Resumen de Álgebra. Matemáticas II. ÁLGEBRA

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Emilia San Martín Vera
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1 Resumen de Álgebr. Mtemátics II. ÁLGEBR 1.- RESOLUCIÓN DE SISTEMS. MÉTODO DE GUSS El métd Guss cnsiste en cnvertir l mtriz scid un sistem de ecucines en tr mtriz equivlente tringulr superir, hciend cers debj de l dignl principl. b b c g b b α F i ±β F j Pr ell se utilizn tres tips de trnsfrmcines elementles: Intercmbir fils. Sumr y/ restr fils. Multiplicr fils pr un númer pr lueg sumrls restrls. Es imprtnte seguir un rden pr n estrper ls cers y cnseguids. Pr ejempl, en un primer ps se puede hcer cers ls términs 21 y 31, y en el siguiente, el términ 32. Un vez cnseguid l mtriz tringulr superir, se trnsfrm en ecución l tercer fil pr clculr z; después se sustituye este vlr en l ecución crrespndiente l segund fil verigund el vlr de y; y finlmente, se sustituyen mbs vlres en l ecución scid l primer fil pr btener x. Cn el métd de Guss tmbién se pueden discutir (clsificr) sistems de ecucines, estudir el rng de un mtriz clculr su invers (métd de Guss-Jrdn); per, en generl, result más cómd utilizr determinntes. Métd de Guss-Jrdn.- Cnsiste en cnsiderr l mtriz identidd, I, dsd l derech de l mtriz y, medinte trnsfrmcines elementles, cnseguir que l mtriz identidd quede situd l izquierd, bteniend sí l mtriz invers dsd su derech:... d e f h i ( I ) Trnsfrmcines elementles ( I 1 ) 2.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMS Nrmlmente se trt de reslver un prblem de enuncid cn tres incógnits. Debems definirls crrectmente, plnter un sistem de tres ecucines y reslverl pr el métd de Guss plicnd l regl de Crmer. Finlmente se interpret l slución btenid. En principi n prcede plicr el T m de Ruché- Fröbenius prque se supne que l slución es únic (cmptible determind). Otrs veces debems plnter ecucines que dependen de lgún prámetr; en ests css sí es precis estudir cuánd tienen slución. Deprtment de Mtemátics. IES tene. Sn Sebstián de ls Reyes.

2 Resumen de Álgebr. Mtemátics II. 3.- MTRICES QUE CONMUTN El ejercici suele cnsistir en clculr un más prámetrs pr que el prduct de ds mtrices y B se cnmuttiv. Pr reslverl, clculms ls mtrices B y B, e impnems cm cndición que mbs sen igules: B = B. Igulnd términ términ, nrmlmente generrems un sistem de ecucines, y reslviéndl, cnseguirems l slución. 4.- GRNDES POTENCIS DE UN MTRIZ Dd un mtriz culquier,, ns pueden pedir clculr: Un grn ptenci de es mtriz, pr ejempl, 124. Su n-ésim ptenci, es decir, n. En mbs situcines debems ir clculnd ls sucesivs ptencis de : 2, 3,... En el primer cs llegrá un mment en que vlvms btener l mtriz identidd, I, cn l que, plicnd l regl de l división y ls prpieddes de ls ptencis, result sencill decidir cuál es l mtriz 124. En el segund cs debems nlizr cm vn evlucinnd ls términs de ls sucesivs mtrices pr dejrls en función de n, cm términ generl de un sucesión. 5.- USO DE MTRICES PR PROBLEMS DE ENUNCIDO Se trt de utilizr mtrices cm frm de representción de situcines de cntext rel, y hcer ls percines decuds entre ells (sum, trnspsición, prduct,...). Pr hcer ests percines es imprescindible tener en cuent ls dimensines de cd mtriz y ls cncepts que representn cd un de ess dimensines. 6.- CÁLCULO DE DETERMINNTES Determinntes de rden tres (regl de Srrus): = Determinntes de rden superir tres. Cnviene hcer cers previmente, plicnd l siguiente prpiedd de ls determinntes: Si un fil ( clumn) le summs el prduct de un prlel pr un númer, el determinnte n vrí. Después se desrrll pr un fil clumn. Pr ejempl: 11 1n n1 nn = n 1n Deprtment de Mtemátics. IES tene. Sn Sebstián de ls Reyes.

3 Resumen de Álgebr. Mtemátics II. 7.- RNGO DE UN MTRIZ El rng de un mtriz es el númer de fils ( clumns) linelmente independientes. Cincide cn el máxim rden de sus menres n nuls. Pr clculrl se puede cmenzr detectnd un menr de rden ds n nul e ir mpliándl órdenes myres hst decidir el rng. Tmbién cincide cn el númer de fils ( clumns) distints de cer trs plicr el métd de Guss. Es un ejercici típic estudir el rng de un mtriz dependiend de ls diferentes vlres que tme un prámetr. 8.- DISCUSIÓN DE SISTEMS Se trt de discutir (clsificr) y/ reslver un sistem de ecucines lineles dependiend de ls vlres que tme un prámetr. Se prcede de l siguiente frm: 1.- Se tm l mtriz ( B) frmd pr l mtriz de ceficientes y l mtriz de términs independientes B. Se estudi el rng de l mtriz en ls diferentes css y se cmpr cn el rng de l mtriz B. 2.- Se plic el T m de Ruché-Fröbenius (cmprción de rngs): Si rng () = rng (B) = nº de incógnits SISTEM COMPTIBLE DETERMINDO. (Slución únic: ls plns se crtn en un punt). Si rng () = rng (B) < nº de incógnits SISTEM COMPTIBLE INDETERMINDO. (Infinits slucines: ls plns crtn en un rect cinciden). Si rng () rng (B) SISTEM INCOMPTIBLE. (N tiene slución, ls plns n tienen ningún punt en cmún). Si el sistem es hmgéne (tds ls ecucines están igulds cer), n se utiliz l clumn B, y se plic: Si rng () = nº de incógnits SISTEM COMPTIBLE DETERMINDO (Slución trivil: x = y = z = ). Si rng () < nº de incógnits SISTEM COMPTIBLE INDETERMINDO (Infinits slucines). 9.- REGL DE CRMER L slución de un sistem de ecucines cmptible y determind es: x x = ; y y = ; z z = ; dnde x es l mtriz que result de sustituir en l clumn de ceficientes de x pr l de términs independientes. Y, nálgmente, y y z se btienen sustituyend en l clumn de ls ceficientes de l incógnit crrespndiente pr l clumn de términs independientes. Deprtment de Mtemátics. IES tene. Sn Sebstián de ls Reyes.

4 Resumen de Álgebr. Mtemátics II. Tmbién se puede utilizr l regl de Crmer pr reslver sistems cmptibles indeterminds de l siguiente frm: Se B, l mtriz scid l sistem de ecucines b = B b b En este cs rn () = rn (B) = 2 < nº de incógnits = 3. Utilizms un menr de rden ds distint de cer, pr ejempl, ; entnces desprecims l tercer fil (ecución) pues n frm prte del menr; llmms z = λ, y frmms l mtriz scid un nuev sistem de ds ecucines cn ds incógnits: b λ b λ que pdrems reslver plicnd l regl de Crmer. 1.- CÁLCULO DE L MTRIZ INVERS POR DETERMINNTES Pr que un mtriz cudrd,, teng invers, -1, es necesri que su determinnte se distint de cer; en este cs se dice que es regulr y: = Trspuest de l mtriz de djunts cn i+ j = ( 1) α ij ij 11.- ECUCIONES MTRICILES Cnsiste en reslver ecucines cuy incógnit es un mtriz X. Pr cnseguirl utilizms l mtriz invers y tenems en cuent que el prduct de mtrices n es cnmuttiv (se multiplicn mbs miembrs pr l derech mbs miembrs pr l izquierd, según interese): 1. X = B -1 X = -1 B I d X = -1 B X = -1 B 2. X = B X -1 = B -1 X I d = B -1 X = B FORM MTRICIL DE UN SISTEM DE ECUCIONES Culquier sistem de ecucines lineles se puede expresr cm ecución mtricil: x + y + z = b x b x + y + z = b y b = x y z b z b + + = y reslverse cm tl, emplend l mtriz invers de. " " " X B Deprtment de Mtemátics. IES tene. Sn Sebstián de ls Reyes.

5 Resumen de Álgebr. Mtemátics II. INFORMCIÓN DE L UNIVERSIDD: Principles cntenids que se tendrán en cuent en l elbrción de ls Pruebs de cces l Universidd pr ls estudintes prvenientes del Bchillert LOE. Mtemátics II. Curs De cuerd cn el Decret 67/28, de 19 de juni, pr el que se estblece el currícul del Bchillert pr l Cmunidd de Mdrid, publicd en el B.O.C.M. cn fech 27 de juni de 28, pr elbrr ls Pruebs de cces l Universidd se tendrán en cuent ls siguientes cntenids: ÁLGEBR 1. Ls mtrices cm herrmients pr representr dts estructurds en tbls y grfs. Trspuest de un mtriz. Sim de mtrices. Prduct de un númer rel pr un mtriz. Prduct de mtrices. Ptencis de un mtriz cudrd. Prpieddes de ls percines cn mtrices. (Se pretende que el estudinte se cpz de relizr cn crrección mnipulcines lgebrics cn mtrices, unque n se exigirá l demstrción de ls prpieddes). 2. Determinntes. Definición y prpieddes. Cálcul de determinntes de rden ds y tres, utiliznd l regl de Srrus. Prpieddes elementles de ls determinntes. plicción l desrrll de determinntes de rden superir. (N se exigirá l demstrción de ls prpieddes). 3. Mtrices inverss. Cálcul de l invers de un mtriz cudrd de rden n superir tres. Estudi de l invers de un mtriz dependiente de un prámetr. Ecucines mtriciles. 4. Rng de un mtriz. Estudi del rng de un mtriz que depende cm máxim de un prámetr. 5. Sistems de ecucines lineles. Representción en frm mtricil. Reslución de sistems cmptibles. Discusión de ls slucines de sistems lineles dependientes de prámetrs. Sistems hmgénes. (Ls sistems lineles tendrán cm máxim cutr ecucines y cutr incógnits y dependerán l sum de un prámetr). 6. Plntemient y reslución de prblems cuy slución puede btenerse prtir de un sistem linel de, cm máxim, tres ecucines cn tres incógnits. Deprtment de Mtemátics. IES tene. Sn Sebstián de ls Reyes.

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