VARIABLES DE ESTADO EN SISTEMAS LINEALES DE TIEMPO DISCRETO. 1. INTRODUCCIÓN.

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1 NOAS BREVES SUJEAS A REVISIÓN SOBRE: VARIABLES DE ESADO EN SISEMAS LINEALES DE IEMPO DISCREO.. INRODUCCIÓN. Los métodos de variables de estado para el aálisis y diseño de sistemas de tiempo otiuo puede etederse al aálisis y diseño de sistemas de tiempo disreto. E los apítulos previos, disutimos el aálisis y diseño de sistemas de tiempo disreto usado la fuió de trasfereia e z. Observamos, que mietras tratamos o sistemas de tiempo disreto, a meudo eotramos dos situaioes diferetes: sistemas que so ompletamete disretos o respeto al tiempo e el setido de que reibe y etrega sólo señales disretas por ejemplos sistemas basados e omputadoras digitales sistemas o ompoetes de tiempo otiuo disretizados omo oseueia de operaioes de muestreo. Ambos asos será estudiados e estas otas e el oteto de las variables de estado. La forma geeral del modelo de estado para u sistema de tiempo disreto es, f u, y g u dode, u e y so los vetores de estado, de etrada y de salida respetivamete A partir de estas euaioes vemos que, dado el estado iiial y los valores de las etradas u, u, u,, u, se puede deduir uívoamete la evoluió del estado,,, y la evoluió de la salida y, y,, y. Para u sistema lieal e ivariate e el tiempo, de -ésimo orde, las euaioes 6- y 6- se redue a la forma siguiete : siedo: A B u y C D u el vetor de estado, de dimesió De aquí e adelate, por laridad, omitiremos el período de muestreo e el argumeto de la señal, es deir.

2 u el vetor de etrada, de dimesió m y el vetor de etrada, de dimesió p A la matriz de diámia del sistema, de dimesió B la matriz de etrada del sistema, de dimesió m C la matriz de salida del sistema, de dimesió p D la matriz de salida del sistema, de dimesió pm Se observa que la euaió 6-3 es u ojuto de euaioes e difereias de primer orde que represeta la diámia del proeso de tiempo disreto y que la euaió de salida 6-4 es simplemete ua euaió algebraia.. MODELOS DE ESADO A PARIR DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS Y DE FUNCIONES DE RANSFERENCIA. La forma geeral de ua euaió lieal e difereias, que relaioa la salida y o la etrada u, de u sistema de tiempo disreto es bu m b u bu y ay a y ay 6-5 m dode, para sistemas ivariates e el tiempo, los oefiietes a i y b j so ostates, m, so eteros. Las odiioes iiiales so epresadas e térmios de y, y,, y-. La fuió de trasfereia obteida a partir de esta euaió, bajo la suposiió de odiioes iiiales ulas, es z Y U m z b z bm z bm z z a z a z a E u sistema ausal, m puede ser, a lo sumo, igual a, resultado: z Y z b bz bz U z a z az Si m<, la 6-7 otedrá oefiietes b i ulos. m Eiste diversas formas de obteer u modelo e variables de estado a partir de ua fuió e trasfereias. A otiuaió se ilustra dos métodos distitos. Método : Si adoptamos la siguiete asigaió de estados:

3 3 a a a u la euaió e difereias 6.5 puede esribirse e fuió de estos estados omo b ab b a b b ab bu y b b b b a a u Comparado estas euaioes o la forma geeral de u modelo de estados presetada ateriormete, vemos que las euaioes 6.8 orrespode a la 6-3 y la 6-9 a la euaió de salida. Es deir o: A B u y C D u A ; B a a a a C b ab b a b b ab Esta forma se deomia forma aóia otrolable Método : Otra represetaió e el espaio de estado puede obteerse mediate la téia de desomposiió e fraioes pariales. Primero asumamos que la trasfereia z de 6-5 tiee polos distitos ubiados e λ, λ,, λ. Etoes z puede epresarse omo z b i ; z λ dode es el residuo del polo e λ i i i i 6-3 Es deir que la salida y se ompoe a partir de las salidas de sistemas de primer orde. U diagrama e bloques represetativo de esta desomposiió se muestra e la figura 6.. 3

4 4 Figura 6.. Diagrama e bloques del modelo de estado aóio. omado las salidas de los elemetos de retardo omo variables de estado, obteemos el siguiete modelo de estado: u λ λ λ 6-4 [ ] u b y, 6-5 que se deomia modelo diagoal. Cuado alguos de los polos de z so múltiples, o puede obteerse u modelo diagoal puro, pero sí uo diagoal e bloques forma aóia de Jorda. z - λ z - λ z - λ b u y

5 3. DEDUCCIÓN DE LA FUNCIÓN DE RANSFERENCIA A PARIR DEL MODELO DE ESADO. luego, Apliado la trasformaió z e ambos miembros de la euaió 6-3, se obtiee zx z z AX z BU z, 6-6 X z zi A z zi A BU z. 6-7 A su vez, tomado la trasformada z de la euaió 6-4 y resolviedo para Yz, se obtiee: Y z CX z DU z, 6-8 Y z C z I A z C z I A B D U z Así, asumiedo odiioes iiiales ulas, se obtiee la matriz de trasfereia del sistema: z C z I A B D RANSFORMACIÓN LINEAL DEL VECOR DE ESADO. Dado u modelo de estado A Bu y C Du 6- es posible llevarlo a u uevo modelo mediate ua trasformaió lieal del tipo: P z Siedo partiularmete útiles aquellas trasformaioes que odue a formas aóias. Reemplazado 6- e 6- resulta: - - z P APz P Bu y CPz Du es deir u uevo modelo de estados: z z z Az Bu y Cz Du - dode Az P AP ; Bz P B; Cz CP ; Dz D. z 6-, 6- z 6-3 5

6 5. SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE ESADO. A partir del modelo 6-3, 6-4, podemos esribir Si, para >, se defie A ABu Bu A Bu A Bu A A Bu A Bu Bu 6-4 y etoes A Φ 6-5 Φ I matriz idetidad, 6-6 Φ Φ i Bu i 6-7 i Se hae refereia a la matriz Φ omo la matriz de trasiió de estado para el sistema de tiempo disreto 6-3,6-4. Comparado las euaioes 6-7 y 6-7, obteemos ua epresió alterativa para la matriz Φ: { } Φ Z zi A z Alguas de las propiedades de la matriz de trasiió so:. 6-8 ΦI 6-9 Φ - Φ- 6-3 Φ, Φ- A - ; > MODELO DE UN SISEMAS DE IEMPO CONINUO CON INCLUSIÓN DEL RECONSRUCOR DE SEÑALES. Segú se señaló, los sistemas de tiempo disreto puede surgir de varias formas. Ua de ellas es omo oseueia de operaioes de muestreo y reteió sobre u sistema otiuo. Veamos, omo obteer el modelo de tiempo disreto de u sistema de tiempo otiuo: Cosidere la euaió de estado de tiempo otiuo A Bu y C Impodremos las siguietes restriioes sobre el sistema

7 i ii El vetor de etrada u puede ambiar sólo e los istates de muestreo. Reostrutor de orde ero El período de muestreo es ostate. El sistema de tiempo otiuo o estas osideraioes se muestra e la figura 6.. u t ZOH y t A Bu Figura 6.. Sistema a lazo abierto o datos muestreados. A ausa de las operaioes de muestreo y reteió, la etrada al sistema es ostate etre istates de muestreo y de valor u i ; t < ;; ; i ; ;, m La soluió de 6-3, o t omo tiempo iiial, es t t 6-3 t Φ t t t Φ t τ B u τ dτ 6-33 Si osideramos t y durate el itervalo <t<, la evoluió de los estados itervalo resulta: t Φ Φ τ τ ; t t t B u d t 6-34 y e partiular si t puede esribirse dode u m t Haiedo στ, teemos Co λ-σ, obteemos ZOH A B u 6-35 A e A Φ 6-36 τ τ 6-37 B Φ B d 6-38 B Φ σ B dσ λ λ 6-39 B Φ B d y p t 7

8 Si estamos iteresados e el valor de t etre istates de muestreo, primero resolvemos para para todo usado 6-5, 6-6,6-7 y luego usamos la 6-34 para determiar t para < t <. Ejemplo. Cosidere el sistema de otrol muestreado de la figura rt - et e s s Us. seg. s s ZOH yt Modelo disreto de lazo abierto Por el elemeto de muestreo y reteió, t u t ; t < u U modelo de estado para la plata de tiempo otiuo es A Bu u t ; e- La soluió de la euaió 6- está dada por y C [ ] e- t A t t A t τ t e t e B u τ t Si se osidera t y t, se obtiee A A e e Φ θ u dτ [ τ ] B dτ u La euaió e-3 represeta u modelo disreto del sistema otiuo más el reostrutor de señal sistema de lazo abierto. Para At A, e puede alularse a partir de atitrasformar si A : e At t e t Φ e Luego, las matries A y B del modelo disreto resulta: A Φ A e t e-3 8

9 B θ e A λ B dλ Por lo tato, a partir de la euaió 6-3 teemos Modelo disreto de lazo errado Para obteer el modelo de lazo errado, se reemplaza e la epresió e-4. λ e λ e dλ.48 dλ u e-4 u r r r.95 Otro efoque para la obteió de u modelo de estado disreto, es a través de obteer previamete la trasfereia muestreada G z Z s s s e e-5 7. CONROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD. Los oeptos de otrolabilidad y la observabilidad, ya presetados, se aplia diretamete a sistemas lieales de tiempo disreto. Los tests de Kalma y Gilbert tambié puede usarse para sistemas de tiempo disreto. 8. ASIGNACIÓN DE POLOS POR REALIMENACIÓN DEL ESADO. La oió de realimetaió de las variables de estado es ta potete e sistemas de tiempo muestreado omo e sistemas de tiempo otiuo. Cosideramos el sistema o realimetaió de estados mostrado e la figura 6.3. A Bu u r K y C

10 r - ZOH u A B u Plata C y K Figura 6.3. Sistema muestreado o realimetaió de estado. La forma disreta de la euaió 6-3 oforme a 6-4, 6-4 y 6-4 es A B u Cerrado el lazo a través de ua realimetaió de estados resulta 6-43 u r K 6-44 A BK Br Luego, asumiedo que el sistema es ompletamete otrolable, puede seleioarse las gaaias de realimetaió para que los autovalores de la matriz A-BK se orrespoda o los polos de lazo errado deseados. Nota: Detalles del método de asigaió de polos y ejemplos puede eotrarse e muhos tetos de sistemas de otrol disreto, por ejemplo: Digital Cotrol System Aalysis ad Desig, Phillips & roy Nagle ap. 9.

11 Problemas. Problema. Euetre los modelos de estado e la formas aóia otrolable y diagoal de los sistemas disretos: a y 4. y. 45 y u u u b 3 4 z z 3 z 7 z z z z.5 Problema. A partir de los modelos de estado alulados e el problema a obtega las orrespodietes fuioes de trasfereia Problema 3. Para el sistema muestreado dela figura, obtega u modelo de estados disreto. Gs ut,s H o s s. yt Problema 4. Cosidere el sistema del ejemplo de la seió 6 a Aalie la otrolabilidad y observabilidad del sistema origial y del muestreado. b Calule la matriz de trasiió de estados y la respuesta del sistema disreto a odiioes y eitaió u para. iiiales [ ] Diseñe u otrol por realimetaió de estados, de maera que los polos de lazo errado esté ubiados e z.95 y z.9.