () ' ' ' L f () f () f () M M M M ( ) ( ) ( ) L f () f () f () o es ero por lo meos e u puto del itervalo I, etoes f (), f (),..., f () so liealmete idepedietes e I. El determiate que aparee e el teorema aterior se desiga por W(f (),f (),...,f ()) se llama wroskiao de las fuioes. Prof. José Luis Quitero 6

3 Ejemplo 4. f () se f () os so liealmete depedietes para todo W(se, os ) para todo úmero real. Para verifiar esto, se observa que se W(se, os ) se os os se se se se os se os os se[se os ] se[se os se ] se[se os ] Ejemplo 5. Para m m f () e, f () e, m m m m m m e e (m m ) m m m e me W(e,e ) (m m )e para todo valor real de. Por lo tato f () f () so liealmete idepedietes e ualquier itervalo del eje..5. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN TEOREMA. Sea, dos soluioes de la euaió () (homogéea asoiada) e el itervalo I. Si, R, etoes la ombiaió lieal tambié es soluió de la euaió () sobre I. Demostraió. Si etoes la liealidad de la operaió de difereiaió implia que: ' ' '' '' ', '' '' '' ' ' luego: a'' b' a[ ] b[ ] [ ] a que, so soluioes de (). '' ' '' ' [a b ] [a b ] [] [] Ejemplo 6. Demuestre que Soluió. Se tiee que: e, e so soluioes de '' '. ' '' ' '' derivadas e ada aso e la euaió se obtiee: '' ' e 4e e e. Al reemplazar las '' ' 4e e e, e e e. Así se olue que, so soluioes de la euaió dada. Además, omo, o so múltiplos ua de la otra, etoes la soluió geeral de la euaió difereial dada es e e. Corolario. a. Si es soluió de () etoes u múltiplo ostate tambié lo es, es deir es ua soluió de (). b. La euaió () siempre tiee soluió trivial. Prof. José Luis Quitero 6

4 .6. ECUACIÓN AUXILIAR O CARACTERÍSTICA la forma ovierte así: E la búsqueda de ua soluió de la euaió () si se esaa ua soluió de m e se obtiee m ' me, m m m am e bme e o bie m '' m e, etoes la euaió () se m e [am bm ]. Como m e R, etoes se elige m de tal maera que satisfaga la euaió de la forma dad por am bm (), a esta euaió se le deomia euaió auiliar o euaió araterístia de la euaió (). Observe que la euaió () se puede determiar de maera direta a partir de la euaió () simplemete sustituedo '' por m, ' por m, e lugar de. Se lasifiará las soluioes de la euaió homogéea asoiada (euaió ()) de auerdo alos tipos de raíes de la euaió araterístia (): TEOREMA. Soluioes de a'' b' : a. Raíes Reales Distitas: Si la euaió araterístia tiee raíes m, m reales distitas, etoes la soluió geeral de () viee dada por la epresió: m m C e C e C, C R. b. Raíes Reales Iguales: Si m, m so raíes reales iguales de la euaió araterístia, etoes la soluió geeral de () viee dada por la epresió: m m m C e C e (C C )e C,C R.. Raíes Complejas Cojugadas. Si m α β i, m α β i so raíes omplejas ojugadas de la euaió araterístia, etoes la soluió geeral de () viee dada por la epresió: α α C e os( β ) C e se( β ), es deir, α Ejemplo 7. Resuelva '' '. e [C os( β ) C se( β)] C, C R. Soluió. Al esribir la euaió araterístia se tiee m m. Apliado la fórmula uadrátia o bie fatorizado de maera direta se obtiee: m m (m )(m ), etoes las raíes so m, m, reales distitas, por lo tato, del teorema aterior se olue que la soluió geeral de la euaió dada es: C e C e. Ejemplo 8. Resuelva '' 8' 6. Soluió. La euaió auiliar es: m 8m 6 (m 4)(m 4) (m 4), por lo tato m m 4. Por el teorema aterior se tiee que la soluió geeral de la euaió dada es: C e C e e (C C ). Ejemplo 9. Resuelva '' '. Soluió. La euaió araterístia es m m. Se tiee que ± 4 4()() ± 4 8 ± i m ± i. Prof. José Luis Quitero 6

5 Luego m i α β i, m i α β i, es deir, α, β, por lo tato, la soluió geeral de la euaió dada es: e [C os() C se()]..7. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN NO HOMOGÉNEAS Al omiezo del tema se osideró la euaió a'' b' g() (4) o a, b, R, a, g() ua fuió otiua e u itervalo abierto I, pero se oetró la ateió para el aso e que g(), es deir, el aso homogéeo. Se quiere estudiar ahora la euaió (4) para el aso o homogéeo o uado g()..8. OPERADORES DIFERENCIALES ua fuió ostates dada por El símbolo D se usa freuetemete para desigar la derivada eésima de d D. Por lo tato, ua euaió difereial lieal o oefiietes d () ( ) a a... a '' a ' a g() puede esribirse de la forma a D a D... a D a D a g() o bie de la forma dada por (a D a D... a D a D a ) g(). La epresió a D a D... a D a D a (5) se llama operador lieal de orde. Puesto que (5) es u poliomio e el símbolo D, a meudo se abrevia omo P(D). Puede demostrarse que uado los a i, i,,..., so ostates: a. P(D) puede ser, posiblemete, fatorizado e operadores lieales de orde meor. Esto se osigue tratado a P(D) omo si fuera u poliomio ordiario. b. Los fatores de P(D) puede omutarse. Ejemplo. Los operadores (D )(D ), respetivamete. D D D se fatoriza omo D(D ).9. OPERADOR ANULADOR Sea f() ua fuió que tiee al meos derivadas. Si (a D a D... a D a D a )f() etoes se die que el operador difereial ostate, f() a D a D... a D a D a aula a f. Si por ejemplo f() es ua k, etoes Dk. Tambié, D, D, etétera. Observaió. El operador difereial -...,. D aula a ada ua de las fuioes,,, Prof. José Luis Quitero 6

6 Ua oseueia imediata de la observaió, juto o la posibilidad de derivar térmio a térmio, es que u poliomio... puede ser aulado eotrado u operador que aule a la maor poteia de. Ejemplo. Hallar u operador que aule a Soluió. De la observaió se sabe que 4 D ( 5 8 ) D por lo tato se tiee que Observaió. El operador difereial α α - α e, e,..., e. (D α ) aula a ada ua de las fuioes Para verifiar esto, ote que la euaió auiliar de la euaió homogéea (D α ) es geeral es (m α ). Puesto que α es ua raíz de multipliidad, la soluió α α α e e... e. Ejemplo. Halle u aulador para (a) 5 e (b) 4e 6e Soluió. a. Eligiedo α 5, de la observaió se obtiee que b. Eligiedo α, se obtiee que (D ) (4e 6e ). 5 (D 5)e. Ejemplo. Obtega u operador difereial que aule a la fuió Soluió. De la observaió, operadores (D )e e e. (D ) e. El produto de los dos (D )(D ) aulará la ombiaió lieal dada. Dado que lo aterior puede o ser obvio, se eesita verifiar: (D )(D ) (e e ) (D )[(D ) e (D ) e ] (D )[6e ] 6(D )e. Si α β so úmeros reales, la euaió raíes omplejas α β i α β i, ambas de orde de multipliidad. [m α m ( α β )] tiee Observaió. El operador difereial fuioes [D α D ( α β )] aula a ada ua de las α α α α α α e os β, e os β, e os β,..., e os β, e seβ, e seβ, α α e seβ,..., e seβ. Ejemplo 4. Eligiedo α, β, el operador difereial (D ) o bie 4 D D, aulará os, os, se se. Además, tambié aulará ualquier ombiaió lieal de esas fuioes. Prof. José Luis Quitero 64

7 .. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS Para obteer la soluió geeral de ua euaió difereial o homogéea o oefiietes ostates debe haerse dos osas: hallar la soluió omplemetaria luego, obteer ualquier soluió partiular p de la euaió o homogéea. Reuerde que ua soluió partiular es ualquier fuió si ostates arbitrarias, que satisfae la euaió idétiamete. La soluió geeral de la euaió o homogéea es la suma de p. Ahora bie, si P(D) represeta u operador de la forma a D a D... a D a D a, etoes ua euaió difereial lieal o homogéea o oefiietes ostates puede esribirse omo P(D) g() es ua ostate k, u poliomio e, ua fuió epoeial g(). (6) Si e α, seβ, os β, o osiste e sumas fiitas produtos de estas fuioes, siempre es posible eotrar otro operador difereial P (D) que aule a g(). Apliado P (D) a (6) resulta P (D)P(D) P (D)g(). Resolviedo la euaió homogéea P (D)P(D) es posible desubrir la forma de ua soluió partiular p de la euaió o homogéea (6). Los ejemplos que viee a otiuaió ilustra el llamado método de los oefiietes idetermiados para eotrar p. Ejemplo 5. Resuelva Soluió. d d 4 d d. (7) Paso. Se resuelve la euaió homogéea auiliar orrespode d d. De la euaió d d m m (m )(m ) se obtiee la fuió omplemetaria que e e. Paso. Se tiee que (7) puede ser trasformada e homogéea derivado tres vees ada miembro de la euaió. E otras palabras, D (D D ) 4D (8) a que D. La euaió auiliar de (8) es soluió geeral debe ser 4 5 e e m (m )(m ) por lo tato su Al trabajar o la soluió partiular es eesario hallar oefiietes espeífios, 4 5. Derivado sustituedo resulta: '' ' p p p ( ) ( ) 4 p ( ) (6 ) 4 Igualado oefiietes, se obtiee el sistema Resolviedo resulta 7, 4 6, 5. De modo que, Paso. La soluió geeral es e e p 7 6. Prof. José Luis Quitero 65

8 Ejemplo 6. Resuelva '' ' 8e 4se. Paso. La euaió auiliar de la euaió homogéea '' ' es m(m ) así: e. Paso. Ahora bie, puesto que difereial a ambos miembros: E oseueia, simplifiado resulta: Igualado oefiietes resulta: (D )e (D )se, se aplia el operador (D )(D )D(D ). La euaió auiliar es (m )(m )m(m ) m(m ) (m ). 4 5 e e os se Sustituedo p '' ' p p p e ( ) os ( )se 8e 4se Se euetra 8 /, 4 6 /5, /5 por osiguiete, p e os se Paso. La soluió geeral es etoes e e os se MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS E el tema se vió que la soluió geeral de la euaió difereial lieal de primer orde d P() f(), (9) e dode P() f() so otiuas e u itervalo d P()d P()d P()d I, es e e f()d e. () Ahora bie () tiee la forma e dode p p P()d e es ua soluió de d P() d () P()d P()d e e f()d () es ua soluió partiular de (9). Para motivar u método adiioal para resolver euaioes lieales o homogéeas de orde superior se volverá a deduir la euaió () mediate u proedimieto ooido omo método de variaió de parámetros. Supoga que es ua soluió ooida de la euaió (), esto es, d P() d. Ya se ha demostrado que P()d e es ua soluió, puesto que la euaió difereial es lieal, su soluió geeral es (). El método de variaió de parámetros osiste e eotrar ua fuió u tal que p u () () sea ua soluió partiular de (9). E otras palabras, se reemplaza el parámetro por ua variable u. Sustituedo p u e (9) resulta Prof. José Luis Quitero 66

9 d d du [u ] P() f() u P()u f() d d d d du u P() f() d d ero du de modo que f() d. Separado variables: du f() ual se dedue que u d. () f() d u () f() d de lo ().. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Para adaptar el proedimieto aterior a ua euaió difereial de segudo orde a ()'' a ()' a () g(), () se esribe () e la forma estádar '' P()' Q() f() (4) dividiedo etre a () toda la euaió. Se supoe que P(), Q() f() so otiuas e u itervalo I. La euaió (4) es aáloga de (9). Como a se sabe, uado P() Q() so ostates o ha problema para esribir eplíitamete. Supoga que so tales que '' ' '' ' P() Q() P() Q(). Se preguta ahora: Es posible eotrar dos fuioes u u de modo que p u () () u () () sea ua soluió partiular de (9)?. Se advierte que esto es equivalete a supoer que, pero que se ha reemplazado por parámetros variables u u. Empleado la regla del produto para derivar p resulta que u u sea fuioes para las uales trasforma e ' ' ' p u u. ' ' ' ' ' p u u u u (5). Si además se eige ' ' u u (6) etoes (5) se Cotiuado, se euetra que '' '' ' ' '' ' ' p u u u u por lo tato '' ' '' ' ' '' ' ' ' ' p p p P Q u u u u Pu Pu Qu Qu '' ' '' ' ' ' ' '. Se tiee que u [ P Q ] u [ P Q ] u u f() ero u u debe ser fuioes que además satisfaga la odiió ero obtiee etoes el sistema lieal de euaioes: ' ' ' ' ' ' Cramer, se puede epresar por medio de determiates: ' ' ' ' u u f(). Se u u. Por la regla de u u f() ' ' ' W f() f() ' W f() f() ' ' W ' ' W ' ' ' ' u, u. Prof. José Luis Quitero 67

10 El determiate W se idetifia omo el wroskiao W de. Por la idepedeia de e I se sabe que W( (), ()) para todo e el itervalo. Ejemplo 7. Resuelva '' 4' 4 ( )e. Soluió. Puesto que la euaió auiliar es e e. Idetifiado e e 4 e W(e,e ) e. Se obtiee: e e e ' e ( )e 4 u u. e Por osiguiete: E oseueia: m 4m 4 (m ) se tiee que e, se evalúa el wroskiao: ' e ( )e 4 u u. e p e e e. 6 p e e e. 6 Ejemplo 8. Resuelva 4'' 6 s. Soluió. Primero se esribe la euaió omo de la euaió auiliar dada por os se m 9 so m os '' 9 s. Puesto que las raíes 4 i m se W(os, se). se os i se tiee etoes ' 4 Coseuetemete, u (se)( s ) u ' 4 u (os )( s ) os u l se se 6 Por tato, p os se os (se)l se. 6 Ejemplo 9. Halle la soluió geeral de la euaió Soluió. Resolviedo la euaió homogéea asoiada: '' ' e m m (m )(m ) m, m e e Calulado Wroskiao: Usado variaió de parámetros: De modo que u u () artg(e ). e. ' f() e e W e e ' ' W e e e e e. u e. ' f() e e W e e e dz d artg(z) artg(e ) (z e ) e z. De modo que u () l( e )... Prof. José Luis Quitero 68

11 e dz d l z l(e ) (z e ) e z E oseueia: e () e e e artg(e ) l( e )... ELABORACIÓN DE UNA SEGUNDA SOLUCIÓN A PARTIR DE UNA SOLUCIÓN CONOCIDA Ua de las osas más iteresates e importates al estudiar las euaioes difereiales lieales de segudo orde es que es posible formar ua seguda soluió a partir de ua soluió ooida. Sea la euaió a ()'' a ()' a () (7). Supoga que se divide etre a () para llevar la euaió (7) a la forma dada por la epresió '' P()' Q() (8), e dode P() Q() so otiuas e algú itervalo I. Supoga además que () es ua soluió ooida de (8) e I que () para todo e I. Si se defie () () u() (), se tiee: ' ' ' () u() () u'() (). '' () u'() () u() () u''() () '' ' '' '' ' '' '' P()' Q() () u'() () u() () u''() () ' ' P() () P() u() () P() u'() () Q() Q() u() () '' ' '' ' [ () P() () Q() ] u()[ () P() () Q() ] ero ' u'() () u''() () P() u'() () ero o bie Esto implia que se debe teer ' ' u'() () u''() () P() u'() () ()u''() ( () P() ())u'(). Si se hae el ambio w u' la euaió se ovierte e ' ()w'() ( () P() ())w() (9). Observe que la euaió (9) es lieal tambié separable. ' dw ' dw () () ( () P() ())w d P()d, ( ) d w () ' dw () d P()d l w l P()d l w P()d k w () P()d P()d k ke w e w u k e P()d d k De modo que P()d P()d e e () k d k () C () C () d () () Prof. José Luis Quitero 69

12 Ejemplo. La fuió soluió geeral e el itervalo es ua soluió de < <. Soluió. Puesto que la euaió tiee la forma alterativa etoes resulta geeral e d / d / e e d d d l 4 4 < < está dada por '' ' 4. Halle la 4 '' '. La soluió l. Ejemplo. Resuelva la euaió difereial < <, sabiedo que () es ua soluió de la euaió. Soluió. d P()d ( ) e e d () () d d () ( ) A B C D ( ) A( ) B( ) C ( ) D ( ) A A B B C C D D ( B C D) ( A C D) B A B C D, A C D, B, A A, B, C, D ( )'' ' e el itervalo ().. d l( ) l( ) l Etoes () l l. Se puede verifiar que tambié es ua soluió de la euaió difereial..4. ECUACIÓN DE EULER - CAUCHY Defiiió 5. Ua euaió difereial de la forma e dode a, a -,..., euaió equidimesioal. d d d a a... a a g() d d d a so ostates, se llama euaió de Euler-Cauh o Para preisar el estudio, se fijará la ateió sobre la resoluió de la euaió homogéea de segudo orde d d a b. Se puede resolver la euaió d d Prof. José Luis Quitero 7

13 d d o homogéea a b g() mediate variaió de parámetros, ua vez d d que se haa determiado la fuió omplemetaria..5. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE EULER - CAUCHY Se probará ua soluió de la forma, dode m debe ser determiada. Las derivadas primera seguda so, respetivamete, d m d m d d m m m(m ). Por osiguiete, la euaió difereial se trasforma e d d a b a m(m ) bm d d m m m m m m m am(m ) bm (am(m ) bm ). Así, m será soluió de la euaió difereial ada vez que m sea soluió de la euaió auiliar am(m ) bm o am (b a)m. () Ha que osiderar tres asos diferetes depediedo de si las raíes de esta euaió uadrátia so reales distitas, reales e iguales, o omplejas ojugadas. Caso I. Sea m m raíes reales de () tales que m m. Etoes m m forma u ojuto fudametal de soluioes. Por lo tato, la soluió geeral es m m. Ejemplo. Resuelva Soluió. Al supoer d d d d 4. m omo soluió, al derivar dos vees se tiee: d m m d d d m m(m ). Sustituedo e la euaió difereial: d d 4 m(m ) m 4 d d m m m m m (m(m ) m 4) (m m 4) Ahora bie, (m )(m 4) implia m, m 4 de modo que 4. Caso II. Si m m, se obtiee ua sola soluió a saber, de la euaió uadrátia m. Cuado las raíes am (b a)m so iguales, el disrimiate de los Prof. José Luis Quitero 7

14 oefiietes es eesariamete ero. Por la fórmula uadrátia se sabe que la raíz debe ser m (b a) /a. Ahora se puede ostruir ua seguda soluió usado la fórmula obteida e el apartado 4.. Se esribe primero la euaió de Euler-Cauh d b d e la forma se hae la idetifiaió P() b / a. Por d a d a osiguiete (b / a)d m e m b / a m m b / a (b a) / a m d m d. d. d l. m La soluió geeral es etoes m m l Ejemplo. Resuelva Soluió. La sustituió uado geeral es d d d d. 4 8 m da d d m m 4 8 (4m(m ) 8m ) (4m 4m ) d d 4m 4m o bie / / l. (m ). Puesto que m /, la soluió Observaió 4. Para euaioes de orde superior, puede demostrarse que si m es ua raíz de multipliidad k, etoes soluioes liealmete idepedietes. m m m m k, l, (l),..., (l) so k Caso III. Si m m so omplejas ojugadas, por ejemplo m α β i, m α β i dode α β > so reales, etoes ua soluió formal es α βi α βi C C. Pero omo e el aso de las euaioes oo oefiietes ostates, uado las raíes de la euaió auiliar so omplejas, se tratará de esribir la soluió solamete e térmios de fuioes reales. Se destaa la idetidad la fórmula de Euler, es la misma que i βi l βi βil β os( β l) ise( β l). (e ) e, la ual, por Por lo tato α βi α βi α βi βi C C [C C ] α [C [os( β l) ise( β l)] C [os( βl) ise( βl)]] α [(C C )os( β l) (C i C i)se( βl)] E el itervalo < < se puede verifiar fáilmete que α os( β l) α se( β l) ostitue u ojuto fudametal de soluioes de la euaió difereial. Se dedue que la soluió geeral es [ os( β l) se( β l)]. α Prof. José Luis Quitero 7

15 Ejemplo 4. Resuelva Soluió. Se tiee d d d d. d d m (m(m ) m ) d d si m m. Co la fórmula uadrátia se euetra m i m i. Si se idetifia α β, la soluió geeral es [ os( l) se( l)]. Ejemplo 5. Resuelva Soluió. La sustituió 4 '' ' e. bie (m )(m ). Por osiguiete, parámetros, se reordará que las fórmulas m odue a la euaió auiliar m(m ) m o. Ates de usar variaió de u ' f() / W ' u f() /W fuero deduidas e el supuesto de que la euaió difereial había sido reduida a la forma '' P()' Q() f(). Coseuetemete, se divide la euaió dada etre se hae la idetifiaió que f() e. Ahora bie, ' ( e ) ' ( e ) W, de modo u e u e. La itegral de la última fuió es imediata, pero e el aso de u ' se debe itegrar dos vees por partes. Los resultados so u e e e p u e. Luego, u u ( e e e ) e e e. Fialmete se tiee p e e. Ejemplo 6. Resuelva ' l() '', () (). Soluió. Al maipular la euaió se tiee '' '.l(),. Euaió de Euler de segudo orde o homogéea. Soluió de la euaió homogéea asoiada '' ' : (). Al utilizar el método de variaió de parámetros se tiee que: l() l() ' ' ' l() z z d dz e zdz se sigue que 4 4 z 4 e. f() l() l() u u d Resolviedo la itegral l() d 4 (z l()) z z u z du dz, dv e dz v e. z z z z z l() e zdz ze e dz ze e ' ' ' f() l() l() u u l()d Prof. José Luis Quitero 7

16 Resolviedo l()d se sigue que 4 d u l() du, dv d v. l() l()d l() d l() La soluió es () p l() l() l() l() Si () () etoes, se tiee que 8 l() 5 5 l() l() () l() APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Las euaioes difereiales lieales de segudo orde tiee ua amplia variedad de apliaioes e la ieia e igeiería. E las próimas seioes se eplorará ua de ellas: las vibraioes meáias. Ejemplo 7. Se sabe que los objetos e aída libre eraos a la superfiie de la Tierra tiee ua aeleraió ostate g. Ahora bie, la aeleraió es la derivada de la veloidad ésta, a su vez, es la derivada de la distaia s. Luego, si se toma omo direió positiva la direió vertial haia arriba, se tiee que la fórmula d s g es dt la euaió difereial que da la distaia vertial reorrida por el uerpo que ae. Se usa el sigo meos puesto que el peso del uerpo es ua fuerza de direió opuesta a la direió positiva. Si además se supoe que desde el teho de u edifiio de altura s se laza ua piedra haia arriba o ua veloidad iiial v, e tal aso se debe resolver g, < t < t, sujeta a las odiioes adiioales s() s, s'() v d s dt. Aquí t se toma omo el istate iiial e el que la piedra sale del teho del edifiio t es el tiempo trasurrido hasta que ésta ae a tierra. Puesto que la piedra se laza haia arriba, aturalmete se da por setado que v >. Por supuesto, esta formulaió del problema igora otras fuerzas tales omo la resisteia del aire que atúa sobre el uerpo..7. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE O MOVIMIENTO VIBRATORIO LIBRE NO AMORTIGUADO Cosidere el movimieto de u objeto de masa m, e el etremo de u resorte e posiió vertial. De auerdo a la le de Hooke, que die que si el resorte se estira (o omprime) uidades a partir de su logitud atural, etoes ejere ua fuerza que es proporioal a : fuerza restauradora k, dode k es ua ostate positiva Prof. José Luis Quitero 74

17 (llamada ostate de elastiidad). Si se igora las fuerzas de resisteia eteras (debidas a resisteia del aire o a la friió) etoes, por la seguda le de Newto (fuerza es igual a masa por aeleraió), se tiee d m k o dt d m k. Esta dt es ua euaió difereial lieal de segudo orde. Su euaió araterístia es mr k o raíes r ±ω i, dode ω k m. Por tato, la soluió geeral viee dada por (t) os ω t seω t. Ejemplo 8. U resorte o masa de Kg tiee ua logitud atural de.5 m. Es eesaria ua fuerza de 5.6 Nw para mateerlo estirado alazar ua logitud de.7 m. Si el resorte se estira hasta medir.7 m luego se suelta o veloidad iiial igual a ero, euetre la posiió de la masa e ualquier tiempo t. Soluió. De la le de Hooke, la fuerza eesaria para estirar el resorte es k k 5.6 /. 8. Usado este valor de la ostate de elastiidad k, juto d o m se tiee 8. La soluió de esta euaió segú el aálisis dt geeral aterior es (t) os 8t se8t. Se da la odiió iiial ()., por tato.. Derivado la euaió aterior se obtiee '(t) 8 se8t 8 os 8t. Como la veloidad iiial está dada omo '(), se tiee por tato la soluió es (t) os 8t. Aalizado u poo la euaió (t) os ω t seω t, se 5 tiee que el período de las vibraioes libres es T π ω la freueia f T ω π. Por ejemplo, para (t) os 8t (ver figura ) el período es π 8 π 4 la freueia 5 4 π. El primer úmero idia que la gráfia de (t) se repite ada π 4 uidades; el último úmero idia que ha 4 ilos de la gráfia ada π uidades. Además, se puede demostrar que el período π ω es el itervalo de tiempo etre dos máimos suesivos de (t). Figura. Gráfia del movimieto armóio simple para el ejemplo 8. Prof. José Luis Quitero 75

18 A vees es útil esribir la euaió (t) os ω t seω t e ua forma equivalete (t) Ase( ω t φ ), dode que A (amplitud), φ (águlo de fase), tal se φ, os A φ A. Para demostrar la fórmula aterior se tiee: Ase( ω t φ ) (seωt os φ os ωtse φ).seω t..os ωt. os ω t seωt Para el aso (t) os 8t se tiee seφ, os φ φ π. De modo que (t) se(8t π ) MOVIMIENTO VIBRATORIO Se supodrá e el estudio que sigue que la fuerza de amortiguaió que atúa sobre u uerpo está dada por u múltiplo ostate de d dt (e muhos asos, la fuerza de amortiguaió es proporioal a (d / dt), por ejemplo, e problemas de hidrodiámia). Cuado o atúa otras fuerzas eteriores sobre el sistema, se tiee por la seguda le de Newto, que d d m. k β, e dode β es ua ostate dt dt de amortiguaió positiva el sigo egativo se debe a que la fuerza amortiguadora atúa e direió opuesta al movimieto. Dividiedo la euaió aterior etre la masa m, se obtiee la euaió difereial del movimieto vibratorio amortiguado libre d β d k d d. o bie λ ω. dt m dt m dt dt auiliar es El símbolo λ se usa sólo por oveieia algebraia a que la euaió m λ m ω por lo tato las orrespodietes raíes so m, m λ λ ω λ λ ω. Segú el sigo algebraio de λ ω, se puede distiguir tres asos posibles: CASO I. λ ω >. E esta situaió, se die que el sistema está sobreamortiguado, puesto que el oefiiete de amortiguaió β es grade omparado so la ostate k del resorte. La orrespodiete soluió es t t t o bie (t) e λ e λ ω e λ ω. mt mt (t) e e m, m ambas <, Ejemplo 9. Se verifia fáilmete que la soluió del problema de valor iiial d d 5 4, (), '() es dt dt 5 t 4t (t) e e. El problema puede ser Prof. José Luis Quitero 76

19 iterpretado omo ua represetaió del movimieto sobreamortiguado de ua masa sujeta a u resorte. La masa parte desde ua posiió que se euetra uidad debajo de la posiió de equilibrio, o ua veloidad dirigida haia debajo de m/seg. Para trazar la gráfia de (t), se euetra el valor de t para el ual la fuió tiee u etremo, esto es, el valor de t para el ual la primera derivada (veloidad) es ero. 5 t 8 4t t 8 Derivado resulta '(t) e e de modo que '(t) implia e t l.57. Por ituiió físia por el estudio de la derivada e u etoro del puto, se dedue que efetivamete (.57).69 m es u máimo. E otras palabras, la masa alaza u desplazamieto máimo de.69 m debajo de la posiió de equilibrio. Se debe averiguar tambié si la gráfia ruza el eje t, esto es, saber si la masa pasa por la posiió de equilibrio. Esto o puede sueder e este aso puesto que la euaió (t), o sea t e, tiee ua soluió físiamete 5 irrelevate t.5. La gráfia del ejemplo es la siguiete (figura ): Figura. Gráfia del ejemplo 9. CASO II. λ ω. Se die que el sistema está rítiamete amortiguado, a que ua pequeña dismiuió de la fuerza de amortiguaió produiría u movimieto mt mt osilatorio. La soluió geeral es (t) e te m <, o (t) e ( t). λt Ejemplo. U uerpo que pesa 8 lb estira u resorte pies. Supoiedo que ua fuerza de amortiguaió umériamete igual a dos vees la veloidad istatáea atúa sobre el sistema que el peso se suelta desde la posiió de equilibrio o ua veloidad dirigida haia arriba de pies / seg, determiar la euaió del movimieto. Soluió. Por la le de Hooke se tiee 8 k k 4 lb / pies por m W / g, 8 4 m slug. E oseueia, la euaió difereial del movimieto es d d d d. 4 o bie dt dt dt dt Prof. José Luis Quitero 77

20 auiliar es Las odiioes iiiales so (), '(). Ahora bie, la euaió m 8m 6 (m 4), de modo que m m 4. Por tato, al sistema está rítiamete amortiguado 4t 4t (t) e te. La odiió iiial () eige de imediato que, por el otrario, usado '() resulta. Así, la euaió del movimieto es siguiete (figura ): (t) te 4t. La gráfia del ejemplo es la Figura. Gráfia del ejemplo. CASO III. λ ω <. E este aso se die que el sistema está subamortiguado, a que el oefiiete de amortiguaió es pequeño omparado o la ostate del resorte. Las raíes m m so omplejas, por lo tato la soluió geeral es m λ ω λ i, m λ ω λ i, λt (t) e ( os( ω λ t) se( ω λ t)). El movimieto es osilatorio, si embargo, a ausa del oefiiete variaió tiede a ero uado t. t e λ, las amplitudes de Ejemplo. U uerpo que pesa 6 lb se sujeta a u resorte de 5 pies de largo. E estado de equilibrio, el resorte mide 8. pies. Si el peso se empuja haia arriba se suelta, a partir del reposo, desde u puto que está pies sobre la posiió de equilibrio, determiar los desplazamietos (t) sabiedo además que el medio ofree ua resisteia umériamete igual a la veloidad istatáea. Soluió. El alargamieto eperimetado por el resorte después que se le sujeta el peso es pies, luego por la le de Hooke se obtiee que 6 k(.) k 5 lb /pie. Además, m 6 slug, la euaió difereial que resulta es d d. 5 o bie dt dt d d. Esta última euaió se resuelve sujeta dt dt a las odiioes (), '(). Las raíes de m m m so m i i lo ual implia que el sistema está subamortiguado Prof. José Luis Quitero 78

21 t. Ahora bie, de las odiioes iiiales se tiee (t) e ( os t set) t,. Fialmete se tiee (t) e ( ost set). La gráfia del ejemplo es la siguiete (figura 4): Figura 4. Gráfia del ejemplo..9. MOVIMIENTO VIBRATORIO FORZADO Supoga que ahora se osidera además ua fuerza eterior f(t) que atúa sobre ua masa osilate sujeta a u resorte. Al iluir f(t) e la formulaió de la seguda le de Newto resulta dode F(t) d β d k f(t)., o dt m dt m m f(t) m, tal omo e la seió preedete, λ β m, d d λ ω F(t), e dt dt ω k m. Para resolver la última euaió o homogéea se puede usar idistitamete el método de los oefiietes idetermiados o el de variaió de parámetros. Ejemplo. Iterprete resuelva el problema de valor iiial d d.. 5 os 4t, 5 dt dt (), '(). Soluió. Se puede iterpretar el problema omo ua represetaió de u sistema osilatorio que osiste e ua masa (m Kg) sujeta a u resorte (k N /m). La masa se suelta, a partir del reposo, desde u puto que está uidades (metro) bajo la posiió de equilibrio. El movimieto es amortiguado ( β.) es impulsado por ua fuerza etera periódia. Primero se multiplia por 5 se resuelve la euaió homogéea tiee 5 d d 6 por los métodos usuales. Si m i, m dt dt t i se (t) e ( ost set). Usado oefiietes idetermiados, se postula ua Prof. José Luis Quitero 79

22 soluió partiular de la forma p(t) A os 4t Bse4t. El sistema de euaioes que resulta es 6A 4B 5 4A 6B de soluió A 5 / B 5 /5. Se tiee pues t (t) e ( os t set) os 4t se4t. Si e la euaió aterior se hae t, imediatamete resulta 8 /5. Derivado la epresió haiedo t se euetra además que 86 /5. Por lo tato, la euaió del movimieto viee dada por la epresió de la forma t (t) e os t set os 4t se4t Se puede observar que la 5 fuió omplemetaria t t 8 86 (t) e os t set) 5 5 tiee la propiedad partiular lím (t). Puesto que (t) se vuelve isigifiate (es deir tiede a ero uato t, se die que es u térmio trasitorio o ua soluió trasitoria. Ejemplo. Resuelva el problema de valor iiial d 64 6 os8t, (), '(). dt Soluió. La soluió omplemetaria es A os 8t Bse8t. La soluió partiular es de la forma p t(a os 8t bse8t). Sustituedo se tiee a, b. Así la soluió geeral es (t) A os 8t Bse8t tse8t. De las odiioes iiiales, rápidamete se euetra que A B, de dode t.se8t. El gráfio del ejemplo es el siguiete (figura 5): Figura 5. Gráfia del ejemplo. Se ve del gráfio (figura 5) que las osilaioes va reiedo si límite. Naturalmete, el resorte está limitado a romperse detro de u orto tiempo. Se debería otar que e este ejemplo el amortiguamieto fue igorado ourrió Prof. José Luis Quitero 8

23 resoaia porque la freueia de la fuerza etera apliada fue igual a la freueia atural del sistema o amortiguado... SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Numerosas euaioes difereiales o se puede resolver eplíitamete e térmios de ombiaioes fiitas de fuioes simples ooidas. Esto ourre iluso para euaioes que paree seillas, omo '' '. Si embargo, es importate poder resolver euaioes omo la aterior, porque surge e problemas físios. E ese aso, se emplea el método de serie de poteias, es deir, se busa ua soluió de la forma f()... El método osiste e sustituir esta epresió e la euaió difereial determiar los valores de los oefiietes,,,... Esta téia es semejate al método de oefiietes idetermiados. Se ilustrará el método e la euaió '', que es seilla. Es ierto que a se sabe ómo resolver esta euaió por téias ateriores, pero es más fáil eteder el método de las series de poteias uado se aplia a ua euaió más seilla. Ejemplo 4. Utilie ua serie de poteias para resolver la euaió ''. Soluió. Supoga que ha ua soluió de la forma Se puede derivar ua serie de poteias térmio a térmio, '' ( ) sigue: '' ( )( ).... ',. Para omparar '' o más failidad, se esribe '' omo ( )( ) o bie dedue que. Sustituedo e la euaió difereial se obtiee ( )( ) ( )( ) [( )( ) ]. De dode se,,,,... Para: :. :. : ! 4 : 5. 4 : ! 5.6 4!.5.6 6! 5 5: !.6.7 7! Prof. José Luis Quitero 8

24 La epresió para los oefiietes es: Para los pares: ( ). Para los impares: ()! De modo que: ( ) ( )! ( ) ( )...! 4! 6! ()! 5! 7! ( )! ( ) ( ). ()! ( )! Note que ha dos ostates arbitrarias,.. Si se reooe las series obteidas e el ejemplo 4 omo las series de MaLauri para os() se(), se puede esribir la soluió de la forma () os() se(). Pero por lo geeral o se puede epresar las soluioes de las euaioes difereiales e forma de series de poteias e térmios de fuioes ooidas. Para simplifiar las osas, se va a restrigir el estudio a euaioes difereiales lieales de segudo orde de la forma p()'' q()' r(), dode p(), q() r() so poliomios. Resulta que tales euaioes difereiales si surge muho e la prátia, tambié ua vez se tega iformaió e relaió a ellas es fail geeralizar a euaioes de orde superior o más ompliadas. Ua de tales geeralizaioes se refiere al aso dode p(), q() r() so fuioes aalítias, esto es, tiee epasioes e series de poteias e algú itervalo de overgeia. q()' r() Ua forma de la euaió sería ''. Ahora si ha de eistir ua soluió p() e forma de serie se desea que eista e p() fuera ero para posteriores. a, sería atastrófio si el deomiador a. Estas situaioes será tratadas o uidado e seioes.. PUNTOS ORDINARIOS Y PUNTOS SINGULARES Defiiió 6. U valor de tal que p() se llama u puto sigular o sigularidad, de la euaió p()'' q()' r(). Cualquier otro valor de se llama etoes u puto ordiario o puto o sigular. Ejemplo 5. Dada la euaió difereial ( )'' ( )', so ambos putos sigulares, mietras que otros valores de, tales omo, por ejemplo, so putos ordiarios. Ejemplo 6. La euaió difereial '' ' tiee u úio puto sigular. Cualesquiera otros valores so putos ordiarios. Prof. José Luis Quitero 8

25 Ejemplo 7. Las euaioes '' '' ' o tiee putos sigulares, o e otras palabras todo valor de represeta u puto ordiario. Ejemplo 8. La euaió ( )'' ' tiee putos sigulares dados por, esto es, ± i. Así putos sigulares ( putos ordiarios) puede ser úmeros omplejos. Se tiee etoes el iteresate e importate teorema siguiete: TEOREMA 4. Sea p()'' q()' r() ua euaió difereial dode p(), q() r() so poliomios. Supoga que a es ualquier puto ordiario de la euaió, esto es, p(a). Etoes se puede obteer las dos siguietes olusioes: a. La soluió geeral de p()'' q()' r() se puede obteer al sustituir la serie de poteias (o serie de Talor) alrededor de e la euaió difereial dada. a dada por j j j a a ( a) a ( a)... a ( a) b. Las soluioes o series obteidas e el apartado aterior overge para todos los valores de tales que a < R, dode R es la distaia del puto a la sigularidad más próima. Co freueia se llama a R el radio de overgeia. Las series puede o o puede overger para a R, pero defiitivamete diverge para a > R. Co freueia es fáil ofirmar la seguda olusió de este teorema e relaió a la overgeia de las soluioes o series usado la prueba del oiete apredida e Cálulo. Ejemplo 9. Determie, e térmios de series de poteias etradas e, la soluió geeral de la euaió difereial Soluió. ( )'' '.. Si etoes ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( )( ). ( ) ( )( ). La relaió de reurreia es: ( ) ( )( ) ( )( ). ( ) arbitrario arbitrario Prof. José Luis Quitero 8

26 4 5 4! ! 7 Por lo tato !! 4! Las soluioes so..5...( ) () ( ),, () <! Ejemplo 4. Determie, e térmios de series de poteias etradas e, la soluió de la euaió difereial '' ' sujeta a las odiioes (), '(). Soluió. Sea Sustituedo: Haiedo k e De modo que: Etoes: se defie omo: C. C, ' C, '' C ( ) C ( ) C C. C( ) se tiee k C k (k )(k ). k C ( )( ) C C. C ( )( ) C C, de dode la relaió de reurreia ( ) C. Para: ( )( )., C C ;, C C ;, C4 C C ; , C5 C C ; 4, C6 C4 C ; , C7 C5 C ; 6, C C6 C De modo que: C...! 4! 6! 8! C...! 5! 7! 9! ' C...! 4! 6! 8! C...! 5! 7! 9! Prof. José Luis Quitero 84

27 Etoes: k.7...(4k ) k k (4k ) k C ( ) C ( ) (k)! (k )! k k Co las odiioes iiiales se obtiee: C.C,.C C, C, C k (4k ) k la soluió toma la forma ( ). (k )! k.. ECUACIÓN DE LEGENDRE Defiiió 7. La euaió ( )'' ' ( ), dode es u etero o egativo, aparee e muhas oasioes e estudios avazados de matemátia apliada, físia e igeiería. Se llama euaió de Legedre. poteia obteer Dado que es u puto ordiario de la euaió, se sustitue la serie de, se desplaza los ídies de suma se ombia las series para ( )'' ' ( ) ( ) ( )( ) 6 (j )(j ) ( j)( j ), j j j lo ual sigifia que, ( ), ( )( ) 6, (j )(j ) ( j)( j ) j j o sea ( ) ( )( ) ( j)( j ),, j j, j,,4,...!! (j )(j ) j Si se hae que j tome los valores,, 4,, la relaió de reurreia aterior da omo resultado ( )( ) ( )( )( ) ! ( )( 4) ( )( )( )( 4) ! ( 4)( 5) ( 4)( )( )( )( 5) ! ( 5)( 6) ( 5)( )( )( )( 4)( 6) ! et. Etoes, uado meos para < se obtiee dos soluioes liealmete idepedietes e forma de series de poteias: ( ) ( )( )( ) 4 ( 4)( )( )( )( 5) 6 ()...! 4! 6! ( )( ) ( )( )( )( 4) 5 ( 5)( )( )( )( 4)( 6) 7 ()...! 5! 7! Prof. José Luis Quitero 85

28 Observe que si es e etero par, la primera serie termia, mietras que () es ua serie ifiita; por ejemplo, si 4, etoes ()! 4!. De igual maera, uado es u etero impar, la serie de () termia o ; esto es, uado es u etero o egativo, se obtiee ua soluió e forma de poliomio de grado de la euaió de Legedre. Como se sabe que u múltiplo ostate de ua soluió de la euaió de Legedre tambié es ua soluió, se aostumbra elegir valores espeífios de o, depediedo de si es u etero, positivo par o impar, respetivamete. Para se elige, para,4,6,... se esoge, para,5,7,... uado 4, /...( ) ( ) mietras que para.4... ( ) /... ( ). Por ejemplo,.4...( ) 4 / () ( ) (5 ) POLINOMIOS DE LEGENDRE Defiiió 8. Sea { P () }, dode,,,..., la suesió de poliomios omo sigue: P () d! d P () ( ), (*) para >. Etoes P () es llamado el poliomio de Legedre de grado, (*) se ooe omo la fórmula de Rodrígues para estos poliomios. De (*) está laro que P () es u poliomio de grado, por álulo direto, se ve que P (), P (), 5 P (), P (). TEOREMA 5. Las siguietes, so propiedades de los poliomios de Legedre: a. El poliomio eésimo P de Legedre, es ua soluió de la euaió difereial lieal de segudo orde ( )'' ' ( ) (Euaió de Legedre). b. El poliomio de Legedre de orde satisfae la idetidad dada por P P P para toda, toda.. P ( ) ( ) P () para toda. d. P () para toda. e. P ( ) ( ) para toda. f. P (), impar g. ' P (), par h. El poliomio de Legedre de grado tiee raíes reales distitas, etre. Prof. José Luis Quitero 86

29 .4. PUNTO SINGULAR REGULAR Defiiió 6. Sea p()'' q()' r(). Etoes si so fiitos, se llama a u puto sigular irregular. a u puto sigular de la euaió difereial dada por ( a)q() lím p() a ( a) r() lím eiste ambos a p() a u puto sigular regular; e aso otrario se llama Ejemplo 4. Dada la euaió ( )'' ', se tiee p(), q(), r() es u puto sigular. Como ( )() lím, esto es, ambos límites eiste, es u puto sigular regular. Ejemplo 4. Dada la euaió p() ( ), q(), Puesto que lím ( ) sigular irregular. Puesto que 4 ( ) ( ) lím, 4 ( )'' ( )', se tiee r(), ha dos putos sigulares. ( ) o eiste, mietras que ( )( ) lím 5, ( ) 4. lím ( ), es u puto ( ) ( ) lím, eiste ( ) ambos, es u puto sigular regular. Basados e las observaioes, se ojetura la verdad del siguiete: TEOREMA 7. Sea a u puto sigular regular de la euaió difereial p()'' q()' r(), dode p(), q() r() so poliomios, supoga que a es u puto sigular regular, esto es ( a)q() lím p() a so fiitos, etoes la euaió tiee ua soluió de la forma r j r j j ( a) r() lím eiste ambos a p() ( a) [a a ( a) a ( a)...] a ( a), dode la serie aparte del fator r ( a) overge para todo tal que a < R dode R es la distaia de a a la sigularidad más próima (por supuesto distita de a). La serie puede o o puede overger para a R pero defiitivamete diverge para a > R..5. MÉTODO DE FROBENIUS Ejemplo 4. Resuelva '' '. Soluió. Se esaará ua soluió de la forma r ( r), ' r. Ahora bie, r ( r)( r ). '' Prof. José Luis Quitero 87

30 r r '' ' ( r)( r ) ( r) r r(r ) [( r )( r ) ] lo ual implia r(r ), ( r )( r ),,,,... Puesto que ada se logra eligiedo, se debe teer r(r ) ( ),,,,... ( r )( r ) Al sustituir los dos valores de r eotrados e ( ), r / r, resulta dos relaioes de reurreia diferetes: r /,,,,,... ( 5)( ) r,,,,,.... De la primera relaió de reurreia: ( )( ),,, 4, 5. 8.!.5.8.! ! ,,,,...! ( ) De auerdo o la seguda relaió de reurreia,,, 4,..4!..4.7! !..4.7.,,,,...! ( ) Se obtiee así dos soluioes e serie /,! ( ).! ( ) De auerdo al teorema 7 se puede afirmar que la overgeia de las soluioes se da para todo valor fiito de. Se tiee etoes que C C, es la soluió geeral de la euaió difereial..6. ECUACIÓN INDICIAL Defiiió 9. Se llama euaió idiial alrededor de u puto sigular regular ( a)q() a, a ua euaió de la forma r(r ) pr q, dode p lím a p() q ( a) r() lím. a p() A la euaió ( ) se le llama euaió idiial del problema a los valores r / r se les llama raíes idiiales o epoetes de la sigularidad. Prof. José Luis Quitero 88

31 Ejemplo 44. Resuelva '' ( 6)'. Soluió. Se esaará ua soluió de la forma De modo que r ( r), ' r. Ahora bie, r ( r)( r ). '' r r '' ( 6)' ( r)( r ) 6 ( r) r r ( r) r r(r 7) ( r)( r 7) ( r ) r r(r 7) [( r )( r 6) ( r ) ] Por osiguiete, r(r 7) de modo que r 7, r, r r 7 ( r )( r 6) ( r ),,,,.... Para la raíz meor r, se tiee ( )( 6) ( ). Puesto que 6 uado 6, o ha que dividir etre este térmio hasta que > 6. Se tiee.( 6) ( ),.( 5) ( ),.( 4) ( ) 4.( ) 4. 5.( )5. 4 implia ( ) arbitrarios 7.7.6,, para 7: 5 ( ) ( )( 6) Luego, 4, 5 4.5, !.8.9.! ( ) ( 4) 7, 8,9,,... ( 7)! Fialmete, para >, ua soluió geeral de la euaió es 7 ( ) ( ) 7 C C! ( 7) Es iteresate observar que e el ejemplo preedete o se usó la raíz maor. Se debe a que esta sólo daría ua soluió oteida e la soluió geeral que a se eotró. Prof. José Luis Quitero 89

32 Ejemplo 45. Resuelva '' '. r k Soluió. '' ' r(r ) [(k r )(k r ) k k]. k De modo que la euaió idiial los epoetes so r(r ) r, r respetivamete. Puesto que (k r )(k r ) k k, k,,,..., se tiee que uado r : (k )(k ) k k. Para los asos k k se tiee:... La última euaió implia que por lo k tato la primera implia que. Se euetra que k, k,,... (k )(k ) 4 por lo tato, 4, 5,..4!4!.5!5!,,,4,... ( )!! De esta maera se puede esribir ( )!!!( )!, < k Cuado r se tiee k, k,,.... De modo que: (k )(k ),,, 4...,,,,.....4!4!.5!5! 4.6 4!6!!( )! Por osiguiete, ua soluió e serie es ().!( )! Se olue que el método de Frobeius sólo da ua de las soluioes e serie de la euaió difereial. Se busará ua seguda soluió ( / )d e d () d () () d 9 () ()... d ()... d () 9 o bie ()l () l Por lo tato, la soluió geeral e el itervalo < < es 9 C () C ()l () Prof. José Luis Quitero 9

33 Ejemplo 46. Resuelva '' ' 4. Soluió. La suposiió r odue a r r r '' ' 4 ( r)( r ) ( r) 4 r r ( r) 4 r ( r) 4 r r r r r [( r ) 4 ] Por lo tato, r, r, r ( r ) 4,,,,... Claramete, la raíz r dará sólo ua soluió, la orrespodiete a los 4 oefiietes defiidos por la iteraió de,,,,... El resultado es ( ) 4, <. Para obteer la seguda soluió liealmete idepediete (!) se hae e la epresió aterior luego (/ )d e d () () d () d 47 () () d () d () l Por osiguiete, la soluió geeral e el itervalo 9 < < es 47 C () C ()l () De los ejemplos ateriores es laro que las soluioes tipo Frobeius que se obtiee depede de las raíes idiiales que puede surgir varios asos: Prof. José Luis Quitero 9

34 CASO I. Si las raíes idiiales difiere e ua ostate que o es u etero, esto es, o es, ±, ±,..., siempre se obtiee la soluió geeral. Esta es la situaió del ejemplo 4. CASO II. Si las raíes idiiales difiere e u etero o igual a ero, ha tres posibilidades: a. La soluió se obtiee al usar la raíz idiial más pequeña. Por ejemplo, si las raíes idiiales so, etoes es la raíz más pequeña. Esta es la situaió del ejemplo 44. b. Al usar la raíz idiial más pequeña se euetra solo ua soluió. La otra soluió se halla apliado la fórmula de reduió de orde. Esta situaió ourre e el ejemplo 45.. No se obtiee soluió al usar la raíz idiial más pequeña. Si embargo, e todos los asos se puede determiar ua soluió al usar la raíz más grade. CASO III. Si las raíes idiiales difiere e ero, esto es, so iguales, se obtiee solamete ua soluió. Esta es la situaió del ejemplo 46. Ejemplo 47. Obtega ua soluió tipo Frobeius alrededor de para la euaió difereial ( )'' '. Soluió. Se tiee p() ( ), q(), r(), de modo que so putos sigulares. Si ( )q() ( ) ( ) r() ( ) () lím lím, lím lím p() ( ) p() ( ) sigue que es u puto sigular regular, así por el teorema ha ua soluió tipo Frobeius alrededor de dada por j j. j a ( ) Es oveiete haer el ambio de variable v, así que la euaió difereial se ovierte e v(v )'' (v )' se puede esribir Sustituedo e la euaió: o bie j j j j j j j j j (v v) (j )(j )a v (v ) (j )a v a v j j j j j j j a v. j j {[(j ) ]a (j ) a }v. Así [(j ) ]a (j ) a. La euaió idiial viee dada por a, esto es puesto que a. Así, las raíes de la euaió idiial so ambas iguales a ero. Coloado e la epresió aterior se tiee oloa j,,,..., se tiee j j j j j (j )a (j ) a ó a a. Ahora si se (j ) ( )( ) a a, a a a, a a a,... Prof. José Luis Quitero 9

35 Usado esto reemplazado v por, se obtiee la soluió requerida ( ) ( )( ) a ( ) ( ) ( ).... Del teorema 7 sigue que la soluió e series aterior overge para < puesto que la distaia de a la sigularidad más próima es. Observaió 5. Al resolver la euaió difereial p()'' q()' r(), dode p(), q() r() so poliomios e toro a u puto para el ual p( ), de maera iteioal o se ha osiderado dos ompliaioes adiioales: a. Es perfetamete posible que las raíes de la euaió idiial resulte ser úmeros omplejos. E partiular, uado la euaió idiial tiee oefiietes reales, las raíes omplejas será u par ojugado r α iβ, r α iβ r r iβ etero. Así, para, eistirá siempre dos soluioes r r b Ambas soluioes dará valores omplejos de para ada valor real de. Esta última difiultad puede ser superada mediate el priipio de superposiió. Puesto que ua ombiaió de soluioes tambié es ua soluió de la euaió difereial, se puede formar ombiaioes adeuadas de () () para obteer soluioes reales. b. Por último, si es u puto sigular irregular, debe haerse otar que puede ser posible o eotrar igua soluió de la forma r..7. LA FUNCIÓN GAMMA Defiiió. La defiiió por itegral de la fuió gamma debida a Euler, viee dada por t Γ () t e dt. La overgeia de la itegral requiere que > o bie >. La relaió de reurreia Γ ( ) Γ () puede ser obteida usado itegraió por partes. Ahora bie, uado : t, por osiguiete, de la relaió de Γ () e dt reurreia se obtiee: Γ () Γ (), Γ () Γ ()., Γ (4) Γ ().., et. De este modo se ve que uado es u etero positivo Γ ( )!. Por esta razó, la fuió gamma se llama freuetemete fuió fatorial geeralizada. Prof. José Luis Quitero 9

36 .8. ECUACIÓN DE BESSEL Defiiió. La euaió '' ' ( v ), dode v, aparee e muhas oasioes e estudios avazados de matemátia apliada, físia e igeiería. Se llama euaió de Bessel de orde v. Al resolverla se supodrá que v. Puesto que se busa soluioes e serie para esta euaió, e toro a, se hae otar que el orige es u puto sigular r, etoes r r r regular de la euaió de Bessel. Si se supoe '' ' ( v ) ( r)( r ) ( r) r v r r (r r r v ) [( r)( r ) ( r) v ] r. La euaió idiial es r v, de modo que las raíes idiiales so r r v. Cuado r v se tiee: r r r ( v) ( v) ( v) v r k ( v) [(k )(k v)k k] k o bie Por lo tato, por el argumeto usual se puede esribir ( v), (k )(k v), k k k k, k,,,... (k )(k v) La eleió implia que de modo que para k,,4,... se euetra, después de haer k,,,,... que. Por osiguiete, ( v) M ( v).( v)..( v)( v).( v)...( v)( v)( v) Prof. José Luis Quitero 94

37 ( ),,,... ( )!( v)( v)...( v) Es omú dar a u valor espeífio, a saber, v Γ ( v), dode Γ ( v) es la fuió gamma. Como esta última fuió tiee la propiedad Γ ( α ) αγ( α ), se puede reduir el produto idiado e el deomiador de ( ) a u solo térmio. Por ejemplo, Γ ( v ) ( v) Γ ( v), Γ ( v ) ( v) Γ ( v) ( v)( v) Γ ( v). Por lo tato, se puede esribir ( ) omo ( ) ( ),,,,... v v!( v)( v)...( v) Γ ( v)! Γ ( v ) Etoes ua soluió es v v ( )! Γ ( v ). Si v, la serie overgerá por lo meos e el itervalo <..9. FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE misma maera La soluió e serie aterior se deota usualmete por J v (): v ( ) J v().! Γ ( v ) Además, para el segudo epoete r v ( ) J v().! Γ( v ) Las fuioes J v() v se obtiee, eatamete de la J v() se llama fuioes de Bessel de primera lase, de orde v v. Depediedo del valor de v, se puede obteer poteias egativas de por lo tato overge para < <. Ahora bie, ha que teer u poo de uidado al esribir la soluió geeral de la euaió de Bessel. Cuado v es evidete que las soluioes so iguales. Si v > r r v o es u etero positivo, segú el aso I, se dedue que J v() J v() so soluioes liealmete idepedietes para < < por lo tato la soluió geeral e el itervalo sería de la forma J v() J v(). Pero tambié, segú el aso II, uado r r v es u etero positivo, puede eistir ua seguda soluió e serie de la euaió de Bessel. E este segudo aso, se distigue dos posibilidades. Cuado v m etero positivo, J m() J m() o so soluioes liealmete idepedietes. Además, r r v puede ser u etero postivo uado v es la mitad de u etero positivo impar. Se puede demostrar que e esta última Prof. José Luis Quitero 95