Notas de Análisis I. Gabriel Larotonda. Parte 7: Integrales múltiples

Transcripción

1 Nots de Análisis I Gbriel Lrotond 1. Integrles en el plno Prte 7: Integrles múltiples Comenemos por definir integrles pr funiones on dominio en lgún subonjunto 2. Nos vmos enontrr on difiultdes propis de los dominios de este tipo. Pr omenzr es bueno entender el so más simple en el que el dominio es un retángulo etángulos prtiiones El nálogo de un intervlo en el plno es un retángulo, que se puede esribir siempre omo el produto rtesino de dos intervlos: d = [,b] [,d] b En este so = [,b] [,d] que es lo mismo que deir que X = (,) si sólo si [,b] e [,d]. Su medid o áre es el produto de los ldos, que denotremos µ. Es deir, el número positivo. µ() = (b )(d ). El diámetro δ() del retángulo es l mor distni entre dos de los puntos del retángulo, que omo se puede observr, es simplemente el lrgo de l digonl del retángulo: 1

2 d δ() b El heho restr de est definiión es X,Y X Y δ(). Si tenemos un funión f(,) definid en, podemos preguntrnos uál es el sentido de lulr l integrl de f en. L respuest es simple si pensmos en el gráfio de f, que es un subonjunto de 3, por hor, hemos l simplifiión de suponer que f. Entones l integrl de f queremos que represente el volumen de l figur formd por el retángulo on piso el plno z = teho el gráfio de f, omo en l figur de l dereh. Gr( f) z = Observemos lo que ps en un ejemplo senillo: si f(, ) = 1, obtenemos un prlelepípedo (ldrillo) de bse ltur 1, uo volumen es 1(b )(d ). En generl, si f(,) = on, obtenemos que l figur es un ldrillo de bse ltur, por lo que su volumen es (b )( d). Vmos definir ls sums superiores e inferiores de un funión en form nálog omo hiimos en l ret. do un retángulo, podemos subdividirlo siempre en un ntidd finit de retángulos más pequeños, es deir = i donde los i son retángulos (disjuntos slvo los bordes) del plno, omo se ve en l figur: 2

3 i Esto es lo que denominmos un prtiión P de, en generl lo notmos omo P = { i }. Un refinmiento P de P es otr prtiión que desompong d uno de los retángulos i en un unión (disjunt slvo los bordes) de i = j i j de nuevos retángulos, omo indi l figur: i j i = j i j de mner que hor = i, j i j. El diámetro δ(p) de un prtiión (tmbién llmdo norm de l prtiión denotdo P ) es el máimo de los diámetros de todos los retángulos que formn l prtiión. Indi que tn pequeños son los retángulos: menor diámetro, más hios los retángulos de l prtiión. Observemos que dd un prtiión P ulquier del retángulo originl, un número positivo ε, siempre podemos obtener un refinmiento P de P de mner tl que δ(p ) < ε. efiniión 1.1. d un funión positiv f : otd, un prtiión P = i de, 1. L sum superior de f en l prtiión P es S( f,p) = M i µ( i ) i donde M i es el supremo de f en el retángulo i. 2. L sum inferior es donde hor m i indi el ínfimo de f en i. I( f,p) = m i µ( i ) i 3

4 1.2. Integrl de iemnn Clrmente, si M = sup( f) en m = ínf( f) en, entones pr ulquier prtiión P = i de se tiene m m i M i M pr todo i, donde m i,m i indin el supremos e ínfimo de f en i. Entones se tiene I( f,p) S( f,p) pr ulquier prtiión. Como en el so de un vrible, es fáil ver que ls sums superiores dereen medid que l prtiión se refin (pues el supremo en un onjunto más pequeño es menor o igul que en el onjunto más grnde), tmbién es fáil ver que ls sums inferiores reen. Tmbién se dedue entones que ddo un pr rbitrrio P,Q de prtiiones, I( f,p) S( f,q). Se observ que ls sums inferiores están otds superiormente. Luego ests ntiddes tiene un supremo que denotremos I ( f), l integrl inferior de iemnn. Análogmente, l ínfimo de ls sums superiores lo denotremos I ( f), evidentemente I ( f) I ( f). Cundo mbs ntiddes oiniden deimos que f es iemnn integrble en. A est ntidd l denotmos on f, l llmmos integrl doble de f, lo usul es usr l notión f pr lrr que se trt de un funión de dos vribles ominios generles Cundo un funión está definid en un dominio 2 otdo, pero que no es neesrimente un retángulo, se onsider l siguiente funión uilir f. Se tom un retángulo ulquier tl que se define { f(x) si X f(x) = si X 4

5 Se definen ls sums superiores e inferiores de f utilizndo f, deimos que f es integrble en si f es integrble en. Est integrl no depende del retángulo elegido, puesto que si mbimos el retángulo por otro, en l difereni de mbos retángulo l funión f es nul. Se define l integrl de f en omo l integrl de f en, es deir f := f. Un pregunt lve, l que volveremos más delnte, es omo sber si est funión etendid es integrble o no. iho de otr mner, ómo sbemos si dd un funión definid en un dominio que no es un retángulo, si est funión es integrble o no? efiniión 1.2. do un onjunto otdo 2, deimos que es medible si l funión f = 1 es integrble en, en ese so l medid de se lul omo µ() = 1. Este número es el áre del onjunto, omo puede observrse en l figur, pues l ltur es onstntemente uno. z = 1 d ulquier funión otd f definid en un dominio otdo, onsidermos sus prtes positiv negtiv dds por { f(x) si f(x) > f + (X) = si f(x), { f(x) si f(x) < f (X) = si f(x) Ambs son funiones positivs, f es integrble iemnn en si f + f lo son, omo f = f + f, f = f + f Observemos que, omo en el so de un vrible, f = f + + f. El riterio pr ver si un funión integrble es nálogo l de un vrible, on l mism demostrión que por lo tnto omitimos. Teorem 1.3. Se 2 un onjunto otdo. Entones f : es integrble en si sólo si pr todo ε > eiste un prtiión P de un retángulo que onteng tl que S( f,p) I( f,p) < ε. 5

6 e uerdo lo que disutimos, si el dominio no es un retángulo, h que integrr l funión etendid por ero en lgún retángulo que onteng l dominio. Pero surge el problem de si est nuev funión es integrble en el retángulo. Gr( f) Supongmos que tenemos un dominio omo en el dibujo, lo etendemos un retángulo que lo onteng, hiendo que f se ero fuer del dominio, omo disutimos ntes. El problem, es que est funión no es más ontinu en, unque lo se en, pues en el borde de tenemos un slto, ún en el so en el que f se onstnte, omo se observ en l figur. L observión importnte es que llí, en, es en el únio lugr donde no es ontinu, pues fuer es ontinu por ser onstnte. Nos lnzrí on ver que est región, l urv, no port nd l integrl en el retángulo. En el so generl, esto no es neesrimente ierto. Sin embrgo, bjo ierts ondiiones rzonbles, omo por ejemplo si l urv se obtiene omo unión finit de gráfios de funiones ontinus, se puede integrr on trnquilidd. L ide es ubrir el borde on retángulos de mner que l sum de ls áres de estos retángulos se rbitrrimente pequeñ. Vemos que esto es posible. Proposiión 1.4. Se ϕ : [,b] un funión ontinu. Entones ddo ε >, eiste un onjunto finito de retángulos i 2 de mner que Gr(ϕ) ( i ) o demás µ( i ) = ε. emostrión. Pr simplifir ls uents, supongmos que I = [, 1]. Por ser ontinu, ϕ es uniformemente ontinu en I. Entones, ddo ε >, eiste δ > tl que < δ impli ϕ() ϕ( ) < ε/2. Tommos m N tl que 1 m < δ, prtiionmos el intervlo [,1] en m pedzos igules de longitud 1/m. En d intervlo ls imágenes de ϕ están ontenids en un bnd de ltur ε/2, omo indi l figur: 6

7 ε/2 Gr(ϕ) 1 1 m Formmos los retángulos de bse 1/m ltur ε/2, de mner que Gr(ϕ) i. Como h m retángulos, d uno de ellos tiene áre = b.h = 1 ε m 2, se tiene µ( i ) = m 1 ε m 2 = ε/2. L gráfi puede psr por el vértie de dos retángulos ontiguos (izquierd). Al tomr l unión, luego el interior, ese punto qued sin ubrir. Cubrimos esos puntos on retángulos diionles (dereh). e estos puntos onflitivos, h lo sumo m + 1. Cubrimos d uno de ellos on un 1 retángulo de bse (m+1) ltur ε/2. Entones hor se tiene en efeto Gr(ϕ) ( i) o, por otro ldo ls sum de ls áres de los primeros retángulos d ε/2, mientrs que l de los nuevos lo sumo 1 ε (m+1)b.h = (m+1) (m+1) 2 = ε 2. Se tiene en onseueni el siguiente teorem. eordemos que f integrble en un dominio quiere deir que si metemos el dominio dentro de un retángulo, etendemos f omo fuer de, entones f es integrble en el retángulo. Teorem 1.5. Se 2 un ompto, f : un funión ontinu. Si está formdo por un unión finit de gráfis de funiones ontinus, entones f es integrble en. emostrión. Tommos un retángulo ulquier tl que, etendemos f por ero en. Se ε >. Queremos ver que eiste un prtiión P de tl que S( f,p) I( f,p) < ε. 7

8 Se s = má( f) mín( f) en (s > si f en ). Cubrimos primero el borde de on finitos retángulos { i } i A, de mner que µ( i ) = ε 2s. Como ( i ) o es ompto, f es ontinu llí, es uniformemente ontinu (teorem de Heine- Borel). Es deir, ddo ε = ε 2µ() >, eiste δ > tl que X Y δ (X,Y ( i) o ) impli f(x) f(y) ε. Tommos hor un prtiión P = { i } i F de que onteng los retángulos { i } i A que ubren l borde de, omo indi l figur (estmos subdividiendo quellos retángulos que estbn superpuestos pr pensrlos omo retángulos disjuntos): Es deir P = ( i A i ) ( i F A i ). efinndo, podemos suponer que l prtiión tiene diámetro δ(p) < δ. Entones S( f,p) I( f,p) = i F < i A (M i m i )µ( i ) = (M i m i )µ( i )+ (M i m i )µ( i ) i A i F A sµ( i )+ ε µ( i ) i F A s ε 2s + ε µ() = ε Integrles iterds el Teorem de Fubini En generl puede ser mu omplido lulr integrles múltiples usndo l definiión. Sin embrgo, el siguiente teorem nos die que, bjo ierts ondiiones bstnte generles, el álulo se redue l álulo suesivo de integrles en un vrible, donde podemos plir los métodos que onoemos. Ests integrles se onoen omo integrles iterds, un ejemplo elementl es el siguiente: ( 3 ) 2 d d = d = 1 (9 4) 2 d = 5 2 d = =

9 En los próimos párrfos veremos que lo que bmos de lulr puede interpretrse omo l integrl de f(,) = 2 en el retángulo = [,1] [2,3], l ul tmbién puede lulrse integrndo en el otro orden (primero luego ). L ide del siguiente teorem es que, si queremos lulr l integrl de f, pensándol omo el volumen indido en l figur, gr A() A() = te d b d podemos ortr on plnos = te., luego lulr el áre A() de l figur que se obtiene integrndo l funión f () = f(,) respeto de l vrible de l mner usul. Finlmente integrmos ests áres pr moviéndose entre b. Esto se onoe omo prinipio de Cvlieri. Pr [,b], se f : [,d] l funión que se obtiene l fijr [,b], es deir f () = f(,). Entones d A() = f ()d, el prinipio de Cvlieri estblee que bjo ierts ondiiones b vol = A()d. Vmos ver bjo que ondiiones se puede plir este prinipio. remos un versión simplifid del teorem, que será l que usremos en ls pliiones. L versión generl del teorem puede verse en ls nots del finl del pítulo (Not I). Teorem 1.6 (Fubini simplifido). Se = [,b] [,d], un retángulo en 2, f : un funión integrble en. 9

10 1. Si pr todo [,b], f : [,d] es integrble, entones f = b d f(, )dd. 2. Si pr todo [,d], f : [,b] es integrble, entones f = d b f(, )dd. emostrión. Consideremos un prtiión P del retángulo, donde i = [ i, i+1 ] es un prtiión de [,b] j = [ j, j+1 ] es un prtiión de [,d], de mner que los retángulos i j = i j de áre ( i+1 i )( i+1 i ) formn l prtiión P del retángulo originl. Como ntes, busmos un poquito de l notión usmos pr denotr l intervlo su longitud. Entones I( f,p) = i, j donde m i j ( f) indi el ínfimo de f en i j. m i j ( f) i j = i ( j m i j ( f) j ) i, Vmos demostrr sólo 1., l demostrión de 2. es nálog. Supongmos entones que f es integrble pr todo [,b], butizemos I : [,b] l integrl de f respeto de : d d I() = f ()d = f(,)d. Si i j, entones m j ( f ) (el ínfimo de f en j ) es mor o igul que el ínfimo de f en i j, pues m j ( f ) = ínf{ f(,) : fijo, j }, el ínfimo en un subonjunto -en este so {} j - siempre es mor o igul que el ínfimo en el onjunto originl -en este so i j-, omo indi l figur. Se dedue que, ulquier se i, = i j i {} j = te j j d m i j ( f) j m j ( f ) j I ( f ) = f ()d = I(). j Si en el etremo dereho tommos el ínfimo pr i - que notmos m i (I)-, multiplimos por i summos, se dedue que I( f,p) = i ( j m i j ( f) j ) i m i (I) i I (I), i es deir I( f,p) I (I). 1

11 Con un rzonmiento nálogo se dedue que Luego, omo siempre vle I (I) I (I), I (I) S( f,p). I( f,p) I (I) I (I) S( f,p). Como f es integrble, los etremos se pueden her tn próimos omo quermos refinndo l prtiión P, en onseueni debe ser I() integrble, demás b f = I (I) = I (I) = I = b d f(,)d. Corolrio 1.7. Si f : 2 es ontinu, entones f es integrble demás b ( d ) d ( b ) f = f d d = f d d. emostrión. Si f es ontinu en es integrble por el teorem 1.5. Además f, f son ontinus on lo ul son integrbles, sí que se puede usr el teorem de Fubini. Ejemplo 1.8. Se f(,) = e. Se quiere lulr f donde = [,1] [,1]. Como f es ontinu, lulmos un integrl iterd f = = e =1 = e dd = e =1 = d = (e 1)d = (e 1) (1 ) = e 2. Qué ps si integrmos en el otro orden? El teorem nos segur que debe dr lo mismo. Sin embrgo, l uent en el otro orden es más lrg que requiere lulr primero e d, pr lo ul es neesrio reurrir l método de prtes. Un pliión muho más útil l obtenemos ombinndo el Teorem 1.5 on el Teorem de Fubini, observndo ls siguientes figurs en el plno: = ϕ 2 () d = ψ 1 () = ψ 2 () = ϕ 1 () b 11

12 Corolrio Se 2 un ompto que se puede esribir omo {(,) 2 : ϕ 1 () ϕ 2 (), [,b]}. Supongmos que f : es ontinu, ls ϕ i son ontinus. Entones =ϕ b 2 () f = f(,)d d. =ϕ 1 () 2. Se 2 un ompto que se puede esribir omo {(,) 2 : ψ 1 () ψ 2 (), [,d]}. Supongmos que f : es ontinu, ls ψ i son ontinus. Entones =ψ d 2 () f = f(,)d d. =ψ 1 () emostrión. Considermos l funión f etendid omo ero ulquier retángulo = [,b] [,d] que onteng. Por el teorem previo, l funión obtenid es integrble en el retángulo. No es difíil ver que ls f son funiones integrbles pr d [,b] fijo, puesto que f vle ero pr quellos tles que ϕ 1 () o bien ϕ 2 () d, es un funión ontinu pr quellos tles que ϕ 1 () ϕ 2 (). Por el mismo motivo, d f(,)d = =ϕ 2 () =ϕ 1 () f(,)d. Se dedue l onlusión usndo el Teorem de Fubini. Con un rzonmiento nálogo se dedue el item 2. Ejemplo 1.1. Algunos álulos de integrles dobles. 1. Se quiere lulr f, donde f(,) = 2, mientrs que es l región del plno enerrdo entre = 3, = 2, on [,1] según indi l figur. 1 = 2 =

13 Luego f = = 1 2 ( = 2 = 3 2 d ) d = ( 6 4 ) = 1 2 ( ) 1 = 1 2 ( ). 1 = Si es un semiírulo, de rdio unitrio entrdo el origen se quiere lulr Entones f = = 1 1 ( = 1 2 = ) 1 +1 d 1 2 d = ln(+1) d 1 (ln( ) )d = Est integrl d ero pues l funión integrr es impr. 3. Se quiere lulr 1 ln( )d. e2 dd. El problem en este so es que no onoemos un primitiv elementl de e 2. Qué her? Observemos que ls ondiiones de integrión definen un triángulo, pues 1 mientrs que 1: 1 = T 1 Entones, usmos Fubini pr mbir el orden de integrión. Se tiene e 2 dd = e 2 = e 2 dd T 13

14 = e 2 d = e 2 d = 1 2 e2 1 = 1 (e 1) Integrles en 3 n Observemos hor el so de integrles de funiones on dominio en 3. Aquí el nálogo de un intervlo es un ldrillo, que seguiremos llmndo por omodidd, z = [,b] [,d] [e, f] Su medid es el volumen µ() = (b )(d )( f e), su diámetro δ() el lrgo de l digonl mor del ldrillo. Un prtiión P de es un subdivisión de en ldrillos disjuntos P i omo en l figur, un refinmiento P de P un subdivisión de d uno de los ldrillos P i = P i j. El diámetro δ(p) de l prtiión el diámetro del ldrillo más grnde que l onform. Qué querrí deir quí l integrl de un funión? En prinipio, espermos que l integrl de l funión f(,, z) = 1 nos devuelv l medid del ubo volumen = 1(b )(d )( f e), unque no podmos visulizr el gráfio de f. L integrl se define usndo prtiiones de mner nálog l so n = 2, undo eiste l integrl de f se denomin integrl triple, se denot f. En generl, pr ulquier n 1, un retángulo es el produto rtesino de n intervlo = [ 1,b 1 ] [ 2,b 2 ] [ n,b n ], 14

15 su medid es el produto µ() = (b 1 1 )(b 2 2 ) (b n n ), su diámetro δ() el lrgo de l digonl mor, es deir, l mor distni posible entre dos puntos de. L integrl se define de l mner obvi. El siguiente es un orolrio inmedito del Teorem de Fubini: Corolrio 2.1. Si = [ 1,b 1 ] [ 2,b 2 ] [ n,b n ] es un retángulo en n f : es un funión ontinu en, entones f = b1 b2 1 2 bn n f( 1, 2,..., n )d 1 d 2 d n, donde l integrión se puede efetur en ulquier orden. emostrión. H que observr que si f es ontinu, entones es ontinu en d un de sus vribles por seprdo, entones d bi i f( 1, 2,, n )d i eiste es un funión ontinu en [ i,b i ], en prtiulr integrble. Usndo el teorem de Fubini repetids vees se obtiene el orolrio. Lo que es más interesnte es pensr qué ourre undo el dominio no es un retángulo en 3. Con rzonmientos similres los del plno, se puede probr lo siguiente: Teorem 2.2. Se 3 un ompto, f : un funión ontinu. Si está formdo por un unión finit de gráfios de funiones ontinus definids en onjuntos omptos del plno, entones f es integrble en. Aquí ls superfiies reemplzn ls urvs omo borde de l región, l ide entrl es que un superfiie en 3, que es gráfi de un funión ontinu en un ompto, tiene volumen nulo, por lo tnto el borde de l región no influe en l eisteni de l integrl. espeto del álulo, quí h más posibiliddes, simplemente por ser tres ls vribles. Observemos ls siguientes figurs. En el primer so, se trt de de l región enerrd por los gráfios de funiones f i (,), uo dominio omún A se indi omo un sombr en el plno. En los otros sos se tienen ls vrintes obvis. 15

16 z z =g 1 (,z) =g 2 (,z) z z= f 2 (,) A A z= f 1 (,) A =h 1 (,z) =h 2 (,z) H que poder esribir ls superfiies que delimitn el dominio 3 omo gráfios de funiones, on respeto un pr de vribles. L mejor mner de entender ómo funion l teorí es hiendo ejemplos. Ejemplo Queremos lulr el volumen de l siguiente figur, que es l región enerrd por el plno ++z = 1 en el primer otnte: z + = 1 En onseueni, podemos integrr l funión 1 en el volumen determindo por l figur. Ls ondiiones que definen l figur son, en primer lugr z 1. + = 1 Luego h que observr l sombr de l figur en el plno, que es un triángulo, de donde se dedue que 1, que 1. Luego vol() = µ() = = = 1 = (1 )dd = (1 (1 ) 1 2 (1 )2 )d 1 dzdd ( ) 1 d 16

17 = ( (1 )2 )d = (1 )3 1 = (+ 1 6 ) = Ms, volumen densidd. Se quiere lulr l ms del otvo de esfer que se hll en el primer otnte. e uerdo l prinipio físio que estblee que ρ = m/v, l ms se puede lulr omo el produto m = ρv, en el so en que l densidd ρ es onstnte. Se sbe que l densidd está dd por l funión ρ(,,z) = z, es deir, ument medid que sendemos. z Si reordmos que un integrl triple se lul omo límite del volumen de pequeñs jits C i multiplids por l funión ρ(,,z) ρ = lím ρ(,,z)vol(c i ), donde (,,z) es lgún punto en l j C i, entones lo que estmos hiendo l integrr, es sumr ls mss proimds de ls js. Al refinr l prtiión, ls js son más pequeñs pero el vlor ρ(,,z)vol(c i ) es d vez más preido l ms rel de l j C i. Idelmente, si l densidd no vrí brusmente de un punto otro erno, se tiene l fórmul pr l ms totl del objeto dd por el límite m = ρ. En este so se tiene z 1 2 2, mientrs que mirndo l sombr en el piso se observ que 1 2, 1. Entones m() = = 1 2 = 1 2 = z dzdd = ( ( 2 1 ) 3 3 ) 1 2 d 1 2 (1 2 ) 1 3 (1 2 ) 3 2 d (1 2 2 )dd π 2 3 (1 2 ) d = os 3 (u)os(u)du = 1 π 2 os 4 (u)du 3 3 = 1 3 (1 4 os(u)3 sen(u)+ 3 8 os(u)sen(u)+ 3 8 u) π 2 = 1 3 3π 16 = π 16. donde hiimos l sustituión = sen(u), luego integrmos por prtes ( o mejor, usmos un tbl!). 17

18 3. ds dos prtíuls puntules (ideles) de mss m 1 m 2, ubids respetivmente en los puntos V 1 V 2 del espio, se define su entro de ms o brientro omo l ubiión promedid de ls posiiones, teniendo en uent sus respetivs mss. Esto es, si m 1 + m 2 = m T l ms totl, entones el entro de ms CM se define de l siguiente mner: CM = m 1V 1 + m 2 V 2 m 1 + m 2 = m 1V 1 + m 2 V 2 m T. Si ls prtíuls tiene l mism ms, el entro de ms es simplemente el punto medio del segmento que un l posiión de mbs. En el so generl, el entro de ms es lgún punto de este segmento, más erno siempre l prtíul de mor ms: m 1 m 2 CM d un nube de prtíuls m i de posiiones V i 3, se define en form nálog el entro de ms de l nube omo CM = m iv i m i. Es fáil ver que si tods ls prtíuls tienen l mism ms este es el entro geométrio de sus ubiiones. En el so de objetos sólidos 3, de densidd ρ, si pensmos l ms infinitesiml de un j C i omo dd por ρvol(c i ), entones el entro de ms puede pensrse omo l sum CM = ρ(p i)vol(c i )P i ρ(p i )vol(c i ). donde P i = ( i, i,z i ) es un punto genério en l j C i. Es deir, ls oordends del entro de ms se piensn omo (CM) iρ(p i )µ(c i ) ρ(p i )µ(c i ), (CM) iρ(p i )µ(c i ) ρ(p i )µ(c i ), (CM) z z iρ(p i )µ(c i ) ρ(p i )µ(c i ). Ests epresiones, psndo l límite de js d vez más pequeñs nos dn ls epresiones de ls oordends del brientro del sólido : (CM) = ρ(,,z), m() (CM) = 18 ρ(,,z), m()

19 (CM) z = z ρ(,,z), m() donde m() indi l ms totl de omo en el ejemplo nterior. Esto está fundmentdo por el Teorem 3.2 que enunimos demostrmos más bjo, que nos die que pr lulr l integrl de iemnn de un funión integrble, se puede tomr ulquier punto en el retángulo evlur f llí (no es neesrio tomr el ínfimo o el supremo). 3. Propieddes L próim proposiión estblee un serie de propieddes de l integrl, tnto en el plno omo el espio, u demostrión (on l eepión del último ítem que es obvio) es nálog l so n = 1 por tnto es omitid. Proposiión 3.1. Se n un onjunto otdo, sen f,g : funiones integrbles en. Entones 1. Si α, α f es integrble en demás α f = α f. 2. Si ϕ : Im( f) es ontinu, entones ϕ f es integrble en. 3. Ls funiones f, f k = f f f (k N), f + g, f g son integrbles en. Además f f, ( f + g) = f + g. 4. Si n es otro onjunto otdo tl que µ( ) =, entones si f es integrble en, se tiene f = f + f. Por último un propiedd que usremos de quí en delnte: no es neesrio tomr el ínfimo o el supremo de f pr lulr su integrl de iemnn: Teorem 3.2. Si f : n es integrble, entones f se puede lulr omo límite de sums f(p i )µ( i ) donde { i } es un prtiión de P i i, en el sentido que l refinr l prtiión ests sums tienden l integrl de f en. emostrión. Simplemente h que observr que, pr ulquier prtiión P del retángulo, ulquier retángulo i en l prtiión P, ddo un punto P i i se tiene m i f(p i ) M i. 19

20 Entones I( f,p) f(p i )µ( i ) S( f,p), omo ls ntiddes de los etremos tienden l integrl de f en, l ntidd del medio tmbién Medid de un región Teorem del vlor medio eordemos que definimos l medid de un region n omo l integrl (si eiste) de l funión 1. Es deir µ() = 1. Si eiste, en el plno est uent nos devuelve l superfiie de l región, mientrs que en el espio nos devuelve el volumen de l región. Podemos dr ondiiones pr que este número eist? Sí, es senillo prtir de lo heho, pues l funión 1 es ontinu, por lo tnto se tiene el siguiente resultdo: Teorem 3.3. Se n ompto, f : ontinu, supongmos que está formdo por un unión finit de gráfios de funiones ϕ : K i n 1 ontinus, on K i omptos. Entones f es integrble en, demás f se puede lulr on n integrles iterds. En prtiulr es medible µ() = 1 = sup µ( i ) = ínf i j µ( j). emostrión. Lo únio nuevo son ls últims igulddes que dn µ(). Son onseueni del siguiente heho: pr lulr 1 tommos un retángulo que onteng, etendemos l funión omo ero en. Es deir, f = 1 en f = en. Ahor prtiionmos = i. Si i es un retángulo íntegrmente ontenido en (omo el que indimos on 1 en l figur), entones llí l integrl inferior de f vle siempre 1, por lo tnto estos retángulos portn lgo l integrl. Mientrs que si el retángulo to el eterior de (o se no está ontenido en, omo los que señlmos omo 2 3 en l figur), entones llí el ínfimo de f es ero estos no portn nd l integrl inferior. 1 2 En mbio pr l integrl superior portn todos los retánulos que ton pues en ellos el supremo de f es 1. Observión 3.4. El teorem previo generliz un ide que pr intervlos I es muho más senill. Por ejemplo si I = [,1], uno puede obtener l medid del intervlo proimándolo por dentro on intervlos de l pint [ 1 n,1 1 n ]. O bien por fuer on intervlos de l pint [ 1 n,1+ 1 n ]. 3 2

21 Podemos relionr l integrl de ulquier funión ontinu on µ() medinte el siguiente Teorem del Vlor Medio Integrl: Teorem 3.5. Se n ompto, f : ontinu, supongmos que está formdo por un unión finit de gráfios de funiones ϕ : K i n 1 ontinus, on K i omptos. Entones 1. Si M = má( f) en m = mín( f) en, entones mµ() f Mµ(). 2. Si es rooneo entones eiste X tl que f(x )µ() = f. emostrión. 1. Se dedue de l definiión de integrl, pues pr ulquier prtiión P sufiientemente fin, si onsidermos los retángulos que están dentro de se tiene efinndo l prtiión se tiene que m µ( i ) m i ( f)µ( i ) I( f,p) I ( f) = f. i i µ( i ) µ() entones i mµ() f. Con un rgumento similr, pero hor usndo los retángulos dentro de más los que ubren el borde de se tiene Mµ() I ( f) = f. Se dedue lo enunido juntndo ls últims dos desigulddes. 2. Si µ() = no h nd que probr. Si µ(), entones dividiendo l desiguldd del item previo por µ() se dedue que m 1 f M. µ() Como f es ontinu en un rooneo tom todos los vlores intermedios entre m M, en prtiulr eiste X donde f(x ) = 1 f. µ() 21

22 Observión 3.6. Atenión que el último enunido es flso si el dominio no es rooneo. Por ejemplo si es l unión de dos udrdos disjuntos de ldo 1, f vle 1 en uno de ellos 1 en el otro: C C Entones f = f + C f = 1 1+( 1) 1 =, C mientrs que f no se nul en. 4. NOTAS I. El Teorem de Fubini que enunimos es un versión más débil del que sigue en est not. L difereni está en que en relidd, no es neesrio suponer que d f, f es integrble. Si = [,b] [,d] es un retángulo en 2, f : es un funión integrble en, usmos l notión f () = f(,) = f () omo ntes. Tommos I() = I ( f ) = sup{i( f,p) : P prtiión de [,d]}, S() = I ( f ) = ínf{s( f,p) : P prtiión de [,d]}. Entones (sin ningun hipótesis sobre ls f o ls f ), vle que I,S son funiones integrbles en [,b] demás b b f = S()d = I()d. Vle el resultdo nálogo pr f. Pr l demostrión, onsideremos un prtiión P del retángulo, donde i = [ i, i+1 ] es un prtiión de [,b] j = [ j, j+1 ] es un prtiión de [,d], de mner que los retángulos i j = i j de áre ( i+1 i )( i+1 i ) formn l prtiión P del retángulo originl. Como ntes, busmos un poquito de l notión usmos pr denotr l intervlo su longitud. Entones I( f,p) = i, j m i j ( f) i j = i ( j m i j ( f) j ) i, donde m i j ( f) indi el ínfimo de f en i j. Si i j, entones m j ( f ) (el ínfimo de f en j ) es mor o igul que el ínfimo de f en i j, pues m j ( f ) = ínf{ f(,) : fijo, j }, el ínfimo en un subonjunto -en este so {} j- siempre es mor o igul que el ínfimo en el onjunto originl -en este so i j. Se dedue que, ulquier se i, j m i j ( f) j m j ( f ) j I ( f ) = I(). j Si en el etremo dereho tommos el ínfimo pr i - que notmos m i (I)-, multiplimos por i summos, se dedue que I( f,p) = i ( j m i j ( f) j ) i m i (I) i I (I), i 22

23 es deir I( f,p) I (I). Con un rzonmiento nálogo se dedue que I (S) S( f,p). Luego, omo I() S() pr todo [,b], tmbién se tiene l desiguldd I (I) I (S). Juntndo ests desigulddes se obtiene l den I( f,p) I (I) I (I) I (S) S( f,p). Como f es integrble, los etremos se pueden her tn próimos omo quermos refinndo l prtiión P, en onseueni debe ser b f = I (I) = I (I) = I, lo que prueb que I es integrble en [, b], on integrl igul l integrl doble de f. L prueb pr l integrl de S es idénti l omitimos, lo mismo vle pr ls firmiones respeto de f. eferenis [1]. Cournt, F. John, Introduión l álulo el nálisis mtemátio. Vol. 2, Ed. Limus- Wile, Méjio, [2] S. Lng, Introduión l álgebr linel. Ed. Addison-Wesle iberomerin, Argentin, 199. [3] M. Spivk, Cálulo en vrieddes. Ed. everté, Brelon,