MMII_MSV_c1: Problemas de contorno de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales

Transcripción

1 MMII_MSV_: Problemas de otoro de euaioes difereiales ordiarias lieales Guió: Co esta lase iiiamos el estudio del Método de Separaió de Variables (MSV). Su apliaió para resolver problemas de otoro de euaioes e derivadas pariales, os llevará a los problemas de Sturm-Liouville, que so problemas de otoro de euaioes difereiales ordiarias que depede de u parámetro. E el otexto de las euaioes difereiales ordiarias, la priipal difereia que existe etre los problemas de odiioes iiiales o de Cauhy y los problemas de odiioes de otoro (o de odiioes e los límites) es que para los primeros, siempre y uado los datos presete ua ierta regularidad, existe teoremas que asegura la existeia y uiidad de las soluioes, e los problemas de otoro la existeia y uiidad depederá de la del sistema algebraio resultate de platear las odiioes de otoro. Auque es muy iteresate el estudio de los problemas de otoro de las euaioes difereiales ordiarias, lo dejamos omo u tema para ser tratado por alumos iteresados, ver relaió de temas propuestos e mi págia web, e ualquier aso se puede osultar los libros reomedados. E esta leió os vamos a etrar e los problemas de otoro depedietes de u parámetro, puesto que so los que os vamos a eotrar al estudiar las soluioes de los problemas adjutos de los problemas de otoro de las euaioes e derivadas pariales, omo resultado de apliar el Método de Separaió de Variable, objeto de esta leió. E estos problemas es fudametal estudiar las soluioes o triviales, que aparee au uado las euaioes y las odiioes e los límites sea homogéeas. La bibliografía reomedada so los libros. Euaioes difereiales de Puig Adams y Euaioes e derivadas pariales de Haberma. Ejeriio reomedado: obteer los autovalores y las autofuioes del problema: y y, x ],[ ; y() y () y() y (). Estas otas so solo ua ayuda, que i preteder i puede sustituir a la asisteia a lase, dode se desarrolla los oeptos, se alarará las dudas y se subsaara posibles erratas, y a la osulta de la bibliografía reomedada.

2 Notas de lase: Problemas de odiioes de otoro de euaioes difereiales ordiarias (EDO) Sea el problema de odiioes de otoro dado por: Ly, x ] a, b[ Ba y A Bb y B dode: A y B, L operador lieal regular de segudo orde, siedo las odiioes de otoro separables: Ba y y( a) y ( a), Bb y y( b) y ( b), siedo,,. i i i Si se ooe dos soluioes liealmete idepedietes de la euaió Ly : ( x), ( x), la soluió de la euaió homogéea será ua ombiaió lieal de ambas: y ( x) ( x) Apliado las odiioes de otoro: B y B ( x) B ( x) A a a a B y B ( x) B ( x) B b b b Lo que os proporioa u sistema algebraio de dos euaioes o dos iógitas y. Ba( x) Ba( x) Si det soluió úia Bb( x) Bb( x) Veremos u problema de otoro que segú las odiioes de otoro tiee ua, igua o ifiitas soluioes. Ej: y y y os( x) se( x) si y() y soluió úia si y() y( ) o existe soluió si y() y( ) existe ifiitas soluioes: y se( x)

3 Problemas de otoro de las euaioes difereiales ordiarias e térmios de u parámetro. Estos modelos respode a ua defiiió similar a la aterior, la difereia es la apariió del parámetro : Ly y x ], l[ C y C y, siedo: C y y() y () ; C y y( l) y ( l), dode alfa y beta o se aula simultaeamete. Los valores de para los uales la soluió del sistema es distita de ero, se llama autovalores del modelo. Se llama autofuioes a las soluioes ( x) asoiadas a ada autovalor. Las ( x) verifia la euaió:. Ej: y y x ], l[ y() y( l) L La euaió araterístia: sigo de : r r, la soluió depederá del x x : y e e, apliamos las odiioes de otoro: y() () l y( l) e e () l l l () (): e e Sh( l) omo Sh( l), luego o hay autovalores asoiados a. : y x, apliamos las odiioes de otoro y() y( l) l luego o existe autovalores asoiados a. : y os x se x, apliamos las odiioes de otoro: y() y( l) se l 3

4 para que se debe verifiar que se l l N,,...,,.. N, las autofuioes será: l ( ) x, x se N l Ej3: y y y() y() y () De uevo la soluió depederá del sigo de : : y os x se x y se x os x apliamos las odiioes de otoro: y() y () y() se os tg, -x Sea los eros de la euaió tgx x, x :, N, las autofuioes asoiadas será por tato: ( x) se x, N : y x, apliamos las odiioes de otoro: : y e e x, o existe autovalores asoiados a. x y e e x y() () x, apliamos las odiioes de otoro: y() y () e e e e () () () 4

5 [ e e ] [ e e ] Sh Ch Th th( x) x x -x y esta euaió o tiee soluió para x>, luego o hay soluió asoiada a o estas odiioes de otoro. E estos dos ejemplos se puede omprobar que se verifia las propiedades de los problemas de otoro de las EDO tipo Sturm-Liouville regulares: los autovalores forma ua suesió ifiitamete umerable las autofuioes forma u espaio vetorial de dimesió las autofuioes so ortogoales Ejeriio reomedado: omprobar e los ejemplos ateriores el umplimieto de dihas propiedades. Ej4: E el siguiete ejemplo, las odiioes de otoro o so separables (aso sigular) y por tato o se obtiee las propiedades que se ha observado e los ejemplos ateriores: y y x ],[ y() y() y () y () o so separables, se deomiará.. periódias La soluió depederá de uevo del valor de : : y e e x x y e e x x, apliamos las odiioes de otoro: e e e e 5

6 det e e e e o existe autovalores : y x, apliado las odiioes de otoro: y es u autovalor; ( x) : y os x se x, apliado las odiioes de otoro: y se x os x os se se os det os se = ( os ) os se os os x x x N luego por tato: ( ), ( x) os x se x N puesto que las ostates y queda libres. Agrupado o el autovalor y autofuioes de ero: ( x) os x se x ( ) N Se puede observar que e este problema o se umple las propiedades idiadas para.. separables (problemas de Stur-Liouville regulares): Las autofuioes ostituye u espaio vetorial de dimesió. 6