Resumen de Análisis. Matemáticas II ANÁLISIS

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1 ANÁLISIS.- SOBRE LÍMITES DE UNA FUNCIÓN Cmprción de límites infinits. Si lím = ± y lím = ±, se dice que es un infinit de rden superir si se cumple que: lím = ±, l que es l mism, lím =. x (Ls funcines EXPONENCIALES (bse myr que ) sn infinits de rden superir ls POTENCIAS que, su vez, sn infinits de rden superir ls LOGARITMOS). Límites en -. A menud result cómd plicr lím = lím f( x). x ± ± Indetermincines: ; ± ; ; ; ; ;. ± Límites de l frm. Es muy útil plicr l siguiente prpiedd: lím [ ] Si lím = y lím = lím e n =. Límites lterles. lím = lím f(c ε) x c ε, ε >. lím = límf(c ε) x c ε, entnces [ ] n N bstnte, se puede utilizr l clculdr pr justificr fácilmente el vlr de ls límites lterles. Además, según ls diferentes tips de indetermincines se siguen prcedimients lgebrics sencills (fctrizr y simplificr, multiplicr y dividir pr el cnjugd, efectur l rest de frccines lgebrics,...) que permiten clculr el vlr del límite..- CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Un función f es cntinu en un punt x si verific: ) lím, es decir, lím = lím. x x x x x x ) f(x ) = lím = k k lr x x l función está definid trzs = f (x) entnces lím = lím = f (x ) x x lím = x x x x lím = f (x ) x x si si x < x x x Deprtment de Mtemátics. IES Atene. Sn Sebstián de ls Reyes.

2 3.- TEOREMAS DE CONTINUIDAD EN INTERVALOS TEOREMA DE BOLZANO. Si es cntinu en c,b f(c) =. ( ) y sign de f() sign de f(b), entnces COROLARIO DEL TEOREMA DE BOLZANO. Si f y g sn cntinus en, f() < g() y f(b) g(b) c,b f(c) = g(c. ( ) ) TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS. Si es cntinu en entnces tm tds ls vlres intermedis entre f() y f(b), es decir, k [ f(),f(b) ] c (,b) f(c) = k. TEOREMA DE WEIERSTRASS. Si es cntinu en entnces tiene un máxim y un mínim bslut en ese intervl, es decir, c, d [,b] x [,b ], f(d) f(c). 4.- DEFINICIÓN DE DERIVADA Derivd de un función f en un punt x : L definición de función derivd es similr: f(x h) f (x) = lím h h f(x h) f (x) = lím h h TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA Ξ VELOCIDAD INSTANTÁNEA Ξ DERIVADA EN UN PUNTO Ξ PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE Deprtment de Mtemátics. IES Atene. Sn Sebstián de ls Reyes.

3 5.- DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Un función f es derivble en un punt x si verific: ) f es cntinu en x. ) Existe l derivd en x, es decir, cinciden sus derivds lterles: f (x ) = f (x ) 6.- DERIVADAS MÁS FRECUENTES. n n [ ] = n [ ] f (x) ٠ D { } ٠ D[ sen ] = f (x) cs x x ٠ D e = f (x) e ; D e = e x x ٠ D = f (x) ln; D = ln ٠ [ ln ] D = f (x) ٠ D[ cs ] = f (x) sen ٠ D[ tg ] = f (x) [ tg ] ٠ D[ rc sen ] = f (x) [ ] ٠ D[ ] = f (x) g (x) ٠ f (x) g (x) D = ( ) ٠ D[ rc cs ] ٠ D[ rc tg ] = f (x) f (x) = [ ] [ ] 7.- DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Es un prces que ns permite clculr l derivd de l función de l frm y cnsiste en plicr ls siguientes pss: ( ) y = (l bse y el expnente dependen de x). Tmms lgritms mbs lds de l iguldd ln y = ln ( ). Aplicms l prpiedd 3 de ls lgritms l segund miembr ln y = ln ( ) 3. Derivms mbs miembrs de l iguldd y y = g (x) ln ( ) 4. Despejms l derivd sustituyend y pr su vlr y = g (x) ln ( ) [ ] Deprtment de Mtemátics. IES Atene. Sn Sebstián de ls Reyes. 3

4 8.- ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Se trt de clculr l ecución de l rect tngente l curv y = en el punt de bsciss x. Pr trtrse de un rect, su ecución en frm de punt-pendiente será r : y y = m x x. t ( ) Se clcul l segund crdend del punt: y = f(x ), y l pendiente de l rect tngente: m f (x ) =. Se sustituyen mbs vlres y y tenems l ecución. Otr versión del prblem cnsiste en verigur el punt dnde l rect tngente tiene ciert pendiente m. En este cs reslvems l ecución m f (x ) =, cuy únic incógnit es l primer crdend del punt, x, y psterirmente clculms l segund y. 9.- CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. EXTREMOS RELATIVOS. Tmbién se llm estudi de l mntní de un función. es creciente en un intervl (,b) es decreciente en un intervl (,b) f (x ) (x,f(x )). = y f (x ) (x,f(x )). = y f (x ) f (x ) > x (,b). < x (,b). <, entnces f tiene un máxim reltiv en el punt >, entnces f tiene un mínim reltiv en el punt Pr sber si es máxim mínim reltiv, tmbién se puede dividir l rect rel en intervls (representnd en ell ls slucines de l ecución el sign de l derivd: f (x ) = ) y estudir Si l función cmbi de creciente decreciente es un máxim reltiv. Si l función cmbi de decreciente creciente es un mínim reltiv..- CURVATURA. PUNTOS DE INFLEXIÓN Tmbién se llm estudi de l curvtur de un función. f (x ) x (,b) >, entnces f es cóncv en (,b). f (x ) x (,b) <, entnces f es cnvex en (,b). f (x ) (x,f(x )). = y demás f (x ), entnces f tiene un punt de inflexión en Tmbién pdems estudir el sign de l segund derivd mbs lds del cndidt punt de inflexión (slucines de l ecución f (x ) = ) y si cmbi de cóncv cnvex vicevers, efectivmente se trt de un punt de inflexión. Deprtment de Mtemátics. IES Atene. Sn Sebstián de ls Reyes. 4

5 .- PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Sn prblems en ls que debems ptimizr (encntrr el máxim el mínim) un función que viene descrit trvés de un enuncid. L dificultd suele estr en determinr crrectmente l función. Nrmlmente se utilizn un ds vribles. En el cs de ds vribles, dividims el prcedimient en cutr prtds:. Descripción de ls vribles. Relción entre ls vribles (fórmul).. Función bjetiv ( ptimizr). 3. Plntemient y reslución.* 4. Interpretción del resultd. *(Se frm un sistem de ecucines cn l función f(x, y) y l ecución que relcin ls vribles. Aplicnd el métd de sustitución se cnsigue un función,, cn un sl vrible de l que buscrems sus máxims mínims trvés de su derivd).- REGLA DE L HÔPITAL Sen f y g ds funcines derivbles en un entrn del punt. Si lím = y x lím = l x g, entnces lím = lím = l (x) x g x (x) Si l plicr est regl vlvems tener un indeterminción del tip repetir el prces. L regl de L Hôpitl tmbién se plic pr indetermincines del tip Inclus, lguns expresines del tip ( ) cciente pr pder plicr est regl. ( ) pdems ±. ±, se pueden expresr en frm de 3.- TEOREMAS DE DERIVABILIDAD EN INTERVALOS. TEOREMA DE ROLLE. Se f un función cntinu en (,b) y derivble en. Si f () = f(b) entnces existe l mens un vlr (,b) c tl que f (c) =. Sn punts de tngente hrizntl (máxims mínims reltivs) TEOREMA DEL VALOR MEDIO. Si f es cntinu en y derivble en (,b ), entnces existe l mens un punt c (,b) tl que f(b) f() f (c) =. Es decir, hbrá un punt b intermedi c en el que l tngente se prlel segment AB. Deprtment de Mtemátics. IES Atene. Sn Sebstián de ls Reyes. 5

6 4.- ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN Asíntts verticles: Ls síntts verticles de un función rcinl sn ls vlres de x que nuln su denmindr. Su ecución es de l frm x = k. Cn yud de l clculdr se deben estudir ls límites lterles lrededr de k. Si se trt de un función lgrítmic es precis nlizr el cmprtmient de l función en ls extrems de su dmini. Asíntts hrizntles: Ls síntts hrizntles de un función sn de l frm y = lím. x ± (Si se trt de un función rcinl, el grd del numerdr es menr igul que el grd del denmindr). Si un función tiene síntts hrizntles, n puede tener síntts blicus. Asíntts blicus: Sn de l frm y = m x n dnde m = lím y n = lím [ mx] x x x (Si se trt de un función rcinl, el grd del numerdr es un unidd myr que el grd del denmindr, y l mejr frm de clculr l ecución de l síntt es dividir numerdr entre denmindr. L ecución será y = cciente de l división). 5.- REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Ls spects más imprtntes tener en cuent sn: Dmini (Dm f): sn ls vlres que puede tmr x Punts de crte cn ls ejes: x = Punts de crte cn el eje Y y = Punts de crte cn el eje X Asíntts y rms infinits. Crecimient y decrecimient. Extrems reltivs. Curvtur. Punts de inflexión. 6.- INTEGRALES INMEDIATAS MÁS FRECUENTES. n n x x dx = C n n n f (x) dx = C n dx = C ln e dx = e C dx = ln C sendx = cs C csdx = sen C tg dx = tg C dx = rc tg C dx = rc sen C dx = rc cs C Deprtment de Mtemátics. IES Atene. Sn Sebstián de ls Reyes. 6

7 7.- MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Integrción pr prtes: Se plic l fórmul udv = u v vdu y se suele utilizr cn funcines prduct de un ptenci de x pr un función lgrítmic, trignmétric expnencil. Tmbién se utiliz este métd pr integrr l función lgritm l función rctngente. Integrción medinte cmbi de vrible: Se define el cmbi de vrible z = ; se clcul dz = = ; dz dx dx se sustituye en l integrl pr cnseguir tr que se inmedit, y finlmente se deshce el cmbi de vrible. Integrción de funcines rcinles: Si el numerdr es myr igul que el denmindr, se hce l división y se plic l regl de cmprbción de l división: Después se integrn mbs miembrs: D(x) r(x) = c(x) d(x) d(x) D(x) r(x) r(x) dx = c(x) dx = c(x) dx dx d(x) d(x) d(x) Si el divisr tiene n ríces simples, l últim integrl se descmpne de l siguiente frm: A A A d(x) x x x x x x n r(x) dx... n = dx Si el divisr tiene n ríces múltiples, l últim integrl se descmpne de l siguiente mner: r(x) A A A dx n... = n dx d(x) x x ( x x ) ( x x ) En mbs css se btienen integrles inmedits. 8.- INTEGRAL DEFINIDA. REGLA DE BARROW Si F(x) es un primitiv de f, pr clculr l integrl definid se plic l regl de Brrw: b dx = b [ F(x) ] = F(b) F() Deprtment de Mtemátics. IES Atene. Sn Sebstián de ls Reyes. 7

8 9.- CÁLCULO DE ÁREAS. El áre que encierr un curv y =, el eje X y ls rects x = y x = b es x x b, A = dx dx dx x x siend x y x ls punts de crte de l función cn el eje X en el intervl. Pr clculr el áre entre ds curvs se plnte l integrl de l diferenci de mbs (en vlr bslut), y se tmn cm límites de integrción ls punts de intersección entre ells (slucines de l ecución = )..- CÁLCULO DE VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN. El vlumen del cuerp de revlución que engendr l función y =, cnsiderd en el intervl, l girr sbre el eje X es b V = π dx El vlumen del cuerp de revlución que engendr l función y =, cnsiderd en el intervl, l girr sbre el eje Y es b V = π g(y) dy dnde g(y) se cnsigue despejnd x en l expresión y =, es decir, x = g(y). Deprtment de Mtemátics. IES Atene. Sn Sebstián de ls Reyes. 8

9 INFORMACIÓN DE LA UNIVERSIDAD: Principles cntenids que se tendrán en cuent en l elbrción de ls Pruebs de Acces l Universidd pr ls estudintes prvenientes del Bchillert LOE. Mtemátics II. Curs 9- Mtemátics II. Curs 9- De cuerd cn el Decret 678, de 9 de juni, pr el que se estblece el currícul del Bchillert pr l Cmunidd de Mdrid, publicd en el B.O.C.M. cn fech 7 de juni de 8, pr elbrr ls Pruebs de Acces l Universidd se tendrán en cuent ls siguientes cntenids: ANÁLISIS. Límite de un función en un punt. Límites lterles. Cálcul de límites. Indetermincines sencills. Infinitésims equivlentes.. Funcines cntinus. Opercines lgebrics cn funcines cntinus. Cmpsición de funcines cntinus. Terem de ls vlres intermedis. Terem de ctción en intervls cerrds y ctds. Tips de discntinuidd. 3. Derivd de un función en un punt. Interpretcines (nlític, gemétric, físic). Derivds lterles. Relción cn l cntinuidd. Regls de derivción (incluyend l regl de l cden, l derivción lgrítmic, y ls fórmuls de ls derivds de ls funcines rcsen y rctngente). Derivds iterds. 4. Apliccines de l derivd. Mntní y cnvexidd. Determinción de ls punts ntbles de funcines. Representción gráfic. 5. Plntemient y reslución de prblems de máxims y de mínims. 6. Cncimient y plicción de ls resultds del Terem de Rlle, el Terem del Vlr Medi y l regl de L Hôpitl. 7. Primitiv de un función. Cálcul de primitivs inmedits y de funcines que sn derivds de un función cmpuest. Integrción pr prtes. Integrción medinte cmbi de vribles (ejempls simples). Integrción de funcines rcinles (cn denmindr de grd n myr que ds). 8. El prblem del áre. Intrducción l cncept de integrl definid de un función prtir del cálcul de áres encerrds bj un curv. L regl de Brrw. L integrl definid cm sum de elements diferenciles: Apliccines l cálcul de vlúmenes de cuerps de revlución. Deprtment de Mtemátics. IES Atene. Sn Sebstián de ls Reyes. 9