Introducción a Logaritmos y Exponenciales

Transcripción

1 Alinz pr el Aprendizje de ls Ciencis ls Mtemátics (AlACiM) Introducción Logritmos Eponenciles Guí del Mestro Nivel Actividd de Mtemátics Propósito: Se esper que el estudinte se fmilirice con el concepto de los ritmos pued utilizr sus propieddes sus distints representciones, entre ells l representción eponencil. El propósito principl de est ctividd es que el estudinte comprend l importnci de ls funciones rítmics cómo ésts pueden udr simplificr el nálisis en lgunos csos. Estándres: Mnipulción con Logritmos. Gráfics de funciones eponenciles, rítmics gráfics semirítmics. Tiempo: Entre dos tres periodos de clse. Mteriles: Ppel, lápiz, ppel cudriculdo (de 1 cm 2 ), Clculdor gráfic (opcionl). Preprción: No se requiere de ningun preprción previ. Tod l informción form prte de l discusión de l ctividd.

2 Trsfondo: Se esper que el estudinte h sido epuesto l concepto de ritmos eponenciles. Inicio (Instrucciones Preliminres): En álger, eponentes enteros eponentes rcionles se definen por 1. n L ( n veces) 2. n 1 n ( 0) p / q p / q q p 1 p / q q ( ) p Un de ls coss que queremos hcer es definir eponentes irrcionles, 3 π dándole significdo epresiones como 2 ó 5. Se un constnte positiv considere l gráfic de l función f ( ), que hst el momento solo h sido definid pr vlores rcionles de. INSERTAR GRÁFICAS PARA 1, mor que 1 menor que 1 Como f solo está definid pr vlores rcionles tenemos espcios vcíos. Nuestro deseo es rellenr estos espcios. Por qué crees que ls gráfics son sí? Puedes eplicrlo en plrs? Recuerde de álger que un ritmo es un eponente. Si es un número positivo distinto de 1, entonces (el ritmo con se de ) represent l potenci l que h que elevr pr otener. Ejemplo pues

3 En generl,. Este es el diccionrio pr ir de l representción rítmic l representción eponencil, vicevers, de un número rel. De ests representciones, se puede ver que f ( ) g ( ) son funciones inverss l un de l otr. Si hcemos l composición de ls funciones otenemos ( ). Siendo que ls funciones eponenciles ls rítmics son inverss ls uns de ls otrs hiendo visto ls gráfics de ls funciones eponenciles, puedes hcer ls gráfics de ls funciones rítmics? Qué hrí que hcer? (Ls gráfics son simétrics con respecto l rect.) IMPORTANTE: Pr cd se Ses por qué?, solo está definido pr > 0. (Esto es que es equivlente > 0 pr todo vlor rel de, que es positivo.) Oserve que como 0 1, entonces tenemos que 1 0. Tmién, si suponemos que c, entonces c. + Así ls coss c. Por lo tnto, c + + c. Es decir, c + c De mner similr podemos ver l vlidez de ls siguientes propieddes 1 c r ( ) r 1 c c c Puedes hcerlo? Trt de imitr ls demostrciones de rri.

4 Los ritmos están definidos pr culquier se positiv distint de 1, pero los más utilizdos son con se 10, llmdo ritmo común con se e K, llmdo ritmo nturl. El ritmo nturl se denot ln (leído ele-ene ), ln denotn el ritmo nturl de. e L se e es un número irrcionl, descuierto por el mtemático suizo Leonhrd Euler quien sugirió su uso como se pr ritmo en uno de sus rtículos pulicdos en El número e puede ser proimdo utilizndo vlores grndes pr en l 1 epresión 1 +. Trte lgunos ver qué proimción otienen. El concepto de ritmo fue descuierto lrededor del 1590 independientemente por John Npier ( ) Jost Bürgi ( ). Npier, quien er un lord escocés, tuvo l mor influenci en el desrrollo del concepto de los ritmos. Su cercmiento éstos fue por medio de l relción eistente entre sucesiones ritmétics geométrics no considerándolos como ls funciones inverss de ls funciones eponenciles. Frecuentemente los científicos en los tiempos de Npier necesitn multiplicr o dividir números grndes. Ovimente, pr estos tiempos no hí ni clculdors ni slide rules, hí que hcer los cómputos mno. Este trjo er tedioso ddo cometer errores. Npier descurió un mecnismo que permití clculr productos, cocientes, ríces potencis con reltiv fcilidd. Npier pulicó sus tls de ritmos en el 1614, luego de 20 ños de trjo. Su importnci pr hcer cálculos fue reconocid de inmedito pr el 1650 estn en imprent hst en l Chin. Con este nuevo sistem, el producto de dos números se podí clculr hllndo el ritmo de cd uno de los números en l tl sumndo los resultdos, i.e. A + B (AB). De est mner est reemplzndo el tomr un producto con un sum, un cálculo mucho más sencillo cundo se hce mno. Npier no utiliz ningun notción prticulr, escrií todo verlmente. L notción que usmos ho dí se dee Leonhrd Euler. Algo que podemos decir es que dd l populridd de ls tls de ritmos de Npier, él prolemente es el principl responsle del punto deciml que usmos ho

5 dí. Decimos esto puesto que los ritmos en sus tls ern números decimles escritos con un punto deciml. Luego de l invención de l clculdor l importnci de los ritmos como un herrmient pr clculr h disminuido pero su importnci teóric sigue siendo vigente e importnte. Hst hor solo hn trjdo con polinomios. En específico hemos tenido l eperienci de trjr con funciones lineles sus gráfics. Por supuesto, no tods ls situciones pueden ser estudids con modelos lineles, pero h ocsiones en que queremos se puede trnsformr l vrile independiente o l vrile dependiente pr simplificr el modelo que tenemos jo considerción o estmos estudindo. Por ejemplo, si un cntidd crece rzón r por unidd de tiempo, rt entonces su vlor tiempo t es ( t) e, un modelo que no es linel, donde 0 0 es l cntidd inicil. Un mner de trjr con este modelo es tomndo el ritmo nturl mos ldos pr otener ln ( t) ln 0 + rt. Este es un modelo linel. H muchs otrs ocsiones donde podemos trnsformr l vrile dependiente, l vrile independiente o ms pr eliminr l curvtur de l gráfic otener un gráfic linel. Considere por ejemplo l siguiente tl Si grficmos vs. INSERTAR GRÁFICA vemos simple vist que no es linel l relción entre ells. Ahor, si ln vs. grficmos ( ) INSERTAR GRÁFICA

6 podemos ver que hor l relción prece ser linel. Al nlizr, modelr trtr de resolver muchs situciones de l vid diri nos encontrmos, de form nturl, con el concepto de funciones rítmics eponenciles. Ests situciones muchs veces envuelven se entrelzn con otrs disciplins, dejndo ver l importnci que tienen ls mtemátics, no solo por pr ls mtemátics sino pr otrs disciplins rms dentro de ls ciencis l ingenierí. En un ctividd veremos como podemos utilizr los ritmos pr otener informción poder entender, por medio del modelje, diferentes situciones como l intensidd de un terremoto o l intensidd de un sonido. Es importnte mencionr que cundo se trt con ecuciones que envuelven ritmos usulmente se necesit utilizr ls funciones eponenciles pr hllr un solución. Qué motivó l invención de los ritmos? Dds tus eperiencis hst el momento, cómo comprrís un función rítmic con un polinomil?