7 Diseño para Flexión y Carga Axial

Transcripción

1 7 Diseño para Flexió Carga Axial CONSIDERACIONES GENERALES FLEXIÓN Para el diseño o la ivestigaió de los elemetos soliitados a flexió (vigas losas), la resisteia omial de la seió trasversal ( ) se debe reduir apliado el fator de resisteia φ a fi de obteer la resisteia de diseño (φ ) de la seió. La resisteia de diseño (φ ) debe ser maor o igual que la resisteia requerida ( u ). Tambié se debe satisfaer los requisitos de omportamieto e serviio para limitar las flehas (9.5) distribuió de la armadura para limitar la fisuraió (10.6). Los Ejemplos 7.1 a 7.7 ilustra la orreta apliaió de los diversos requisitos del ódigo que gobiera el diseño de los elemetos soliitados a flexió. Ates de los ejemplos de diseño se desribe proedimietos paso a paso para el diseño de seioes retagulares que sólo tiee armadura de traió, seioes retagulares o múltiples apas de armadura, seioes retagulares o armadura de ompresió, seioes o alas que sólo tiee armadura de traió. DISEÑO DE SECCIONES RECTANGULARES QUE SÓLO TIENEN ARADURA DE TRACCIÓN 7.1 E el diseño de seioes retagulares que sólo tiee armadura de traió (Fig. 7-1), las odiioes de equilibrio so las siguietes: 1. Equilibrio de fuerzas: C = T (1) 0,85 f ba = A s f = ρbdf Af ρdf a = = 0,85f b 0,85f s. Equilibrio de mometos:

2 a = (C ó T) d bdf d 0,5ρd =ρ 0,85 f f () b ε 0,85f ć a = β 1 C d eje eutro d- a A s ε s T Deformaió Tesió equivalete Figura 7-1 Deformaió espeífia distribuió equivalete de tesioes e ua seió retagular Dividiedo ambos lados de la E. () por bd se obtiee u oefiiete de resisteia omial R : 0,5ρf R = =ρf 1 bd 0,85f (3) Si b d está prefijados, ρ se obtiee resolviedo la euaió uadrátia para R : 0,85f R ρ= 1 1 f 0,85f (4) E la Figura 7- se ilustra la relaió etre ρ R para armadura Grado 60 diferetes valores de f. La Euaió (3) se puede usar para determiar la uatía de aero ρ ooiedo u o vieversa si se ooe las propiedades de la seió b d. Reemplazado = u /φ e la Euaió (3), dividiedo ambos lados de la euaió por f : ρf u 0,5ρf = 1 φfbd f 0,85f Se defie ρf ω= f Reemplazado ω e la euaió aterior: 7 -

3 φf bd =ω ω u ( 1 0,59 ) (5) La Tabla 7-1, la ual se basa e la Euaió (5), fue desarrollada para servir a modo de auda de diseño para el diseño o la ivestigaió de seioes que solamete tiee armadura de traió para las uales se ooe los valores b d. Tabla 7-1 Resisteia a la flexió u /φf bd ó /φf bd de seioes retagulares sólo o armadura de traió ω 0,000 0,001 0,00 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,00 0,0 0,0010 0,000 0,0030 0,0040 0,0050 0,0060 0,0070 0,0080 0,0090 0,01 0,0099 0,0109 0,0119 0,019 0,0139 0,0149 0,0159 0,0168 0,0178 0,0188 0,0 0,0197 0,007 0,017 0,06 0,036 0,046 0,056 0,066 0,075 0,085 0,03 0,095 0,0304 0,0314 0,034 0,0333 0,0343 0,035 0,036 0,037 0,0381 0,04 0,0391 0,0400 0,0410 0,040 0,049 0,0438 0,0448 0,0457 0,0467 0,0476 0,05 0,0485 0,0495 0,0504 0,0513 0,053 0,053 0,0541 0,0551 0,0560 0,0569 0,06 0,0579 0,0588 0,0597 0,0607 0,0616 0,066 0,0634 0,0643 0,0653 0,066 0,07 0,0671 0,0680 0,0689 0,0699 0,0708 0,0717 0,076 0,0735 0,0744 0,0753 0,08 0,076 0,0771 0,0780 0,0789 0,0798 0,0807 0,0816 0,085 0,0834 0,0843 0,09 0,085 0,0861 0,0870 0,0879 0,0888 0,0897 0,0906 0,0915 0,093 0,093 0,10 0,0941 0,0950 0,0959 0,0967 0,0976 0,0985 0,0994 0,100 0,1001 0,100 0,11 0,109 0,1037 0,1046 0,1055 0,1063 0,107 0,1081 0,1089 0,1098 0,1106 0,1 0,1115 0,114 0,1133 0,1141 0,1149 0,1158 0,1166 0,1175 0,1183 0,119 0,13 0,100 0,109 0,117 0,16 0,134 0,143 0,151 0,159 0,168 0,176 0,14 0,184 0,193 0,1301 0,1309 0,1318 0,136 0,1334 0,134 0,1351 0,1359 0,15 0,1367 0,1375 0,1384 0,139 0,1400 0,1408 0,1416 0,145 0,1433 0,1441 0,16 0,1449 0,1457 0,1465 0,1473 0,1481 0,1489 0,1497 0,1506 0,1514 0,15 0,17 0,159 0,1537 0,1545 0,1553 0,1561 0,1569 0,1577 0,1585 0,1593 0,1601 0,18 0,1609 0,1617 0,164 0,163 0,1640 0,1648 0,1656 0,1664 0,1671 0,1679 0,19 0,1687 0,1695 0,1703 0,1710 0,1718 0,176 0,1733 0,1741 0,1749 0,1756 0,0 0,1764 0,177 0,1779 0,1787 0,1794 0,180 0,1810 0,1817 0,185 0,183 0,1 0,1840 0,1847 0,1855 0,186 0,1870 0,1877 0,1885 0,189 0,1900 0,1907 0, 0,1914 0,19 0,199 0,1937 0,1944 0,1951 0,1959 0,1966 0,1973 0,1981 0,3 0,1988 0,1995 0,00 0,010 0,017 0,04 0,031 0,039 0,046 0,053 0,4 0,060 0,067 0,075 0,08 0,089 0,096 0,103 0,110 0,117 0,14 0,5 0,131 0,138 0,145 0,15 0,159 0,166 0,173 0,180 0,187 0,194 0,6 0,01 0,08 0,15 0, 0,9 0,36 0,43 0,49 0,56 0,63 0,7 0,70 0,77 0,84 0,90 0,97 0,304 0,311 0,317 0,34 0,331 0,8 0,337 0,344 0,351 0,357 0,364 0,371 0,377 0,384 0,391 0,397 0,9 0,404 0,410 0,417 0,43 0,430 0,437 0,443 0,450 0,456 0,463 0,30 0,469 0,475 0,48 0,488 0,495 0,501 0,508 0,514 0,50 0,57 / f bd = ω (1 0,59 ω), siedo ω = ρ f / f Para el diseño: Usado el mometo maorado u, igresar a la tabla o u / φ f bd ; hallar ω alular el poretaje de aero ρ = ω f /f. Para la ivestigaió: Igresar a la tabla o ω = ρ f / f ; hallar el valor de / f bd resolver para la resisteia omial,. 7-3

4 f = 6000 psi Coefiiete de resisteia R (psi) f = 3000 psi f = 5000 psi f = 4000 psi Seioes retagulares sólo o armadura de traió. Límite superior e la deformaió espeífia eta de traió de 0, ,000 0,005 0,010 0,015 0,00 0,05 0,030 Cuatía de armadura, ρ Figura 7- Curvas de resisteia (R vs. ρ) para armadura de Grado 60 La Figura 7-3 muestra el efeto del fator de reduió de la resisteia φ. E partiular, muestra lo que ourre uado se sobrepasa el límite para seioes otroladas por traió o u φ igual a 0,9. Como se puede ver e la Figura 7-3, o se logra igú beefiio diseñado u elemeto soliitado a flexió por debajo del límite de deformaió espeífia para seioes otroladas por traió de 0,005. Cualquier gaaia de resisteia que se pudiera obteer usado maores uatías de armadura es aulada por la reduió del fator de reduió de resisteia φ que se debe apliar para uatías más elevadas. Por lo tato, los elemetos soliitados a flexió se debería diseñar omo seioes otroladas por traió. Uo se podría pregutar "porqué se permite uatías más elevadas meores deformaioes espeífias etas de traió si éstas o represeta igú beefiio?" E muhos asos el aero provisto está por eima del valor óptimo e el límite orrespodiete a seioes otroladas por traió. La porió "horizotal" de la urva de la Figura 7-3 le permite al diseñador proveer armadura e exeso de la requerida (osiderado tamaños de barra disretos) si ser pealizados por "superar u límite odifiado." Auque los elemetos soliitados a flexió asi siempre se debería diseñar omo seioes otroladas por traió o ε t 0,005, a meudo ourre que las olumas o arga axial pequeña grades mometos fletores se euetra e la "regió de trasiió" o ε t ompredida etre 0,00 0,005, φ está ompredido etre el valor orrespodiete a seioes otroladas por ompresió el valor orrespodiete a seioes otroladas por traió. Geeralmete las olumas se diseña usado gráfias de iteraió o tablas. E los diagramas de iteraió el "puto límite" para el ual ε t = 0,005 φ = 0,9 puede estar por eima o por debajo de la líea de arga axial ula. 7-4

5 Coefiiete de resisteia φr (psi) f = 6000 psi f = 3000 psi f = 4000 psi f = 5000 psi 0 0,000 0,005 0,010 0,015 0,00 0,05 0,030 Cuatía de armadura, ρ Figura 7-3 Curvas de resisteia de diseño (φr vs. ρ) para armadura Grado 60 PROCEDIIENTO DE DISEÑO PARA SECCIONES QUE SÓLO TIENEN ARADURA DE TRACCIÓN Paso 1: Seleioar u valor aproximado para la uatía de traió ρ meor o igual que ρ t pero maor que el míimo (10.5.1), siedo la uatía ρ t igual a: 1 0, 319 β f ρ t = f dode β 1 = 0,85 para f 4000 psi f 4000 = 0,85 0, para 4000 psi < f < 8000 psi = 0,65 para f 8000 psi Los valores de ρ t se da e la Tabla 6-1. Paso : Co el ρ prefijado (ρ mi ρ ρ t ) alular bd requerida: bd (requerida) = u φ R 0,5 ρ f dode R =ρf 1, φ = 0,90 para flexió o ρ ρ 0,85 f t, u = mometo apliado maorado (resisteia a la flexió requerida): 7-5

6 Paso 3: Paso 4: Dimesioar el elemeto de maera que el valor de bd provista sea maor o igual que el valor de bd requerida. E base a bd provista, alular u uevo valor revisado de ρ apliado uo de los métodos siguietes: 1. Usado la Euaió (4) o R = u /φbd (método exato). Usado urvas de resisteia omo las ilustradas e las Figuras Los valores de ρ para armadura Grado 60 se da e térmios de R = u /φbd. 3. Usado tablas de resisteia al mometo tales omo la Tabla 7-1. Los valores de ω = ρf /f se da e térmios de la resisteia al mometo u /φ f bd. 4. Por proporioes aproximadas (R revisada) ρ ( ρ origial) (R origial) Observar e la Figura 7- que la relaió etre R ρ es aproximadamete lieal. Paso 5: Calular A s requerida: A s = (ρ revisada) (bd provista) Si los valores de b d está prefijados, A s requerida se puede alular diretamete omo: A s = ρ (bd provista) para lo ual ρ se alula usado uo de los métodos idiados e el Paso 4. PROCEDIIENTO DE DISEÑO PARA SECCIONES CON ÚLTIPLES CAPAS DE ARADURA La maera seilla oservadora de diseñar ua viga o dos apas de armadura de traió osiste e tomar d t = d, la profudidad al barietro de toda la armadura de traió. Si embargo, el ódigo le permite al diseñador aprovehar el heho de que d t, medida hasta el etro de la apa más alejada de la ara omprimida, es maor que d. Esto sólo sería eesario uado se diseña e el límite de deformaió espeífia de 0,005 orrespodiete a las seioes otroladas por traió, o mu era de este límite. La Figura 7-4 ilustra los diagramas de tesió deformaió para ua seió o múltiples apas de aero e la ual la apa de aero exterior está e el límite de deformaió espeífia para seioes otroladas por traió (0,005). Para esta seió ρ represeta la máxima ρ (basada e d). Si embargo, Por lo tato, C ρ = f bd C ρ t = f bd t 7-6

7 ρ = ρ t d t d ρ =ρt dt d (6) El diagrama de deformaioes de la Figura 7-4 otiee iformaió adiioal. La deformaió espeífia de flueia de la armadura Grado 60 es igual a 0,0007. Por similitud de triágulos, ualquier aero Grado 60 que esté a ua distaia meor o igual que 0,366d t de la apa iferior estará e flueia. Esto asi siempre es así, a meos que se distribua aero e las aras laterales. Además, el aero omprimido estará e flueia si se euetra a ua distaia meor o igual que 0,116d t (ó 0,31) de la ara omprimida. 0,116d t 0,003 ε = 0,375d t C d d t ε 0,366dt 0,005 T Figura 7-4 últiples apas de armadura PROCEDIIENTO DE DISEÑO PARA SECCIONES RECTANGULARES CON ARADURA DE COPRESIÓN (ver Parte 6) Se resume los pasos para el diseño de vigas retagulares (o b d prefijados) que requiere armadura de ompresió (ver Ejemplo 7-3) Paso 1: Verifiar si es eesario oloar armadura de ompresió. Calular R = bd Comparar este valor o la máxima R para seioes otroladas por traió idiada e la Tabla 6-1. Si R es maor que el valor tabulado, usar armadura de ompresió. Si se requiere armadura de ompresió, es probable que sea eesario oloar dos apas de armadura de traió. Estimar la relaió d t /d. Paso : Hallar la resisteia al mometo omial resistida por ua seió si armadura de ompresió, la resisteia al mometo adiioal a ser resistida por la armadura de ompresió por la armadura de traió agregada. De la Tabla 6-1, hallar ρ t. Luego, usado la Euaió (6): 7-7

8 ρ=ρt f ω=ρ f dt d Determiar t de la Tabla 7-1. Calular la resisteia al mometo a ser resistida por la armadura de ompresió: = t Paso 3: Verifiar la flueia de la armadura de ompresió Si d/ < 0,31 la armadura de ompresió ha etrado e flueia f s = f Ver la Parte 6 para la determiaió de f s para el aso e que la armadura de ompresió o etra e flueia. Paso 4: Determiar la armadura total requerida, A s A s A s = (d d ) f s A s = +ρbd (d d ) f Paso 5: Verifiar la apaidad de mometo a ( ) ( ) φ =φ A A f d + A f d d s s u dode a = ( ) A A f s s 0,85 f b PROCEDIIENTO DE DISEÑO PARA SECCIONES CON ALAS CON ARADURA DE TRACCIÓN (ver Parte 6) Se resume los pasos para el diseño de seioes o alas que sólo tiee armadura de traió (ver Ejemplos ). Paso 1: Determiar el aho de ala efetivo b de auerdo o Usado la Tabla 7-1, determiar la profudidad del bloque de tesioes equivalete, a, supoiedo omportamieto de seió retagular o b igual al aho de ala (es deir, a h f ): A f ρ df a = = = 1,18ω d 0,85 f b 0,85 f s 7-8

9 para lo ual ω se obtiee de la Tabla 7-1 para u /φf bd. Asumir que se trata de ua seió otrolada por traió o φ = 0,9. Paso : Paso 3: Si a h f, determiar la armadura omo si se tratara de ua seió retagular que sólo tiee armadura de traió. Si a > h f, ir al paso 3. Si a > h f, alular la armadura A sf requerida la resisteia al mometo φ f orrespodiete al ala saliete de la viga e ompresió: A sf ( ) w f C 0,85 f b b h f = = f f hf φ f =φ Asf f d Paso 4: Calular la resisteia al mometo requerida a ser soportada por el alma de la viga: uw = u φ f Paso 5: Usado la Tabla 7-1, alular la armadura A sw requerida para desarrollar la resisteia al mometo a ser soportada por el alma: A sw w w 0,85f b a = f siedo a w = 1,18ω w d; ω w se obtiee de la Tabla 7-1 para uw /φf b w d. Alterativamete, A sw se puede obteer de la siguiete maera: A sw ω = w w fb d f Paso 6: Determiar la armadura total requerida: A s = A sf + A sw Paso 7: Verifiar si la seió es otrolada por traió, o φ = 0,9: = a w / β 1 Si /d t 0,375 la seió es otrolada por traió Si /d t > 0,375 se debe agregar armadura de ompresió Paso 8: Verifiar la apaidad de mometo: w f ( ) a h φ =φ A A f d + A f d s sf sf u siedo A sf ( ) w f 0,85 f b b h = f 7-9

10 a w = ( ) A A f s sf w 0,85 f b CONSIDERACIONES GENERALES FLEXIÓN Y CARGA AXIAL El diseño o ivestigaió de u elemeto omprimido orto se basa fudametalmete e la resisteia de su seió trasversal. La resisteia de ua seió trasversal soliitada a ua ombiaió de flexió arga axial debe satisfaer tato la odiió de equilibrio de fuerzas omo la odiió de ompatibilidad de las deformaioes (ver Parte 6). Luego la resisteia a la ombiaió de arga axial mometo (P, ) se multiplia por el fator de reduió de la resisteia φ que orrespoda para determiar la resisteia de diseño (φp, φ ) de la seió. La resisteia de diseño debe ser maor o igual que la resisteia requerida: (φp, φ ) (P u, u ) Todos los elemetos soliitados a ua ombiaió de flexió arga axial se debe diseñar para satisfaer este requisito básio. Observar que la resisteia requerida (P u, u ) represeta los efetos estruturales de las diferetes ombiaioes de argas fuerzas que puede soliitar ua estrutura. E la Parte 5 se disute la Seió 9.. Se puede geerar u "diagrama de iteraió de las resisteias" grafiado la resisteia a la arga axial de diseño φp e fuió de la orrespodiete resisteia al mometo de diseño φ ; este diagrama defie la resisteia "utilizable" de ua seió para diferetes exetriidades de la arga. E la Figura 7-5 se ilustra u típio diagrama de iteraió de las resisteias a la arga axial al mometo de diseño, que muestra los diferetes segmetos de la urva de resisteia que se permite para el diseño. El segmeto "plao" de la urva de resisteia de diseño defie la resisteia a la arga axial de diseño limitate P (max). La Parte 5 otiee ua disusió sobre Como se ilustra e la figura, a medida que dismiue la resisteia a la arga axial de diseño φp, se produe ua trasiió etre el límite orrespodiete a seioes otroladas por ompresió el límite orrespodiete a seioes otroladas por traió. El Ejemplo 6.4 ilustra la ostruió de u diagrama de iteraió. Po Resisteia omial (φ = 1,0) Resisteai a la arga axial, P φp o 0,80φP o Resisteia de diseño Lím. para seió otrolada por ompresió Lím. para seió otrolada por traió φ Resisteia al mometo, Figura 7-5 Diagrama de iteraió de las resisteias (oluma o estribos errados) 7-10

11 CONSIDERACIONES GENERALES CARGA BIAXIAL Ua oluma está soliitada a flexió biaxial uado la arga provoa flexió simultáea respeto de ambos ejes priipales. El aso más habitual de este tipo de arga ourre e las olumas de esquia. El diseño para flexió biaxial arga axial se meioa e R R La Seió trata los fatores de amplifiaió de mometo por osideraioes de esbeltez para los elemetos omprimidos soliitados a arga biaxial. La seió R establee que "las olumas de esquia otras que esté expuestas a mometos ooidos respeto de ambos ejes que ourre e forma simultáea se debe diseñar para flexió biaxial arga axial." Se reomieda dos métodos para el diseño ombiado a flexió biaxial arga axial: el étodo de las Cargas Reíproas el étodo del Cotoro de las Cargas. A otiuaió se preseta ambos métodos, juto o ua extesió del étodo del Cotoro de las Cargas (étodo del Cotoro de las Cargas de la PCA). RESISTENCIA CON INTERACCIÓN BIAXIAL U diagrama de iteraió uiaxial defie la resisteia a la ombiaió de arga mometo e u úio plao de ua seió soliitada por ua arga axial P u mometo uiaxial. La resisteia a la flexió biaxial de ua oluma argada axialmete se puede represetar esquemátiamete omo ua superfiie formada por ua serie de urvas de iteraió uiaxial trazadas e forma radial a partir del eje P (ver Figura 7-6). Los datos para estas urvas itermedias se obtiee variado el águlo del eje eutro (para ofiguraioes de deformaió espeífia supuestas) o respeto a los ejes priipales (ver Figura 7-7). La difiultad asoiada o la determiaió de la resisteia de las olumas armadas soliitadas a ombiaioes de arga axial flexió biaxial es fudametalmete de aturaleza aritmétia. La resisteia a la flexió de ua oluma argada axialmete respeto de u eje obliuo partiular se determia mediate iteraioes que ivolura álulos seillos pero laboriosos. Estos álulos se vuelve aú más laboriosos si se desea optimizar la armadura o la seió trasversal. Para la flexió uiaxial es habitual utilizar audas de diseño e forma de urvas o tablas de iteraió. Si embargo, debido a la aturaleza volumiosa de los datos a lo difíil que resulta realizar múltiples iterpolaioes, o resulta prátio desarrollar urvas o tablas de iteraió para diferetes relaioes etre los mometos fletores respeto de ada eje. Por este motivo se ha desarrollado varios efoques (todos ellos basados e aproximaioes aeptables) que relaioa la respuesta de ua oluma e flexió biaxial o su resisteia uiaxial respeto de ada uo de sus ejes priipales. P o P x θ, b P b x Figura 7-6 Superfiie de iteraió biaxial 7-11

12 ex P u 1 e Barietro plástio h Eje Neutro θ θ 4 3 x s s1 = 0,003 0,85f ć a= 1 P u b s4 s3 fs1 Seió Deformaió Tesioes fs3 fs S1 fs4 S C S 3 S 4 Fuerzas resultates Figura 7-7 Eje eutro que forma u águlo respeto de los ejes priipales SUPERFICIES DE FALLA La resisteia omial de ua seió soliitada a flexió biaxial ompresió es ua fuió de tres variables, P, x, las uales se puede expresar e térmios de ua arga axial atuado o exetriidades e x = /P e = x /P, omo se ilustra e la Figura 7-8. Ua superfiie de falla se puede desribir omo ua superfiie geerada grafiado la arga de falla P e fuió de sus exetriidades e x e, o de sus mometos fletores asoiados x. Se ha defiido tres tipos de superfiies de falla. 7.4, 7.5, 7.6 La superfiie básia S 1 se defie mediate ua fuió que depede de las variables P, e x e ; esta superfiie se ilustra e la Figura 7-9(a). A partir de S 1 se puede derivar ua superfiie reíproa; para geerar la superfiie S (1/P, e x, e ) se utiliza la reíproa o iversa de la arga axial omial P omo se ilustra e la Figura 7-9(b). El terer tipo de superfiie de falla, ilustrado e la Figura 7-9(), se obtiee relaioado la arga axial omial P o los mometos x para produir la superfiie S 3 (P, x, ). La superfiie de falla S 3 es la extesió tridimesioal del diagrama de iteraió uiaxial que meioamos ateriormete. Varios ivestigadores ha desarrollado aproximaioes tato para la superfiie de falla S omo para la S 3 que se puede usar para el diseño el aálisis A otiuaió presetamos ua expliaió de estos métodos utilizados e la prátia atual, juto o alguos ejemplos de diseño. ex x P e x x= P e = P ex No se ilustra las barras de armadura Figura 7-8 Simbología utilizada para arga biaxial 7-1

13 P P 1/P Curvas de iteraió P - Superfiie de falla S 1 (P, e x, e ) Superfiie de falla S (1/P, e x, e ) Superfiie de falla S 3 (P, x, ) e x e x x e e (a) Superfiie de falla S 1 (b) Superfiie de falla reíproa S () Superfiie de falla S 3 Figura 7-9 Superfiies de falla A. étodo de las Cargas Reíproas de Bresler Este método aproxima la ordeada 1/P e la superfiie S (1/P, e x, e ) mediate ua ordeada orrespodiete 1/P e el plao S (1/P, e x, e ), el ual se defie por los putos araterístios A, B C omo se idia e la Figura Para ualquier seió trasversal e partiular, el valor P o (orrespodiete al puto C) es la resisteia a la arga bajo ompresió axial pura; P ox (orrespodiete al puto B) P o (orrespodiete al puto A) so las resisteias a la arga bajo exetriidades uiaxiales e e x, respetivamete. Cada puto de la superfiie verdadera se aproxima mediate u plao diferete; por lo tato, la totalidad de la superfiie se aproxima usado u úmero ifiito de plaos. La expresió geeral para la resisteia a la arga axial p ara ualquier valor de e x e es la siguiete: = + P P P P P ox o o 1/P S S A B C 1/P x 1/P 1/P o 1/P x 1/P u Figura 7-10 étodo de las argas reíproas 7-13

14 Reordeado las variables se obtiee: dode: P = P P P ox o o (7) P ox = áxima resisteia a la arga uiaxial de la oluma o u mometo de x = P e P o = áxima resisteia a la arga uiaxial de la oluma o u mometo de = P e x P o = áxima resisteia a la arga axial si mometos apliados Esta euaió tiee ua forma seilla las variables se puede determiar fáilmete. Las resisteias a la arga axial P o, P ox P o se determia usado ualquiera de los métodos presetados ateriormete para flexió uiaxial o arga axial. Resultados experimetales ha demostrado que esta euaió será razoablemete exata si la flexió o gobiera el diseño. La euaió sólo se debe usar si: P 0,1 f A g (8) B. étodo del Cotoro de las Cargas de Bresler E este método se aproxima la superfiie S 3 (P, x, ) mediate ua familia de urvas orrespodietes a valores ostates de P. Como se ilustra e la Figura 7-11, estas urvas se puede osiderar omo "otoros de las argas." La expresió geeral para estas urvas se puede aproximar 7.6 por medio de ua euaió de iteraió adimesioal de la forma x α + = 1, 0 ox o β (9) P Curvas de iteraió P - Superfiie de falla S 3 Plao de P ostate ox o x P, Cotoro de arga P x Figura 7-11 Cotoros de las argas de Bresler para P ostate e la superfiie de falla S

15 dode x so las resisteias omiales al mometo biaxial e las direioes de los ejes x e, respetivamete. Observar que estos mometos so el equivalete vetorial del mometo uiaxial. El mometo ox es la resisteia omial al mometo uiaxial respeto del eje x, el mometo o es la resisteia omial al mometo uiaxial respeto del eje. Los valores de los expoetes α β so fuió de la atidad, distribuió ubiaió de la armadura, las dimesioes de la oluma, la resisteia las propiedades elástias del aero el hormigó. Bresler 7.6 idia que es razoable supoer α = β; por lo tato, la Euaió (9) se ovierte e α α x + = ox o 1, 0 (10) lo ual se represeta gráfiamete e la Figura 7-1. Para utilizar la Euaió (10) o la Figura 7-1 aú es eesario determiar el valor α para la seió trasversal osiderada. Bresler idió que, típiamete, α variaba etre 1,15 1,55 que u valor de 1,5 era razoablemete exato para la maoría de las seioes uadradas retagulares o armadura uiformemete distribuida. Fijado α igual a la uidad, la euaió de iteraió se vuelve lieal: x ox + 1, 0 = (11) o Como se ilustra e la Figura 7-1, o la Euaió (11) siempre se obtedrá valores oservadores, a que subestima la apaidad de la oluma espeialmete para el aso de argas axiales elevadas o bajos poretajes de armadura. Sólo se debería usar uado P < 0,1 f A g (1) 1,0 0,8 a = 1,4 a = 3 a = a = 4 0,6 o 0,4 a = 1 0, 0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 x ox Figura 7-1 Curvas de iteraió para el étodo del Cotoro de las Cargas de Bresler [Euaió (9)] C. étodo del Cotoro de las Cargas de la PCA El efoque de la PCA desrito a otiuaió fue desarrollado omo ua extesió o ampliaió del étodo del Cotoro de las Cargas de Bresler. Se eligió la euaió de iteraió de Bresler [Euaió (10)] omo el método más viable e térmios de exatitud, pratiidad poteial de simplifiaió. 7-15

16 E la Figura 7-13(a) se ilustra u otoro de arga típio segú Bresler para ua ierta P. E el método de la PCA, 7.11 el puto B se defie de maera tal que las resisteias omiales al mometo biaxial x tiee la misma relaió que las resisteias al mometo uiaxial ox o. Por lo tato, e el puto B x ox = (13) o Cuado el otoro de arga de la Figura 7-13(a) se hae adimesioal toma la forma idiada e la Figura 7-13(b), el puto B tedrá las oordeadas x e iguales a β. Si se grafia la resisteia a la flexió e térmios de los parámetros adimesioales P /P o, x / ox, / o (estos dos últimos llamados mometos relativos), la superfiie de falla geerada S 4 (P /P o, x / ox, / o ) adopta la forma típia ilustrada e la Figura 7-13(). La vetaja de expresar el omportamieto e térmios relativos es que los otoros de la superfiie (Fig. 7-13(b)) es deir, la iterseió formada por los plaos de P /P o ostate la superfiie para los propósitos del diseño se puede osiderar simétrios respeto del plao vertial que biseta los dos plaos oordeados. Aú para las seioes que so retagulares o e las uales la armadura o está uiformemete distribuida, esta aproximaió permite obteer valores o preisió sufiiete para el diseño. La relaió etre α de la Euaió (10) β se obtiee reemplazado las oordeadas del puto B de la Figura 7-13(a) e la Euaió (10), resolviedo para α e fuió de β. Así se obtiee: log 0,5 α= log β β ox o C B Cotoro de arga ox o A ox β o x Figura 7-13(a) Cotoro de argas de la superfiie de falla S 3 sobre u plao de P ostate 1,0 C β B o β Cotoro de arga 45 x ox A 1,0 Figura 7-13(b) Cotoro de argas adimesioal para P ostate 7-16

17 1,0 P P o Figura 7-13() Superfiie de falla S P x 4,, P E oseueia la Euaió (10) se puede esribir omo: 1,0 o β 0 45 β 1,0 x ox o ox o log0,5 log0,5 logβ logβ x + = 1, 0 ox o (14) Para simplifiar el diseño, e la Figura 7-14 se grafia las urvas geeradas por la Euaió (14) para ueve valores de β. Observar que uado β = 0,5 (su límite iferior), la Euaió (14) es ua reta que ue los putos e los uales los mometos relativos so iguales a 1,0 a lo largo de los plaos oordeados. Cuado β = 1,0 (su límite superior), la Euaió (14) toma la forma de dos retas, ada ua de ellas paralela a uo de los plaos oordeados. 1,0 o 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 = = 50 0,3 Resisteia al mometo uiaxial 0, respeto del eje x = ox respeto del eje = o 0,1 Resisteia al mometo biaxial respeto del eje x = x respeto del eje = 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00 x ox Figura 7-14 Relaió de resisteia al mometo biaxial 7-17

18 Los valores de β se alularo e base a 10., usado u bloque de tesioes retagular los priipios básios de equilibrio. Se halló que los parámetros γ, b/h f o afetaba demasiado los valores de β. La máxima difereia e β fue de alrededor de 5% para valores de P /P o ompredidos etre 0,1 0,9. La maoría de los valores de β, espeialmete e el rago de P /P o más utilizado, o presetaro difereias maores al 3%. E vista de estas pequeñas difereias, sólo se desarrollaro evolvetes de los valores de β más bajos para dos valores de f diferetes disposiioes de las barras, omo se ilustra e las Figuras Como se puede observar e las Figuras , β depede fudametalmete de P /P o e meor medida, auque todavía sigifiativamete, de la distribuió de las barras, del ídie de armadura ω de la resisteia de la armadura. La Figura 7-14, juto o las Figuras , ostitue ua maera oveiete direta de determiar la resisteia al mometo biaxial de ua seió trasversal dada sujeta a ua arga axial, a que los valores de P o, ox o se puede obteer fáilmete mediate los métodos ates desritos. Auque se ha simplifiado la ivestigaió de ua seió dada, sólo se puede determiar ua seió que satisfaga los requisitos de resisteia impuestos por ua arga exétria respeto de ambos ejes realizado aálisis suesivos de seioes supuestas. Se puede lograr ua overgeia rápida seilla que permite obteer ua seió satisfatoria aproximado las urvas de la Figura 7-14 por medio de dos retas que se itersea e la líea de 45 grados, omo se ilustra e la Figura ,0 0,9 b P h x e x e γb x 0,6 γ 1, f ,0 h/b 4,0 ω = ρ f / f ρ = A st / hb Disposiió o 4 barras 0,8 0,7 ω=0,1 ω=0,1 β 0,6 0,3 0,5 0,9 0,3 0,5 0,9 0,5 0 1,3 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 P / P o 0,6 f = 40,000 psi 0,7 0,8 0,9 0 1,3 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 P / Po 0,6 f = 60,000 psi 0,7 0,8 0,9 Figura 7-15 (a) Costates para el diseño biaxial Disposiió o 4 barras 7-18

19 1,0 0,9 b h x γb e P x e x 0,6 γ 1, f ,0 h/b 4,0 ω = ρ f / f ρ = A st / hb Disposiió o 8 barras 0,8 β ω=0,1 0,7 0,6 0,3 0,5 0,9 1,3 ω=1,3 ω=0,1 ω=0,1 0,3 0,5 0,9 0,5 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 P / P o 0,6 f = 40,000 psi 0,7 0,8 0,9 0 1,3 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 P / Po f = 60,000 psi 0,6 0,7 0,8 0,9 Figura 7-15 (b) Costates para el diseño biaxial Disposiió o 8 barras 1,0 0,9 b h x γb e P x e x 0,6 γ 1, f ,0 h/b 4,0 ω = ρ f / f ρ = A st / hb Disposiió o 1 (o más) barras - uiformemete espaiadas 0,8 β 0,7 0,6 0,5 0,9 1,3 ω=0,1 0,3 ω=1,3 ω=0,1 ω=0,1 0,3 0,5 0,9 0,5 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 P / P o 0,6 f = 40,000 psi 0,7 0,8 0,9 0 1,3 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 P / P o 0,6 f = 60,000 psi 0,7 0,8 0,9 Figura 7-16 (a) Costates para el diseño biaxial Disposiioes o 1 o más barras 7-19

20 1,0 0,9 b h x γb e P x e x 0,6 γ 1, f ,0 h/b 4,0 ω = ρ f / f ρ = A st / hb Disposiioes o 6, 8 10 barras 0,8 β w = 1,3 0,7 w = 0,1 w = 0,1 0,6 0,3 0,9 0,5 1,3 w = 0,1 0,3 0,5 0,9 f = 40,000 psi 0,5 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 P / P o 1,3 f = 60,000 psi 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 P / P o Figura 7-16 (b) Costates para el diseño biaxial Disposiió o 6, 8 10 barras Por simples osideraioes geométrias se puede demostrar que la euaió de las retas superiores es: x 1 ox β β + = o 1 para x o > (15) ox que por oveieia se puede esribir omo: 1 β + = o x o ox β (16) 1,0 β x 1 β + = 1 ox β o / o β x 1 β + = 1 ox o β ,0 x / ox Figura 7-17 Aproximaió bilieal de u otoro de arga adimesioalizado [Fig. 7-13(b)] 7-0

21 Para las seioes retagulares o armadura igualmete distribuida e todas sus aras, la Euaió (16) se puede aproximar omo: b 1 β + h β x o (17) La euaió de la reta iferior de la Figura 7-17 es: x 1 β + = 1 para ox o β x o < (18) ox ó 1 β ox x + = ox o β (19) Para las seioes retagulares o armadura igualmete distribuida e todas sus aras, h 1 β + = b β x ox (0) E las euaioes de diseño (17) (0), se debe seleioar la relaió b/h ó h/b se debe supoer el valor de β. Para las olumas poo argadas β geeralmete variará etre 0,55 alrededor de 0,70. Por lo tato, e geeral ua buea opió para iiiar u aálisis de flexió biaxial osiste e tomar u valor de β igual a 0,65. PROCEDIIENTO DE DISEÑO ANUAL Para audarle al diseñador e el diseño de olumas soliitadas a flexió biaxial, a otiuaió se desribe u proedimieto para diseño maual: 1. Elegir el valor de β a sea igual a 0,65 o bie estimado u valor e base a las Figuras Si / x es maor que b/h, usar la Euaió (17) para alular ua resisteia al mometo uiaxial equivalete aproximada o. Si / x es meor que b/h, usar la Euaió (0) para alular ua resisteia al mometo uiaxial equivalete aproximada ox. 3. Diseñar la seió usado ualquiera de los métodos presetados ateriormete para flexió uiaxial o arga axial para obteer ua resisteia a la arga axial P ua resisteia al mometo uiaxial equivalete o o ox. 4. Verifiar la seió elegida mediate ualquiera de los tres métodos siguietes: a. étodo de las Cargas Reíproas de Bresler: P P P P ox o o (7) b. étodo de los Cotoros de las Cargas de Bresler: x ox + 1, 0 (11) o. étodo de los Cotoros de las Cargas de la PCA: Usar la Euaió (14) o bie 7-1

22 x 1 ox β β + o 1, 0 para x o > (15) ox x 1 β + 1, 0 ox o β para x o < (18) ox REFERENCIAS 7.1 Wag, C. K. Salmo, C. G., "Reifored Corete Desig," Cuarta Ediió, Harper & Row Publishers, New Cork, N.Y., ast, R. F. (199), "Uified Desig-Provisios for Reifored ad Prestressed Corete Flexural ad Compressio embers," ACI Strutural Joural, V. 89, pp ushi, J. A., (1998), "Desig of Reifored Corete Flexural Setios b Uified Desig Approah," ACI Strutural Joural, V. 95, pp Paell, F. N., "The Desig of Biaxiall Loaded Colums b Ultimate Load ethods," agazie of Corete Researh, Lodres, Julio 1960, pp Paell, F. N., "Failure Surfaes for embers i Compressio ad Biaxial Bedig," ACI Joural, Proeedigs, Vol. 60, Eero 1963, pp Bresler, Boris, "Desig Criteria for Reifored Colums uder Axial Load ad Biaxial Bedig," ACI Joural, Proeedigs, Vol. 57, Noviembre 1960, pp , disussio pp Furlog, Rihard W., "Ultimate Stregth of Square Colums uder Biaxiall Eetri Loads." ACI Joural, Proeedigs, Vol. 58, arzo 1961, pp eek, J. L., "Ultimate Stregth of Colums with Biaxiall Eetri Loads," ACI Joural, Proeedigs, Vol. 60, Agosto 1963, pp Aas-Jakose, A., "Biaxial Eetriities i Ultimate Load Desig," ACI Joural, Proeedigs, Vol. 61, arzo 1964, pp Ramamurth, L. N., "Ivestigatio of the Ultimate Stregth of Square ad Retagular Colums uder Biaxiall Eetri Loads," Smposium o Reifored Corete Colums, Ameria Corete Istitute, Detroit, 1966, pp Capait of Reifored Retagular Colums Subjet to Biaxial Bedig, Publiatio EB011D, Portlad Cemet Assoiatio, Skokie, IL, Biaxial ad Uiaxial Capait of Retagular Colums, Publiatio EB031D, Portlad Cemet Assoiatio, Skokie, IL,

23 Ejemplo 7.1 Diseño de ua viga retagular sólo o armadura de traió Seleioar u tamaño de viga la armadura requerida A s para soportar mometos bajo arga de serviio D = 56 ft-kips L = 35 ft-kips. Seleioar la armadura para limitar la fisuraió por flexió. f = 4000 psi f = psi Cálulos disusió Refereia del Código 1. Para ilustrar u proedimieto de diseño ompleto para seioes retagulares sólo o armadura de traió, se alulará ua altura míima de viga usado la máxima armadura permitida para elemetos flexioados otrolados por traió, ρ t. El proedimieto de diseño seguirá el método desrito e las págias ateriores Paso 1. Determiar la máxima uatía de armadura para seió otrolada por traió para las resisteias de los materiales f = 4000 psi f = psi ρ t = 0,01806 de la Tabla 6-1 Paso. Calular el área bd requerida. Resisteia al mometo requerida: u = (1, 56) + (1,6 35) = 13, ft-kips E. (9-) R f 1 0,5 ρ f =ρ 0,85 f 0, 5 0, = ( 0, ) 1 = 911 psi 0, bd (requerida) u 13, = = = 1803 i. φ R 0, Paso 3. Dimesioar el elemeto de maera que bd provista sea que bd requerida. Fijar b = 10 i. (aho de las olumas) 1803 d = = 13,4i. 10 Altura míima de la viga 13,4 +,5 = 15,9 i. Para la resisteia al mometo, ua viga de i. es adeuada. Si embargo, la fleha es ua osideraió fudametal e el diseño de las vigas por el étodo de Diseño por Resisteia. La limitaió de la fisuraió se disute e la Parte 10. Paso 4. Usado la altura de viga de 16 i., alular u valor revisado de ρ. A título ilustrativo, se alulará ρ apliado los uatro métodos ates desritos. 7-3

24 d = 16,5 = 13,5 i. 1. Usado la Euaió (4) (método exato): R u 13, = = = 901 psi φ ( bd provista ) 0, 90( 10 13, 5 ) 0,85f R ρ= 1 1 f 0,85f 0, = 1 1 = 0, , Usado urvas de resisteia omo las ilustradas e la Figura 7-: para R = 901 psi, ρ 0, Usado tablas de resisteia al mometo tales omo la Tabla 7-1: 13, = = 0, 53 φ f bd 0, ,5 u ω 0,676 ωf 4 ρ= = 0, 676 = 0, 0178 f Por proporioes aproximadas: ρ ρ ( ) ( R ) revisada origial ( R origial) 901 ρ= 0, = 0, Paso 5. Calular A s requerida. A s = (ρ revisada) (bd provista) = 0, ,5 =,40 i. Comparar los resultados o los obteidos e el Ejemplo 10.1 del doumeto Notes o ACI , diseñado segú el ódigo de Segú Segú u 138 ft-k 13 ft-k φ 0,9 0,9 Dimesioes de la viga (b d) i i. A s requerida,78 i.,40 i. 7-4

25 La reduió de A s es ua oseueia direta del heho que, o fatores de arga más bajos, o es eesario reduir φ a meos de 0,9 para flexió e los elemetos otrolados por traió.. Se puede revisar que los álulos sea orretos apliado osideraioes estátias. T = A s f =,40 60 = 144,0 kips Af 144,0 a = 4,4i. 0,85 f b = 0, = s Resisteia al mometo de diseño: a 4,4 φ =φ Asf d = 0,9 144,0 13,5 = 1475 i.-kips = 1,9 ft-kips u requerido = 13, ft-kips VERIFICA 3. Seleioar la armadura de maera de satisfaer los requisitos de distribuió de la armadura de flexió idiados e A s requerida =,40 i. A modo de ejemplo, seleioamos 1 barra No. 9 barras No. 8 (A s =,40 i. ). E la prátia se prefiere utilizar u solo tamaño de barra. Estribo No. 4 No.8 No.9 No.8 = 1,5 + 0,5 =,0 i. áxima separaió permitida, 10" 1,5" 540 s =,5 E. (10-4) f s Usar f s = 36 ksi 540 s = (,5,0) = 10i. 36 o ver Tabla 9-1: para f s = 36 = :: s = 10 i. Separaió provista = ,5 0,5 1,0 + + =,50 i. < 10 i. VERIFICA 7-5

26 Ejemplo 7. Diseño de ua losa maiza armada e ua direió Determiar el espesor la armadura requerida para ua losa otiua de dos o más tramos iguales armada e ua sola direió. Luz libre l = 18 ft. f = 4000 psi f = psi Cargas de serviio: w d = 75 psf (asumir ua losa de 6 i.); w l = 50 psf Cálulos disusió Refereia del Código 1. Calular las resisteias al mometo requeridas usado el aálisis aproximado de mometos permitido por El diseño se basará e el tramo fial. Carga maorada w u = (1, 75) + (1,6 50) = 170 psf E. (9-) ometo positivo e el extremo disotiuo itegral o el apoo: + u = w u l /14 = 0, / 14 = 3,93 ft-kips/ft ometo egativo e la ara exterior del primer apoo iterior: u = w u l /10 = 0, / 10 = 5,51 ft-kips/ft Determiar el espesor de losa requerido Seleioar u poretaje de armadura ρ aproximadamete igual a 0,5ρ t, o u medio del máximo permitido para seioes otroladas por traió, de maera de limitar la fleha a valores razoables. De la Tabla 6-1, para f = 4000 psi f = psi: ρ t = 0,01806 Fijar ρ = 0,5 (0,01806) = 0,00903 El proedimieto de diseño seguirá el método desrito ateriormete: 0,5ρf R f 1 0,85f =ρ 0, 5 0, = ( 0, ) 1 = 499 psi 0, d requerida: d 5, φ R b 0, u = = = 3,50i. Supoiedo barras No. 5, h requerida es h = 3,50 + 0,31/ + 0,75 = 4,41 i. Estos álulos idia que u espesor de losa de 4,5 i. es adeuado. Si embargo, la Tabla 9-5(a) idia u espesor míimo de l/4 9 i., a meos que se alule las flehas. Tambié se debe observar que la Tabla 9-5(a) sólo es apliable a "elemetos que o soporta i está uidos a tabiques u otros elemetos o estruturales que puede sufrir daños por grades flehas." Si o se satisfae esta odiió es eesario alular las flehas. 7-6

27 A título ilustrativo se alulará la armadura requerida para h = 4,5 i., d = 3,59 i. 3. Calular la armadura de mometo egativo requerida. u 5, R = = = 475 φ bd 0, 9 1 3, ρ 0, = 0, A s (requerida) = ρbd = 0, ,59 = 0,37 i. /ft Usar barras No. 5 o ua separaió de 10 i. (A s = 0,37 i. /ft) 4. Para la armadura de mometo positivo usar la Tabla 7-1: 3, = = 0, 0847 φ f bd 0, , 59 u De la Tabla 7-1, ω = 0,090 ωf 4 ρ= = 0,090 = 0,006 f 60 +A s (requerida) = ρbd = 0, ,59 = 0,58 i. /ft Usar barras No. 4 o ua separaió de 9 i. (A s = 0,7 i. /ft) o barras No. 5 o ua separaió de 1 i. (A s = 0,31 i. /ft) 7-7

28 Ejemplo 7.3 Diseño de ua viga retagular o armadura de ompresió Las dimesioes de la seió trasversal de ua viga se limita a los valores ilustrados. Determiar el área de armadura requerida para mometos bajo arga de serviio D = 430 ft-kips L = 175 ft-kips. Verifiar los requisitos para limitaió de la fisuraió del artíulo d =,5" b = 1" Aś f = 4000 psi f = psi d t = 30" d = 8,8" A s Cálulos disusió Refereia del Código 1. Determiar la armadura requerida. Paso 1. Determiar si se requiere armadura de ompresió. u = 1, D + 1,6 L = 796 ft-kips E. (9-) = u / φ = 796 / 0,9 = 884 ft-kips R = = = 98 bd 1 30 Este valor es maor que el máximo R de 911 para seioes otroladas por traió ostruidas de hormigó de 4000 psi, si armadura de ompresió (ver Tabla 6-1). Además, paree que será eesario usar dos apas de armadura. Estimar d = d t 1, i. = 8,8 i. Paso. Hallar el mometo de resisteia omial resistido por el hormigó de la seió, si armadura de ompresió. ρ t = 0,01806 de la Tabla 6-1 d 30 0, , d 8,8 t ρ=ρ t = = (6) f 60 ω=ρ = 0, = 0, 8 f 4 7-8

29 t f bd = 0, 351 de la Tabla 7-1 t = 0, ,8 = 9360 i.-kips = 780 ft-kips resistidos por el hormigó Resisteia al mometo requerida a ser resistida por la armadura de ompresió: = = 104 ft-kips Paso 3. Determiar la tesió e el aero de ompresió f s. Verifiar la flueia de la armadura de ompresió. Como la seió se diseñó para el límite de deformaió espeífia eta de traió orrespodiete a seió otrolada por traió ε t = 0,005, /d t = 0,375 = 0,375 d t = 0, = 11,5 i. d / =,5 / 11,5 = 0, < 0,31 La armadura de ompresió etra e flueia al alazar la resisteia omial (f s = f ) Paso 4. Determiar la armadura total requerida: A s = f d d ( ) = = 0,79 i ,8, 5 ( ) A s = 0,79 + ρbd = 0,79 + (0, ,8) = 7,9 i. Paso 5. Verifiar la apaidad de mometo. Cuado la armadura de ompresió etra e flueia: ( ) As A s f 6, a = = = 9,56i. 0,85f b 0, a φ =φ ( As A s) f d A s f( d d ) + 9,56 = 0,9 6, ,8 + ( 0,79 60)( 8,8,5 ) /1 = 796 ft-kips = u = 796 ft-kips VERIFICA. Seleioar la armadura para satisfaer los riterios de fisuraió por flexió de Armadura de ompresió: Seleioar barras No. 6 (A s = 0,88 i. > 0,79 i. ) 7-9

30 Armadura de traió: Seleioar 6 barras No. 10 e dos apas (A s = 7,6 i. > 7,9 i. ) Estribo No. 4 6 No. 10 d = 3,77" g 1,5" 1" libre b = 1" áxima separaió permitida, 540 s =,5 E. (10-4) f s C = 1,5 + 0,5 =,0 i. Usar f s = 36 ksi 540 s = (,5 ) = 10i. 36 Separaió provista = 1 1 1,5 0,5 1,7 + + = 4,68 i. < 10 i. VERIFICA 4. Se requiere zuhos o estribos errados e toda la distaia e la ual por motivos de resisteia se requiere armadura de ompresió áxima separaió = 16 diámetro de las barras logitudiales = 16 0,75 = 1 i. (determiate) = 48 diámetro de las barras de los estribos = 48 0,5 = 4 i. = meor dimesió del elemeto = 1 i. Usar s max = 1 i. para estribos No

31 Comparar la armadura requerida o la del Ejemplo 10.3 del doumeto Notes o ACI Segú Segú Segú supoiedo d t = d u 900 ft-k 796 ft-k 796 ft-k φ 0,9 0,9 0,9 A s requerida 0,47 i. 0,79 i. 0,97 A s requerida 8,17 i. 7,9 i. 7,1 Armadura total 8,67 i. 8,08 i. 8,18 Se requiere algo más de aero de ompresió, pero usado ACI se obtiee ua reduió sigifiativa del aero de traió. Tambié se idia los resultados de u álulo (o iluido) realizado usado la hipótesis simplifiadora d = d t. El aero adiioal es de apeas 1, por ieto. 7-31

32 Ejemplo 7.4 Diseño de ua seió o alas sólo o armadura de traió Seleioar la armadura para la seió ilustrada, de maera que soporte los siguietes mometos por arga permaete sobrearga de serviio: D = 7 ft-kips L = 88 ft-kips. f = 4000 psi f = psi a b = 30" e,5" d = 19" t As 10" Cálulos disusió Refereia del Código 1. Determiar la resisteia a la flexió requerida. u = (1, 7) + (1,6 88) = 7 ft-kips E. (9-). Usado la Tabla 7-1, determiar la profudidad del bloque de tesioes equivalete, a, omo para ua seió retagular. Asumir φ = 0,9. u 7 1 = = 0, 0699 φ f bd 0, De la Tabla 7-1, ω 0,073 Af s ρdf a = = = 1,18ω d = 1,18 0, = 1, 64 i. <, 5i. 0,85 f b 0,85 f Como a < h f, determiar A s omo para ua seió retagular (para el aso que a > h f ver el Ejemplo 7.5). Verifiar φ: = a / β 1 = 1,64 / 0,85 = 1,93 i. / d t = 1,93 / 19 = 0,10 < 0,375 La seió es otrolada por la traió, φ = 0,9. 3. Calular A s requerida. A s f = 0,85 f ba 7-3

33 A s 0, , 64 = =,78i. 60 Alterativamete, f As =ρ bd =ω bd f 4 = 0, =, 77 i. 60 Itetar o 3 barras No. 9 (A s = 3,0 i. ) 4. Verifiar armadura míima requerida Para f < 4444 psi, E. (10-3) ρ mi = = = 0, 0033 f As 3, 0 = = 0, 0053 > 0, 0033 b d w VERIFICA 5. Verifiar distribuió de la armadura áxima separaió permitida, 540 s =,5 E. (10-4) f s = 1,5 + 0,5 =,0 i. Estribo No. 4 Usar f s = 36 ksi 540 s = (,5,0) = 10i. 36 Separaió provista 1 1,18 = 10 1,5 + 0,5 + 3 No. 9 10" 1,5",56" =,44 i. < 10 i. VERIFICA 7-33

34 Ejemplo 7.5 Diseño de ua seió o alas sólo o armadura de traió Seleioar la armadura para la seió e Te ilustrada, para soportar u mometo maorado u = 400 ft-kips. b = 30" e f = 4000 psi f = psi a,5" 19" As 10" Cálulos disusió Refereia del Código 1. Determiar la armadura requerida. Paso 1. Usado la Tabla 7-1, determiar la profudidad del bloque de tesioes equivalete, a, omo para ua seió retagular. Asumir que la seió es otrolada por traió, φ = 0,9. = u / φ = 400 / 0,9 = 444 ft-kips Asumir a <,5 i = = 0,13 f bd De la Tabla 7-1, ω 0,134 Af s a = = 1,18ω d 0,85 f b = 1,18 0, = 3,0 i. >,5 i. Paso. Paso 3. Como el valor de a alulado omo para seió retagular es maor que el espesor del ala, el bloque de tesioes equivalete se extiede haia el alma, el diseño se debe basar e u omportamieto omo seió Te. Para el aso e que a es meor que el espesor del ala, ver el Ejemplo 7.4. Calular la armadura requerida A sf la resisteia omial al mometo requerida f orrespodietes al ala que sobresale de la viga soliitada a ompresió (ver Parte 6). Resisteia a la ompresió del ala C f = 0,85 f (b b w ) h f 7-34

35 = 0,85 4 (30 10),5 = 170 kips A sf requerida para equilibrar C f : A sf C 170 f 60 f = = =,83i. Resisteia omial al mometo del ala: hf f = Asf f d = [,83 60 (19 1,5)] / 1 = 51 ft-kips Paso 4. Resisteia omial al mometo requerida a ser soportada por el alma de la viga: w = f = = 193 ft-kips Paso 5. Usado la Tabla 7-1, alular la armadura A sw requerida para desarrollar la resisteia al mometo a ser soportada por el alma = = 0,1604 f bd w De la Tabla 7-1, ω 0,179 4 ρ w = 0,179 = 0, Paso 6. Verifiar si la seió es otrolada por traió, o φ = 0,9: ρ t = 0,01806 de la Tabla 6-1 Por lo tato, ρ w < ρ t la seió es otrolada por traió (φ = 0,9) A sw = ρ w bd = 0, =,7 i. Paso 7. Armadura total requerida para soportar el mometo maorado u = 400 ft-kips: A s = A sf + A sw =,83 +,7 = 5,10 i. Paso 8. Verifiar la apaidad de mometo. a w hf ( ) φ =φ A Asf f d + Asf f d a w = ( ) A A f s sf 0,85 f b w 7-35

36 ( ) 5,10,83 60 = = 4,01 i. 0, ,01,5 φ = 0,9 ( 5,10,83) (,83 60) 19 / 1 = 400 ft-kips = u = 400 ft-kips VERIFICA. Seleioar la armadura para satisfaer los riterios de limitaió de la fisuraió Itetar o 5 barras No. 9 dispuestas e dos apas (A s = 5,00 i. ) (% meos de lo requerido, se supoe sufiiete) áxima separaió permitida, 540 s =,5 E. (10-4) f s = 1,5 + 0,5 =,0 i. Usar f s = 36 ksi 540 s = (,5,0) = 10i. 36 Separaió provista = ,5 0,5 1, =,44 i. < 10 i. VERIFICA 1" libre 5 No. 9 Estribo No. 4 1,5" d =3,41" g 10" Nota: Se requiere dos apas de armadura, lo ual puede o haber sido reooido al supoer d igual a 19 i. Además, la armadura provista es ligeramete meor que la requerida. Por lo tato, la altura total debería ser algo maor que d + d g =,41 i., o bie se debería aumetar la atidad de armadura. 7-36

37 Ejemplo 7.6 Diseño de u sistema ervurado armado e ua direió Determiar la altura armadura requerida para el sistema ervurado ilustrado a otiuaió. Los ervios tiee 6 i. de aho la separaió etre etros es de 36 i. La altura de la losa es de 3,5 i. f = 4000 psi f = psi DL de serviio LL de serviio = 130 psf (se asume omo total orrespodiete a los ervios las vigas más las argas permaetes impuestas) = 60 psf Aho de las vigas perimetrales Aho de las vigas iteriores = 0 i. = 36 i. Columas: iteriores = i. exteriores = i. Altura de piso (típia) = 13 ft 5 ada 30-0" = 150-0" N A 3 ada 30-0" = 90-0" Nervios A 30-0" 30-0" 15-0" 8" 1-0" l = 7,5 3-0" l = 7,0 3-0" l = 7,0 Corte A-A Sim. respeto del eje 7-37

38 Cálulos disusió Refereia del Código 1. Calular los mometos maorados e las aras de los apoos determiar la altura de los ervios. w u = [(1, 0,13) + (1,6 0,06)] 3 = 0,756 kips/ft E. (9-) Usado los oefiietes aproximados, los mometos maorados e el tramo so los siguietes: Ubiaió Tramo exterior u (ft-kips) Ext. eg. w u l / 4 = 0,756 7,5 / 4 = 3,8 Pos. w u l / 14 = 0,756 7,5 / 14 = 40,8 It. eg. w u l / 10 = 0,756 7,5 / 10 = 56,1 Tramo iterior Pos. w u l / 16 = 0,756 7 / 16 = 34,4 Neg. w u l / 11 = 0,756 7 / 11 = 50,1 Para ua limitaió razoable de las flehas, seleioar ua uatía ρ igual a aproximadamete 0,5ρ t. De la Tabla 6-1, ρ t = 0, Fijar ρ = 0,5 0,01806 = 0,00903 Determiar la altura requerida de los ervios e base a u = 56,1 ft-kips: ρ f 0, ω= = = 0,1355 f 4 De la Tabla 7-1, u / φ f bd = 0,147 d 56,1 1 φ f b 0,147 0, ,147 u = = = w ( ) 15,8i. h 15,8 + 1,5 = 17,1 i. De la Tabla 9-5(a), la míima altura requerida para los ervios es: h mi 30 1 = = = 19,5 i. 18,5 18,5 Usar ervios de 19,5 i. de altura (16 + 3,5).. Calular la armadura requerida. a. Tramo exterior, mometo exterior egativo u 3,8 1 = = 0, 0397 φ f bd 0, , 5 De la Tabla 7-1, ω 0,

39 A ω bdf 0, , 5 4 s = = = f 60 0,30i. Para f < 4444 psi, usar 00b d ,5 = = = > E. (10-3) w As,mi 0,37i. As f Distribuir las barras uiformemete e la losa superior: A s 0,37 = = 0,13 i. / ft 3 Usar barras No. 3 o ua separaió de 10 i. (A s = 0,13 i. / ft) b. Tramo exterior, mometo positivo u 40,8 1 = = 0, 0113 φ f bd 0, , 5 De la Tabla 7-1, ω 0,01 A ω bdf 0, , 5 4 s = = = f 60 0,53i. Verifiar omportamieto de seió retagular: As f 0, a = = = 0,6 i. < 3,5 i. 0,85 f b 0, VERIFICA Usar barras No. 5 (A s = 0,6 i. ). Tramo exterior, mometo iterior egativo u 56,1 1 = = 0, 0936 φ f bd 0, , 5 De la Tabla 7-1, ω 0,100 A ω bdf 0, , 5 4 s = = = f 60 0,73i. Distribuir la armadura uiformemete e la losa: A s 0,73 = = 0,4i. /ft 3 Usar barras No. 5 o ua separaió de 1 i. por osideraioes de limitaió de la fisuraió (ver Tabla 9-1). 7-39

40 d. La armadura para las demás seioes se obtiee de maera similar. La siguiete tabla resume los resultados. Observar que e todas las seioes se satisfae los requisitos de 10.6 sobre limitaió de la fisuraió. Ubiaió Tramo exterior u (ft-kips) A s (i. ) Armadura Ext. eg Barras No. 3 separadas 10 i. Pos barras No. 5 It. eg Barras No. 5 separadas 1 i.* Tramo iterior Pos barras No. 5 Neg Barras No. 5 separadas 1 i. * Separaió máxima de 1 i. requerida para limitar la fisuraió e la losa. e. A meudo la armadura de la losa ormal a los ervios se oloa a la mitad de la altura de la losa de maera que resista tato mometo positivo omo mometo egativo. Usar u w 0,185, 5 u = = = 0,096 ft kips 1 1 dode w u = 1, ( ) + 1,6 (60) = 185 psf = 0,185 kips-ft u 0, = = 0, 0087 φ f bd 0, ,75 De la Tabla 7-1, ω 0,0087 A ω bdf 0, , 75 4 s = = = f 60 0,01i. /ft Para las losas, la armadura míima está determiada por los requisitos dados e : A s,mi = 0, ,5 = 0,08 i. /ft s max = 5h = 5 3,5 = 17,5 i. (valor determiate) = 18 i. Usar barras No. 3 o ua separaió de 16 i. (A s = 0,08 i. /ft) 3. Se debe verifiar el orte e los apoos. Dado que los ervios satisfae los requisitos de 8.11, se permite que la otribuió del hormigó a la resisteia al orte V sea 10% maor que la espeifiada e el Capítulo