Integrales Dobles e Integrales Triples

Transcripción

1 Tem 6 Integrles Dobles e Integrles Triples 6.1 Introduión Comenzremos este tem on un repso de l Integrión de funiones de un vrible rel, pr introduir posteriormente ls integrles dobles y triples. 6.2 epso de Integrión en un vrible Integrl Indefinid Definiión. Se denomin primitiv de l funión f(x) en un intervlo (, b) tod funión F (x) diferenible en (, b) y tl que F (x) = f(x). Dos propieddes importntes que verifin ls primitivs de un funión dd f(x) son ls siguientes: 1) Si F (x) es un primitiv de f(x) en (, b), entones l funión G(x) = F (x) + C, on C onstnte, tmbién lo es en (, b). L demostrión es evidente: G (x) = F (x) + 0 = f(x), x (, b). 2) Si F (x) y G(x) son primitivs de f(x) en (, b), entones su difereni es un onstnte: F (x) G(x) = C, x (, b). Definiión. Llmremos integrl indefinid de un funión f(x) en un intervlo (, b) l onjunto de tods sus funiones primitivs en diho intervlo. Lo representremos on l notión hbitul f(x) dx. Ls dos propieddes nteriores implin que bst on onoer un primitiv de f(x) en (, b), F (x), pr onoer l totlidd de ells, y sí tendremos, pr ulquier onstnte rel C: f(x) dx = F (x) + C 59

2 60 CÁLCULO / INGENIEO GEÓLOGO / TEMA 6 Propieddes. (f(x) + g(x)) dx = k, se verifi: f(x)dx + kf(x) dx = k g(x)dx f(x) dx Integrles Inmedits Se suelen denominr integrles inmedits ls que resultn evidentes por ser el integrndo l derivd de un funión onoid. Evidentemente l inmeditez no onstituye un propiedd mtemáti, o diho on otrs plbrs, un integrl es inmedit si uno se l sbe de memori, y lo sigue siendo mientrs no l olvidemos. En ulquier so, es hbitul sumir que son inmedits ls siguientes integrles indefinids: x p dx = 1 p + 1 xp+1 + C, p 1, dx x = ln x + C e x dx = e x + C, x dx = 1 ln x + C, > 0, 1 dx sen x dx = os x + C, os x dx = sen x + C, os 2 x = tn x + C dx sen 2 x = otn x + C, dx x = rtn x + C, dx = rsen x + C 1 x 2 dx 1 x 2 = ros x + C, dx = rosh x+c, x Integrl Definid senh x dx = osh x + C, dx = rsenh x+c, x osh x dx = senh x + C dx = rtnh x+c 1 x2 El onepto de integrl definid se onstruye prtir de l ide de psr l límite un sum undo el número de sumndos tiende infinito y simultánemente d uno de los sumndos tiende ero. Pr determinr on preisión est ide introduiremos ls siguientes definiiones: Definiión. Ddo un intervlo [, b] llmremos prtiión de [, b] tod oleión de n + 1 puntos P = {x 0, x 1,, x n } tles que = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b. Tod prtiión P del intervlo [, b] lo divide en n subintervlos [x k 1, x k ] de nhurs respetivs x k = x k x k 1. Definiión. Dd un funión f(x) definid en el intervlo [, b], un prtiión P = {x 0, x 1,, x n } de [, b] y ddos n puntos ξ = {ξ 1, ξ 2,, ξ n } tles que ξ k [x k 1, x k ],

3 CÁLCULO / INGENIEO GEÓLOGO / TEMA 6 61 se llm sum integrl o sum de iemnn de l funión f(x) en [, b] orrespondiente l prtiión P y l eleión de puntos ξ l sum siguiente: S(f, P, ξ) = n f(ξ k ) x k = f(ξ 1 ) x f(ξ n ) x n k=1 Si suponemos que l funión es ontinu en [, b] (unque serí sufiiente on que fuer ontinu en d subintervlo de l prtiión P ), entones, por el teorem de Weierstrss, f(x) lnz su vlor máximo M k y su mínimo m k en d subintervlo [x k 1, x k ], podemos entones onstruir ls sums de iemnn orrespondientes dihos vlores, obteniendo l sum superior de iemnn U y l sum inferior de iemnn L, de f(x) en [, b] on respeto l prtiión P : U(f, P ) = n M k x k, L(f, P ) = k=1 n m k x k Es evidente entones que el onjunto de tods ls sums de iemnn de un funión dd en un intervlo, on respeto un prtiión onret P, está otdo superiormente por U(f, P ) e inferiormente por L(f, P ). Definiión. Se die que un funión f(x) definid en [, b] es integrble (en el sentido de iemnn, o simplemente integrble) en [, b] si el supremo de tods sus sums inferiores de iemnn oinide on el ínfimo de tods sus sums superiores. A diho número se le denomin integrl definid o integrl de iemnn de f(x) en [, b] y se denot omo: b f(x) dx De mner equivlente, puede definirse l integrl definid o integrl de iemnn omo el límite de ls sums de iemnn de l funión en el intervlo undo el número de puntos de ls prtiiones onsiderds tiende infinito mientrs que l nhur máxim de los subintervlos determindos por l prtiión tiende ero, siempre que diho límite exist y se independiente de l eleión de puntos rbitrrios relizd en d subintervlo. L definiión de integrl definid se omplet ñdiendo los sos: k=1 b f(x)dx = b f(x)dx, f(x)dx = 0 siendo > b en l primer integrl. Propieddes básis 1. Si f(x) es integrble en [, b] entones está otd en [, b]. 2. Si f(x) es ontinu en [, b] entones es integrble en [, b].

4 62 CÁLCULO / INGENIEO GEÓLOGO / TEMA 6 3. Si f(x) está otd en [, b] y present en diho intervlo un número finito de disontinuiddes, entones es integrble en [, b]. 4. L integrl definid es linel, es deir: Si f(x) y g(x) son dos funiones integrbles en [, b], entones su sum tmbien lo es y se verifi: b (f(x) + g(x))dx = b f(x)dx + mientrs que si k es un número rel ulquier, entones: b kf(x)dx = k 5. Ddos tres números reles, b y, se verifi: b f(x)dx = siempre que ls integrles nteriores existn. b f(x)dx + f(x)dx b b f(x)dx g(x)dx 6. Si f(x) g(x), x [, b] y mbs son integrbles en [, b], entones se verifi: b f(x) dx b g(x) dx 7. Si < b y f(x) es integrble en [, b], se verifi: b b f(x)dx f(x) dx Teorem Fundmentl del Cálulo. Se f(x) un funión ontinu en el intervlo [, b], entones l funión F (x) definid de l form: F (x) = x f(t)dt en el intervlo [, b] es derivble en (, b) y demás F (x) = f(x). Not: Si f(x) es integrble pero no ontinu en [, b] entones sólo podemos segurr que F (x) es ontinu en [, b], pero l derivbilidd de F (x) sólo está grntizd en los puntos de ontinuidd de f(x). egl de Brrow. Si f(x) es ontinu en [, b] y G(x) es un primitiv de f(x) en [, b], entones se verifi: b f(x)dx = G(x) b = G(b) G()

5 CÁLCULO / INGENIEO GEÓLOGO / TEMA Integrl Doble en un retángulo Presentremos ontinuión el onepto de integrl doble de un funión f(x, y) sobre un retángulo en 2 omo un generlizión diret del onepto de integrl definid de un funión f(x) sobre un intervlo [, b] de. Se un retángulo en el plno 2, = [, b] [, d]. Un prtiión de será un onjunto de puntos P = {x j, y k } de, determindos por un prtiión P 1 = {x 0, x 1,..., x n } del intervlo [, b] y otr del intervlo [, d], P 2 = {y 0, y 1,..., y m }, on: = x 0 < x 1 <... < x n = b, = y 0 < y 1 <... < y m = d Denotremos por x j y y k ls nhurs respetivs: x j = x j x j 1, y k = y k y k 1 de tl mner que x j y k es el áre del retángulo jk determindo por los subintervlos [x j 1, x j ] e [y k 1, y k ], es deir: jk = [x j 1, x j ] [y k 1, y k ]. Tomemos en d uno de los retángulos jk, j = 1,..., n, k = 1,..., m, un punto rbitrrio: ξ jk = (ξ 1 jk, ξ2 jk ), y denominemos ξ = { ξ jk } diho onjunto de puntos. Si f(x, y) es un funión eslr f : (que supondremos otd en todo ), se define l sum de iemnn de f(x, y) en, soid l prtiión P, y l eleión rbitrri de puntos ξ, omo l sum: n m S(f, P, ξ) = f( ξ jk ) x j y k = j=1 k=1 n m f( ξ jk ) A jk j=1 k=1 donde A jk es el áre del retángulo jk. Con todos estos ingredientes, se die que f(x, y) es integrble en el retángulo si l suesión de sums de iemnn {S(f, P, ξ)} tiene límite (finito) undo n y m tienden infinito y l nhur máxim de ls prtiiones tiende ero, y demás diho límite es independiente de l eleión ξ tomd en d sum. En tl situión el límite reibe el nombre de integrl doble de f(x, y) en, y lo denotremos por: f(x, y) dx dy En lgunos textos de Mtemátis, es hbitul utilizr otrs notiones equivlentes omo: f, f(x, y) da, f(x, y) dx dy Alguns propieddes o teorems de l integrl doble son los siguientes: Teorem: Tod funión ontinu en un retángulo es integrble en diho retángulo.

6 64 CÁLCULO / INGENIEO GEÓLOGO / TEMA 6 Teorem: Se f : un funión otd, definid en un retángulo de 2, y supongmos que el onjunto de puntos en los que f es disontinu está formdo por l unión finit de gráfis de funiones ontinus. Entones f es integrble en. Propieddes: L integrl doble, sí definid, verifi vris propieddes de mner trivil. Si f y g son dos funiones integrbles en el retángulo, tendremos: 1. Linelidd: (f(x, y) + g(x, y)) dx dy = λ λ Monotoní: Si f(x, y) g(x, y), (x, y), entones: f(x, y) dx dy f(x, y) dx dy + g(x, y) dx dy f(x, y) dx dy g(x, y) dx dy Aditividd: Si i, on i = 1,..., p son p retángulos disjuntos, tles que f está otd y es integrble en d uno de ellos, y si Q = 1 2 p es un retángulo, entones f es integrble en Q y se verifi: Q Teorem de Fubini (Primer versión). retngulr = [, b] [, d]. Entones: b ( d p i=1 f(x, y) dx dy Se f un funión ontinu en el dominio ) d ( b ) f(x, y) dy dx = f(x, y) dx dy Ls integrles que preen en l expresión nterior se denominn integrles iterds, de est form el Teorem estblee que si f(x, y) es ontinu en, entones l integrl doble de f(x, y) en es igul ulquier de ls integrles iterds posibles. Demostrión: Empezremos demostrndo que: b d f(x, y) dy dx Se P 2 = { = y 0, y 1,..., y m = d} un prtiión el intervlo [, d] en m prtes de nhur y k. Tendremos entones: d m yk F (x) = f(x, y) dy = f(x, y) dy y k 1 k=1

7 CÁLCULO / INGENIEO GEÓLOGO / TEMA 6 65 Usndo hor el teorem del vlor medio del álulo integrl, pr d x y k fijs existe un vlor Y k (x) tl que: yk Tendremos sí: y k 1 f(x, y)dy = f(x, Y k (x)) y k F (x) = m f(x, Y k (x)) y k Integrmos hor l funión F (x) usndo l definiión de integrl en un vrible: b b d n F (x) dx = f(x, y) dy dx = lim F (p j ) x j k=1 n j=1 donde P 1 = { = x 0, x 1,..., x n = b} es un prtiión de [, b], y p j es un punto ulquier del intervlo j ésimo de dih prtiión. Si llmmos ξ jk = (p j, Y k (p j )), tendremos que: b d n m f(x, y) dy dx = lim f( ξ jk ) y k x j que por definiión es: Q.E.D. n j=1 k=1 f(x, y) dx dy L demostrión de l otr identidd es bsolutmente nálog. Teorem de Fubini. (Segund versión). Se f(x, y) un funión otd en el retángulo = [, b] [, d] y tl que el onjunto de disontinuiddes de f(x, y) en esté formdo por l unión finit de gráfis de funiones ontinus. Si existe l integrl iterd: b ( d entones oinide on l integrl doble y nálogmente pr l otr integrl iterd. ) f(x, y) dy dx f(x, y) dx dy 6.4 Integrl Doble sobre reintos más generles Se f(x, y) un funión ontinu definid sobre un reinto errdo D de 2 tl que su borde D es un urv errd ontinu en 2. Podemos entones definir l integrl doble de l funión f(x, y) sobre el reinto D de l siguiente mner: Consideremos un retángulo = [, b] [, d] en 2 tl que el reinto D esté ompletmente ontenido en, y definmos en un nuev funión f(x, y) de l form: f(x, y) = { f(x, y) (x, y) D 0 (x, y) D

8 66 CÁLCULO / INGENIEO GEÓLOGO / TEMA 6 Definiremos entones l integrl: D f(x, y) dx dy siendo si evidente demostrr que dih definiión no v depender del retángulo onreto elegido. Es importnte puntulizr que l ser f(x, y) ontinu en D, ls posibles disontinuiddes de f estrán únimente en l fronter D, que hemos sumido omo ontinu. De est mner f estrá otd en y sus disontinuiddes son un unión finit de gráfis de funiones ontinus, por tnto está grntizd su integrbilidd en. De r poder lulr de mner efetiv integrles dobles sobre reintos no retngulres, de uerdo on l definiión nterior, en onveniente presentr ontinuión los sos más freuentes que suelen presentrse. Supongmos que el dominio D puede ser definido medinte l desiguldd: x b en l oordend x, y pr d vlor onreto de x [, b], que l vriión de l oordend y pued expresrse omo: ψ 1 (x) y ψ 2 (x), ver figur. y Ψ 2 x Ψ 1 x x b Figur 1: einto en el plno determindo por: x b, ψ 1 (x) y ψ 2 (x). Tendremos entones: = b ψ1 (x) D f(x, y)dydx + b d b ψ2 (x) ψ 1 (x) f(x, y)dy dx = f(x, y)dydx + b d ψ 2 (x) f(x, y)dydx Pero teniendo en uent l definiión de f, dos de ls integrles finles son nuls, y sí: ( b ) ψ2 (x) f(x, y)dy dx D ψ 1 (x) En el so de reintos desritos de l form: y d, φ 1 (y) x φ 2 (y), un rzonmiento ompletmente similr nos llev l siguiente resultdo: ( d ) φ2 (y) f(x, y)dx dy D φ 1 (y)

9 CÁLCULO / INGENIEO GEÓLOGO / TEMA Cmbios de Vribles en Integrles Dobles Antes de plnter el Teorem de Cmbio de Vribles o de Coordends en ls integrles dobles, repsremos brevemente los resultdos onoidos pr integrles de un funión rel de vrible rel. Se f(x) es un funión integrble en el intervlo [, b], y se x = φ(t) un funión diferenible l menos en un bierto que onteng l intervlo [t 1, t 2 ], de tl mner que = φ(t 1 ) y b = φ(t 2 ). Entones es posible demostrr que se verifi: b f(x) dx = t2 t 1 f(φ(t)) φ (t) dt Est fórmul estblee el omportmiento de ls integrles bjo mbios de vrible. L generlizremos ontinuión pr el so de integrles dobles. Se f(x, y) un funión integrble en un reinto D del plno 2. trnsformión de oordends en 2, es deir un funión: Consideremos un T : 2 2, T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)) tl que se biyetiv, y denominemos D l reinto D desrito en ls nuevs oordends (u, v), es deir: T (D ) = D y T 1 (D) = D. Supondremos tmbién que T es de lse C 1 en D. Se llm Jobino de T l determinnte de l mtriz de derivds priles (o mtriz jobin) de T, J( T ), es deir: J( T ) = ( x u y u x v y v ) det(j( T ) = (x, y) (u, v) = Entones se verifi el siguiente resultdo: f(x(u, v), y(u, v)) (x, y) D D (u, v) du dv siendo (x,y) el vlor bsoluto del Jobino de l trnsformión de oordends. (u,v) 6.6 Integrles Triples Un vez explids ls integrles dobles es bstnte fáil generlizr los oneptos introduidos l so de ls integrles triples. Consideremos en primer lugr un pllelepípedo P en 3. Vendrá desrito por el produto rtesino de tres intervlos reles: P = [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] [ 3, b 3 ], o lterntivmente por el onjunto de desigulddes: x u y u x v y v 1 x b 1, 2 y b 2, 3 z b 3

10 68 CÁLCULO / INGENIEO GEÓLOGO / TEMA 6 Un prtiión Q del prlelepípedo P estrá onstituid por sends prtiiones de los intervlos onsiderdos, es deir: Q 1 = {x 0, x 1,..., x n }, Q 2 = {y 0, y 1,..., y m }, Q 3 = {z 0, z 1,..., z p } on: 1 = x 0 < x 1 <... < x n = b 1, 2 = y 0 < y 1 <... < y m = b 2 y 3 = z 0 < z 1 <... < z p = b 3. L prtiión Q divide l prlelepípedo P en nmp sub-prlelepípedos que denotremos V ijk = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] [z k 1, z k ], d uno de ellos on un volumen ddo por: V ijk = (x i x i 1 ) (y j y j 1 ) (z k z k 1 ) En d sub-prlelepípedo V ijk elegimos un punto rbitrrio ξ ijk = (ξ 1 ijk, ξ2 ijk, ξ3 ijk ), y denotmos simplemente por ξ l onjunto de puntos elegidos. Con todos estos dtos, se define l sum de iemnn de un funión f(x, y, z) ( l que en prinipio onsidermos ontinu en P ) orrespondiente l prtiión Q y l eleión de puntos ξ de l form: S(f; Q, ξ) = n m p f( ξ ijk ) δv ijk i=1 j=1 k=1 Si existe (y es finito) el límite de ls sums de iemnn de f(x, y, z) en P undo n, m y p tienden infinito (tendiendo el volumen máximo posible de l prtiión Q ero) independientemente de l eleión rbitrrio ξ onsiderd, se die que f(x, y, z) es integrble en el sentido de iemnn en el prlelepípedo P, y diho límite reibe el nombre de Integrl Triple de f(x, y, z) en P : f(x, y, z) dx dy dz P