Integración de funciones de varias variables Curso 15/16 Grupo A

Transcripción

1 urso 15/16 Grupo Frncisco José Freniche Ibáñez Modificdo el 8 de febrero de 2016 Primer prte 1. Medid de Lebesgue en R n 1.1. Volumen de intervlos Sen = ( 1,..., n ), b = (b 1,..., b n ) R n tles que i b i, i = 1,..., n. El intervlo cerrdo I de extremos y b es el conjunto de x R n tles que i x b i, i = 1,..., n. El intervlo bierto se define con tods ls desigulddes estricts (puede ser vcío). Y un intervlo en R n se define de mner nálog, con desigulddes estricts o no, rbitrrimente. Un intervlo es degenerdo si pr lgún i, i = b i. Un cubo es un intervlo en el que b 1 1 = = b n n. El volumen de un intervlo de extremos y b se define como vol(i) = (b 1 1 )... (b n n ) (no depende de que ls desigulddes sen estricts o no). Un intervlo es degenerdo si y sólo si su volumen es cero. Si I es un intervlo de R n, x R n y λ > 0. El trslddo x + I y el homotético λi son intervlos y vol(x + I) = vol(i) y vol(λi) = λ n vol(i) Un intervlo entero (rcionl) de R n es un intervlo no degenerdo del tipo [ 1, b 1 ) [ n, b n ) con i < b i enteros (rcionles), pr 1 i n. Lem. El volumen de un intervlo entero en el que los extremos tienen coordends enters es igul l número de puntos con coordends enters que hy en I, es decir, vol(i) = #(I Z n ). Si I es intervlo rcionl y q N es múltiplo de los denomindores de ls coordends de los extremos de I, entonces vol(i) = #(qi Z n )/q n. Lem. Si I es un intervlo no degenerdo en R n y ε > 0, existen intervlos rcionles J y K tles que K I int(j) y que vol(j) vol(k) < ε. Teorem. Sen (I k ) y (H i ) fmilis numerbles de intervlos tles que k=1 I k i=1 H i. Si los intervlos I k son dos dos disjuntos, se cumple que k=1 vol(i k) i=1 vol(h i). 1

2 1.2. Medid de biertos Lem. Todo conjunto bierto no vcío es unión numerble de cubos rcionles dos dos disjuntos, con cierre dentro del bierto. Definición. Se G R n bierto. Si (I k ) es un fmili de intervlos dos dos disjuntos tles que G = k=1 I k, se define l medid de G como m(g) = k=1 vol(i k). Propieddes. L función m tiene ls siguientes propieddes: Monotoní: Si G 1 G 2 y mbos son biertos, entonces m(g 1 ) m(g 2 ). Subditividd: si G = k=1 G k donde los G k son biertos, entonces m(g) k=1 m(g k). ditividd: si en el nterior los G k son dos dos disjuntos, entonces m(g) = k=1 m(g k). Si I es un intervlo bierto, m(i) = vol(i) onjuntos medibles y medid de Lebesgue Definición. Ddo un conjunto X, un función µ, definid en el conjunto de tods ls prtes de X y con vlores en [0, + ], es un medid exterior si cumple: µ ( ) = 0. Si B X, entonces µ () µ (B) (monotoní). Si ( k ) es un sucesión de prtes de X, entonces µ ( k=1 k) k=1 µ ( k ) (subditividd). Definición. Si R n, l medid exterior de Lebesgue de se define como m () = ínf {m(g) : G, G es bierto }. Teorem. L función m es un medid exterior en R n que pr los intervlos coincide con el volumen y pr los conjuntos biertos coincide con l medid ntes definid. Definición. Se dice que R n es medible Lebesgue cundo pr todo ε > 0 existen F cerrdo y G bierto tles que F G y m(g \ F ) < ε. Definición. Un σ-álgebr de prtes de un conjunto X es un fmili M de subconjuntos de X tl que:, X pertenecen M. Si M entonces X \ M (cerrd por complementción). Si ( k ) es un sucesión en M entonces k=1 k M (cerrd por uniones numerbles). Teorem. L fmili M formd por todos los subconjuntos de R n que son medibles Lebesgue es un σ-álgebr de prtes de R n que contiene los intervlos y los conjuntos con medid exterior cero. Todo conjunto de Borel de R n es medible Lebesgue. Definición. Un función µ : M [0, + ] es un medid positiv si cumple: µ( ) = 0. 2

3 Si ( k ) en M es de conjuntos dos dos disjuntos, entonces µ( k=1 k) = k=1 µ( k) (ditividd). L tern (X, M, µ) se llm espcio de medid. Teorem. L restricción m de l medid exterior de Lebesgue m l σ-álgebr de los conjuntos medibles Lebesgue es un medid positiv, l medid de Lebesgue o volumen n-dimensionl. Si n = 1 se llm longitud, si n = 2 se llm áre y si n = 3 se llm volumen. Teorem. L medid de Lebesgue es complet, es decir, si m() = 0 y B entonces B es medible Lebesgue y m(b) = 0. Teorem (Teorem de estructur). Se R n. Son equivlentes: es medible Lebesgue. = B \ donde B es G δ y m() = 0. = D E donde D es F σ y m(e) = 0. Teorem (Regulridd). Si R n es medible Lebesgue, m() = sup{m(k) : K, K es compcto} 1.4. Invrinci de l medid de Lebesgue Teorem. L medid de Lebesgue es invrinte por trslciones, es decir, x + es medible y m(x + ) = m() pr todo medible y todo x R n. Pr un homoteci de rzón λ > 0, se cumple que es medible si y sólo si λ lo es y m(λ) = λ n m(). Teorem. Se φ : R n R n un isomorfismo, se I = [0, 1) n el cubo unidd y se c = m(φ(i)), entonces es medible Lebesgue si y sólo si φ() lo es y m(φ()) = c m(). Un movimiento rígido en R n es un función biyectiv φ : R n R n que conserv ls distncis euclídes, es decir, φ(x) φ(y) = x y, pr todos x, y R n. Todo movimiento rígido es l composición de un trslción y de un movimiento rígido que es linel. Los movimientos rígidos lineles son isomorfismos (trnsformciones ortogonles). Teorem. L medid de Lebesgue es invrinte por movimientos rígidos. Es decir: si φ : R n R n es un movimiento rígido, entonces es medible Lebesgue si y sólo si φ() lo es y m(φ()) = m(). Existen conjuntos no medibles Lebesgue. 2. Integrción reiterd 2.1. Principio de vlieri Sen k y n nturles y p = k + n. Ddos y R n y R p = R k R n, l sección y es el conjunto {x R k : (x, y) }. Si d es un nturl, M d será l σ-álgebr de conjuntos medibles Lebesgue en R d. Teorem (Principio de vlieri). Se R p medible Lebesgue. Entonces: Ls secciones y R k son de M k, pr csi todo y R n. 3

4 L función y m k ( y ) es medible no negtiv, y se cumple l iguldd m p () = m k ( y ) dy. R n En prticulr: Si R 2 y x = {y R : (x, y) }, entonces áre() = R long( x) dx. Si R 3 y y = {(x, z) R 2 : (x, y, z) } entonces vol() = R áre( y) dy Teorem de Fubini Teorem (Teorem de Fubini pr funciones medibles no negtivs). Se f : R p = R k R n [0, + ] medible Lebesgue. Entonces: Pr csi todo y R n l función f(, y) es medible no negtiv. L función y R k f(x, y) dx es medible no negtiv, y f(x, y) dxdy = R k R n R n ( ) f(x, y) dx dy. R k Teorem (Teorem de Fubini pr funciones integrbles). Se f : R p = R k R n R integrble Lebesgue. Entonces: Pr csi todo y R n l función f(, y) es integrble. L función y R k f(x, y) dx es integrble, y f(x, y) dxdy = R k R n R n ( ) f(x, y) dx dy. R k Teorem (Teorem de Tonelli). Se f : R k R n R medible. Si R n (R k f(x, y) dx ) dy < + entonces f es integrble en R k R n. Estos teorems son válidos pr funciones f definids en conjuntos B, con M k y B M n. Tmbien vlen cmbindo los ppeles de x, y plicciones Un integrl múltiple R f(x) dx puede clculrse medinte integrción reiterd de funciones de un n vrible: dx 1 dx 2... dx n 1 f(x 1, x 2,..., x n ) dx n R R R tnto si f es no negtiv como si es integrble. El orden elegido no lter el vlor de l integrl. R 4

5 Si R 2 es proyectble sobre el eje de bsciss, es decir, está definido por ls desigulddes < x < b, α(x) < y < β(x) con α y β medibles, entonces es medible Lebesgue y ( b ) β(x) f(x, y) dxdy = f(x, y) dy dx Un resultdo nálogo se d pr integrles triples: ( b ( β(x) ) ) ψ(x,y) f(x, y, z) dxdydz = f(x, y, z) dz dy dx α(x) Interpretción geométric de l integrl: si I R es un intervlo, cotdo o no, y f : I R es medible α(x) ϕ(x,y) no negtiv, el áre de l figur {(x, y) R 2 : x I, 0 y f(x)} es 3. mbios de vribles 3.1. Teorem del cmbio de vribles b f(x) dx. Lem. Se ϕ un homeomorfismo entre los subconjuntos biertos U y V de R n. Si B U, B es de Borel si y sólo si ϕ(b) V es de Borel. Teorem. Se ϕ un isomorfismo de R n en sí mismo. Pr todo R n medible Lebesgue, ϕ() es medible Lebesgue y se cumple que m(ϕ()) = det ϕ m() L norm de ls plicciones lineles se clcul quí de en. Es decir, si u : R n R n es linel, u es l menor M tl que u(x) M x pr todo x R n. Lem. Se ϕ : U R n R n de clse 1. Se J U un cubo tl que dϕ(x) pr todo x J. Se cumple que m n(ϕ(j)) n m n (J). Sen U, V R n biertos y ϕ : U R n. Diremos que ϕ es un difeomorfismo de clse 1 entre U y V si es biyectiv de U en V, y tnto ϕ como ϕ 1 son de clse 1. Lem. Se ϕ : U V un difeomorfismo de clse 1. Se J U un cubo con centro en c. Si dϕ(x) dϕ(c) ε pr todo x J, entonces m(ϕ(j)) (1 + ε dϕ 1 (ϕ(c)) ) n det dϕ(c) vol (J). Lem. Se ϕ un difeomorfismo de clse 1. Si U medible Lebesgue, entonces ϕ() tmbién lo es. demás si c > 0 es tl que det dϕ(x) c pr todo x, entonces m(ϕ()) c m(). Teorem. Se ϕ un difeomorfismo de clse 1. Se U medible Lebesgue. Entonces m(ϕ()) = det dϕ(x) dx Teorem (Teorem del cmbio de vribles). Se ϕ un difeomorfismo de clse 1 entre los biertos U y V de R n. Se f un función medible Lebesgue definid en V, no negtiv o con vlores reles. Entonces f ϕ es medible Lebesgue y f(y) dy = f(ϕ(x)) det dϕ(x) dx si lguno de los dos miembros de l iguldd está bien definido. V U 5

6 3.2. mbios de vribles más corrientes Polres. L función (r, t) (0, + ) (0, 2π) R 2 dd por x = r cos t, y = r sen t se llm cmbio de vribles coordends polres. El jcobino es r. ilíndrics. L función (r, t, z) (0, + ) (0, 2π) R R 3 dd por x = r cos t, y = r sen t, z = z se llm cmbio de vribles coordends cilíndrics. El jcobino es r. Esférics. El cmbio de vribles coordends esférics es l función (ρ, φ, t) (0, + ) ( π/2, π/2) (0, 2π) R 3, dd por x = ρ cos φ cos t, y = ρ cos φ sen t, z = ρ sen φ. El jcobino es r 2 cos φ Ejemplos L integrl de Guss L integrl de Dirichlet π e x2 dx = 2 sen x x dx = π 2 El volumen de l bol euclíde de R n de rdio > 0 es n π n/2 Γ( n 2 + 1). L función Bet: B(p, q) = Se cumplen Segund prte 1 B(p, q) = Γ (p) Γ(q) Γ(p + q) 4. Integrles de líne 4.1. Longitud de rco 0 x p 1 (1 x) q 1 dx (p, q > 0) y B(p, q) = 2 π/2 0 (cos t) 2p 1 (sin t) 2q 1 dt urvs. Un curv en R n es un función continu r : [, b] R R n. Si r(t) = (r 1 (t), r 2 (t),..., r n (t)), se dice que l curv está dd por sus ecuciones prmétrics x 1 = r 1 (t),..., x n = r n (t), t b Tmbién se llm cmino. Por buso de lenguje, se hbl de l curv = r([, b]) que es un subconjunto de R n, pero hy que tener en cuent r, en prticulr el sentido de recorrido. L curv es cerrd cundo r() = r(b) y es simple cundo r es inyectiv l menos en [, b). Un curv simple y cerrd se llm curv de Jordn. Se dice que l curv es regulr si r es de clse 1 en [, b] y el vector tngente r (t) no se nul nunc. Si l curv es cerrd, se exige demás que r () = r (b). Es regulr trozos si [, b] puede dividirse en un número finito de subintervlos en los cules es regulr. Ejemplos: circunferenci y perímetro de rectángulo. 6

7 Longitud. Se r : [, b] R n un curv simple regulr trozos, su imgen. Si P es un prtición de [, b], es decir, P = {t 0, t 1,..., t p } [, b], t 0 = < t 1 < < t p = b, entonces P determin un curv p poligonl inscrit en, e inversmente. L longitud de est poligonl es l(p ) = r(t k ) r(t k 1 ) L longitud de l curv es el supremo de ls longitudes de ls poligonles inscrits: l() = sup{l(p ) : P prtición de [, b]} undo l() es finito, se dice que l curv es rectificble. Teorem. Si es un curv simple regulr trozos, es rectificble y l() = b r (t) dt Se define l medid longitud de rco en un curv simple regulr trozos : B borelino r (t) dt [0, + ) r 1 (B) por lo que si g : R es un función medible Borel no negtiv o integrble respecto de l longitud de rco, b g dl = g(r(t)) r (t) dt minos equivlentes. Se dice que ls curvs r : [, b] R n y q : [c, d] R n son equivlentes con l mism orientción cundo existe ψ : [, b] [c, d] biyectiv, con derivd estrictmente positiv, tl que r(t) = q(ψ(t)) pr todo t [, b] (l curv se recorre en el mismo sentido). Si en cmbio ψ tiene derivd estrictmente negtiv, se dirá que son curvs equivlentes con orientciones opuests (l curv se recorre en sentido opuesto). Teorem. L medid longitud de rco es independiente de l prmetrizción elegid (unque se cmbie l orientción) Integrles curvilínes de cmpos esclres y vectoriles Se R n. Un cmpo esclr en es un función g : R y un cmpo vectoril en es un función f : R n. Se r : [, b] R n un curv regulr trozos, su imgen y se g : R un cmpo esclr. L integrl de líne o integrl curvilíne de g lo lrgo de se define como b g ds = g(r(t)) r (t) dt cundo est integrl existe. En el cso de un curv simple, coincide con l integrl de g respecto de l medid longitud de rco. Se r : [, b] R n un curv regulr trozos, su imgen y se f : R n un cmpo vectoril. L integrl de líne o integrl curvilíne de f lo lrgo de se define como b f t ds = f(r(t)) r (t) dt 7 k=1

8 cundo est integrl existe. Es por tnto l integrl del cmpo esclr f t componente tngencil (t es el vector tngente unitrio). Tmbién se escribe f dr. Si es un curv cerrd, ls integrles curvilínes se escriben g ds f t ds f dr Si f = (f 1,..., f n ), l integrl curvilíne se suele escribir como f 1 dx f n dx n Decimos que f 1 dx f n dx n es l 1-form diferencil socid l cmpo f. En dos dimensiones, si f = (P, Q) se utiliz l notción P (x, y) dx + Q(x, y) dy y en tres, si f = (P, Q, R) se us P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz Propieddes. L integrl curvilíne es linel respecto l integrndo y ditiv respecto l cmino de integrción (l unión de dos curvs se define de mner nturl). L integrl de líne de un cmpo esclr depende únicmente de l clse de equivlenci de l curv, no de su orientción. L integrl de líne de un cmpo vectoril no vrí si se utiliz un prmetrizción equivlente que conserv l orientción, pero cmbi de signo con un prmetrizción equivlente que sí l cmbie. plicción. Se r : [, b] un cmino regulr trozos en R 3 y se f un cmpo de fuerzs en l imgen. El trbjo relizdo por un prtícul que se desplz desde r() hst r(b) siguiendo l curv, se define como l integrl de líne f dr. El principio del trbjo y l energí firm que si un prtícul se mueve lo lrgo de un curv sometid l cción de un cmpo de fuerzs, l vrición de l energí cinétic es igul l trbjo relizdo Independenci del cmino Se R n bierto. Se dirá que el cmpo vectoril f : R n es conservtivo si es el grdiente de lgún cmpo esclr g : R diferencible en. Éste se llm función potencil de f. En ese cso, f t ds = g(r(b)) g(r()) Si es conexo l función potencil (si existe) es únic slvo constntes ditivs. Teorem. Se R n bierto conexo y se f : R n cmpo vectoril continuo. Ls siguientes condiciones son equivlentes: El cmpo f es conservtivo en. 8

9 L integrl de líne de f es independiente del cmino, es decir: l integrl de f lo lrgo de culquier cmino regulr trozos contenido en, sólo depende del punto origen y del punto finl de. L integrl de líne de f es nul, lo lrgo de culquier cmino cerrdo regulr trozos dentro de. álculo de l función potencil. on ls hipótesis del teorem nterior, ddo z, l función g : R, definido por g(x) = f dr donde es un cmino regulr trozos que v de z x dentro de, es un función potencil de f. Tmbién puede obtenerse directmente, resolviendo l ecución diferencil que define l función potencil. plicción. El principio de conservción de l energí estblece que pr un prtícul que se mueve bjo l cción de un cmpo de fuerzs conservtivo, l sum de ls energís potencil y cinétic es constnte. Se R n bierto y se f : R n de clse 1 en. Se dice que l 1-form diferencil socid f, f 1 dx f n dx n, es cerrd cundo f k x j = f j x k en pr todos j, k = 1,..., n Se dice que f 1 dx f n dx n es exct cundo f es conservtivo. Teorem (Lem de Poincré). Un condición necesri pr que f se conservtivo es que su 1-form socid f 1 dx 1 + +f n dx n se cerrd. En los biertos convexos de R n, l condición tmbién es suficiente. ( ) y Ejemplo: el cmpo x 2 + y 2, x x 2 + y 2 no es conservtivo en R 2 pero su 1-form diferencil es cerrd Teorem de Green Lem. Sen ϕ y ψ funciones de clse 1 en [, b],, b R y se f un función de clse 1 en un bierto que contiene l conjunto plno definido por ls desigulddes x b, ϕ(x) y ψ(x). L función h(x) = ψ(x) ϕ(x) f(x, y) dy es derivble en [, b] y su derivd es ψ(x) h (x) = f(x, ψ(x))ψ (x) f(x, ϕ(x))ϕ f (x) + (x, y) dy ϕ(x) x Teorem (Teorem de Green). Se = {(x, y) R 2 : < x < b, ϕ(x) < y < ψ(x)} donde ϕ y ψ son de clse 1 trozos en [, b],, b R (proyectble sobre el eje de bsciss). Se l curv que d l fronter de, orientd positivmente, que por definición es l curv unión de ls siguiente cutro curvs: r(x) = (x, ϕ(x)), x [, b]. r(y) = (b, y), y [ϕ(b), ψ(b)]. r(x) = (x, ψ(x)), x [, b] (orientción cmbid). r(y) = (, y), y [ϕ(), ψ()] (orientción cmbid). Si P y Q son funciones reles de clse 1 en un bierto que contiene, entonces ( ) Q P (x, y) (x, y) dxdy = P (x, y) dx + Q(x, y) dy. x y 9

10 Extensión recintos más generles. El teorem de Green se extiende regiones que son unión finit de recintos proyectbles sobre lgún eje. Incluso regiones limitds por curvs de Jordn rectificbles. Tmbién se extiende regiones que tienen gujeros siempre que l curv fronter se prmetrice en sentido positivo respecto l región. Se R 2 bierto. Se dice que no tiene gujeros o que es simplemente conexo, si todo rectángulo cuyo perímetro está en, tiene su interior tmbién dentro de. Los conjuntos convexos no tienen gujeros. Teorem. Se bierto conexo del plno, sin gujeros. Si f es un cmpo vectoril de clse 1 en cuy 1-form diferencil socid es cerrd, entonces f es conservtivo. Teorem (El áre como integrl de líne). Si es un curv pln y es l región que cot, pr ls que es válido el teorem de Green, entonces el áre de puede clculrse por un culquier de ests integrles 1 y dx x dy y dx + x dy 2 donde se prmetriz en sentido positivo. 5. Integrles de superficie 5.1. Áre de un superficie Superficies. Un superficie regulr simple sin borde es un subconjunto S R 3 tl que existe F : R 2 R 3 de clse 1 en el bierto no vcío, inyectiv y tl que su mtriz jcobin es de rngo máximo igul dos en todo, cumpliendo S = F (). Se hblrá de l superficie S definid o prmetrizd por F. L superficie S determin F slvo composición por un difeomorfismo de clse 1. Vector norml. Se S l superficie definid por F : R 3, y se (, b). El vector norml S en F(, b) es el vector N(, b) producto vectoril de los vectores tngentes D 1 F(, b) y D 2 F(, b), en ese orden. Se cumple que el vector N(, b) es perpendiculr l vector tngente de culquier curv regulr contenid en S. El vector norml unitrio se representrá n(, b). Si F(s, t) = (x(s, t), y(s, t), z(s, t)) entonces N(, b) tiene por componentes los menores de orden dos de l mtriz jcobin de F en (, b): N(, b) = det i j k x s x t y s y t z s z t = ( (y, z) (s, t) ) (z, x) (x, y),, (s, t) (s, t) Prmetrizciones equivlentes. Se dice que ls prmetrizciones F : R 3 y G : B R 3 de l mism superficie regulr simple sin borde son equivlentes con igul orientción (con orientciones contrris) cundo existe h : B difeomorfismo de clse 1 tl que G h = F con jcobino estrictmente positivo (estrictmente negtivo). omo N F = det dh N G en cso de igul orientción, los vectores normles tienen el mismo sentido, mientrs que tienen sentido opuesto en cso de orientciones contrris. 10

11 Áre. L medid elemento de áre de l superficie S dd por F : R 3 es l medid positiv σ definid por B S borelino σ(b) = N(s, t) dsdt [0, + ] F 1 (B) El elemento de áre es independiente de l prmetrizción, incluso l cmbir l orientción. Ejemplo. El áre de l superficie de revolución F(s, t) = (h(s) cos t, s, h(s) sen t), s (, b), t (0, 2π), es 2π b h(s) 1 + h (s) 2 ds. so explícito. Si S está dd explícitmente por f : R 3, es decir, F(x, y) = (x, y, f(x, y)), entonces ( N = f ) ( ) f 2 ( ) f 2 x, f y, 1 y σ(s) = dxdy x y Si γ = γ(x, y) es el ángulo que form N(x, y) con el eje de ls z, el áre vle 5.2. Integrles de superficie de cmpos esclres y vectoriles B 1 cos γ dxdy. Se S superficie regulr simple sin borde dd por F : R 3. Se g : S R cmpo esclr. L integrl de superficie de g en S con respecto l elemento de áre es l integrl g(f(s, t)) N(s, t) dsdt cundo existe. Se representrá S g dσ, y no es más que l integrl de g respecto de l medid σ. Se f : S R 3 un cmpo vectoril. L integrl de superficie de f en S es l integrl de superficie del cmpo esclr componente norml de f f n dσ = f(f(s, t)) N(s, t) dsdt S L integrl de superficie de un cmpo esclr no depende de l orientción, mientrs que l de un cmpo vectoril cmbi de signo l cmbir l orientción. Si f = (P, Q, R) l integrl de superficie es ( (y, z) (z, x) P F + Q F (s, t) (s, t) por lo que se represent tmbién como diferencil. S ) (x, y) + R F dsdt (s, t) P dy dz + Q dz dx + R dx dy, integrl de un 2-form plicciones. (1) Se S un superficie cuy densidd en cd punto está dd por l función g(x, y, z). L ms de S es S g dσ. (2) Se f el vector que d l velocidd de un corriente estcionri de gu. El flujo o cntidd de gu que trvies l superficie S, por unidd de tiempo y en l dirección del vector norml, es S f n dσ. 11

12 5.3. Teorem de Stokes y teorem de l divergenci de Guss Rotcionl y divergenci. Ddo f = (P, Q, R) : R 3 R 3 diferencible, se define el cmpo vectoril rotcionl de f medinte ( R rot f = y Q z, P z R x, Q x P ). y Tmbién se escribe f pr recordr el resultdo. En los biertos convexos de R 3, un cmpo es conservtivo si y sólo si su rotcionl es nulo. Ddo un cmpo vectoril diferencible f = (P, Q, R), definido en el bierto R n, se define el cmpo esclr divergenci de f, medinte div f = P x + Q y + R z. Tmbién se escribe f. L divergenci de un rotcionl es nul. El recíproco es cierto en intervlos biertos de R 3, y se puede conseguir que el cmpo cuyo rotcionl está ddo teng nul un de ls tres componentes (l que se desee). Se S 1 superficie simple regulr sin borde dd por F : 1 R 3, se 1 región de Jordn cotd por l curv pln 1. El conjunto S = F( ) se llm superficie regulr simple con borde S. Teorem (Teorem de Stokes). Se S un superficie regulr simple con borde. Se f un cmpo vectoril de clse 1 en un bierto que contiene S. Entonces rot f n dσ = f t ds S donde S es l curv borde de S dd por F r, si está dd en sentido positivo por r. L integrl curvilíne de l derech se llm circulción de f. Notción. Si f = (P, Q, R), l iguldd del teorem de Stokes puede escribirse ( R y Q ) ( P dy dz + z z R ) ( Q dz dx + x x P ) dx dy = y S S S P dx + Q dy + R dz Extensión superficies más generles. El teorem de Stokes se extiende superficies con gujeros, utilizndo l extensión del teorem de Green recintos más generles. Tmbién ls superficies orientbles. Teorem (Teorem de l divergenci de Guss). Si M R 3 es un recinto proyectble sobre el plno horizontl y su proyección es su vez proyectble sobre el eje de bsciss, limitdo por l superficie M y f : M R 3 es un cmpo vectoril de clse 1, entonces div f dxdydz = f n dσ M donde ls prmetrizciones de M se escogen de modo que n punte hci el exterior de M. El teorem de Guss se plic regiones más generles, por ejemplo quélls que son unión de vris en ls que es válido el teorem y en ls que l prte común cd dos de ells se un superficie. M 12