Solucionario IPN 2011

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1 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez SOLUCIONARIO GUIA IPN 011 Solucionrio IPN 011 Áre : Mtemátics Elbordo por: Crlos Alberto Julián Sánchez P.D: L soluciones inicin de l págin 5 de l Gui oficil del Instituto politécnico ncionl. Págin 1

2 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez ÁLGEBRA 1.- Multiplic x 4x con x 4 Aplicmos l propiedd distributiv que consiste en multiplicr un término por cd uno de los otros términos. 5 4 ( 4 )( 4) x x x x x x x Hy que recordr que l multiplicr los exponentes igules se sumn, por lo tnto l respuest es el inciso ( c).- Identific l expresión equivlente : x xy y 4 Hllemos el m.c.m con lo siguiente: En este cso nuestros divisores son :,, entonces multipliquemos los y nos drá 1 hor entonces multiplicmos y dividimos por 1 nuestr expresión pr no lterr nd ( )( x xy y ) x xy y Si nos fijmos en ls respuests dejremos l 1 como denomindor generl. Págin

3 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez x xy y x xy y Por lo tnto l respuest es el inciso (C)..- Ddos los polinomios operción f ( x) g( x) f x ( ) x y g( x) x x indic el resultdo de l Lo que nos pide es restr de l función f ( x) g( x) entonces opermos de l siguiente mner: (x ) ( x x ) x x x Simplemente hemos lterdo el signo de cd término l función restr esto hces que nos quede como el resultdo de rrib, hor restemos los que tienen términos semejntes. x x x x x 5 Eso nos qued de l siguiente mner por lo tnto l respuest es el inciso (). 4.- Efectú l división x x x 1 [L solución se encuentr l finl de este solucionrio] 5.- Efectú l rest indicd en l siguiente operción (x 5x 7) ( 5x x ) Solución : Aplicndo l ley de los signos esto nos qued: x 5x 7 5x x semejntes 8x 8x 9 Ordenndo cd término y sumndo ó restndo los Por lo tnto l respuest es el inciso (b) Págin

4 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez 6.- Identific l expresión equivlente ( x )( x y ) Sbemos que los exponentes se sumn medinte un producto de términos semejntes entonces en este cso hremos lo mismo con lo que está dentro de nuestr ríz. ( )( ) 5 x x y x y Entonces coloquemos l ríz, 5 xy por lo tnto l respuest es el inciso (c) 7.- Obtén el producto de l siguiente expresión lgebric Multiplicmos cd término con el otro pr poder sumrlos. (5 x )(6x 5) 0x 5x 4 Por lo tnto l respuest es el inciso (b) 8.- Reliz el producto notble ( ) ( ) 1/ 1/ (5 x )(6x 5) Es un diferenci pero eso podemos expresrlo de l siguiente form: 1/ ( ) ( ) ( )( ) ( 4) ( 4) 1/ 1/ 1/ 1/ Por lo tnto l respuest es el inciso () 9.- Resuelve l siguiente expresión ( x)( x ) Recordemos los productos notbles en especil este: ( b)( b) b Nuestro problem incluye un producto notble el cul lo resolveremos con bse l regl. ( x )( x ) ( x) () 9x Págin 4 9x 4

5 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez Por lo tnto l respuest es el inciso (b) 10.- Al rcionlizr el denomindor de l expresión b el resultdo es: b Pr rcionlizr se multiplic por su conjugdo en este cso del denomindor solmente cmbindo el signo y que si lo hcemos tnto rrib como bjo entonces es como multiplicr por l unidd, y plicndo ls operciones se lleg lo siguiente: b b b b ( b)( b) ( b)( b) b [( ) ( b) ] b Por lo tnto l respuest es el inciso (b) 11.- Expres como producto de dos fctores 9x 4y 4 4 Esto se expres como un producto notble, scndo ls ríces es decir: b ( b)( b) 4 9x scndo riz mbos miembros 4 x 9x Ahor hcemos lo mismo con el siguiente b 4y 4 b 4 b y 4y Entonces según el producto notble: Págin 5

6 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez ( b)( b) (x y )(x y ) Por lo que l respuest es el inciso (d) 1.- Indic el resultdo del siguiente producto (x y)( x y) Simplemente plicmos l propiedd distributiv en cd término, lo hremos por psos y primero con x. ( )( ) x y x x xy Ahor con y (x y)( y) xy y Summos los términos x xy xy y x 5xy y Por lo tnto l respuest es el inciso (d) 1.- Efectú l operción indicd 1 7 Debemos de descomponer en lgún número cudrdo que multiplicdo por el otro fctor de lo que está dentro de l ríz. 1 (4)() 4 7 (9)() 9 Ahor summos 5 Por lo tnto l respuest es el inciso (d) Págin 6

7 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez 14.- Reliz l sum de 5x x 1 y x x 5 Sumr es un cos reltivmente fácil, sí que simplemente corremos l sumndo sus signos. 5x x 1 x x 5 x 5x 4 Por lo que l respuest correct es el inciso () 15.- Fctoriz l siguiente expresión: x x. Buscmos dos números que multiplicdos nos dé el término y sumdos nos de pr ello hremos lo siguiente, briremos préntesis escribiendo: ( x )( x ) Aquí colocremos los números, si pensmos un poco ( )( 1), y tmbién 1 Entonces los números son, 1sí que lo colocmos en los préntesis. ( x )( x1) ( x )( x 1) Recordr que el orden del fctor no lter l producto, por lo tnto l respuest es el inciso (b) 16.- Fctoriz l expresión x xy y 4 Agrupremos de l siguiente form nuestro polinomio ( x xy y ) 4 Tenemos un binomio desrrolldo de l form un binomio l cudrdo. ( b) b b entonces lo psemos ( x y) 4, Pero tmbién podemos expresrlo como un diferenci de cudrdos b b b ( )( ). Esto nos drá( x y )( x y ), por lo que l solución es el inciso (c) Págin 7

8 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez 17.- Simplific l expresión x 6x9. x 9 Fctorizr es el mejor método pr poder simplificr y que tenemos un diferenci de cudrdos en el denomindor y un polinomio perfecto rrib pr fctorizr entonces hciendo por prtes el problem y escogiendo el numerdor primero pr fctorizr. x 6x 9, escogemos números que multiplicdos nos dé 9 y restdos 6 Esos números son los siguientes: ( x )( x ) ( )( ) 9 6 Entonces x 6x 9 ( x )( x ) ( x ) Ahor el denomindor ( x 9) ( x )( x ) Reemplzndo estos vlores en l división: x x x x x x x x x 6 9 ( )( ) 9 ( )( ) Por lo que nuestro resultdo es el inciso (c) Págin 8

9 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez 18.- Clcul ls ríces de l ecución 4 x x bx b Aplicremos álgebr y un poco de rzonmiento, primero hremos lo siguiente: 4 x x bx b x 4x bx b 0 x (4 b) x b 0 Lo único que hemos hecho fue igulr cero, y fctorizr el signo menos con x. Ahor vemos que tenemos un ecución cudrátic de do grdo sí que l resolveremos metiéndol l fórmul. x 1, b b 4c, dónde, b 4 b, c b, iniciemos: x 1 (4 ) (4 ) 4()( ) (4 ) b b b b b b b () 4 (4 b) 16 8b b (4 b) (4 b) 4 4 (4 b) (4 b) 4 b 4 b Ahor pr el otro vlor: x 1 (4 ) (4 ) 4()( ) (4 ) b b b b b b b () 4 (4 b) 16 8b b (4 b) (4 b) 4 4 (4 b) (4 b) 4 b 4 b 1 b b b Por lo que l respuest es el inciso (c) Págin 9

10 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez 19: Clcul el vlor de l vrible 1 x1 7x1 Lo primero que hy que hcer es que el denomindor pse multiplicr cd extremo del numerdor del otro miembro es decir. (7x1)(1) ()(x 1) Resolvmos eso con propiedd distributiv, 7 x 1 4 x igulndo cero 7x 4x 1 0 reduciendotér min os x 0 fctorizndo ( x 1) 0 Por lo que nuestr respuest es que x 1 Entonces nuestro inciso correcto es el () 0: Encuentr el vlor de y en l función x x 1 y pr x x Reemplzmos el vlor de x en l ecución pr encontrr l respuest: 1 x x ( ) ( ) y 4 x ( ) Por lo que l respuest es el inciso (b ) Págin 10

11 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez 1.- El vlor de l expresión ( xyz) ( xyz) con x 4, y, z 5 es : Reemplcemos los vlores que nos dn de form direct: ( (4)( )(5)) ( (4)( )(5)) ( 40) ( 40) Por lo que l respuest es el inciso (d).- Si p q r, q es el triple de p y p 7, Cuál es el vlor de r? Sí q es el triple de p, entonces q p, l reemplzmos en l ecución: p p r 4p r r 4p r 4 p p En este cso r p pero 7 p entonces r (7) 14 Por lo que l respuest es el inciso (b).- Determinr l simplificción de términos semejntes x y ( x y xy ) x y Sí el signo multiplic lo que está en préntesis podemos reducir ó simplificr. x y x y xy x y 5x y xy Por lo que l respuest correct es el inciso (d) Págin 11

12 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez 4.- De l multiplicción n n n result: Recordr que en un multiplicción los exponentes se sumn cundo hy un bse en común, por lo que hremos lo siguiente: n n n n (n) ( n) Nos enfoquemos los exponentes y que l bse no será lterd. n (n ) ( n) n n n n Ahor colocndo nuestr bse n Por lo que l respuest es el inciso (b) 5.- L fctorizción de c d bc bd es: Agrupemos los términos de l siguiente form: ( c d) ( bc bd) ( c d) b( c d) Aquí hemos scdo el fctor común ( b)( c d) Por lo que l respuest es el inciso (c) Págin 1

13 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez 6.- De l simplificción de b result: b b b 1 Hcemos l división b b b b ( b)( b) b b Por lo que l respuest es el inciso () 7.- L simplificción de 6 7 m p q mp q es: Esto es sencillo debido sólo hy que eliminr términos semejntes. ( m)( m)( p )( p )( q ) m mp q m p p p q q pq 6m p q 7 9( )( )( )( )( )( ) 9 Por lo que l respuest seri el inciso (b) Al efectur l operción 1 result: 1 1 x Pr drle solución este problem es cuestión de multiplicr en cruz y resolver. 1 1 x x 1 x x x 1 1 x 1 x 1 x 1 x x Por lo que l respuest es l (c) Págin 1

14 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez 9.- Al efectur l siguiente rest m m el resultdo es: n n Volvemos multiplicr cruzdo, pr resolver esto. mn 4mn mn m n n n Por lo que l solución l problem es el inciso () 0.- De ls firmciones siguientes, Cuánts son verdders? i) b b, ii) b b, iii) b b Le demos vlores de 4yb, probemos si se cumple. i) esoes flso 7 1 ii) b b es flso 5 7 iii) b b () 4 6, eso es flso4 6 Por lo que l respuest es el inciso (d) y que ningun cumple con l iguldd. Págin 14

15 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez 1.- Clcul el vlor de l expresión 0 1 Recordndo que todo número elevdo l 0 d uno, entonces resolvmos: Sumndo todo, Por lo que l respuest es el inciso (c ).- Clcul ( ) Aplicmos n 1 n Por lo que l respuest es el inciso (b).- Efectú el producto b b m 4 n4 Recordemos que solo podemos sumr exponentes si comprten l mism bse sí que sólo será: b b b b m 4 n4 4m n4 m1 n6 Por lo que l solución corresponde l inciso (d) Págin 15

16 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez 4.- El resultdo de l ecución exponencil x 16 es: Sí sbemos que sólo podemos igulr los exponentes si se comprten l mism bse, entonces expresemos 16 con bse de, eso quiere decir que l iguldd de nuestr ecución: x x 4 4 Por lo que l solución es (d) 4 16, entonces reemplzmos esto en 5.- Cuánts soluciones se obtiene l resolver l siguiente ecución exponencil? x x Pr poder comprr los exponentes hce flt igulr nuestrs bses, por lo tnto se puede expresr como 5(x) x 5(x ) x 10x15 x 10x x15 0 9x x x 9 5, entonces hcemos lo siguiente: hor si encontremos ls soluciones. Por lo tnto sólo existe un solución pr x, esto hce que l respuest correct se el inciso () Págin 16

17 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez Al relizr l división m m result: En este cso es plicr que n n b n b m m m m m Por lo que l respuest es el inciso (d) 7.- El resultdo de efectur l división de x x 1 es: Aplicmos el mismo concepto que lo nterior x x 1 x ( 1) x 1 x 1 Por lo que l respuest es el inciso () 8.-Resolviendo l ecución x 7 5 se obtiene: Estos problemits no requieren tnto nálisis, elevmos l cudrdo mbos miembros pr eliminr l fstidios ríz. x 7 5 ( x 7) 5 x 7 5 x 5 7 x 18 Por lo que l solución es correspondiente l Inciso (c) Págin 17

18 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez 9.- Si resolvemos l ecución x 5x 9 result: Solo es tener en cuent l vrible despejr y hcer el lgoritmo indicdo. x 5x 9 x 5x 9 0 7x x x 1 7 Por lo que l respuest es el inciso (b) 40.- Al trducir lenguje lgebrico L sum de dos números multiplicd por su diferenci, Qué expresión obtenemos? Si nos dice que l sum de dos números en este cso debemos fijrnos que esos números xy pr pueden ser, b, c, d, e, f... pero si vemos ls respuests de l guí tomn, relizr el problem entonces vemos lo que nos indic primero. L sum de dos números x y Multiplicdos por su diferenci( x y)( x y) Entonces eso se nos semej l respuest del inciso (c). Págin 18

19 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA 1.- L sum de los ángulos interiores de un triángulo es: Por teorem de geometrí todo triángulo debe sumr 180, por lo tnto corresponde l inciso (d) Pero mtemáticmente se us l siguiente fórmul A ( n )180, dónde n = l número de ldos de l figur, entonces comprobemos que un triángulo tiene ldos por lo tnto: A ( )180 (1)(180 ) 180 i. Cuánto sumn los ángulos internos de un hexágono regulr? Aplicmos lo mismo que en l primer pregunt, recordndo que todo hexágono tiene 6 ldos usremos el mismo método: A (6 )180 (4)(180 ) 70 i Por lo tnto l respuest corresponde l inciso (c).- En un ro de m. de rdio, se requiere cortr un rco de 40, Cuánto debe medir su longitud? L longitud de rco se clcul medinte l siguiente fórmul S S longitud, y r rdio, recordr que l respuest se expres en rdines. i r, siendo ángulo, S S S r (40 ) 480 Lo que conllev convertir los grdos rdines: Págin 19

20 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez m De tl mner que l respuest es el inciso (d) 4.- El volumen del cubo está ddo porque expresión; si L es l longitud de su rist: El volumen es multiplicr el áre por l ltur, en este cso el áre de un cudrdo siempre será su longitud por su longitud es decir el ldo por ldo, de tl form que l plicr eso: A L L L Pero tiene un ltur L, entonces L L L L, de tl form que l respuest correct es el inciso (c) 5.- El volumen de un cilindro de rdio y ltur h es: Como se dijo en el problem 4, el áre por l ltur drá el volumen de l figur, en este cso, el áre de un cilindro si se observ por rrib mirremos un circulo y que su áre es: r, sin embrgo nuestro rdio es, entonces, hor nd más multiplicmos por su ltur que es h, dndo como resultdo el volumen V h, de tl form que l solución es el inciso (c) 6.- Hll el áre de un cudrdo cuyo ldo mide 8cm. Solución Aplicndo el áre de un cudrdo: A L L 88 64cm Por lo que l respuest es el Inciso () Págin 0

21 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez 7.- Determin el áre de un triángulo rectángulo cuyos vértices son: (-,), b(,) y c(4,-) Pr encontrr el áre l resolveremos medinte un determinnte pr fcilitrnos el trbjo* A 1 ( )()(1) ()(1)(4) (1)()( ) [(1)(4)() ( )( )(1) ()()(1)] [ ] [ 7 ] (7) 18.5u Por lo tnto l respuest corresponde l inciso (b). 8.- El Cos tmbién se puede expresr como L únic form según ls respuests, es el recíproco de dich función, es decir: 1 Cos Sec, de tl mner que l respuest serí el inciso (c) ( x y) 9.-Desrroll l siguiente Operción log ( x y ) Aplicndo ls propieddes de logritmo log log log b por lo tnto en nuestro b problem: n log ( x y) log ( x y), hor recordemos tmbién que log k nlog k log ( x y) log ( x y), por lo tnto nuestro resultdo es el inciso (d) Págin 1

22 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez 10.- Clcul el vlor proximdo del áre del circulo (en circunferenci de 5.1 cm. cm ), que corresponde un Si l longitud de un circunferenci está dd por r, entonces encontremos su rdio. 5.1 r r Ahor si busquemos el áre. A r (.1416)(4).1416(16) 50.65cm Por lo tnto, nuestr respuest es el in Inciso () 11.- Ls soluciones l ecución No olvidemos que log b k, b Entonces : ( x 1) 4 x x x 1 x1 4 x1 4 0 x 0 ( x )( x1) 0 log 4( x 1) 1 Por lo que ls soluciones corresponde l inciso (b) k Págin

23 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez 1.- Hll el vlor de A: Si sbemos que en todo triángulo l sum de los ángulos interiores son 180, entonces A A 50 A Entonces l respuest es el inciso (b) 1.- Si A y B son ángulos suplementrios y B 65el vlor de A es: Los ángulos suplementrios son quellos que sumn juntos los 180, por lo que: 180 A A 115 A Por lo que l respuest es el inciso (b) 14.- L csc en l figur es: Si nos dmos cuent prece un triángulo en l guí, definmos l función recíproc es decir: sen, cos, tn, de quí podemos sber que usremos l Seno, csc sec ctg entonces si l cosecnte será 1 hor busquemos l hipotenus y que el CtetoOpuesto hipotenus cteto opuesto no los proporcion el triángulo. Medinte el teorem de Pitágors. h b, como el cteto opuesto es=, nlicemos: csc 1 b b Págin

24 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez Por lo que l respuest corresponde l inciso () 15.- Si tn, hll sen y cos 4. Pensemos en que l tngente relcion tnto l cteto opuesto, como el dycente es decir (ignoren los centímetros, sólo es ejemplo), vése l imgen. Pr encontrr el ldo restnte que es l hipotenus, plicmos el teorem de Pitágors h , por lo que el seno y el coseno estrán ddos por: inciso (b ) 4 sen, cos, por lo que l solución es el El vlor de l incógnit en l ecución logrítmic log x Tiene un precido l solución del problem 11, usndo l propiedd log b k k, b, proseguimos resolver. log x x ( ) x 4() x 8 Por lo que l solución es el inciso (c) es: Págin 4

25 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez 17.- Pr que l iguldd log b b se cumpl, qué expresión debe notrse de l ldo derecho de l iguldd? Hy que tener en cuent ls propieddes de los logritmos, sbemos que b, lo podemos expresr como un sum y que: log ( PQ) log P log Q [Propiedd logrítmic] por lo que lo nuestro quedrí como:log log log b b b Pero existe otr propiedd que dice que: log 1, entonces el logb b 1, por lo que pr que se cumpl l iguldd deberá quedrnos log log 1, por lo que l respuest es el inciso (c) b 18.- Si e b ke t t, cuál es el vlor de k? Solución Esto no requiere tnto ingenio puesto que simplemente plicmos propieddes lgebrics. b e t e e t t ke k t e tt k e k Por lo que l respuest es el inciso (b) Págin 5

26 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez 19.- Si 5 5, Cuál es l notción logrítmic? Recordemos que log b k k, b, por lo que : 5 5, entonces b 5, 5, k, por lo que l iguldd nos dice: log 5, por lo que l respuest corresponde l inciso () Cuál es el vlor de y en l expresión log y? Pr dr solución l problem, hgmos el pso del problem nterior b k b y ( ), no hemos hecho nd más que plicr l propiedd log, Por lo que y y 8() y 16 L solución es el inciso (c) 1.- Un elemento rdictivo dece de modo que después de t dís el número de miligrmos 0.06t presentes está ddo por N( t) 100e Cuántos miligrmos están presentes inicilmente? Pr este tipo de problems nos proporcion un modelo mtemático N k t Noe, donde No es l cntidd inicil, sí el problem nos pids los miligrmos iniciles, por ende sbremos que es 100, entonces l respuest es el inciso (b) Págin 6

27 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez.- Si log y log el vlor del log18 es proximdmente: Sbemos que el logritmo de 18 es cómo tener 6*, por lo que nos urge hllr el logritmo de 6 que es *, entonces hcemos lo siguiente: log6 log( ) log log Ahor sbemos el vlor del log 6, pero necesitmos 6*=18. log18 log(6 ) log6 log Por lo que l solución corresponde l inciso ().- Son dos ángulos que tienen el vértice y un ldo común y cuyos ldos opuestos son dos semirects. Los ángulos dycentes tienen lo que l definición pide, y que sólo tienen un ldo común pesr de eso formn entre ellos un ángulo llno de 180, por lo que l respuest es el inciso () 4.- Es un segmento de rect que une un vértice de triángulo con el punto medio de ldo opuesto dicho vértice. L solución está fácil si hcemos l trz de tl form que nos quedrá lgo como l figur: el punto de intersección de ls rects se llm bricentro y ls rects ó segmentos son MEDIANAS, por lo que l respuest es el inciso (c) Págin 7

28 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez 5.- Es un rect que intersec l círculo en dos puntos: Si es un rect en un punto es un tngente, pero si son dos puntos que toc se le denomin secnte, por lo que l respuest es el inciso (c). senx cos x 6.- Dd l expresión trigonométric, mntiene ser un identidd con l 1cos x sen x expresión: Es fácil si conocemos l myorí de ls identiddes trigonométrics en este problem se usn lguns pero de ángulos dobles. senx cos x senx y tmbién cos x sen x cos x, debemos ser inteligentes y sber qué cmbios hcer. 1 cos cos x x pero senx cos x senx cos x senx cos x senx tn x x sen x x x x 1 (cos ) 1 cos cos cos Por lo que l respuest es el Inciso () 7.- L medid de un ángulo es 4x +0 y su ángulo opuesto por el vértice mide 6x-4, Cuál es l medid del ángulo?. Si el ángulo es opuesto por el vértice indic que son igules esto por definición del mtemático Tles de Mileto, entonces: 4x 0 6x 4 4x 6x 4 0 x 54 x 54 7 Ahor encontremos el ángulo sustituyéndolo en culquier ecución y que son igules. 4x 0 4(7) 0 18 probemos con l otr ecución 6x 4 6(7) Por lo que l respuest corresponde l inciso (c) Págin 8

29 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez 8.- Cuál es el vlor del ángulo B? Si sbemos que en todo triángulo tenemos 180 entonces nosotros podemos nlizr que : 7y 4 7y 14 6y 180 0y y y 8 0 Pero nos piden el ángulo en B que tiene por ecución 7y+14, entonces. 7y 14 7(8) Por lo que l respuest corresponde l inciso (d) **Otr form de resolverlo y más fácil es pensr que el ángulo externo de 10 más el interno formrn los 180 es decir. 6y y y 48 y Luego podemos reemplzrl en l ecución pr el ángulo interno B y sí obtener lo mismo que hemos obtenido ntes. Págin 9

30 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez 9.- Al simplificr l expresión 1 cos, (1 sen)(1 sen) seobtiene : Si conocemos de álgebr tendremos l respuest nuestros pies, y que en el denomindor hy un diferenci de cudrdos que l podremos expresr como: (1 sen )(1 sen ) 1 sen sen sen 1 sen cos Pero tmbién en el numerdor 1 cos sen entonces hcemos lo siguiente: cos tn sen, por lo que l respuest es el inciso (b) 0.- Dd l expresión 1 cos6t Cuál de ls siguientes expresiones es equivlente? Aplicmos l siguiente propiedd: cos( b) cos cosb sen senb 1 cos6t 1 cos(t t) Aquí plicmos l propiedd. 1 cos( ) 1 cos cos 1 cos t t t t sen t sen t t sen t Pero l unidd es decir el 1 que tenemos dentro de l ríz l podemos reemplzr por su identidd pitgóric sen x sen x 1, entonces sbiendo que esto es posible. sen t cos t cos t sen t cos t, observemos que se hn elimindo los senos cudrdos hor, sólo qued plicr l propiedd de ríz. cos t cost, por lo que l respuest es el inciso () Págin 0

31 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez 1.- Al simplificr l expresión sen cos, se obtiene: csc sec Si nos dmos cuent cd denomindor es recíproco de l función del numerdor y vicevers, entonces lo plnteemos de l siguiente mner; l csc y l sec l psemos senos y cosenos. sen cos 1 1 sen cos sen cos 1 Y que el seno l cudrdo más el coseno l cudrdo nos d 1, un identidd pitgóric por lo que l respuest corresponde l inciso (b).- Qué sombr proyectrá un poste de 9 m. de ltur cundo el ángulo de elevción del sol es de 60? Un poco de trigonometrí pr este sencillo problem, vemos l imgen. Si nos dmos cuent nos proporcionn el cteto opuesto con respecto l ángulo (Altur del poste), esto hce que pensemos en un función trigonométric que nos ofrezc el cteto dycente o se dónde estrá l sombr l llmremos x. Es es l función Tngente, por lo tnto l tngente nos drá l respuest de l siguiente form: 9 tn 60 x De quí despejmos x, por ángulos notbles l Tngente de 60 = x 9 9 tn 60 rcionlizndo el denomin dor multiplicndo y dividiendo por Por lo que l respuest es el inciso (d) Págin 1

32 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez.- Ddo el ángulo de 10 en posición norml y el punto P( 1, ), sí como l longitud del OP, relcion ls funciones trigonométrics de dicho ángulo. Aclremos un punto muy importnte, ls funciones trigonométrics seno, coseno y tngente son positivs en el primer cudrnte, es decir, resumido en est tblit. Función trigonométric 1er Cudrnte do Cudrnte er cudrnte 4to cudrnte Seno Coseno Tngente Cosecnte Cotngente Secnte De quí podemos observr que 10 estrán ubicdos en el do cudrnte por lo que sumimos que sólo el seno y cosecnte serán positivos, entonces, por ángulos notbles rzonemos que l coordend de x = -1, y l de y=, entonces el cteto dycente es -1 y el cteto opuesto, l hipotenus l clculemos con el teorem de Pitágors, h ( 1) ( ) 1 4 Por lo que ls funciones trigonométrics serán: sen10 1 cos10 Por lo que l respuest es el inciso (b) tn10 Págin

33 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez 4.- Ddos los triángulos pr obtener los vlores exctos de ls funciones trigonométrics de los ángulos de 0, 45, y 60. Clculr el vlor excto de Seno 15? Pr ello usremos l siguiente propiedd del seno sen( b) sen cosb senb cos Esto quiere decir que: sen(45 0) sen45 cos0 sen0 cos 45 Entonces según los triángulos, el seno de 0 y 45, sí como el coseno de 0 y 45 son los siguientes: 1 sen0, sen45,cos0,cos 45 De quí podemos scr lo que necesitmos. sen(45 0) sen45 cos0 sen0 cos Por lo que l respuest es el inciso (d) *Otr form de resolver esto es plicndo lo mismo pero hor como sen(60 45) sen60cos45 sen45cos Y nos d el mismo resultdo. Págin

34 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez Solución l problem 4, de l sección de Álgebr. Págin 4

35 Solucionrio IPN 011 Mtemátics Crlos Alberto Julián Sánchez Sólo con sus comentrios y grdecimientos que sirven de poyo pr poder relizr ls demás secciones podré continur con l tencidd de que les h servido en lgo y pr cumplir el propósito y objetivo de dicho esfuerzo. Grcis y much suerte pr sus exámenes de dmisión. Éxitos Atte. Crlos Alberto Julián Sánchez Págin 5