UPC UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CATALUÑA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA TESIS DOCTORAL

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1 UC UNIVERSIDAD OLITÉCNICA DE CATALUÑA DEARTAENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA TESIS DOCTORAL Desarrollo y Validaió de odelos de Trasformadores oofásios y Trifásios o Saturaió, para el Aálisis de Armóios e Sistemas de oteia Riardo López Garía Bareloa, Noviembre de

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3 UC UNIVERSIDAD OLITÉCNICA DE CATALUÑA DEARTAENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA TESIS DOCTORAL Desarrollo y Validaió de odelos de Trasformadores oofásios y Trifásios o Saturaió, para el Aálisis de Armóios e Sistemas de oteia Autor: Riardo López Garía Diretor: Joaquí edra Durá Bareloa, Noviembre de

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5 A aría Isabel y uestros hijos Jesús Riardo, Daiel y la ea que esperamos

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7 Agradeimietos Deseo expresar mi más siero agradeimieto al Dr. Joaquí edra Durá por su tiempo y dediaió e la direió de este trabajo de ivestigaió, así omo al Dr. Lluis Humet Coderh por su apoyo y olaboraió para llevar a feliz térmio este trabajo. Deseo expresar u espeial agradeimieto al Istituto de Ivestigaioes Elétrias IIE (éxio) por el apoyo bridado para la realizaió de este trabajo. Así tambié, agradeer al Cosejo Naioal de Cieia y Teología CONACYT (éxio) y a la Ageia Española de Cooperaió Iteraioal AECI, por el apoyo eoómio bridado durate mi estaia e la Uiversidad olitéia de Cataluña. De la misma forma, agradezo a todos los profesores y ompañeros del Departameto de Igeiería Elétria de la Uiversidad olitéia de Cataluña por su valioso apoyo para la realizaió de este trabajo, espeialmete agradezo al profesor Atoi Sudria, por su olaboraió desiteresada, y a las empresas fabriates de equipos elétrios IAVEN y SALICRU por las failidades otorgadas para omplemetar la etapa prátia de este trabajo. Fialmete agradezo al Dr. Raúl Velázquez Sáhez y al.i. Ismael Gozález Reyes por todo su apoyo.

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9 Idie lateamieto del problema i- Objetivos de la Tesis i- Estrutura de la Tesis i-3 Ateedetes. Itroduió -. Clasifiaió de téias empleadas e la modelizaió de trasformadores -.3 odelizaió de trasformadores moofásios -3.4 étodos de modelizaió más usados -8.5 odelos moofásios basados e dualidad Trasformador moofásio o devaados oétrios Trasformador moofásio o devaados apilados -4.6 odelos trifásios basados e dualidad odelo de trasformador trifásio o tres devaados y io olumas odelo de trasformador trifásio o dos devaados y io olumas -9.7 Caraterístia B H -.8 Fuioes para represetar la magetizaió - lateamieto de la modelizaió propuesta del trasformador. Itroduió -. odelo moofásio -.3 odelo trifásio Sistema magétio Ciruito elétrio Euaioes del modelo -6.4 Caraterístia de magetizaió -.4. Desripió de la araterístia de magetizaió -

10 3 Trabajo experimetal 3. Itroduió 3-3. Trasformadores usados e los esayos Equipo de laboratorio Equipo de mediió y registro Fuetes de exitaió Esayos para la obteió de los parámetros del trasformador Esayo de ortoiruito Esayo de iruito abierto Esayo de iruito abierto de seueia ero arámetros de dispersió del trasformador UC-I Obteió de los parámetros de la rama de magetizaió Esayos de saturaió moofásia e trasformadores trifásios roedimieto para obteer la urva de magetizaió Obteió del flujo magétio roedimieto del álulo de los parámetros umérios para geerar la urva de magetizaió arámetros de la urvas magetizaió del trasformador UC-I arámetros del trasformador IAVEN arámetros de la rama de dispersió del trasformador IAVEN arámetros umérios para obteer las urvas de magetizaió del trasformador IAVEN Curvas de magetizaió del trasformador IAVEN Esayos para el desarrollo y validaió de los modelos Esayos de exitaió moofásia e el trasformador trifásio UC-I Esayos de exitaió moofásia al trasformador trifásio IAVEN e vaío Comparaió de las orrietes de exitaió moofásia etre las tres olumas, trasformador IAVEN Esayos de exitaió trifásia o el Trasformador e vaío Esayos e el trasformador UC-I Exitaió trifásia del trasformador UC-I. Evoluió de la saturaió trifásia Esayos e el trasformador IAVEN Exitaió trifásia del trasformador IAVEN Y y e vaío 3-56

11 4 odelizaió del trasformador e programa de simulaió 4. Itroduió 4-4. Desarrollo del modelo e el programa Spie Ciruitos que itegra el modelo Listado e ódigo Spie para la simulaió del modelo Resultados de las simulaioes del modelo o el programa Spie Validaió del modelo del trasformador UC-I o exitaió moofásia Validaió del modelo del trasformador trifásio IAVEN o exitaió moofásia Validaió del modelo del trasformador UC-I o exitaió trifásia Validaió del modelo del trasformador IAVEN o exitaió trifásia Validaió del modelo del trasformador IAVEN o exitaió trifásia Y y vaío. 4-5 odelo de trasformador moofásio o saturaió para aálisis de armóios 5. Itroduió 5-5. lateamieto de las euaioes del modelo del trasformador moofásio o saturaió del úleo Disretizaió del sistema de euaioes Resoluió del sistema o lieal Resoluió del sistema lieal Cálulo de los elemetos de la matriz DG(x) Algoritmo para resoluió del sistema de euaioes lieal roedimieto del algoritmo de elimiaió gaussiaa optimizado roedimieto o el método roedimieto o el método 5-3

12 6 odelo de trasformador trifásio o saturaió para aálisis de armóios 6. Itroduió 6-6. lateamieto de la formulaió Euaioes de vaío disretizadas Obteió de las orrietes de magetizaió y ffm Validaió del modelo otra esayos de laboratorio Validaió del modelo. 38 Vrms (L-L), Y y e vaío Validaió del modelo. 45 Vrms (L-L), Y y e vaío Validaió del modelo. 5 Vrms (L-L), Y y e vaío Validaió del modelo. 38 Vrms (L-L), Y y e vaío Validaió del modelo. 45 Vrms (L-L), Y y e vaío Validaió del modelo. 5 Vrms (L-L), Y y e vaío Distorsió armóia de orriete para la exitaió trifásia de 5 Vrms (L-L), Y y e vaío Comparaió de las simulaioes del modelo obteidas e Spie y el algoritmo de resoluió direta Soluió de modelo Spie y algoritmo direto (o putos) Soluió de modelo Spie y algoritmo direto (o 5 putos) Soluió de modelo Spie y algoritmo direto (o putos) Soluió de modelo Spie y algoritmo direto (o putos) Soluió de modelo Spie y algoritmo direto (o 5 putos) Soluió de modelo Spie y algoritmo direto (o putos) Colusioes 7. Colusioes y aportaioes 7-7. Trabajos futuros 7-3 Apédie A. odelo de trasformador moofásio o saturaió para estudio de armóios e sistemas de poteia A-. Estudio para mejorar la overgeia del algoritmo A-6 3. Validaió del modelo del trasformador moofásio o saturaió A-8 4. Algoritmo para aálisis de armóios de sistemas de poteia o trasformadores e saturaió A-9 5. Desripió del algoritmo A- 6. Validaió del algoritmo de aálisis armóio o programas de aálisis de trasitorios A-

13 Apédie B. Listado del algoritmo del modelo del trasformador trifásio o saturaió. Código FORTRAN B- Apédie C. Trasformador trifásio, tres olumas modelizaió lieal C-. Formulaió C- Apédie D. Refereias y bibliografía D-. ubliaioes produidas durate el desarrollo de la Tesis D-3

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15 Itroduió geeral

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17 Itroduió lateamieto del problema Los estudios sobre la mejora de la alidad de la eergía hoy e día está oupado a muhos grupos de ivestigaió. El uso ada vez mayor de argas del tipo o lieal, hae que los sistemas elétrios sea ada vez más sesibles a estos elemetos. Esto a llevado a ivestigar sobre la modelizaió de este tipo de argas para dar ua soluió. Los trasformadores so quizás los elemetos más fiables y efiietes del sistema de poteia. Si embargo, uado el úleo etra e saturaió, este se ovierte e u elemeto que puede dar problemas al sistema o sufrir daños e su propio aislamieto. Los aalizadores de redes omeriales ha sido de gra utilidad e la última déada. Esto ha ayudado a ooer mejor lo que orre a través de los sistemas elétrios priipalmete e iveles de baja y media tesió. ero estos aalizadores solo puede dar los sítomas de lo que pasa por los sistemas de poteia y quizá pueda advertir de algú problema de futuro imediato pero o da soluioes. ara estudiar uevas téias sobre la mejora de la alidad de la eergía de los sistemas de poteia, la mejor forma de haerlo es diseñado modelos matemátios adeuados para represetar ada uo de los elemetos que forma el sistema iluyedo las argas o lieales. La fiabilidad de los modelos puede variar segú la omplejidad del propio elemeto. Geeralmete los mejores modelos matemátios que apareiero e los últimos veite años aú sigue experimetado atualizaioes, el trasformador trifásio iluido. La mayoría de los modelos de trasformadores trifásios o úleo magétio de tres olumas que existe atualmete eesita de muhos parámetros i-

18 Itroduió ostrutivos del fabriate o bie tiee ua estrutura matemátia demasiado ompleja. E los estudios de aálisis de armóios e sistemas de poteia, se requiere represetar o aeptable aproximaió, las argas o lieales que iyeta armóios al sistema. El trasformador trifásio operado e su regió de saturaió es muy omplejo de represetar. De heho los modelos reooidos desarrollados e programas del tipo aálisis de trasitorios, está experimetado atualizaioes ostatemete. De los muhos modelos de trasformadores que se ha publiado e los diferetes foros, poos so los que se ha otrastado o medidas. La mayoría de los modelos deomiados ompletos, tiee u plateamieto matemátio ompliado y alguos parámetros depede del fabriate y si o se osigue, estos parámetros se tiee que supoer. La mejor forma de verifiar si u modelo es válido para algua apliaió, es ompararlo o medidas reales. Y obviamete que lo que importa es que su plateamieto matemátio sea orreto, pero o tiee porque ser eesariamete ompliado. Objetivos de la Tesis El objetivo priipal de este trabajo de ivestigaió, es obteer u modelo matemátio del trasformador trifásio o saturaió del úleo de tres olumas, dos devaados. ara la obteió del modelo matemátio se requiere: Desarrollar u algoritmo de resoluió direta del régime permaete del sistema de euaioes o lieal del trasformador trifásio o saturaió del úleo. El modelo debe ser adeuado para adaptarse a u programa de aálisis de flujos de arga o armóios. i-

19 Itroduió Desarrollar esayos de laboratorio para el estudio del feómeo de la saturaió del trasformador trifásio o úleo de tres olumas. Desarrollar u protoolo de esayos de laboratorio adeuado para araterizar el trasformador si eesidad de depeder de los parámetros de diseño que solo el fabriate puede proporioar. Validaió de los modelos propuestos o medidas de los esayos de laboratorio. Estrutura de la tesis Este trabajo de ivestigaió agrupa ua seueia de proedimietos que ha permitido desarrollar ua modelizaió del trasformador o saturaió del úleo magétio efoado para el aálisis de flujos o armóios. Este trabajo ha sido estruturado de la siguiete maera: E el apítulo se ha realizado ua etapa de revisió bibliográfia sobre las téias de modelizaió más usadas e los últimos años. Se determia que la fuió para represetar la urva de magetizaió es ua urva a-histéresis, auque los primeros itetos del trabajo se estudiaro varios modelos urvas de magetizaió, etre ellos, u modelo de segmetos lieales. E el apítulo se hae u plateamieto de la modelizaió propuesta e este trabajo basada e ua formulaió seilla obteida de los iruitos magétio y elétrio propuestos. E el apítulo 3 se hae u resume del estudio experimetal realizado e los tres laboratorios siguietes. El laboratorio del Departameto de Igeiería Elétria de la UC, y dos laboratorios de fabriates de equipos elétrios, SALICRU y IAVEN. i-3

20 Itroduió El estudio experimetal se ha ompagiado o la modelizaió del trasformador e el programa de simulaió de trasitorios Spie. Esta herramieta ha sido de muha utilidad para el ajuste del modelo. Esta etapa se desribe e el apítulo 4 dode se muestra las primeras validaioes del modelo, desarrollado e este programa, otra esayos de laboratorio. E el apítulo 5 se preseta el plateamieto matemátio para el modelo del trasformador moofásio o saturaió del úleo. Esta formulaió es la base para la formulaió del modelo trifásio. E este apítulo tambié se desribe el algoritmo de resoluió direta del fuioamieto del trasformador o saturaió e régime permaete. E el apítulo 6 se desribe el plateamieto matemátio para el modelo de u trasformador trifásio o saturaió. Se desribe la formulaió que represeta el feómeo de la iteraió de flujos etre olumas. Al igual que e el modelo moofásio, se preseta la disretizaió de las euaioes para el aso trifásio. Se hae simulaioes y se ompara otra las medidas obteidas de los esayos de laboratorio. E el apítulo 7 se preseta las olusioes del presete trabajo de ivestigaió. E el apédie A se desribe los primeros itetos de la formulaió del trasformador moofásio o saturaió. E este apédie se desribe tambié la formulaió de u algoritmo seillo para el aálisis de armóios. Se preseta u ejemplo de u sistema de poteia típio para ilustrar la metodología. E el apédie B se preseta el listado del algoritmo de resoluió direta del sistema de euaioes o lieales del trasformador o saturaió. El listado está heho e ódigo FORTRAN. i-4

21 Itroduió E el apédie C se preseta la formulaió para el trasformador e odiioes de fuioamieto lieal. El apédie D otiee las refereias bibliográfias usadas e este trabajo. i-5

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23 Capítulo Ateedetes

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25 Ateedetes. Itroduió Hay gra diversidad de trabajos de ivestigaió e dode se ha estudiado el omportamieto de los trasformadores elétrios e odiioes de saturaió. Se ha desarrollado muhos modelos auque la mayoría de ellos efoados para el aálisis trasitorio. El problema de la saturaió de los trasformadores de poteia geera además del imiete daño e el mismo trasformador, problemas de otamiaió de armóios e el sistema. E la mayoría de los modelos desarrollados por diferetes autores, ha itetado represetar los efetos de la saturaió de estos elemetos, o modelos basados e urvas de saturaió muy idealizadas, y e muy poos asos, los autores ha realizado omparaioes o esayos de laboratorio. ara teer ua represetaió preisa del fuioamieto de estos dispositivos e odiioes ta difíiles, omo lo es la saturaió del úleo, se ha de realizar primero u estudio experimetal que permita la araterizaió orreta o más eraa a la realidad del fuioamieto de estos elemetos idispesables e u sistema de poteia.. Clasifiaió de téias empleadas e la modelizaió de trasformadores Las priipales ideas de los modelos por ordeador y diseño de trasformadores, puede lasifiarse omo: odelos basado e idutaias propias y mutuas. El primer trabajo aalítio siguiedo esta líea fue presetado por Rabis [] seguido por otros tales omo Fergestad y Herise [],[3] y otiuado después por Wilox y otros [4-6]. -

26 Ateedetes Se ha desarrollado a lo largo de muhos años, formulas preisas para el álulo de idutaias propias y mutuas para los devaados, seioes, o vueltas del trasformador. Si embargo, debido a la preseia del úleo de hierro, los valores umérios de idutaias propias y mutuas so muy eraos y puede resultar euaioes matriiales mal odiioadas. El problema del mal aodiioamieto ha sido adeuadamete resuelto e simulaioes de trasitorios por sustraió del flujo omú e el álulo de idutaias propias y mutuas [3], [7-9]. La misma metodología puede ser apliada e los modelos [4-6]. De heho, sustrayedo el valor umério omú de las idutaias propias y mutuas es equivalete al uso direto de idutaias de dispersió. Este método puede o ser muy adeuado, ya que o la saturaió del úleo ambia todos los oefiietes de la matriz de aoplamietos. odelos basados e idutaias de dispersió. Este proedimieto fue iiiado por Blume [] y mejorado por muhos otros, ver refereias [-3]. La geeralizaió para trasformadores trifásios de múltiples devaados fue presetada por Bradjwaj y otros [4]. Duga y otros [5] usa la misma téia para la modelizaió de trasformadores de seioes múltiples. Esos modelos represeta adeuadamete las idutaias de dispersió del trasformador (es deir, e odiioes de arga y orto iruito), pero la araterizaió del úleo de hierro quizá o ha sido iluida apropiadamete. odelos basados e el priipio de Dualidad. Este proedimieto fue plateado por Cherry [6] y geeralizado por Slemo [7]. Co esta téia el úleo de hierro puede ser modelizado o preisió. Si embargo, se ha ritiado que los modelos basados úiamete e este proedimieto tiee el ioveiete que las idutaias de dispersió o so orretamete represetadas (estos so -

27 Ateedetes diretamete derivados del flujo de dispersió despreiado el espesor de los devaados). Esta impreisió paree que ha sido orregida uado supoe el ampo magétio axial, por Edelma [8] y Krahebuhl y otros [9]. Últimamete, Arturi [] ha empleado este proedimieto e modelizaió de odiioes de elevada saturaió. odelos basado e medidas. Existe u gra úmero de modelos de trasformadores de alta freueia derivados de medidas; por ejemplo, refereias [-3]. Los esayos so hehos para la determiaió de parámetros del modelo e el domiio de la freueia o domiio del tiempo. Alguos autores ritia que los modelos obteidos de medidas tiee la desvetaja que su fuioamieto solo puede ser garatizado por esayos de los trasformadores. ero muhos más oiide e que es la mejor maera de asegurar el fuioamieto orreto del modelo. Auque la geeralizaió de esta téia partiedo de los esayos de laboratorio, de auerdo al diseño, tamaño, fabriaió, et., las prediioes preisas de trasformadores si esayos previos, o puede ser asegurada. odelos basados e ampos eletromagétios. Los diseñadores de grades trasformadores usa métodos de ampos eletromagétios para el álulo de sus parámetros de diseño. Las téias de elemetos fiitos so las más aeptadas para la soluió uméria de problemas de ampo magétio [3 35]. Si embargo, hay otras téias dispoibles, refereias [36 37]. Hay ua aeptaió geeralizada, de que el aálisis de ampos tridimesioales es eesario e el proeso de diseño. ero tambié se sabe que, este método o es prátio e simulaió de trasitorios debido al tiempo que tardaría las simulaioes. -3

28 Ateedetes A otiuaió se hae u repaso de los trabajos más importates reietemete publiados, sobre la modelizaió de trasformadores e odiioes de saturaió. Se hae ua revisió de las metodologías seguidas por diferetes grupos de ivestigaió que ha trabajado sobre el tema..3 odelizaió de trasformadores moofásios El modelo del trasformador e odiioes de fuioamieto ormales, o tiee igua ompliaió e su modelizaió matemátia y su formulaió está oteida e la mayoría de los libros de teoría de iruitos. Si embargo, se ometará lo básio sobre el modelo lásio que ha sido aeptado e forma geeralizada. E la figura - se muestra el sistema eletromagétio que represeta u trasformador moofásio de dos devaados o úleo de hierro. φ Fe i p i s V u p N p N s u s R ψ p ψ s Exitaió Carga Fig.- Represetaió eletromagétia del trasformador moofásio. E la figura aterior se represeta esquemátiamete el flujo detro del úleo magétio, las orrietes de los devaados, primario y seudario aoplados magétiamete y los flujos de dispersió de ada bobia. E este diagrama se despreia las pérdidas e el úleo auque se osidera las otras araterístias del trasformador real: omo la idutaia fiita, la -4

29 Ateedetes permeabilidad fiita, la resisteia de devaados, que el flujo de u devaado o elaza totalmete al otro devaado, et. El iruito equivalete elétrio de trasformador moofásio para represetar el sistema magétio de la figura -, se suele expresar habitualmete e la bibliografía o u diagrama llamado iruito equivalete T, mostrado e la figura -. R p x p a x a s R s I s I p I ex I s /a a: u p G B m au s N p u s N s ideal Fig. - Ciruito equivalete elétrio e T. El iruito equivalete de la figura - represeta, las ramas de dispersió del devaado primario y del seudario, la rama de exitaió que se ompoe de ua odutaia G para represetar las pérdidas e el úleo y ua suseptaia B m por dode pasa la orriete de magetizaió. El trasformador ideal se suele usar para represetar el aislamieto elétrio etre los devaados primario y seudario y la relaió de trasformaió de tesió y orriete. E el iruito e T de la figura -, R p y x p so la resisteia y reataia de dispersió del devaado primario, R s y x s la resisteia y reataia de dispersió del devaado seudario y la rama de exitaió formada por la odutaia G y la suseptaia magétia B m e paralelo represeta ojutamete el amio de la orriete de exitaió. -5

30 Ateedetes N p y N s so los úmeros de espiras de los devaados primario y seudario y a= N p /N s es la relaió de trasformaió. u p y u s so las tesioes e termiales del devaado. Si osiderar las pérdidas e el úleo, las expresioes matemátias que desribe el iruito equivalete de la figura - se puede esribir de la siguiete forma: u R i L di p = p p + dp + dt p N p d φ dt Fe (.) u R i L di s s = s s + ds + dt N d φ s dt Fe (.) dode la relaió etre la orriete y el flujo magétio se puede expresar de la forma siguiete, N i p p is = f R (.3) a siedo a la relaió de trasformaió, la euaió aterior se puede reesribir de la siguiete forma, N p F HG i p N s N i s φ Fe N p i m f (.4) p I KJ = R = R E la euaió (.4) el térmio etre parétesis ostituye la orriete de magetizaió i m del trasformador. La fuerza magetomotriz (fmm) está relaioada o la relutaia magétia del material del úleo R y por el flujo magétio φ Fe que irula a través de éste, y se puede esribir o la siguiete expresió, -6

31 Ateedetes f R = R φ Fe (-5) Esta relaió del flujo y relutaia puede represetarse aproximadamete por medio de la figura -3. Esta figura desribe las araterístias magétias del úleo de hierro del trasformador. E u trasformador bie diseñado, la desidad de flujo máxima e el úleo ourre e el odo de su urva de saturaió, figura -3. E este puto de la urva, la desidad de flujo o es lieal o respeto a la itesidad del ampo. Si embargo, las propiedades o lieales del material del úleo, hae que las tesioes siusoidales iduidas e los devaados u p y u s se produza por la orriete de magetizaió o siusoidal uado se aplia ua tesió siusoidal..5 φ.5 i m Fig. -3 Curva araterístia de la relaió magétia f R = R(f R ).φ La orriete de exitaió otiee hasta u 4% del 3 er armóio. Si embargo, debido a su valor ta pequeño o respeto a la orriete omial, esta se osidera siusoidal y así es aeptable el uso de G + jb m uado el trasformador opera e odiioes ormales. Si embargo e odiioes de saturaió, la desidad de flujo máxima supera el odo de la urva de magetizaió y la orriete de exitaió o debe ser despreiada. -7

32 Ateedetes La relaió o lieal etre la fmm y el flujo magétio euaió (.5) e odiioes de saturaió distorsioa la orriete de magetizaió, la ual puede teer efetos o deseables debido a los armóios iyetados por el trasformador al sistema además de los daños al propio trasformador..4 étodos de modelizaió más usados De los trabajos reietemete publiados se eotró que, la téia más usada por diferetes autores y grupos de ivestigaió sobre modelizaió de trasformadores bastate detallados, es el método de la dualidad. or este motivo, se hae breve u repaso sobre esta metodología. El proeso osiste e obteer el iruito equivalete elétrio partiedo del modelo magétio. Este último, es reado a riterio de quie lo diseña, o las hipótesis y odiioes más oveietes. El objetivo fial es obteer por ordeador, ua réplia fiel del fuioamieto del trasformador e odiioes determiadas. Este objetivo depederá de la alidad de la araterizaió de los parámetros. rimero se hae u repaso de los oeptos y proedimietos empleados e esta téia de dualidad, apliada a trasformadores moofásios. ara fializar se ometa dos de las publiaioes mas reietes dode emplea esta metodología para desarrollar modelos trifásios..5 odelos moofásios basados e dualidad Sea el sistema magétio de la figura -4, Se osidera que la totalidad del flujo magétio irula úiamete por el iterior del material magétio, es deir, se despreia el flujo de dispersió. El material magétio está dividido e tres seioes () equivaletes e dimesioes y araterístias físias. -8

33 Ateedetes φ φ i a i b v a N a 3 φ 3 N b V b Fig. -4 Sistema agétio. Núleo de tres olumas. Uo de los pasos más importates radia e omo modelar el iruito magétio partiedo del sistema físio magétio. El iruito magétio que se dedue del sistema magétio de la figura -4 y de las odiioes supuestas ateriormete, es omo se muestra e la figura -5. φ x φ f(r ) R f(r R f(r 3 ) ) R 3 φ 3 f a f b Fig. -5 Ciruito agétio Cada seió del úleo se puede represetar por medio de ua relutaia que relaioe el amio del flujo f o la fuerza magetomotriz f( ) eesaria para estableer el flujo a lo largo de la logitud de la seió orrespodiete (). Los devaados se represeta por medio de fuetes de orrietes. El siguiete paso es obteer u iruito equivalete elétrio partiedo del iruito magétio de la figura -4. Segú la ley de otiuidad del flujo, e el odo x del -9

34 Ateedetes iruito magétio, es el puto dode la suma de flujos magétios es ero. or tato, e el odo x las variables de flujo esta relaioadas por la euaió, 3 x etrado al odo x φ + φ φ = φ = (.6) Las orrespodietes variables de tesió iduida está relaioadas por la expresió, u + u u3 = (.7) ara la malla del lado izquierdo del iruito magétio de la figura -5, la euaió (.6) relaioa las fuerzas magetomotries de la forma siguiete, fa = f R + fr 3 (.8) Cosiderado que ada ua de esas ompoetes f es produida por ua ompoete de orriete de ua bobia de N vueltas, esas ompoetes de orriete está etoes relaioadas por: ia = i + i3 (.9) Lo mismo para la malla del lado dereho: fb = f + f R R3 (.) ib = i + i3 (.) Cada ua de las relutaias e el iruito magétio relaioa u flujo variable f y ua f fuerza magetomotriz variable. Las orrespodietes, tesió iduida u y orriete variable i está relaioadas por la idutaia. -

35 Ateedetes u L di = (.) dt Las euaioes (.7), (.9), (.) y (.), desribe el iruito elétrio mostrado e la figura -6. i a a i3 b i b i u 3 L 3 i u L L u Fig. -6 Ciruito equivalete elétrio ara ada ua de las dos mallas idepedietes del iruito magétio, hay u odo idepediete e el iruito elétrio. Las orrietes etrado a esos dos odos ombrados a y b, está relaioados por las euaioes (.9) y (.). ara ada odo e el iruito magétio, hay ua malla orrespodiete e el iruito elétrio. La rama de tesió alrededor de la malla etral iferior está relaioada por la euaió (.7). E la figura -7 se muestra el proedimieto basado e las téias de dualidad para obteer el iruito equivalete elétrio derivado de u iruito magétio. ara ada rama de relutaia e el iruito magétio, hay ua rama de idutaia orrespodiete e el iruito elétrio. -

36 Ateedetes R R a b F a F b F a R 3 F b Fig. -7 Téia de derivaió topológia E la figura -7 se mara u odo e ada malla del iruito magétio, por ejemplo a y b y u odo de refereia fuera del iruito. Esos odos so uidos por ramas, las uales pasa a través de ada elemeto del iruito magétio omo se idia e la figura -7, dode se observa que la estrutura resultate es idétia al iruito elétrio de la figura -6. ara ada relutaia e ua malla del iruito magétio, existe ua idutaia oetada al odo orrespodiete e el iruito elétrio. Dode ua relutaia es omú a dos mallas e el iruito magétio, la idutaia orrespodiete oeta los dos odos orrespodietes e el iruito elétrio. ara ada fuete de fuerza magetomotriz hay ua derivaió de orriete orrespodiete. ara ada flujo e el iruito magétio, hay ua tesió iduida orrespodiete etre odos. Cuado ua relutaia e el iruito magétio represeta ua relaió o lieal etre flujo y fuerza magetomotriz, su orrespodiete idutaia e el iruito elétrio debe represetar ua relaió o-lieal etre el flujo oateado e ua bobia de N vueltas eerrado esa rama del sistema magétio, y la orriete e la bobia de N vueltas que produe la fuerza magetomotriz para esa rama. -

37 Ateedetes Las relaioes o-lieales del iruito magétio se matiee e el iruito elétrio equivalete. Existe muhos modelos para represetar la relaió o lieal (φ - F) y la seleió de uo de ellos depede del problema bajo estudio. El iruito elétrio de la figura -6 ha sido desarrollado supoiedo que todos los devaados tiee N vueltas. Debido a que el úmero de vueltas es geeralmete diferete e los diferetes devaados, es eesario añadir u trasformador ideal e las termiales del iruito elétrio para obteer la tesió y orriete reales e los devaados..5. Trasformador moofásio o devaados oétrios El sistema magétio moofásio de la figura -8 otiee dos devaados oétrios. Se puede observar las trayetorias del flujo detro de la estrutura magétia y la de los flujos de dispersió que se ierra a través del aire. φ 3 4 N N N N Fig. -8 Núleo magétio o devaados oétrios. E la figura -9 se muestra el iruito magétio de la estrutura aterior, R y R so las relutaias o-lieales que represeta las seioes del úleo magétio. -3

38 Ateedetes R R 3 R 4 N R N Fig. -9 Ciruito magétio. Devaados oétrios Los aoplamietos magétios a través del aire se represeta o las relutaias lieales R 3 y R 4. Las fuetes de orriete y represeta los devaados primario y seudario respetivamete. Apliado los riterios de dualidad se puede obteer el iruito elétrio equivalete mostrado e la figura -. El iruito resultate es u esquema e I. a L 3 b L 4 e L e L Fig. - Ciruito equivalete elétrio "I".5. Trasformador moofásio o devaados apilados De forma similar al sistema aterior, e el sistema magétio de la figura - además de osiderar flujo a través del úleo se osidera tambié los aoplamietos magétios de dispersió etre devaados. -4

39 Ateedetes φ 3 N 4 N 5 Fig. - Núleo magétio o devados apilados La figura - represeta el iruito magétio obteido dode las relutaias R y R so las seioes del úleo. R 3, R 4 y R 5 los aoplamietos a través del aire. Las fuetes de orriete so los devaados primario y seudario respetivamete. N R 3 R R N R 4 R 5 Fig. - Ciruito magétio. Devaados apilados El iruito equivalete elétrio de la figura -3 es u esquema e T que se obtiee de apliar la dualidad al iruito magétio de la figura -. -5

40 Ateedetes a L 3 L 4 b L L 5 e d e L Fig. -3 Ciruito equivalete elétrio "T".6 odelos trifásios basados e dualidad E esta seió se ometa dos publiaioes reietes que aplia la téia de dualidad para obteer el iruito equivalete del trasformador trifásio o io olumas. Los autores desarrollaro dos modelos muy detallados y omplejos para represetar el fuioamieto del trasformador trifásio o saturaió. E el primer aso se ometa el trasformador trifásio o tres devaados y el segudo aso el de dos devaados..6. odelo de trasformador trifásio o tres devaados y io olumas X. Che y S.S. Veata [38] usa el teorema de dualidad para obteer u modelo de trasformador trifásio de baja freueia implemetado e el programa ET/AT e la figura

41 Ateedetes φ 7 φ 8 φ 9 F 7 F 8 F 9 F F F 5 φ 4 F 4 φ 5 F φ 6 F 6 φ φ φ 3 F F F 3 Fig. -4 Ciruito magétio trifásio, tres devaados, 5 olumas E la fig. -4 las permeaias e ada oluma so, y 3. Las del yugo izquierdo y dereho so 4 y 5 respetivamete y las olumas exteras 6 y 7. Los autores hae las siguietes suposiioes: 4 = (ermeaia del yugo izq. superior)/. or simetría, = = 3, 4 = 5 y 6 = 7 para el mismo ivel de saturaió. Las permeaias de la trayetoria a través del aire alrededor de yugos y oluma, las iluye e los segmetos del úleo y sus valores se asume proporioales a los valores de los segmetos osiderados. 8, 9 y so las permeaias de dispersió a través del aire y el taque y so supuestos iguales y lieales. 4 = 5 = 36 y 47 = 58 = 69 so permeaias del espaio de aire etre los devaados primario y seudario y seudario y teriario respetivamete. Las tres F s que aparee e la figura -4 so ramas fitiias añadidas para igualar las araterístias de trasfereia de los tres devaados del trasformador. Su iruito dual equivalete elétrio se represeta e la figura

42 Ateedetes Z L6 Rg L7 L L4 L5 L8 L L4 L47 L L5 L58 L L9 L36 L69 L3 A B C D E F G H I J K LF LF LF p s t p s t p s t Fig. -5 Ciruito equivalete elétrio odelizaió o lieal Los autores supoe que las pérdidas e el úleo puede ser represetadas por argas resistivas de devaados fitiios alrededor de ada segmeto del úleo. La represetaió de la saturaió del úleo la realiza o ua urva B-H ahistéresis aproximada formada o segmetos de tramos lieales (5 pedietes). ara geerar la urva usaro la rutia SR.FOR iorporada al ET/AT, resolviedo las euaioes (.3) y (.4) usado la urva (ψ-i) o (B-H) y las dimesioes del úleo proporioadas por el fabriate. dψ = Ri + v (.3) dt i = Γ ψ (.4) Γ(6x6) es la iversa de la matriz de idutaias y la determia de u iruito equivalete de u trasformador de dos devaados usado dualidad. -8

43 Ateedetes.6. odelo de trasformador trifásio o dos devaados y io olumas Otro modelo basado e esta téia de dualidad es el que propoe Arturi [] para aálisis de trasitorios. Al igual que el aterior, este modelo es desarrollado e el programa ET/AT. E la figura -6 se muestra el modelo magétio obteido de la suposiió de las trayetorias seguidas por el flujo magétio tato e el iterior del material magétio omo los flujos de dispersió debido a aoplamieto etre bobias oétrias. Se despreia el aoplamieto magétio etre bobias de olumas diferetes. R R R f6 R f7 R d R f4 R b R a R f R b R a R f R b R a R f3 R d R f5 + _ F a + _ F b F + _ F a + F b F -- + Fig. -6 Ciruito magétio Los devaados se supoe tres bobias aopladas oétriamete. Tres bobias iteras de B.T. y tres exteras de A.T. La estrutura del úleo se divide e 9 ramas. 3 para las olumas (o devaados) de dimesioes similares, 4 para los yugos itermedios (dos superiores y dos de iferiores) y para las olumas y yugos laterales. A ada rama o lieal de hierro se oeta e paralelo ua rama lieal (aire). Fialmete, se osidera las relutaias de dispersió por el aoplamieto etre -9

44 Ateedetes bobias oétrias. Las fuetes del iruito magétio se represeta o 6 fuetes de fmm, ua para ada bobia. E la figura -6 hay e total 7 relutaias o lieales represetadas o olor osuro, ada ua de ellas tiee oetada ua relutaia lieal e paralelo (7 relutaias lieales), y tres relutaias de dispersió y seis fuetes de fmm. Apliado el teorema de dualidad se obtiee el iruito equivalete de la figura - 7 asumiedo ua refereia omú de u úmero N de vueltas, ua idutaia (L = N /R) orrespodiedo a la relutaia R, ua fuete de orriete (i = F/N) orrespodiedo a la fmm, et. Ld Lf4 Lb La Lf ia ia L Lf6 Lb La Lf ib ib L Lf7 Lb La Lf3 i i Ld Lf5 Fig. -7 Ciruito elétrio El autor implemetó el modelo o 6 trasformadores ideales para represetar el úmero real de vueltas de los devaados, y para realizar las oexioes estrella o delta o los devaados. Esta revisió de los trabajos más importates publiados reietemete, demuestra la omplejidad de la modelizaió del trasformador trifásio e odiioes de saturaió del úleo. Como puede observarse, el uso de -

45 Ateedetes herramietas de simulaió omo el AT/ET failita el desarrollo de uevos modelos por muy omplejos que sea. Si embargo, puede verse tambié que la omplejidad del modelo odue si remedio a la depedeia de la iformaió que el fabriate pueda proporioar. Como esto o se osigue siempre, se reurre a la suposiió de parámetros que omplemete los requisitos del modelo. E ualquier aso, de la mayoría de modelos desarrollados e los programas de aálisis de trasitorios ooidos, por muy ompletos que sea, muy poos ha sido omparados otra esayos de laboratorio. De heho, existe trabajos de modelos que ha sido omparados otra simulaioes de otros modelos..7 Caraterístia B H E la figura -8 se muestra que la itesidad de ampo magétio H está relaioada o la desidad de flujo magétio B y la propiedad del medio µ e el ual se forma el ampo. B B s H B B H H s H Fig. -8 Relaió B H B = µ H (.4) H = Amperes / m; B = Weber / m ; µ = permeabilidad del medio (H/m) -

46 Ateedetes La euaió.4 desribe ua relaió lieal etre B y H, si se matiee ostate la permeabilidad del material omo es el aso de los o magétios o de los materiales magétios e su zoa lieal, es deir, por debajo de su puto de saturaió B s (figura -8). µ = µ. µ r (.5) B µ = = H B H ; µ B = H E la euaió (.5), la permeabilidad del espaio libre o aire es µ (4π x -7 H/m), µ r es la permeabilidad relativa (. para el aire y materiales o magétios, y hasta varios miles para el hierro). U material magétio omieza a saturarse por eima del puto B s omúmete ooido omo puto de rodilla o odo, dode el iremeto de la relaió (B/H) se redue a u míimo, omo se muestra e la figura Fuioes para represetar la magetizaió Los estudios relaioados o el feómeo de la saturaió e los trasformadores ha aportado importates otribuioes e la última déada. Si embargo la represetaió de la histéresis sigue siedo el puto a estudiar debido a la gra omplejidad del feómeo. Se puede ver e ualquier urva mostrado la relaió diámia etre B y H que la ompoete de la itesidad de ampo magétio H h relaioada a la histéresis, es fuertemete depediete de la historia de la magetizaió. -

47 Ateedetes Si embargo, la modelizaió aproximada de la magetizaió del trasformador ha evoluioado muho y a otiuaió se meioa alguas de estas fuioes para represetar la magetizaió del trasformador. A edia y J Arrillaga [39] usaro ua fuió hiperbólia que reprodue o preisió la araterístia experimetal, esta se basa e la fuió: b g b gb g F i,φ = m i + b φ m i + b φ bb = εφ Dode εφ es u térmio de orreió que proporioa el ajuste deseado e el odo de saturaió de la urva. Esta fuió odue a la siguiete expresió para la orriete de magetizaió e el primer uadrate: dode: d B B AC i = 4 A i A = m m ; B = m (b -φ ) + m ( b - φ ) C = φ - φ (b + b + ε) Otro modelo usado por Fraiso de Leó y Adam Semlye [4] está relaioado o la urva de magetizaió estádar real del material magétio. Hbasis = fbbg Como el ilo de histéresis que modela es muy delgado, usa u poliomio de aproximaió para la urva base o ua pediete iiial muy empiada. H = K B + K B + K B basis basis -3

48 Ateedetes Dado valores iiiales basados e la refereia [4] resuelve el poliomio. E el modelo asume que existe ua itesidad de ampo relaioada o la histéresis, proporioal al ambio e B desde el puto aterior del regreso, es deir, H hist = K hist (B B rev ). Otro modelo más seillo omo el que utiliza el AT/ET por medio de ua rutia llamada CONVERT dode se depreia la iflueia de los efetos de la histéresis y de orrietes iduidas y que se basa e ua urva de tramos lieales obteida de valores efiaes, es deir, V usada se puede ver e [4]. RS = fbi g. Los detalles de la fuió RS Otro modelo matemátio para represetar la magetizaió si histéresis (urva a-histéresis), es propuesto por D.C. Jiles, y D.L. Atherto [43]. ara la magetizaió a-histéresis ha esogido ua expresió de Lagevi modifiada L(H ) [36] omo la fuió arbitraria s f(h e ). Esta por lo tato lleva a ua expresió para la magetizaió a-histéresis [37] a (H e ) = s (oth(h e /a) (a/h e )) Dode a es u parámetro o dimesioes de ampo magétio uyas araterístias dibuja la magetizaió a-histéresis. La euaió de Lagevi modifiada, euaió aterior, da orige a ua forma elemetal del ilo de histéresis si el oefiiete a es sufiietemete grade. Este es el tipo de histéresis que Ewig [6] eotró de sus álulos basados e iteraioes mutuas etre los mometos magétios. C.E. Li, C.L. Cheg C. y L. Huag, preseta ua fuió seilla basada e segmetos lieales y que so las muestras de ada período, i = (i - φ /s ) + φ / s, para φ < φ φ -, e u trabajo de ivestigaió o medidas e tiempo real [44]. Existe otras muhas fuioes para represetar las araterístias magétias del úleo e odiioes de saturaió. Alguas so más omplejas que otras, pero -4

49 Ateedetes defiitivamete es ua parte importate que determia la alidad del modelo del trasformador. E el aso de la determiaió de las orrietes de magetizaió del trasformador para u programa de aálisis de armóios, es muy importate teer ua represetaió adeuada de la urva. Quizá o se justifique el desarrollo de ua urva o histéresis, pero sí por lo meos es eesario represetar adeuadamete el odo de saturaió, debido a que o se puede geeralizar ua urva para todos los trasformadores. E el presete trabajo, se usa ua fuió aalítia que desribe ua urva del tipo a-histéresis. Esta fuió se desribe e la desripió del modelo. -5

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51 Capítulo lateamieto de la modelizaió propuesta del trasformador

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53 lateamieto de la modelizaió propuesta del trasformador. Itroduió E el presete trabajo, se propoe los modelos de trasformadores moofásio y trifásio, de tres olumas, dos devaados o fuioamieto e régime permaete e estado de saturaió por sobretesió. El modelo obtiee las salidas de las orrietes de magetizaió, adeuadas para el estudio de flujos de argas o armóios. La motivaió de este trabajo ae, de u proyeto modular que atualmete se desarrolla e el Departameto de Igeiería Elétria de la Uiversidad olitéia de Cataluña. Este proyeto osiste e el desarrollo de u programa iformátio itegral para el aálisis de flujos de argas o armóios. El proyeto tiee la fialidad de desarrollar los modelos adeuados de los elemetos que itegra el sistema de poteia iluyedo argas o lieales, para el estudio de flujos de argas o armóios. Uo de estos elemetos es el trasformador trifásio o saturaió. Las araterístias de los modelos de trasformadores propuestos, basa su diseño oeptual e u desarrollo matemátio simple, dividiedo e tres seioes el úleo magétio de tres olumas para represetar las araterístias magétias, y sobre todo, el desarrollo y validaió de los modelos tiee el soporte de u trabajo experimetal. Esta araterístia de diseño se ha implemetado de esta forma, debido a la omplejidad que se ha eotrado e los modelos eotrados e la bibliografía. or tato, se pretede teer resultados igualmete aeptables, partiedo de la araterizaió adeuada del trasformador, e la que los parámetros so obteidos totalmete de esayos de laboratorio. La modelizaió de los trasformadores o saturaió propuestos aquí, ha sido desarrollados primero, e el programa de simulaió Spie. Esta herramieta ha -

54 lateamieto de la modelizaió propuesta del trasformador sido esogida por su failidad para desarrollar uevos modelos y porque existe la lieia gratuita para estudiates. Además de los esayos e uatro trasformadores trifásios, de tres olumas tipo seo, los modelos desarrollados e el programa Spie ha servido para validar el modelo fial para aálisis de armóios, el ual se ha desarrollado e ódigo FORTRAN. El modelo desarrollado e Spie obtiee el régime permaete después de aalizar el régime trasitorio, similarmete omo el programa AT/ET. Ua vez alazado el régime permaete se ompara o los registros de laboratorio. La modelizaió del trasformador trifásio o saturaió, puede fuioar omo trasformador moofásio o exitaió de u solo devaado. Y el feómeo de la iteraió etre olumas es adeuadamete represetado e la simulaió o exitaió trifásia. Ambos modelos, el modelo desarrollado e Spie y el modelo armóio desarrollado e leguaje FORTRAN, ha sido validados ada uo de ellos otra las medidas obteidas e el estudio experimetal. Y fialmete se ha omparado ambos modelos etre sí para ometar las difereias etre ellos, vetajas, desvetajas, ualidades y utilidades de ada uo.. odelo moofásio El modelo lásio que se ometó e la seió.3 es el aeptado para la modelizaió del trasformador moofásio. Los esquemas magétio y elétrio y las euaioes esritas e esa seió ha sido empleados e este trabajo. La represetaió de la urva de magetizaió para represetar la saturaió del úleo será expliada más adelate. -

55 lateamieto de la modelizaió propuesta del trasformador.3 odelo trifásio ara la modelizaió simplifiada que se propoe e este trabajo, se estudia u trasformador trifásio, o úleo magétio de tres olumas dos devaados. Se pretede que las priipales araterístias para su modelizaió sea, la seillez para represetar sus iruitos magétio y elétrio, así omo la obteió de sus parámetros a través de esayos de laboratorio, y que o se eesite datos adiioales del fabriate. rimero se hae u plateamieto de las osideraioes geerales del modelo propuesto; la represetaió de las trayetorias de los flujos osiderados y su represetaió matemátia..3. Sistema magétio El sistema magétio de la figura - muestra las trayetorias de los flujos magétios lieales y o lieales osiderados e el estudio. Los flujos lieales so los que se ierra a través de la relutaia del aire, y los flujos saturables so aquellos que irula úiamete por el iterior del úleo, por tato, euetra oposiió e la relutaia o lieal del material del úleo. φ dpa φ dpb φ dp u pa u pb u p φ ha φ Fe,a φ hb φ Fe,b φ h φ Fe, φ dsa φ dsb φ ds u sa u sb u s Fig. - Represetaió esquemátia de los flujos magétios -3

56 lateamieto de la modelizaió propuesta del trasformador El subídie usado para idetifiar las fases es ( = a, b, ). Así, o relaió a la figura aterior, las tesioes de los devaados primario y seudario está represetados respetivamete por u p y u s para ada fase. φ Fe, es el flujo magétio o lieal uitario irulado por la oluma del úleo orrespodiete a la fase. φ dp es el flujo magétio lieal uitario de dispersió del devaado primario p y de la oluma orrespodiete a la fase. φ ds es el flujo magétio lieal de dispersió del devaado seudario s de la oluma orrespodiete al devaado de la fase. Fialmete, φ h es el flujo magétio lieal homopolar de los dos devaados primario y seudario de la oluma orrespodiete a la fase. or simpliidad, o se iluye e la figura - las trayetorias seguidas por los aoplamietos magétios de devaados de olumas diferetes. Si embargo, estos aoplamietos so osiderados e el iruito equivalete magétio de la figura -, e ua relutaia magétia equivalete R dh dode está iluidos todos los flujos de seueia ero. R Fe,a R Fe,b R Fe, R dpa N p i pa R dpb N p i pb R dp N p i p R dh R dsa N s i sa R N s i dsb sb R ds N s i s Fig. - Ciruito agétio del modelo propuesto Los flujos de aoplamieto magétio etre devaados de la misma oluma, represetados e la figura -, tambié está osiderados detro de la relutaia -4

57 lateamieto de la modelizaió propuesta del trasformador magétia equivalete R dh represetada e la figura -. Las exitaioes para geerar estos flujos, está represetadas por fuetes de fuerza magetomotriz fmm. La desripió de los elemetos del iruito magétio de la figura - es la siguiete, N p i p es la exitaió magétia del devaado primario de la fase. N s i s es la exitaió magétia del devaado seudario de la fase. R dh es la relutaia total equivalete de seueia ero. R dp es la relutaia de dispersió del devaado primario e la oluma de la fase. R ds es la relutaia de dispersió del devaado seudario e la oluma de la fase. R Fe, es la relutaia o-lieal de la oluma del úleo magétio. El úmero de vueltas de los devaados y las orrietes a través de ellos, represeta las fuetes de fmm eesarias para produir el flujo magétio e ada bloque devaado-oluma. Cada ua de estas fuetes de fmm tiee ua relutaia lieal oetada e paralelo. R dp represeta la relutaia al flujo de dispersió de ada fase del devaado primario. or tato, R ds es la relutaia al flujo de dispersió de ada fase del devaado seudario. R dh es la relutaia lieal que represeta el total de los aoplamietos magétios de los devaados primario y seudario de ua misma oluma y etre olumas diferetes. Co lo ual se osidera que las trayetorias de la totalidad de los flujos de seueia homopolar, está represetadas por esta relutaia..3. Ciruito elétrio El iruito elétrio osiderado e este estudio se muestra e la siguiete figura -3. or simpliidad, se represeta el efeto o lieal de la rama de exitaió si osiderar las pérdidas e el úleo. -5

58 lateamieto de la modelizaió propuesta del trasformador Rpa Lpa Lsa u Rsa a e pa e sa u b Rpb Lpb e pb e sb Lsb Rsb u Rp Lp e p e s Ls Rs Fig. -3 Ciruito Elétrio del Trasformador Trifásio Y-y. Las simplifiaioes mostradas e los iruitos, magétio y elétrio de las figuras ateriores permite realizar u plateamieto seillo de las euaioes, que se esribe e la seió siguiete..3.3 Euaioes del modelo Los iruitos equivaletes del trasformador vistos e la seió aterior, puede expresarse matemátiamete por medio de las euaioes siguietes: El devaado primario, puede represetarse o las siguietes euaioes, pa u R i L di pa = pa pa + dp + dt N p d φ Fe, a (.) dt pb u R i L di pb = pb pb + dp + dt N p d φ Fe, b (.) dt p u R i L di p = p p + dp + N dt p d φ Fe, (.3) dt mietras que el devaado seudario se puede esribir o, -6

59 lateamieto de la modelizaió propuesta del trasformador sa u R i L di sa = sa sa + ds + dt N d φ Fe, a s (.4) dt sb u R i L di sb = sb sb + ds + dt N d φ Fe, b s (.5) dt s u R i L di s = s s + ds + dt N d φ Fe, s (.6) dt Dode el flujo magétio uitario total relaioado al bloque devaado-oluma orrespodiete a ada fase tiee dos ompoetes, el de dispersió más el relaioado al úleo, φ pa = φ dpa + φ Fe, a (.7) φ pb = φ dpb + φ Fe, b (.8) φ p = φ dp + φ Fe, (.9) y similarmete para el seudario, φ sa = φdsa + φ Fe, a (.) φ sb = φ dsb + φ Fe, b (.) φ s = φ ds + φ Fe, (.) Al osiderar el úmero de vueltas del devaado, el flujo oateado total e ada fase para el devaado primario es, ψ = N φ + N φ, (.3) pa p dpa p Fe a -7

60 lateamieto de la modelizaió propuesta del trasformador ψ = N φ + N φ, (.4) pb p dpb p Fe b ψ = N φ + N φ, (.5) p p dp p Fe y para ada fase del devaado seudario, ψ = N φ + N φ, (.6) sa s dsa s Fe a ψ = N φ + N φ, (.7) sb s dsb s Fe b ψ = N φ + N φ, (.8) s s ds s Fe De las euaioes ateriores, el flujo de dispersió oateado e ada fase, está relaioado o la orriete e idutaia de dispersió orrespodiete. Así para el primario se tiee, N p φ dpa = Ldpa i pa (.9) N p φ dpb = Ldpb i pb (.) N p φ dp = Ldp ip (.) y para el devaado seudario, Ns φ dsa = Ldsa isa (.) Ns φ dsb = Ldsb isb (.3) Ns φ ds = Lds is (.4) -8

61 lateamieto de la modelizaió propuesta del trasformador Las relaioes magétias del trasformador trifásio de tres olumas iluyedo las araterístias de fuioamieto o lieal, puede esribirse mediate el siguiete sistema o lieal de euaioes, y que defie el diagrama magétio de la figura -4. N p i pa + Ns isa = f Ra f R dh (.5) N p i pb + N s isb = f Rb f R dh (.6) N i + N i = f R f R (.7) p p s s dh φ + φ + φ + φ = (.8) Fe, a Fe, b Fe, dh R Fe,a f Ra f Rb R Fe,b f R R Fe, φ Fe,a φ Fe,b φ Fe, A B C f Rdh R dh N p i pa N p i pb N p i p φ dh N s i sa N s i sb N s i s T Fig. -4 Ciruito represetativo del úleo magétio E el diagrama magétio de la figura aterior, se observa que e ada oluma existe ua aída de fmm debida al paso del flujo magétio a través de la relutaia o lieal. or tato, esta se puede expresar, defiiedo la araterístia del material omo ua fuió de la misma aída de fmm, por medio de las euaioes siguietes, -9