Auxiliar 12: Intervalos de Confianza

Transcripción

1 Auxiliar 12: Itervalos de Cofiaza MA Probabilidades y Estadistia Profesor: Viete Auña Auxiliares: Marti Castillo - Felipe Campos 11 de Juio, 2014 Protoolo para la ostruió de u itervalo de ofiaza para u parámetro θ 1. Eotrar u estimador ˆθ de θ. Ojalá isesgado. 2. Eotrar la distribuió de ˆθ o de algua fuió del estimador. 3. Eotrar u estadístio, digamos Z, tal que depeda de ˆθ y de θ, pero uya distribuió o depeda de θ. 4. Eotrar a y b, relaioados bajo algú riterio, tal que Pa < Z < b) = 1 α, dode 1 α se deomia, ivel de ofiaza, que es fijado a priori.. E base a los álulos ateriores ostruir u itervalo para θ. P1. U grupo de partíulas tiee veloidad Nµ, σ 2 ). Se toma ua muestra de io de ellos y sus veloidades so 10, 12, 9, 8, 13. a) Costruya u I.C. para σ 2, o ofiaza 0.9, de tipo ota superior ie, σ 2 <). Soluió: Primero, vemos que X = X i = 10,4. El estimador que usamos es el que sigue: ˆσ 2 = X i X) 2. Por otro lado observemos lo siguiete: X i Nµ, σ 2 ) X i µ N0, σ 2 ) X i µ σ N0, 1), i = 1,...,. Para eotrar el itervalo impoemos: 0,9 = P0 < σ 2 < ) Dode = X 1,..., X ) depede de los valores observados. Por otro lado usaremos que si teemos Z i N0, 1), i.i.d. i = 1,...,. Etoes: Luego desarrollamos: 0 < σ 2 < 0 < Z Z 2 χ 2 Chi uadrado o grados de libertad.). σ 2 X i µ) 2 < X i µ) 2 X i µ) 2 ) Xi µ 2 < < σ }{{} χ 2 1

2 Así, P0 < σ 2 < ) = 0,9 P χ 2 < X i µ) 2 ) = 0,1. Aquí os gustaría simplemete oupar la tabla de la χ 2 para eotrar el valor de. Pero o podemos haerlo pues el parámetro µ es desooido. Por lo tato tambié teemos que estimarlo. Tomado µ = X podemos seguir trabajado pero ates hay que darse ueta que perdemos u grado de libertad de la χ 2. Esto pues al impoer µ = X os queda: X X 1 + X = µ R. Por lo que se pierde la idepedeia de ua de las variables, pues ooiedo el valor de las 1 primeras X i podemos alular el valor de X. Así la χ 2 pasa de teer grados de libertad a 1 grados de libertad al impoer µ = X. De esta maera teemos que eotrar el R tal que: ) P χ 2 4 < X i µ) 2 = 0,1. De la tabla de la χ 2 4 y la primera euaió obteemos que X i µ) 2 = 1,06. Por otro lado, X i µ) 2 = 17,2. Luego = 17,2 1,06 = 16,22, el itervalo busado orrespode a: I.C. : 0; 16,22) b) Si σ 2 = 3,, determie o qué ofiaza se ostruyó el itervalo de ofiaza para µ dado por 10; 11,). Soluió: Como e este aso estamos estimado el promedio, el estadístio es aprovehadoos del TCL) Z = µ µ σ/ = X i µn σ teemos que eotrar el valor de 1 α: 1 α = Pa Z b) = P b µ µ ) σ/ < a = P bσ/ + µ µ aσ/ + µ ) }{{}}{{} 10 11, Para eotrar los valores de a y b los obteemos mediate el siguiete sistema b 3, a + 10,4 = 10 3, + 10,4 = 11, Despejado, obteemos: a = 1,32, b = 0,48. Luego, la ofiaza del itervalo dado es: Pa Z b) = Φb) Φa) = 0,7. P2. Cosidere ua mara de ampolletas uya duraió úia araterístia relevate) es ua v.a. X Nµ, 2). Se toma ua m.a.s. de tamaño = 2, obteiédose X = 170. a) Costruya u itervalo de ofiaza de 9 % para µ. Soluió: El razoamieto es pareido pero o el mismo) a la parte b) de la preguta 1. Queremos que: Pb < Z < a) = 0,9. 2

3 Se sabe que para eotrar itervalos más ortos para la N0, 1) es oveiete asumir simetría o respeto al promedio) del itervalo de ofiaza. Etoes asumimos b = a. Luego desarrollamos: P a < Z < a) = PZ a) PZ a) = Φa) PZ > a) = P hia) 1 PZ a)) = 2Φa) 1 Etoes P a < Z < a) = 0,9 Φa) = 1,9 2 = 0,97 a = 1,96. b) Co qué ivel de ofiaza fue ostruido el siguiete itervalo para µ: 168.,172)? Soluió: Queremos saber, o que probabilidad el itevalo dado otiee a µ la aleatoriedad se euetra e el itevalo), es deir, P168, µ 172) = P 172 µ 168,) X 172 = P σ/ X µ σ/ X ) 168, σ/ = P 2 Z 1,) = Φ1,) P 2 Z) = Φ1,) 1 PZ 2)) = Φ1,) + Φ2) 1 = 0,93 + 0,97 1 = 0,9 De esta maera, el itervalo dado fue ostruido o 90 % de ofiaza. Mometos La idea de el método de los mometos es el siguiete: a) Teemos algua v.a. X uya distribuió depede de algú parámetro θ que o ooemos. Notar que θ puede teer mas de ua ompoete, ej: θ = θ 1, θ 2 ). Solo podemos medir valores. em pírios de esta variable. b) La esperaza y la variaza de esta variable debería depeder del parámetro. Así: EX) = fθ), VarX) = gθ). ) Luego impoemos algua de las o ambas) odiioes: V arx) = EX) = X = fθ), X i X) 2 = gθ). d) Itetamos despejar θ. Y obteemos así uestro estimador. P3. Se die que ua variable aleatoria X tiee distribuió Pareto, β) si { β β x β 1 si x fx) = 0 si x < Sea X 1,..., X muestra aleatoria simple: 3

4 a) Supoiedo ooido, euetre el estimador de β usado el método de los mometos. Soluió: Neesitamos alular EX). Luego, impoemos EX) = X pues EX) = xβ β x β 1 dx = β β x β dx = β β x β+1 β + 1 = β β + 1 = β β 1 X = ˆ EX) = X), y despejamos β, es deir, β β 1 ˆβ = X X b) Determie el estimador máximo verosímil de y β, deotados por ĉ, ˆβ. Soluió: La fuió de verosimilitud viee dada por: { β Lβ, ) = fx i β, ) = β X β+1) i, si X i, i = 1,...,. 0, si i = 1,..., tal que X i Observamos que el valor de que maximiza f se alaza uado ĉ = mí x i. Ahora, para β, otamos que f se maximiza e el itervalo e que mí x i puesto que e el omplemeto es 0) y por lo tato, e este itervalo busamos el máximo de la log-verosimilitud. Esto pues sabemos que los problemas máx L y máx logl) so equivaletes, e el setido de que los valores que maximiza L tambié maximiza logl) y viseversa. Al derivar loglβ)) e igualar a 0 se obtiee que el estimador máximo verosímil para β orrespode a: β = log x i ). ĉ x ) ) Determie la desidad de Y = l y a partir de ello determie la distribuió de ˆλ = 1/β) ˆ osiderado ooido y grade. Soluió: Sea Y = lx/). Primero otemos que Y queda bie defiida sobre X, y e este aso toma valores e [0, + ). Calulemos su distribuió: PY > y) = PlX/) > y) 4 = PX > e y ) = + e y = β β [ x β β = e βy. β β x β 1 dx ] + e y

5 Es deir, Y Expβ). Luego, EY ) = 1/β ˆλ = Y. Fialmete, para grade, por TCL, se tiee que Y β 1 N 0, 1), y por lo tato Y N ) 1 β, 1 β 2. β 1 / d) Si X represeta el igreso mesual e miles de $) de u grupo familiar, β = 3, = 100 y se toma ua muestra de 48 familias de maera idepediete. Calule la probabilidad que el igreso promedio de las familias supere los pesos. Soluió: Sea v la variaza de X y e la esperaza alulada e la parte a)). Luego, para alular la probabilidad se hae uso del TCL, alulado P N 0, 1) > 0000 e ) v/. 48 Propuesto El oiero del asio de la faultad preparó masa para haer 00 empaadas. Ese mismo día, e u grupo de 20 alumos que almorzaro jutos, alguie propuso otar la atidad de pasas que ada uo eotrase e su empaada, obteiedo la siguiete distribuió: N de empaadas N de pasas Supoiedo que la distribuió de la atidad de pasas X e ua empaada sigue ua ley de P oisso, estime el parámetro λ. Hit: Use el método de los mometos.