Apéndice C La supuesta variación de la masa inercial

Transcripción

1 Apédie C La supuesta variaió de la masa ierial 1.C La variaió de la masa ierial seú Eistei E el elebrado libro El siifiado de la relatividad publiado por primera vez e el año 19 y resultado de las ofereias prouiadas por Eistei e Prieto, aparee la olusió de la que masa ierial de u uerpo es afetada por otras masas oloadas era de él. E palabras del propio Eistei: «La masa ierte es proporioal a 1 y, por lo tato, aumeta uado masas poderables se aproxima al uerpo osiderado.» E las ediioes suesivas revisadas de este libro, la última e el año 1955, esta olusió permaeió ialterada. Lo urioso de este asuto es que los álulos de Eistei otiee u doble error: uo matemátio y otro oeptual, y o fuero orreidos hasta el año 196 e que Bras demostró que la supuesta variaió de la masa ierial o es ierta. Eistei parte de las euaioes liealizadas, eotrado que las ompoetes del tesor métrio so G 4G u 4 1 dv 1 ; dv A 3 r r G 1 dv 1 ; r represetado los orhetes valores retrasados. El tiempo propio lo relaioa e esta aproximaió al tiempo oordeado por d o lo que la euaió eodésia queda o bie 1 i d 1 dx dx dx i 1 d 1 i d dx dx dx 1 1 i y al despreiar el oiete, queda 35

2 36 GRAVITOELECTROMAGNETISMO Y PRINCIPIO DE MACH i d dx dx dx 1. i A otiuaió Eistei obtiee los siuietes valores para la oexió ; ; x x x x y al sustituir e la euaió de la eodésia queda d A v v A (1.C) t De este resultado, Eistei oluye que la «masa ierte es proporioal a, por lo tato, aumeta uado las masas poderables se aproxima al uerpo osiderado». Eistei reooe que este efeto o es relevate pero «existe iertamete de auerdo o la teoría eeral de la relatividad», y siifia u «fuerte apoyo a las ideas de Mah». Lo que hizo Eistei fue omparar (1.C) o la euaió lásia dv m i m dode m i es la masa ierial y m la masa ravitaioal pasiva del uerpo, ambas so iuales por el priipio de equivaleia. Etoes, para el aso de poteial vetor ulo, la euaió de Eistei queda dv mi 1 m, lo que viee a siifiar que la masa ierial, tal omo es defiida e la meáia ewtoiaa, se ve alterada o la preseia de u ampo ravitatorio por la atidad mi mi 1, por tato, Eistei oluye que la masa ierial de u uerpo varía a medida que se aumula uerpos e su eraía. Cabe otra iterpretaió del resultado de Eistei. Si la euaió se poe dv mi m 1, etoes abe supoer que la variaió se refiere a la masa ravitaioal pasiva del uerpo, de tal forma que la ueva masa ravitaioal sería m m 1. Todavía es admisible otra iterpretaió, si la euaió de Eistei se poe de la forma dv 1 G 1 m r se podría iterpretar omo ua variaió de la ostate de ravitaió, de tal maera que dimiuye o el poteial ravitatorio

3 La supuesta variaió de la masa ierial 37 G 1 G..C Errores e el trabajo de Eistei El aálisis de Eistei por el que obtiee las euaioes de movimieto de ua partíula a baja veloidad e u ampo ravitatorio débil [euaió (1.C)] otiee varios errores de álulo. E primer luar hay que señalar que las euaioes de ampo liealizadas o os permite determiar la ompoete, del tesor métrio a orde 4. E efeto, uado se obtiee las euaioes liealizadas se despreia parte del tesor de Rii, pero estos térmios otiee ompoetes de orde 4 uado se evalúa la ompoete, del tesor de Rii, que a su vez os permite determiar la ompoete, del tesor métrio. Al obteer las ompoetes de la oexió se ha despreiado térmios de orde que iterviee e la euaió de movimieto. E la derivaió de Eistie o se ha teido e ueta a seudo orde, que o es ulo sio que tiee el valor dado e (11.4). Auque uado se evalúa la euaió de la eodésia a pequeñas veloidades el sumado que otiee estas ompoetes se puede despreiar. Se ha despreiado térmios de orde 4 e la ompoete, alo que o puede haerse porque esta ompoete está multipliada por al uadrado e la euaió de movimieto, es deir, de ella se obtiee térmios de orde y por esto o es líito despreiarlo. Las ompoetes de los símbolos de Christoffel eesarias para obteer la euaió de movimieto a orde so las que viee dadas e (11.4). 3.C La euaió de movimieto para el aso de ampo débil y pequeñas veloidades Vamos a obteer la orreta euaió de movimieto para el aso de ampo débil y veloidades pequeñas omparadas o la veloidad de la luz. La euaió de movimieto a seudo orde es (1.4). Si tomamos pequeñas veloidades de la partíula o relaió a se euetra dv A 4 A t t o sea que otiee u térmio de seudo orde que estaba ausete e (1.C) y tambié varía e uato a los oefiietes. Al orde de aproximaió de uestros álulos tambié se puede poer dv 4 A 1 1 4, (.C) t euaió válida e la aproximaió de seudo orde, uado el ampo ravitatorio es débil y pequeña la veloidad de la partíula. Es eesario haer el álulo del último térmio, para ello se eesita averiuar la expresió del tesor eería-mometo para u sistema de partíulas. 4.C El tesor de eería-mometo para u sistema de partíulas Cosideremos u ojuto de partíulas putuales. El tetramometo de la partíula es defiido por

4 38 GRAVITOELECTROMAGNETISMO Y PRINCIPIO DE MACH dx p m u m. d El tetramometo del sistema de partíulas por uidad de volume es 3 p t r r t, defiiedo la delta de Dira mediate 3 f r r r t dv f r t extedida la iteral a todo el espaio tridimesioal. Se omprueba que p t r r t dv p t 3 lo que muestra que (3.C) es la desidad de volume de tetramometo del sistema de partíulas. Haemos la defiiió T r, t p t r r t, 3 el vetor r es la variable y r t la posiió de ada partíula e el istate t. La desidad de orriete de tetramometo es el tetramometo por uidad de volume multipliado por la veloidad, es deir 3 dx T p t r r t las dos expresioes ateriores se puede uifiar dx i i 3 r r T p t t Vamos a demostrar que lo aterior es u tesor e el espaio-tiempo de Miowsi. Defiimos la fuió delta de Dira e el espaio tetradimesioal omo x x x d x 4 dode d es el elemeto de volume del espaio tetradimesioal de Miowsi. Además se umple la relaió r r x x dx t. Co esta defiiió se puede poer el tesor eería-mometo i i 4 T dx p t x x o bie omo la t es ua simple variable, podemos sustituirla por el tiempo propio., dx dx i i 4 T dx p x x expresió que tiee aráter tesorial frete a trasformaioes de Loretz. La aterior fórmula tambié se puede poer omo dx i i 4 d T d p x x (3.C) (4.C) que es la que utilizaremos para alular el tesor eería-mometo e auseia de

5 La supuesta variaió de la masa ierial 39 ampo ravitatorio. Ahora es eesario trasformar la defiiió del tesor eería-mometo para darle aráter tesorial e u espaio tetradimesioal de Riema. La euaió (4.C) es ivariate por ser ua defiiió, pero omo d es el volume tetradimesioal ivariate, tambié lo es 1 4 x x por tato la expresió del tesor eería-mometo tiee que ser eeralizada a la forma i i 4 T p x x dx que tiee aráter tesorial frete a trasformaioes eérias de oordeadas. 5.C El poteial Vamos a supoer que tratamos o ua oha esféria de masa M y de desidad que tiee ua masa m pequeña e su etro. Cosideramos que tato la veloidad u de la oha omo la veloidad v de la partíula so pequeñas (o iluso ulas). Se trata de determiar el poteial que viee dada por la expresió (17.4). La ompoete, del tesor eería-mometo será la suma del orrespodiete a la oha esféria y a la partíula 4 M m T T T p x x dx d m 3 r r t. d d para el aso de pequeñas veloidades y ampo ravitatorio débil u 1 1 ; 1, (5.C) d d téase e ueta que el poteial e la fórmula (5.C) es el que existe e el puto dode se euetra la partíula fuete y ausado por el resto de todos los uerpos. Si se trata de u puto de la oha esféria, es la suma del poteial de la esfera (que es el mismo e todos los putos iteriores) más el poteial produido por la partíula m e u puto de la oha, térmio que deomiaremos. Si el puto e uestió es la partíula m, etoes que aparee e la euaió (5.C) es solamete el poteial que la esfera produe e su iterior. E lo que siue o represetaremos el poteial total, suma del poteial de la esfera y del poteial de la masa m. El determiate del tesor métrio e uestra aproximaió es etoes el tesor eería-mometo queda 3 T 1 m 1 1 t r r 3

6 4 GRAVITOELECTROMAGNETISMO Y PRINCIPIO DE MACH y a orde que es el que os iteresa e orde a alular el poteial es 3 T m r r t. Calulemos ahora la ompoete del tesor eería-mometo dx 4 4 T p x x dx p x x y a la aproximaió de orde 1 dx p t mv t r r r r T 3 mv r r t pero omo la veloidad de la partíula es muy pequeña, podemos despreiar este térmio. Etoes el poteial es m 3 G dv G t dv r r r r si ahora despreiamos los térmios de orde etoes os queda defiitivamete. (6.C) 6.C Euaió de movimieto de ua partíula de prueba e el iterior de ua oha esféria o ua masa e su etro Ya estamos e odiioes de alular la euaió de movimieto de ua partíula de prueba oloada e el iterior de ua oha esféria de masa M que tiee e su etro ua pequeña masa m. Apliado la euaió (.C) y de (6.C) obteemos dv 4 5 dv 1 1 (7.C) dode hemos teido e ueta que la divereia ula de f e todo el iterior de la esfera. La euaió (7.C) es la que teemos que iterpretar a otiuaió. 7.C Iterpretaió de los resultados La rítia que hae Bras se etra e que la fórmula (7.C) se expresa e fuió de las oordeadas espaio-temporales, y que para ompararla o la fórmula de la meáia ewtoiaa es eesario usar la distaia y el tiempo propio. Al ivel de la aproximaió que estamos osiderado la relaió etre el tiempo oordeado y propio y etre la distaia y la oordeada espaial es d 1 ; d 1 dr etoes (7.C) se puede poer omo 5 dv 1 1 Gm r r o utilizado oordeadas espaio-temporales propias, y

7 La supuesta variaió de la masa ierial 41 tras simplifiar 5 1 dσ 1 1 Gm 1 1 d σ d σ 1 Gm σ es deir la misma fórmula de la meáia ewtoiaa. Co esto se oluye que el efeto de la variaió de la masa ierial prediho por Eistei o es más que ua ilusió, resultado de tomar las oordeadas espaio-temporales y o sus valores tales omo so medidos experimetalmete. La aterior afirmaió se puede mateer al meos uado se trabaja a seudo orde e la iversa de. 8.C Refereias -EINSTEIN, A.: El siifiado de la relatividad, Espasa-Calpe, 1971, pp DAVIDSON, W.: Geeral Relativity ad Mah s priiples, Mothly Noties of Royas Astromial Soiety 117 (1957) BRANS, C. H.: Mah s Priiple ad de Loally Measured Gravitatioal Costat i Geeral Relativity, Physial Review 15 (196) CALA VITERY, Favio Eresto: El aumeto de la masa ierial; Eistei y las oordeadas, Cieia e Ieiería Neoraadia 15 (5)

8 GRAVITOELECTROMAGNETISMO Y PRINCIPIO DE MACH