Razonamiento Matemático

Transcripción

1 El áre de rzonmiento Mtemático, incluye los conocimientos y hbiliddes mínimos desebles en los spirntes, pr emprender estudios en ls Fcultdes de Arquitectur, Ciencis e Ingenierí, sí como tmbién destrezs pr representr y relcionr informción de diverss forms (lenguje escrito, uso de símbolos y fórmuls, uso de dibujos, tbls, esquems, digrms, etc.) Los tópicos incluidos formn prte de los progrms oficiles de Educción Medi y del primer ño del Ciclo Diversificdo. Pr orientr los spirntes en cunto los tems cuyos contenidos se incluyen en l evlución dignóstic, se present continución un pequeño resumen teórico, mner de guí, de dichos tems, que puede ser complementdo con l bibliogrfí recomendd en Educción Medi. El spirnte deberá estr en cpcidd de integrr y relcionr diferentes tópicos pr resolver un problem. A continución se detlln los tems incluidos Aritmétic y Álgebr. Conjunto de número: N, Z, Q,y R. Operciones con números.. Porcentjes.. Propieddes de potencis. Expresiones lgebrics. 4. Polinomios. Grdo de polinomio de un vrible. Operciones. Teorem del Resto. 5. Productos notbles. Fctorizción 6. Expresiones rcionles. Simplificción 7. Ecuciones de primer grdo. 8. Ecuciones de segundo grdo. Ríces. Relción entre coeficientes y ríces. 9. Logritmos y sus propieddes. 0. Sistems de ecuciones lineles de incógnits. Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

2 Geometrí y Trigonometrí. Segmentos. Ángulos. Medid de un ángulo en grdos y rdines.. Rects prlels y perpendiculres.. Rects prlels cortds por un secnte. Ángulos lternos internos, lternos externos y correspondientes. 4. Propieddes generles de triángulos. 5. Congruenci y semejnz. 6. Triángulos rectángulos. Teorem de Pitágors. 7. Cudriláteros. 8. Áre y perímetro de figurs plns. 9. Rzones trigonométrics de un ángulo: seno, coseno, tngente. Identidd fundmentl de l trigonometrí. Cálculo de los elementos de un triángulo rectángulo ddos dos de ellos. Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

3 Aritmétic y Algebr Números Suponemos conocidos los distintos tipos de números, que iremos recordndo medid que vyn preciendo, y ls operciones elementles entre ellos. Adición: sumndo + sumndo = sum Sustrcción: minuendo sustrendo = diferenci Multiplicción: fctor fctor = producto División: dividendo divisor = cociente Además, recordemos que Sumndo + 0 = sumndo x fctor = fctor 0 x fctor = 0 Números Nturles Los números nturles son los números que utilizmos pr contr:,,, 4, 5 Llmmos N = {,,, 4, 5, } l conjunto de todos los números nturles. N es un conjunto infinito. Ddos dos números nturles, n y m, si existe otro número nturl k tl que n=m k decimos que n es divisible por m; m y k son fctores de n y n es múltiplo tnto de m como de k. Ejemplo: es divisible por porque = ; y son fctores de. tmbién es divisible por y que = 6; y 6 son fctores de. Además como = 4, y 4 son fctores de. Todos los fctores de son,,, 4, 6 y y es múltiplo de,,, 4, 6 y. Un número nturl es pr cundo uno de sus fctores es. Un número nturl es impr si no es fctor de él., 4, 6, 8, 0, son números pres,, 5, 7, 9,, son números impres. Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

4 Un número es primo si sus únicos fctores son y él mismo. Algunos números primos son:,, 5,,, 7, 9 El único número pr primo es nturlmente el. Todos los demás números primos son impres, unque no todos los números impres son primos. Por ejemplo: 9, 5,, 5, 45, 6, etc... no son números primos. Hy infinitos números primos. Y vimos que es múltiplo de, pero hy muchos más. Todos los números divisibles por son múltiplos de. Múltiplos de son:, 6, 9,, 5, 8,, Múltiplos de 7 son: 7, 4,, 8, 5, 4, Un múltiplo común de dos o más números ddos es múltiplo de cd uno de ellos. Así es múltiplo de,, 4 y 6; 4 es múltiplo de,, 6, 7, 4 y. El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números enteros es el menor número entero que es múltiplo de cd uno de ellos. Los múltiplos de son:, 6, 9,, 5, 8,, 4, 7, 0, Los múltiplos de 5 son: 5, 0, 5, 0, 5, 0, 5, 40, 45, Vemos que 5, 0, 45, 60,, son múltiplos comunes de y 5. El menor de los múltiplos comunes es 5. Por lo tnto mcm (, 5) = 5. Ejemplo: Verificr que: ) mcm (4, 6) = b) mcm (5,, 9) = 45 Solución: El mcm se clcul tomndo todos los fctores primos de los números, elevdos l myor exponente. Los fctores primos de son y. Es =. En el cso de 45, sus fctores primos son y 5, y tenemos que 45 = 5. El mcm de y 45 debe contener todos los fctores primos que precen en mbos números y con el myor exponente con que precen. Los fctores primos de y 45 son, y 5. El myor exponente con que prece es, el myor exponente con que prece el es. El 5 sólo prece con el exponente. Entonces el mínimo común múltiplo de y 45 es mcm (, 45) = 5 = 80. Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

5 Ejemplo : Pr hllr el mcm de, 0 y 54, descomponemos dichos números en fctores primos = 7 0 = 5 54 = Los fctores, 5 y 7 precen con exponente.el máximo exponente con que prece es. Entonces, mcm (, 0, 54) = 5 7 =.890 Dos o más números pueden tener fctores comunes, distintos de que es fctor de todo número. Por ejemplo Cuáles son los fctores comunes de 4, 6 y 0? Como 4 = sus fctores son: 6 =, entonces los fctores de 6 son: 0 = 5, entonces los fctores de 0 son:,,,,, 6, y 4.,,,,, 6,, 8, y 6.,,, 5, 6, 0, 5 y 0. Los fctores comunes de 4, 6 y 0 son:,, y 6. El Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más números es el myor de los fctores comunes todos ellos. Se clcul tomndo todos los fctores primos comunes todos los números, con el menor exponente. Por ejemplo, si queremos el MCD de 4, 6, y 60, como 4 =, 6 = y 60 = 5, tendremos que el MCD es =. Usremos estos conceptos cundo estudiemos l reducción, sum y rest de frcciones. Frcciones Recordemos que un frcción consiste en dos números seprdos por un brr. A veces l brr se coloc horizontl, 7 4 culquier de ls dos forms, pues significn lo mismo. y veces oblicu (/7, /4). En los textos se encuentrn escrits de Un frcción es l división de un número, el numerdor (que se coloc rrib o l izquierd), entre otro número, el denomindor (colocdo bjo o l derech). Por ejemplo, en l frcción /4 el numerdor es y el denomindor es 4. Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

6 Ls frcciones se pueden usr pr representr prtes de un todo. En l figur siguiente, l frcción /4 represent l prte sombred del círculo que h sido dividido en 4 prtes igules. Ls frcciones tmbién se utilizn pr expresr rzones, o comprciones, entre dos cntiddes. En el digrm, el cudrdo h sido dividido en 6 cudrditos igules. L frcción 9 7 expres l rzón entre los cudrditos sombredos y los no sombredos. Dd un frcción, nos interes encontrr l correspondiente frcción reducid, esto es l frcción en l cul se hn elimindo los fctores comunes del numerdor y el denomindor Por ejemplo l frcción reducid correspondiente 7/45 es /5. En efecto el MCD de 7 y 45 es 9. Dividiendo el numerdor, 7, entre 9 obtenemos y dividiendo 45, el denomindor; entre 9 obtendremos 5 Obsérvese que 6/0, 5/5, /5, 6/60, 66/0 etc. son tods expresiones de l frcción reducid /5 Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

7 Operciones con Frcciones Multiplicción Pr multiplicr dos frcciones se multiplicn los numerdores y los denomindores entre si. Ejemplos: El recíproco multiplictivo de un frcción, es l frcción que tiene como numerdor el denomindor de l frcción dd y como denomindor, el numerdor de l frcción dd. El producto de un frcción por su recíproc es. Así, l frcción recíproc de /5 es 5/, l de 9/ es /9 y l de 9=9/ es /9. l frcción dd, y como denomindor el numerdor de l dd. El producto de un fr División Pr dividir un frcción entre otr, se l multiplic por l recíproc de l otr. Por ejemplo: Otro ejemplo: Sum y rest Pr sumr o restr frcciones con el mismo denomindor, se sum o restn los numerdores. Ejemplos: frcción reducid Si se desen sumr o restr frcciones con denomindor distintos hbrá que buscr expresiones de ells con el mismo denomindor. Conviene el menor denomindor común posible, que será el mínimo común múltiplo de los denomindores. Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

8 Por ejemplo, si se quieren sumr ls frcciones /60 y 5/7 el denomindor común más conveniente será el mcm (60, 7), y como: result mcm (60, 7) = x x 5 = , y 7 Por ser y, se tiene Otro ejemplo: Efectur / / + /0. Primero buscmos el mcm de los denomindores (,, 0) el cul result 0 y ls frcciones correspondientes con denomindor 0, esto es: / = 5/0, / = 0/0 y /0 = 9/0, por lo tnto se tiene En el cso generl m p m.p n q n.q m p m q m.q b n q n p n.p m p mq np c n q nq Observción importnte: y que nq es múltiplo de n y q unque no se el m.c.m(n,q) m p m p n q n q Comprción de Frcciones. Cómo comprmos ls frcciones? Esto es Cómo decidimos cuál es myor, igul o menor que otr? Si tienen el mismo denomindor, bst comprr los numerdores. Ejemplo: Comprr 4/7 con 7/7 Como 4 < 7, entonces tendremos que 4/7 < 7/7 Si se quiere comprr 4/7 y 5/9 y no es tn evidente, por lo que pr comprrls ls expresmos con igul denomindor. En l práctic, lo que se hce muchs veces es efectur los productos cruzdos numerdor de un por denomindor de l otr y comprr los resultdos. Pr el ejemplo ddo tendrímos 4x9 y 5x7. Como 4x9=6 > 5x7=5 se tiene que 4/7>5/9. Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

9 Ejemplo: Cuál es l myor entre ls frcciones /5, /7 y 4/? Pr responder l pregunt vmos considerr dos de ells, por ejemplo /5 y /7 y buscmos l myor. Pr ello hcemos 7 = 4 y 5 = 5 y como 4 < 5, l myor entre ests dos es /7 Comprmos hor /7 con 4/, pr lo cul hcemos = y 4 7 = 8, y como > 8 l myor entre /7 y 4/ es /7. Demuestr hor que l menor de ls tres es 4/. Decimles. Un frcción tmbién se puede escribir en form deciml efectundo l división. Por ejemplo ) 0/8 =, 75 b) 5/ = 0,466 = 0, 46 6 signific que el 6 continú repitiéndose En este último cso l efectur l división se observ que el 6 se sigue repitiendo. Decimos que el deciml es infinito periódico. Todo deciml finito, o infinito periódico se puede expresr como un frcción. Por ejemplo, pr obtener l frcción correspondiente x =5, procedemos de l siguiente mner: 000x 5,... 0x 5,... Al restr se cncel l prte deciml x 4979, por lo tnto x= 990 Porcentjes Los porcentjes son frcciones de denomindor 00. Tmbién se pueden pensr como decimles. Un porcentje p, se escribe p %. Ejemplos: Porcentje Frcción Deciml 45% 45/00 0, 45 7% 7/00 0, 07, 9%, 9/00 = 9/000 0, 9 4% 4/00, 4 Si lo que nos interes es conocer el número x que es el p% de un cntidd dd usmos l proporción: x p cntidd 00, de donde pcntidd x 00 Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

10 Ejemplo pr hllr el 5% de hcemos x 5 5 y de quí x El 5% de es 8 Ejemplo: Hllr el 4,5 % de 80 x 4, , x Ejemplo: Pr hllr el 66, 6 de 4, procedemos de l siguiente mner Expresmos 66, 6 00 en form de frcción: 66, 6 Procedemos como en los ejemplos nteriores x 00 / 4 00 / 600 x Tmbién podemos verigur qué porcentje de un cntidd es un número ddo. Por ejemplo Qué porcentje de 6 es 7? De cuerdo lo estblecido nteriormente 7 p 7 p Por lo tnto 7 es el 75% de 6 Análogmente si nos interes sber, por ejemplo, de qué cntidd es 54 el 9%, usmos l mism proporción c 600 c 00 9 Entonces, 54 es el 9% de 600. Ejemplo de plicción: El Sr. Grcí compró un producto Bs. 40 l unidd y un ño después l vendió Bs. 90 por unidd. Cuál es el porcentje (p%) de gnnci obtenido por el Sr. Grcí?. Solución: L Gnnci por unidd es de = 50 Bolívres. entonces 50 = p y p = = En el denomindor de l izquierd de l proporción se coloc 40, y no 90, y que l gnnci se clcul sobre el precio de compr. Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

11 Álgebr En álgebr usmos números y letrs que representn números. Los números que usmos son: Los números nturles N o se,,, 4, Los números enteros Z o se,,, 0,,,, Los números enteros son los números nturles, más los negtivos, más el cero, por lo tnto N Z ( signific contenido en) Los números rcionles Q son ls frcciones, o por lo que vimos, el conjunto de los decimles finitos y los decimles infinitos periódicos. Como los enteros son números rcionles es Z Q tenemos: N Z Q. Definimos los números reles R como el conjunto de todos los nteriores más todos los decimles infinitos no periódicos. Tenemos sí N Z Q R. Cundo trbjmos con letrs, en generl indicmos l clse de números con que estmos trbjndo. Supongmos que, b, c, son números reles, y que estmos en presenci de un producto, entonces solemos omitir el signo por de l multiplicción, sí, b lo escribimos b, 5 b c = 5bc Ls operciones con números rcionles (frcciones) y fueron estudids numéricmente en el cpítulo nterior. Operciones con números reles Con, b, c, d, x, y, z, u,, designmos números reles Con m, n, l,, designmos números nturles. Los números reles pueden ser positivos, cero o negtivos. Recordemos ls leyes de los signos en el producto y l división de números reles: (con (+) entendemos un número positivo y con ( ) un número negtivo) De igul mner, recordemos que pr todo número rel se verific que 0 0 y demás que l división por 0 no tiene sentido. Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

12 Potencis: Si n es un número entero positivo, l expresión: Por ejemplo x. x. x... x n veces n x se us pr representr el producto L expresión n x se lee potenci n-ésim de x o tmbién x elevd l n El número que se v multiplicr por sí mismo (x) se llm bse de l potenci, y el número de veces que se multiplic (n) se llm el exponente de l mism Cundo n = 0, x 0 =, pr culquier vlor de x diferente de 0 Cundo n =, x = x (se omite el exponente) Pr n =, x se lee x elevd l cudrdo y pr n =, x se lee x elevd l cubo De cuerdo con ls regls de los signos un número negtivo elevdo un potenci pr d un resultdo positivo y elevdo un potenci impr d un resultdo negtivo. Un número positivo elevdo culquier potenci (pr o impr) siempre d positivo. Ejemplos: Propieddes de ls potencis m n n 4 m n n n.b.b 5 6 m n m n mn m m.n m b 0 7 pr 0 8 Si entonces o bien m b, b b b m m Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

13 Potencis de exponente frccionrio (ríces) Si queremos hllr el vlor de x que stisfce x 64, debemos conseguir un número que elevdo l potenci, nos de 64. Este número es el 4, y que 4 64 Decimos en este cso que 4 es l ríz cúbic de 64 n x En generl, si, se dice que x es l riz n-ésim de, lo cul se represent con l expresión n x. Aquí el número n N, con n, se denomin el índice de l ríz, mientrs que se llm el rdicndo o l cntidd subrdicl. Indice n Cundo n es igul, no se coloc el índice, escribiéndose solo, que se lee ríz cudrd de Si n es impr, existe solo un vlor de x que cumple con vlores que cumplen l condición. n x Rdicndo, mientrs que si n es pr, existen dos Por ejemplo Existe un solo vlor que cumple con l condición x. Dicho vlor es x Existen dos vlores que stisfcen x 9 que son y -, y que = 9 y (-) = 9 Observción importnte: n Aunque en el cso en que n es pr, existen dos vlores de x que cumplen con x, ls expresiones n n x y x, se refieren cd un un solo vlor, correspondiente l vlor positivo o l negtivo, respectivmente. Ej. 4 (solo el vlor positivo), 9 (solo el vlor negtivo) Cundo el índice es pr, el rdicndo debe ser positivo pr que l expresión exist en los reles. Por ejemplo, 4 no existe en los reles, y que ningún número rel, elevdo l cudrdo es -4. Est restricción no se plic cundo el índice de l ríz es impr. Por ejemplo, 5 existe en los reles y es -. Un ríz es un potenci de exponente frccionrio n por lo tnto se puede trbjr con ells usndo ls propieddes de ls potencis estudids en el punto nterior. n Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

14 Expresiones lgebrics Un expresión lgebric es un conjunto de números (constntes) y letrs (vribles), seprdos por símbolos de + ó. Cd grupo de números y letrs, seprdos por los símbolos menciondos se denomin un término de l expresión. L prte numéric se denomin el coeficiente del término y ls letrs se llmn l prte literl del mismo. Ej. En l expresión 7 5x y, el coeficiente del término es 5, mientrs que su prte literl es 7 x y. Se costumbr nombrr un expresión lgebric, dependiendo del número de términos que l formn, sí por ejemplo se denominn Monomios: expresiones que contienen un solo término, constituido por el producto de números y 4 letrs (vribles), elevdos potencis enters positivs. Ejemplos: x y z, xy Binomios: expresiones que contienen dos términos. Ej. x y, b 4c Trinomios: si ls expresiones contienen tres términos. Ej x x 4, 4 b b b Cundo l expresión contiene más de tres términos se llm en generl Polinomio Ej. 7 5xy 9x y xy yx Llmmos términos semejntes, quellos que tienen exctmente l mism prte literl, diferenciándose solo en l prte numéric. Se pueden sumr o restr polinomios usndo ls leyes conmuttiv, socitiv y distributiv Ejemplo : Efectur y simplificr x 5xy 8xy 0 6x Solución: Primero se eliminn los préntesis x 5xy 8xy 0 6x Luego se grupn términos semejntes x 6x 5xy 8xy 0 Finlmente se sumn los coeficientes de los términos semejntes x xy Ejemplo : Efectur y simplificr 8x y xy x y x y xy y 5 Solución: Eliminmos préntesis 8x y xy x y x y xy y 5 Agrupmos términos semejntes 8x y x y xy xy x y y 5 Sumndo coeficientes 6x y xy x y 4 Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

15 Producto Pr multiplicr expresiones lgebrics, multiplicmos cd término de un de ells, por todos y cd uno de los términos de l otr (propiedd distributiv). Finlmente se reducen términos semejntes. Al multiplicr los términos se debe tener en cuent.- Regl de los signos: Siempre que se multiplicn dos signos igules, el resultdo es positivo, mientrs que si son diferentes, el resultdo es negtivo.- L prte numéric se multiplic usndo ls propieddes pr multiplicr números reles.- Al multiplicr l prte literl debemos recordr ls regls pr multiplicr potencis y estudids Ejemplo: Efectur y simplificr 6 x 5x x x 7 Solución: Multiplicmos cd término de l primer expresión por cd término de l segund 6x 6 x 6 7 x x x x x 7 5x x 5x x 5x x 8x 4 x 6x 4x 5x 5x 5x Finlmente se grupn términos semejntes 5 4 x 5x 9x 5x 4 Polinomios de un vrible: Son polinomios en los cules prece un sol letr (vrible), por ejemplo 9x x x 6 En generl, un polinomio de un vrible tiene l form n P x x x... x x 0 n Grdo del polinomio: Corresponde l myor potenci l cul prece elevd l vrible. Ejemplo: El polinomio P( x ) x 6x 5x 7 es de grdo, y que est es l myor potenci l cul está elevd l vrible. 4 El polinomio Q( z ) z 6 5z, es de curto orden, y que l myor potenci l cul prece elevd l vrible es 4. División de polinomios Pr dividir un polinomio P(x) entre otro polinomio Q(x), es necesrio que el grdo de P(x) se myor que el grdo de Q(x). Al efectur l división de P(x) entre Q(x), se obtiene P x Q x n n R x C x Q x Se denomin P(x) dividendo, Q(x) divisor, C(x) cociente y R(x) residuo o resto A continución se present un procedimiento pr dividir polinomios, que se irá mostrndo medid que desrrollmos un ejemplo Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

16 Efectur 4 x x x 4 x x Solución: Como primer pso se ordenn tnto el dividendo como el divisor en potencis decrecientes de l vrible (de myor menor) y se escriben según el esquem mostrdo. En el cso de que no prezc un potenci, se coloc con coeficiente 0. 4 x x x x 0 4 x x A continución se divide el primer término del dividendo (x 4 ) entre el primer término del divisor (x ) y el resultdo se escribe como primer término en el cociente x x 4 x Este término se multiplic por cd término del divisor, obteniéndose un polinomio el cul vmos cmbir de signo y sumr con el dividendo. El procedimiento se repite hst que el Resto se de grdo menor que Q(x) 4 x 0x x x 4 x x 4 x x x x x x x 4 x 4x x x 4 x 4x x 4 Finlmente, el resultdo de l división se puede expresr como x 4 x x x x x 4 4 x x x x Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

17 Ejemplo Clculr el cociente y resto de l división 4 x x x Solución: Repitiendo el procedimiento nterior 4 x 0x 0x x x 4 x x x x x x 0x x x x x x El cociente es x x x y el resto es 0. x x x x 0 En csos como el nterior en que el resto es 0, decimos que el polinomio P(x) es divisible por el polinomio Q(x) o que Q(x) es un fctor de P(x). Cundo Q(x) es de l form Q(x) = x -, el resto siempre es igul P() (Teorem del residuo). Ríces de un polinomio Decimos que el vlor x =, es un ríz del polinomio P(x), si l evlur el polinomio en dicho vlor, el resultdo es 0, es decir, si P()= 0 4 Por ejemplo, - es un ríz del polinomio P( x ) x x, y que 4 P( ) 0 Ecuciones de Primer Grdo de un vrible Un ecución es un expresión mtemátic en l que dos cntiddes son igules. Ls ecuciones que sólo contienen números son verdders o flss. Así: + 5 = 8 Es verdder + 5 = 6 Es fls. Ls ecuciones que contienen un o más vribles no son verdders ni flss, pero l reemplzr ls vribles por vlores numéricos específicos l ecución numéric resultnte puede ser verdder o fls. Por ejemplo, si en l ecución 5x + 4 = 4 reemplzmos x por result 5() + 4 = 4 que es fls, y que = 9. Si dmos x el vlor tenemos 5( )+ 4 = 4 que es verdder Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

18 En un ecución, los vlores de ls vribles que hcen que l iguldd se ciert, se denominn soluciones o ríces de l ecución, y el conjunto de tods ls soluciones de l mism se denomin conjunto solución de l ecución Ejemplo: x 5 y x son soluciones de l ecución x 6x 5 0, y que y Resolver un ecución signific hllr sus soluciones o ríces, esto es, quéllos vlores numéricos de l vrible que l hcen verdder. A continución se present un método pr hllr ls soluciones de un ecución linel, es decir, de un ecución que tiene l form generl x b 0, siendo y b constntes y 0 Ejemplo: Resolver l ecución 5x + 4 = 4. Lo primero que hremos es dejr el término que contiene l incógnit (x) l izquierd, y los restntes términos los grupmos l derech: 5x = 4 4 Al efectur l operción indicd del ldo derecho se tiene 5x = 0 Finlmente dividiendo mbos miembros de l iguldd por 5 nos qued 5x 0 = 5 5 de donde l solución de l ecución es x = Ejemplo: Resolver 5x 8 x Est ecución l resolvemos de l mism mner que l nterior, grupndo los términos que contienen l incógnit x en un ldo, y los restntes en el otro 5x x 8 x 9 9 x Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

19 Si en l ecución precen signos de grupción: Primero se deben efectur ls operciones correspondientes pr eliminr dichos signos de grupción, luego de lo cul se procede de cuerdo lo nterior. Ejemplo: Resolver (x 6)(6x ) (9x )(x ) Solución: En primer lugr desrrollmos los préntesis, plicndo propiedd distributiv 8x x 6x 6 8x 9x 4x Ahor grupmos términos semejntes 8x 4 0 Est es un ecución del tipo estudido, por lo que su solución es: 4 x 8 7 Si en l ecución precen denomindores: En este cso multiplicmos tod l ecución por el mínimo común múltiplo de los mismos, pr obtener un ecución equivlente sin denomindores. 9 Ejemplo: Resolver x 4x Solución: 5 Primero multiplicmos tod l ecución por el mínimo común múltiplo de los denomindores, que en este cso es x 04x x 40x 5 0 Agrupmos términos semejntes y resolvemos Ejemplo: Resolver 45 x 58 Solución: Multiplicmos por el mínimo común múltiplo de los denomindores ( x )( x ) Desrrollmos los préntesis x x 0 x x (x )( x ) (x )( x ) 0 x x 6x x 9x x 0 Agrupmos términos semejntes y resolvemos 7x 0 x 7 Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

20 Si en l ecución precen ríces Se trt de dejr solo de un ldo de l ecución, el término que conteng l ríz, pr luego elevr l cudrdo. Si ún prece otr ríz en l ecución se repite el procedimiento hst hber elimindo tods ls ríces. Siempre se deben comprobr ls soluciones obtenids sustituyendo en l ecución, y que veces, por l mnipulción lgebric que relizmos, resultn soluciones prentes, que no stisfcen l ecución. Ejemplo: Resolver Solución: x Elevndo l cudrdo mbos miembros x 4 Dejmos solo de un ldo el término con l ríz Volvemos elevr l cudrdo Solución x x 9 x Comprobmos si efectivmente este vlor es solución, sustituyendo en l ecución originl () Por lo tnto x = es l solución de l ecución A veces precen ecuciones en ls cules los coeficientes son letrs. Ejemplo: El áre de un triángulo es A, su bse b y su ltur h, exprese l bse b en función de A y h b h Solución: Sbemos que el áre de un triángulo está dd por A de A y h, multiplicmos tod l ecución por : A bh A Finlmente dividimos entre h, pr obtener b h Problems cuyo plntemiento mtemático conduce un ecución linel, pr despejr b en función Muchs veces, en l vid diri se nos presentn problems que l ser modeldos mtemáticmente, nos conducen un ecución. Pr escribir ls ecuciones del modelo, se debe ser cpz de trducir ls frses verbles y expresiones l lenguje mtemático. Ls expresiones mtemátics, en form muy precid ls expresiones en cstellno, están constituids por frses nomintivs y verbos. L combinción de ests frses y verbos es lo que constituye un expresión mtemátic complet. A continución se presentn lguns frses nomintivs en cstellno que suelen precer en los problems y un expresión mtemátic representtiv de dich frse. Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

21 Lenguje Verbl Vrible(s) Lenguje Mtemático El resultdo de sumr 7 un número. x x 7 L sum de tres números. x, y, z x y z Hy seis veces más torts que quesillos. t, q 6 t q Tres veces el totl de l diferenci de dos números., b ( b) El resultdo de restr 5 del producto de dos números. x, y xy 5 L rzón entre dos números es 5. El beneficio es igul l diferenci entre el ingreso y el costo., b B, I, C El promedio de cutro números es 40. x, x, x, x 4 El doble de un número sumdo l triple del mismo x b 5 B I C x x x x x+x Ejemplo de problems: ) Si se rest 0 de l sum del doble de un número más el triple del mismo, se obtiene 5 Cuál es el número? Solución: Se x el número que estmos buscndo. De cuerdo l enuncido del problem se tiene que x x 0 5. Resolviendo l ecución se obtiene que el número es 7 ) El triple de un número excede ese número en. Cuál es el número? Solución: Se x el número en cuestión Se tiene que x x. Resolviendo est ecución linel se tiene x = 6 Identiddes Un identidd es un ecución que result ciert pr culquier vlor de l vrible Productos Notbles En l práctic, precen con frecuenci productos de polinomios, los cules se les h ddo un nombre especil. Estos productos notbles pueden ser desrrolldos medinte identiddes sencills de recordr sin tener que relizr l multiplicción, lo cul hce más rápid y segur l mnipulción lgebric. Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

22 Los productos notbles de uso más frecuente son:.- Binomio l cudrdo ) Cudrdo de un sum b) Cudrdo de un diferenci b b b b b b En generl b b b Binomio l cudrdo Cudrdo del primer término Doble producto del primer término por el segundo Cudrdo del segundo término Aclrtori: Un error que se observ con much frecuenci es decir que ( + b ) = + b, fíjte que si hcemos esto, estmos omitiendo el término b, por lo tnto es incorrecto (puedes demostrr que no es cierto evlundo pr un pr de números y b culesquier) Ejemplos: Desrrollr ) 6y 5x Solución: Aplicndo l fórmul pr el cudrdo de un sum 6y 5x 6y 6y5x 5x 6y 60yx 5x b) xy x y Solución: Usndo l fórmul pr el cudrdo de un diferenci xy x y xy. xy x y x y 9x y x y 4x y Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

23 .- Sum por diferenci: Cundo se tiene l sum de dos términos, multiplicd por l diferenci de los mismos b b b Cudrdo del primer término Cudrdo del segundo término Ejemplos: Efectur ) x 4 x 4 Solución: Aplicndo l fórmul nterior x 4 x 4 x 4 x 6 4 b) x y xy 5 x y xy 5 Solución: x y xy x y xy x y xy x y x y Producto de dos binomios que tienen un término común b c b c. b. c Dicho en plbrs, esto es, el cudrdo del término común, más l sum lgebric de los términos no comunes multiplicd por el término común, más el producto de los términos no comunes Ejemplos: ) Efectur t 7t 4 Solución: Término común: t, términos no comunes: 7 y 4 t 7t 4 t 7 4t 74 Cudrdo término común 4 t t Sum de términos no comunes, por el término común 8 Producto términos no comunes Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

24 b)efectur x 55 x Término común: 5, términos no comunes: x y x Aplicndo l fórmul: 5 x5 x 5 x x5 x x 5 5x 6x Fctorizción Fctorizr un expresión lgebric, signific sustituirl por otr equivlente, constituid por dos ó más expresiones (fctores), que l ser multiplicds originn l primer Ejemplos: ) b) c) x 6x 9 ( x ) x 5x 6 ( x )( x ) xy 6x y 4x y xy( y x xy) Existen diferentes mners en que podemos fctorizr un expresión lgebric dd. Entre ests, ls más usds son:.- Fctor común: Si todos los términos de l expresión contienen un mismo fctor, se puede escribir est como el producto de dicho fctor común, multiplicdo por l expresión necesri pr que l efectur el producto, obtengmos l expresión originl. Si el fctor común todos los términos es literl (vrible), se debe scr elevdo l menor potenci con que prece en lguno de los términos. Ejemplo: Fctorizr scndo fctor común, l expresión 6 9 x y x y xy Solución: Lo primero que observmos es que todos los coeficientes son divisibles entre, por lo tnto es un fctor común pr todos los términos. Además, todos los términos contienen potencis de x e y, siendo l menor potenci con que mbs precen en lgún término El fctor común todos los términos, es xy. 6 9 x y x y xy xy Dentro del préntesis debemos colocr un expresión, que l ser multiplicd por el fctor común, nos dé como resultdo l expresión originl. 6x y x y 9xy xy x y x Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

25 Siempre se puede verificr si l fctorizción es correct, efectundo el producto y comprobndo que lo que se obtiene es l expresión originl.- Diferenci de cudrdos Se bs en el producto notble sum por diferenci, o producto de binomios conjugdos En bse esto, un diferenci de cudrdos, l podemos expresr como un producto de binomios conjugdos, en l form b b b ( )( ) Observción: No existe un expresión similr pr un sum de cudrdos, es decir, l expresión + b, no puede fctorizrse más. Ejemplo: Fctorizr l expresión 6x 5y Solución: Buscmos un expresión cuyo cudrdo se 6x y otr cuyo cudrdo se igul 5y. Ests expresiones son respectivmente 4x y 5y, por lo tnto: 6x 5y (4x 5 y)(4x 5 y).- Fctorizción de un trinomio ) Trinomio cudrdo perfecto Se bs en el producto notble cudrdo de un sum o de un diferenci ( b) b b Cundo tenemos un trinomio, reconocemos que se trt de un trinomio cudrdo perfecto si: i.- Dos de los términos son cudrdos perfectos (mbos deben ser positivos o mbos negtivos) ii.- El término restnte corresponde l doble producto de ls ríces cudrds de los otros dos Si ests condiciones se cumplen, el trinomio se puede fctorizr en l form: ( b) donde es l ríz cudrd de uno de los cudrdos perfectos y b l ríz cudrd del otro. Ejemplo: Fctorizr l expresión: 9x 4xy 6y Solución: Observmos que dos de los términos son cudrdos perfectos: 9 x ( x) y 6 y (4 y) Chequemos pr ver si el término restnte 4xy corresponde l doble producto de estos dos. En efecto, ( x)(4 y).xy 4xy por lo tnto, l expresión dd puede fctorizrse en l form 9x 4xy 6y (x 4 y). Se puede verificr el resultdo desrrollndo el binomio l cudrdo. Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

26 ) Trinomio de l form x bx c Un trinomio como este, si no es un binomio cudrdo perfecto, se puede fctorizr como el producto de dos binomios que tienen un término común x bx c x x ( )( ) Debemos determinr los números y, pr lo cul recordemos que ( )( ) ( ) x x x x Comprndo ls expresiones, tenemos que los números buscdos deben cumplir ls condiciones: ( ) b y c Es decir, los números y, que estmos buscndo deben ser tles que su producto se c y su sum se b Ejemplo: Fctorizr l expresión x 8x 5 Solución: Pr fctorizr est expresión como el producto de dos binomios con un término común, debemos determinr dos números cuyo producto se 5 y cuy sum se 8. Comenzmos buscndo pres de números que l multiplicrlos nos den 5 y luego vemos cul es el pr que sumdo nos d 8 Pres de números cuyo producto es 5 y 5 y 5 5 y 5 y Sum L expresión se puede fctorizr en l form x x x x 8 5 ( )( 5) L Ecución Cudrátic Generl L ecución cudrátic generl o ecución de segundo grdo, es un ecución que tiene l form x bx c 0, con 0 Hy vris mners de resolver un ecución como est. Un de ells consiste en fctorizr el trinomio de cuerdo con ls técnics estudids y luego usr el hecho de que Si b 0, entonces 0 y / o b 0 Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

27 Pr fctorizr scmos en primer lugr fctor común el coeficiente de x x Fctorizmos luego el binomio que nos qued entre préntesis, usndo ls técnics de fctorizción expuests en el punto nterior, pr obtener lgo de l form Como tenemos un producto iguldo cero, se deduce que ) x 0 ó ) x 0 De ) se tiene que x y de ) x, que son ls soluciones de l ecución. Es importnte recordr que siempre se pueden comprobr ls soluciones de l ecución, sustituyéndols en l mism y comprobndo que se cumple l iguldd. Ejemplo: Resolver x x 0 0 Solución: Fctorizndo Igulndo cd fctor cero b c x 0 x 0 x x x 0 ( x )( x 5) 0 x 0 x x 5 0 x 5 L mner más común de resolver est ecución es usndo l llmd fórmul cudrátic, x b b 4c, siendo, b y c los coeficientes de l ecución x bx c 0 El número D b 4c se denomin discriminnte de l ecución y dependiendo de cómo se este vlor se nos pueden presentr csos:.- Si b 4c 0, l ecución tiene dos soluciones reles (ríces reles simples).- Si b 4c 0, l ecución tiene un solución rel (ríz rel doble).- Si b 4c 0, l ecución no tiene solución rel (ríces complejs) Ejemplo: Resolver x x 5 Soluciòn: Primero psmos todos los términos l ldo izquierdo, pr que nos quede cero del ldo derecho x x 5 0 Ahor identificmos los coeficientes en l ecución, b, c 5 x bx c 0 Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

28 b b 4c Aplicmos l fórmul x pr esos vlores de ls constntes 4()( 5) 0 x x () 4 4 En este cso como el discriminnte es positivo se obtienen dos soluciones pr l ecución 0 5 x 4 x 4 Ejemplo: Resolver x 0x 75 0 Solución: Pr est ecución se tiene, b 0, c 75 y plicndo l fórmul ()(75) x x 5 () 6 6 En este cso como el discriminnte es cero, l ecución tiene un sol solución. Ejemplo: Resolver x x Solución: Por ser un ecución con ríces, vmos dejr el término con el rdicl solo de un ldo de l ecución x x x x Elevndo l cudrdo mbos miembros: x ( x ) Desrrollndo el producto notble x x 6x 9 Regrupndo x 7x 0 0 b b 4c Aplicmos l fórmul x ()(0) x x de quí x 5 x () Por ser l ecución originl un ecución con rdicles, se deben verificr si los vlores obtenidos son relmente soluciones de l ecución Prueb pr x 5. Sustituyendo en l ecución : como se cumple l iguldd, x 5 es solución de l ecución Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

29 Prueb pr x. Sustituyendo en l ecución 4 como no se cumple l iguldd, x no es en relidd solución de l ecución, por lo tnto l ecución dd tiene un únic solución que es x = 5 Sistems de Ecuciones Denominmos un sistem de dos ecuciones con dos incógnits un conjunto de dos ecuciones, en cd un de ls cules precen ls misms dos incógnits. Ejemplos: t z 8 0 ) x y 4 0 b) x 5y t z 4 0 L solución de un sistem como estos es un pr de números de l form (x,y) que stisfcen mbs ecuciones l vez, por ejemplo x =, y = es l solución del sistem y que x y x y A x B y C 0 Ddo un sistem de l form A x B y C 0 Se puede presentr culquier de los siguientes csos A B en este cso el sistem tiene solución únic A B A B C en este cso el sistem no tiene solución A B C A B C el sistem tiene infinits soluciones. Se dice que es indetermindo A B C ) b) c) Hy vris mners de resolver un sistem de dos ecuciones con dos incógnits. A continución se presentn lgunos de ellos. Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

30 Método de Sustitución: Consiste en: - Despejr un de ls incógnits, de un de ls ecuciones que componen el sistem - Sustituir l expresión resultnte en l otr ecución, pr llegr un ecución con un incógnit. - Est ecución se resuelve pr obtener el vlor de dich incógnit. - Pr hllr el vlor de l otr, se sustituye el resultdo nterior en culquier de ls ecuciones y se despej. Ejemplo: Resolver x y 6 x 4 y 4 Solución: Sbemos en primer lugr que el sistem tiene solución y que Despejmos un de ls incógnits, de un de ls ecuciones, por ejemplo y de l primer ecución y 6 x, luego est expresión l sustituimos en l otr ecución x 46 x 4 Resolvemos hor est, que es un ecución con un incógnit 0 5x 0 x 4 5 Pr hllr el correspondiente vlor de y sustituimos este vlor en l expresión que hbímos obtenido l despejr y 6 x 6 4 L solución del sistem es x 4, y Método de Igulción Consiste en: - Despejr l mism incógnit, en mbs ecuciones - Igulr ls expresiones resultntes, pr llegr un ecución con un incógnit. - Resolver pr obtener el vlor de dich incógnit. - Pr hllr el vlor de l otr, se sustituye el resultdo nterior en culquier de ls ecuciones y se despej. Resolveremos el mismo sistem nterior usndo este método Primero despejmos l mism incógnit en mbs ecuciones De l primer ecución obtenemos y 6 x de l segund obtenemos x 4 8x 4 4 x y 4 Igulmos mbs expresiones pr obtener un ecución con un sol incógnit, que podemos resolver pr hllr x 4 x 6 x 4 8x 4 x x 4 4 Pr hllr y se procede como en el cso nterior 4 Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

31 Método de Reducción Consiste en: -Escribir mbs ecuciones en l form Ax+By+C=0 (sin denomindores) -Elegir que vrible se dese eliminr -Logrr que dich vrible en mbs ecuciones prezc con el mismo coeficiente y signos contrrios, pr lo cul se puede multiplicr un o mbs ecuciones por lgún número (no tiene que ser el mismo pr mbs) -Sumr mbs ecuciones pr eliminr un vrible y obtener un ecución con un incógnit. A prtir de quí se procede como en los nteriores Ejemplo: Resolveremos por este método el sistem con que hemos venido trbjndo x y 6 x 4y 4 Queremos logrr que un incógnit, por ejemplo l x, teng el mismo coeficiente y signos contrrios en mbs ecuciones, pr lo cul multiplicremos l primer ecución por y l segund por, obteniendo Summos hor mbs ecuciones término término 6x y 8 Pr hllr x sustituimos en culquier de ls dos ecuciones, por ejemplo l primer x ( ) 6 x 4 Logritmos 6x y 8 6x 8y 8 6x 8y 8 0 5y 0 y L función f ( x) logx, con 0 y, logrítmic de bse. siendo x un número rel, se denomin función log x L expresión se lee logritmo en bse de x El logritmo y l exponencil están relciondos, de mner que: y log x sí y solo sí x y El logx represent el número l cul hy que elevr, pr obtener el vlor x Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

32 Ejemplos: log 4, y que 4 log 5, y que log 4 4, 4 8 y que 8 Como > 0 entonces y > 0, de modo que log x existe solo sí x > 0 (no existe el logritmo de cero, ni de ningún número negtivo) Propieddes de los logritmos Pr todo pr de números reles positivos x e y.-.- log ( xy) log x log y x log logx logy y.- Pr todo x >0, y todo número p log x p p. log x 4.- El logritmo, en culquier bse de es cero log Pr todo número p log p p e igulmente log p p en prticulr log Ejemplos:.- Utiliz ls propieddes de los logritmos, pr expresr log 4 x, y y z xy z en términos de los logritmos de Solución: L expresión dd se puede escribir de l form log 4 xy z Luego usndo l propiedd : log 4 xy z log 4 xy z Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

33 xy Usndo hor l propiedd : log 4 z 4 log xy log z Por último usmos ls propieddes y logx logy log z 4 logx logy logz propiedd propiedd Utiliz ls propieddes de los logritmos, pr expresr como un solo logritmo: logx 7logy logz Solución: Aplicndo l propiedd : de cuerdo l propiedd : finlmente por l propiedd.- Utiliz ls propieddes de los logritmos, pr expresr como un solo logritmo: Solución: 4 x 4 x log x log x log log x log x x x 7 logx 7logy logz log x log y log z 7 log x log z log y. log x z log y 7 4 log x log x log x log x x x 4 x log. log x z log y x. z 7 y Sbiendo que log = 0,0 y log = 0,48 clculr ) log8, b) log 8 Solución: ) 8 log log log log log 8. log8 0,0 0,48, 6 Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

34 b) log 8 log log log8 log log 8 log log log 0,48 0,0 0,4 8 Dos logritmos especiles:.- Logritmo deciml o logritmo en bse 0 Es el logritmo cuy bse es el 0 Se costumbr escribirlo sin especificr l bse, es decir: Por ser l bse 0: log x log x 0 y log x sí y solo sí x 0 y log x es el número l cul hy que elevr 0, pr obtener el vlor x Ejemplos: log00, y que 0 00 log 0,, y que 0, 0.- Logritmo nturl o logritmo en bse e L bse de este logritmo es el número irrcionl e (recuerd que e =, ) Este logritmo se denomin Logritmo Neperino, y se costumbr escribirlo log x ln x Por ser l bse e: y ln x sí y solo sí x e Ecuciones en ls cules precen logritmos: Pr resolver ecuciones en ls cules precen logritmos, en lgunos csos se puede usr l equivlenci entre ls expresiones Pr sí trnsformr l ecución dd en otr más sencill de resolver e y log x y x y y Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

35 Ejemplos:.-Resolver logx Solución: L expresión dd se puede sustituir por su equivlente escrit en form exponencil x x 8.- Resolver log x4 Sustituyendo l expresión por su equivlente exponencil 4 x x 4 x 6 Si en l ecución precen vrios logritmos (todos de l mism bse), es conveniente primero usr ls propieddes de los logritmos, pr grupr estos en uno solo y de est mner poder resolverl como en el cso nterior, reemplzándol por su equivlente en form exponencil Ejemplo: Resolver log x log ( x ) Solución: Comenzremos por grupr los logritmos usndo l propiedd conocid log x log y log xy log x( x ) de quí x( x ) 0 x x 0 0 que d como soluciones x 5 y x. Ests soluciones se deben probr sustituyendo en l ecución originl. Pr x 5 sustituyendo en l ecución log ( 5) log ( 5 ) Por lo tnto x 5 no es solución de l ecución. logritmo de un número negtivo logritmo de un número negtivo Pr x sustituyendo en l ecución log () log ( ) log () log (5) log ( 5) log0 L iguldd se cumple, por lo que x es solución Como cbmos de ver en el ejercicio nterior, veces, l resolver un ecución logrítmic como est, obtenemos vlores que no son soluciones de l ecución, es por ello que siempre deben comprobrse ls soluciones obtenids, sustituyéndols en l ecución originl Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

36 Ejemplo: Resolver ln x ln x ln x ( ) ( ) ( ) Solución: Reordenndo ln x ln x ln x ( ) ( ) ( ) Agrupndo los logritmos del ldo derecho ln x ln x x ( ) ( )( ) Comprndo rgumentos Desrrollndo x x x ( )( ) x x 0 x 0, x Prueb de ls soluciones: Pr x 0 ln () ln () ln () como se cumple l iguldd, x 0 Pr 0 x / ln( ) ln( ) ln( ) 4 9 ln ln ln, 4 9 ln ln ln 4 ln ln es solución de l ecución Nuevmente l iguldd se cumple, por lo tnto tmbién es solución de l ecución. Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

37 Geometrí y Trigonometrí Rects, Semirects y Segmentos Ls rects son ilimitds, y dos puntos del plno determinn un únic rect. A B rect Por est rzón dos rects distints tienen l sumo un punto común. Este punto, cundo existe, es el punto de intersección, o de corte, de mbs rects. A Ls dos rects se cortn en A Ls rects no se cortn Un punto sobre un rect nos determinn dos semirects b M M y Mb son ls semirrects que determin M. Un segmento es l porción de rect comprendid entre dos puntos de ell. A B Segmento A B Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

38 Dos segmentos son igules si podemos superponerlos. Tmbién podemos sumr segmentos consecutivos A B C M N P Q R AB + BC = AC MN + NP + PQ + QR = MR Podemos obtener l medid de un segmento elegimos un unidd de medid. Ls uniddes más comunes son: metro, centímetro, pulgd, yrd, kilómetro, etc. Ángulos Un ángulo es l figur formd por dos semirrects con un origen común. 0 es el vértice del ángulo 0b 0 es el ldo inicil 0b es el ldo finl Representremos el ángulo en 0 por 0 b 0 Los ángulos tmbién se puede medir, ls uniddes de medid de ángulos suelen ser el grdo y el rdián A un ángulo de un giro completo de un semirrect lrededor de su origen, en el sentido positivo (contrrio l de ls gujs del reloj) le signmos l medid 60 grdos, que escribimos 60 o. Además del grdo usremos otr unidd de medid de ángulos, el rdián que definimos como l giro completo en el sentido positivo l medid π rdines El rdin es el ángulo limitdo por dos rdios de un circunferenci que cortn sobre l mism un rco de longitud igul l rdio de l circunferenci r Elbordo por los profesores Concepción Bllester y Gerrdo Rmírez Mteril pr uso didáctico exclusivmente, prohibid su reproducción con fines comerciles

39 Clsificción de ángulos En bse su medid, los ángulos se clsificn en: NULOS: Si su medid es 0º AGUDOS: Si su medid está entre 0º y 90º RECTOS: Si su medid es 90º OBTUSOS: Si su medid está comprendid entre 90º y 80º LLANOS: Aquellos cuy medid es 80º Ejemplos: Angulo nulo Es importnte conocer l equivlenci entre ls uniddes de medid de ángulos grdos y o rdines. L equivlenci que existe entre mbos es rdines 80, de mner que 80 o rd grdos 80 rd o ) 0 0 rd o b) rd o o c) rd d) rd o e) rd 50 f) rd o Definición: Dos ángulos se dicen dycentes si el ldo finl de uno es ldo inicil del otro. En l figur, los ángulos 0b y b0c son ángulos dycentes. El ldo 0b es el ldo finl de 0b y l vez es el ldo inicil de b0c. c b 0 9

40 Ángulos Complementrios y Suplementrios Dos ángulo α y β dycentes se dicen complementrios, si su sum es igul 90º (π/ rd), es decir, si rd Dos ángulo α y β dycentes se dicen suplementrios, si su sum es igul 80º (π rd), es decir, si rd Dos ángulos se llmn opuestos por el vértice si los ldos de uno son prolongción de los ldos del otro. Los ldos opuestos por el vértice son igules. b 0 b En l figur, los ángulos 0b y 0b son opuestos por el vértice. Tmbién los ángulos b0 y 0b son opuestos por el vértice. 40

41 Ejemplo : Hllr los vlores de los ángulos x e y mostrdos en l figur 8º y x 4º Solución: Como los ángulo opuestos por el vértice son igules, entonces el ángulo y vle 4º. Por otr prte, l sum de los ángulos 8º, x y 4º es un ángulo llno, es decir, 80º por lo tnto, x 8º 4º 80º x 80º 8º 4º 8º Ejemplo : Hllr el vlor del ángulo que disminuido en su suplementrio es igul l triple de su complementrio Solución: Si llmmos α l ángulo que estmos buscndo, su suplementrio es 80º α y su complementrio 90º α, de cuerdo lo estblecido en el problem se tiene que 80º 90º 80º 70º 5 450º 90º Rects Perpendiculres y Prlels Dos rects son perpendiculres si se cortn y uno de los ángulos que form es recto. En este cso, los cutro ángulos son rectos. Escribimos b. Propiedd importnte: dd un rect y un punto del plno, por el punto se puede trzr un únic perpendiculr l rect dd. b 4