2 es racional y se llegará a una contradicción.

Transcripción

1 Instituto de Enseñnz Superior Simón Bolívr Profesordo pr l Educción Secundri en Mtemátic Profesores: Olg Peñloz y Víctor Plzzesi. Espcio Curriculr: Elementos de l Aritmétic y el Álgebr. Clse 4: Si se pudiern mrcr sobre l rect numéric todos los puntos correspondientes los números rcionles se dvertirí que quedrín ún infinitos números sin mrcr. Es decir, un vez elegido un segmento unidd, existen puntos en l rect que no se corresponden con ningún número rcionl. Dos problems sencillos: determinr l longitud de l digonl de un cudrdo de ldo igul 1, y determinr l longitud de un circunferenci de rdio 1, revelron l existenci de mgnitudes que no tenín lugr dentro del conjunto de números rcionles. Como se sbe, plicndo el Teorem de Pitágors, l digonl de un cudrdo de ldo 1 es un número x tl que: x 1 1 Sin embrgo, no existe ningún número rcionl que cumpl l propiedd de que su cudrdo se igul. Esto signific, que no es posible medir l longitud de l digonl con un número entero de ldos, ni tmpoco frccionndo dicho ldo en subuniddes tn pequeñs como se quisier. Sin embrgo, es l medid de un segmento y por lo tnto puede pensrse como un número. Este número se llm ríz cudrd de y se lo denot. Más ún, es comprble con los números rcionles, en el sentido que se puede determinr qué números rcionles, son menores y cuáles myores que él. L siguiente figur muestr l correspondenci entre y un punto de l rect numéric: el rco de l circunferenci indic que l medid de l digonl se corresponde con. A continución se demuestr que no es rcionl: L demostrción rrnc suponiendo que es rcionl y se llegrá un contrdicción. Si es rcionl, entonces puede expresrse como el cociente de dos números enteros: p, con p, q y q 0 q

2 Profesordo pr l Educción Secundri en Mtemátic Elementos de l Aritmétic y el Álgebr Se puede suponer que el máximo común divisor de p y q es 1, es decir que no tienen otros divisores comunes y p q es un frcción irreducible. Elevndo l cudrdo mbos miembros y multiplicndo por Por lo tnto, p q q p (*) q se obtiene: p es múltiplo de y esto implic que p es múltiplo de (puede demostrrse ést firmción). Es decir, p k, k. Si se reemplz p en (*) se obtiene: deduce que ( k) q. Resolviendo y simplificndo: 4k q k q, de donde se q es múltiplo de y por lo tnto q tmbién es múltiplo de, lo cul es un contrdicción puesto que se hbí supuesto que p y q no tenín divisores comunes y según este nálisis es un divisor común. Por lo tnto no es rcionl. Actividd 1 ) Qué propieddes de l dición, multiplicción y potencición se cumplen en el conjunto de los números irrcionles? b) Previo est ctividd se ofreció un demostrción de que es irrcionl. Investigue qué es un demostrción en mtemátic y pr qué sirve. c) Qué otros números irrcionles conoce? Cómo puede vlidr su respuest? d) Se puede estblecer un correspondenci biunívoc entre los conjuntos numéricos estudidos y el de los irrcionles? Los números irrcionles tienen tmbién un representción deciml, y est expresión deciml es infinit no periódic. Por ejemplo, un número cuy prte deciml está formd por infinitos ceros y unos, en el cul el primer 0 está seguido de un 1, el segundo de dos unos, el tercero de tres unos, y sí sucesivmente: 5, Este número represent un número irrcionl porque no puede identificrse un periodo en l prte deciml del mismo. Si bien precerí poco frecuente estos tipos de números, los mismos constituyen, como se dijo, un conjunto infinito. Algunos de los números irrcionles que se utilizn con frecuenci son : rzón entre el perímetro de un circunferenci y su diámetro, e : número de Neper y bse del logritmo nturl y M : logritmo en bse 10 del número e. Los primeros dígitos decimles de estos números se listn continución:, e,

3 Profesordo pr l Educción Secundri en Mtemátic Elementos de l Aritmétic y el Álgebr M 0, Actividd ) Completn los números irrcionles l rect numéric? b) Investigue sobre l presenci de otros números irrcionles en l vid diri. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES El conjunto de los números reles se simboliz con números que son rcionles o irrcionles. y está formdo por todos los Existe un correspondenci biunívoc entre los elementos del conjunto de los números reles y los puntos de un rect numéric. Es decir, cd punto de l rect numéric le corresponde un único número rel y cd número rel se represent por un único punto en l rect numéric. Est propiedd se conoce con el nombre de xiom de completitud. Además, entre dos números reles culesquier existen infinitos números reles, es por esto que es un conjunto denso. El conjunto de los números reles es un conjunto ordendo por l relción es menor que. Se dice que es menor que y se escribe, si es un número positivo. Desde el punto de vist geométrico, esto quiere decir que qued l izquierd de en l rect numéric. Es equivlente decir que es myor que y escribir. El símbolo (o ), quiere decir que o y se lee es menor o igul que Actividd Escrib coloquil y simbólicmente tods ls propieddes de l dición y l multiplicción en el conjunto de los números reles. Propieddes de los opuestos ditivos 1) : ( 1) ) : ( ) ), b : ( ) b ( b) ( b) 4), b : ( ) ( b) b 5), b : ( b) b 6), b : ( b) b

4 Profesordo pr l Educción Secundri en Mtemátic Elementos de l Aritmétic y el Álgebr Propieddes de l comptibilidd de l dición y l multiplicción de reles con l relción < 1), b, c : b c b c ), b, c : b c 0 c b c ), b, c : b c 0 bc c Potencición y rdicción L potenci de un número rel con exponente entero se define de l mism mner que pr los números rcionles. Ls potencis con bse no nul y exponente pr son siempre positivs, por ejemplo: 4 4 ( ) 9, ( ) 16, 81 En prticulr, culquier número y su opuesto elevdos un exponente pr dn el mismo resultdo. Por lo tnto, si se quiere hllr el número que elevdo l cudrdo se igul 16 se tendrán dos soluciones: 4 y 4. Pr distinguir entre ells, se utilizrá un notción diferente pr cd un. Esto es se escribirá: 16 4, 16 4 y 16 4 En generl, pr culquier número rel positivo, se define l ríz cudrd positiv de como el número rel b tl que b, y se lo denotrá De mner nálog se define l ríz curt positiv, l ríz sext positiv, y demás ríces con índice pr. Así por ejemplo: b , 64, Por otro ldo, ls ríces de índice impr están definids pr todos los números reles, y tienen el mismo signo que el rdicndo. Por lo tnto, no es necesrio hcer l distinción entre l ríz positiv y l negtiv. Así por ejemplo: 64 4 y 64 4 En símbolos: p r n n pr: p r r n p, q s q s s q p r,, n n impr: p r r n p, q s q s s q El número n se llm índice de l ríz (en l rdicción) y exponente en l potencición. p q es el rdicndo (en l rdicción) y l potenci (en l potencición). r es l ríz n- s n n ésim de p q (en l rdicción) y l bse (en l potencición).

5 Profesordo pr l Educción Secundri en Mtemátic Elementos de l Aritmétic y el Álgebr Se define l potenci con exponente frccionrio de l siguiente mner: m n n m con,, m n Z Por ejemplo: , 8 8 y Además, es posible definir l potencición de un número rel positivo con culquier exponente rel, tem que excede los objetivos de est guí de estudio. L potencición con bse rel negtiv no siempre d como resultdo un número rel, y sólo se puede dr un definición generl en el cmpo de los números complejos. Es importnte notr que l potencición y l rdicción no son distributivs con respecto l dición. Por ejemplo: 5 64 y por lo cul L siguiente propiedd es conocid como diferenci de cudrdos: l diferenci entre los cudrdos de dos números es igul l producto entre l diferenci y l sum de éstos números: b b b ( ) ( ) Est propiedd surge fácilmente plicndo l propiedd distributiv de l multiplicción respecto l dición en el segundo miembro, y suele ser muy útil l hor de relizr cálculos. Así por ejemplo: (81 80) (81 80) Entonces es más sencillo resolver el segundo miembro que clculr l diferenci entre los cudrdos de 81 y 80. Propieddes de l potencición Si, b, m y n son números reles culesquier, de mner que ls siguientes potencis estén definids, se cumplen ls siguientes propieddes: m n 1) Producto de potencis de igul bse: m n ) Cociente de potencis de igul bse: m : n mn m ) Potenci de otr potenci: n mn 4) Propiedd distributiv de l potencición respecto l multiplicción: n n n b b 5) Propiedd distributiv de l potencición respecto l división: n n n : b : b

6 Profesordo pr l Educción Secundri en Mtemátic Elementos de l Aritmétic y el Álgebr Actividd 5 Demuestre ls siguientes propieddes de l rdicción ) n k nk n b) k n k con 0 y nk,. con 0 y nk,. c) nk mk n m con 0 y n, k, m. Actividd 6 Le el siguiente texto elbordo por sus profesores: Rdicles Como no es posible convertir frcción un número irrcionl, se trbj con rdicles: expresiones formds por el signo rdicl y un expresión numéric o literl como rdicndo y demás ríces no excts. Anlizndo rdicndo e índices: Si n impr ríz rel únic y del mismo signo que el rdicndo. - - Si n pr y rdicndo positivo dos ríces reles opuests. Si n pr y rdicndo negtivo solución en. - no tiene solución, pues ningún número rel elevdo un potenci pr, d por resultdo un número negtivo. Pr evitr estos inconvenientes, se trbj con Rdicles Aritméticos, quellos donde + n. 1) Multiplicción o División del índice y el exponente por un mismo número nturl: El vlor de un rdicl no se lter si se multiplic o divide exctmente por un mismo número, el índice y el exponente. n t np t p np t p n t (este proceso se llm simplificción) ) Extrcción de fctores fuer del rdicl: En lgunos csos l simplificción no puede efecturse de modo directo, sin embrgo, si el exponente del rdicndo es myor que el índice, después de descomponer convenientemente el rdicndo, es posible utilizr l simplificción pr relizr extrcciones de fctores fuer del rdicl.

7 Profesordo pr l Educción Secundri en Mtemátic Elementos de l Aritmétic y el Álgebr = = No es posible relizr extrcciones de fctores cundo el exponente del rdicndo es menor que el índice, en este cso se dice que el rdicl es irreducible. ) Rdicles Semejntes: Los rdicles ritméticos irreducibles que tienen el mismo índice y el mismo rdicndo, se llmn rdicles semejntes. Operciones con rdicles En ls expresiones m n, con mn,, n0, 0, se deben verificr ls siguientes condiciones pr operr de mner más sencill: L bse debe estr expresd como producto de fctores primos. El exponente m n : m o debe ser positivo: 0 n. o el numerdor debe ser menor que el denomindor: m n. o ser un frcción irreducible: mcd( m, n) 1. Ests condiciones tienen su justificción en dos teorems mtemáticos muy importntes: El Teorem Fundmentl de l Aritmétic que firm que todo número entero, distinto de 1, -1 y 0 se puede representr de form únic como un producto finito de números primos. El otro nos sever que si p es un número primo y mcd(m, n) 1 ( m y n primos entre sí), entonces m n p es un número irrcionl. Adición y Sustrcción: l sum lgebric de rdicles semejntes es otro rdicl semejnte los ddos cuyo coeficiente es l sum lgebric de los coeficientes ddos. Pr determinr si rdicles no semejntes pueden trnsformrse en rdicles semejntes equivlentes los ddos, se extren los fctores posibles de cd rdicl:

8 Profesordo pr l Educción Secundri en Mtemátic Elementos de l Aritmétic y el Álgebr Cundo los rdicles no pueden reducirse rdicles semejntes, l operción qued indicd. Multiplicción: el producto de rdicles de igul índice, es otro rdicl de igul índice los ddos y rdicndo, el producto de los rdicndos fctores. El producto de rdicles de distinto índice se busc el común índice, o se el múltiplo común menor de los índices ddos, pr trnsformr dicho producto en rdicles de igul índice. O simplemente se los expres como potencis de exponente frccionrio y se plicn ls propieddes estudids de ls potencis División: de rdicles de igul índice: de rdicles de distinto índice: : 4 : 4 8

9 Profesordo pr l Educción Secundri en Mtemátic Elementos de l Aritmétic y el Álgebr : : Pero esto sólo es posible si los rdicndos son posibles de dividir : : Aún l división no quedó resuelt por lo que se debe encontrr otr frcción equivlente ell en cuyo denomindor no figure un rdicl, o se un número rcionl, por ello este procedimiento se llm rcionlizción. 1 1) El denomindor es un rdicl único: Se multiplic numerdor y denomindor por un rdicl de mner tl que en el denomindor quede un número rcionl ) El denomindor es un binomio: Se multiplic numerdor y denomindor por l expresión conjugd del denomindor, pr que en el denomindor quede expresd un diferenci de cudrdos y sí obtener un número rcionl como divisor

10 Profesordo pr l Educción Secundri en Mtemátic Elementos de l Aritmétic y el Álgebr ) Agregue l glosrio que viene elborndo lo lrgo de l clse todos quells plbrs, expresiones y símbolos que fueron preciendo. b) Elbore un texto utilizndo lenguje coloquil, en el que le expliques un compñero cómo operr con rdicles. c) Por qué es necesrio rcionlizr un expresión que tiene un irrcionl en el denomindor? Actividd 7 Resuelv los siguientes ejercicios y problems justificndo con ls propieddes estudids. 1) Todos los triángulos de l figur son rectángulos. El más pequeño tiene ctetos unitrios y, en los restntes, uno de los ctetos tienen medid igul 1. Clculá l medid de l hipotenus de los triángulos y trzá ls circunferencis con centro en 0 y rdio cd hipotenus. Qué números representn ls intersecciones de cd circunferenci con l rect numéric? ) Represente en l rect numéric los siguientes números, construyendo triángulos rectángulos decudos como en el problem nterior: ) 5 b) 8 c) 10 d) 9 e) f) ) Escrib: ) los dos números nturles más próximos entre los que se encuentr 67. b) los dos números decimles más próximos con un cifr deciml entre los que se encuentr 67. c) los dos números decimles más próximos con tres cifrs decimles entre los que se encuentr 67. 4) Trnsforme ls expresiones decimles en expresiones frccionris y resuelv: ) 0,... 0,6 0,06 5 b) (0, ) 0, 5 4

11 Profesordo pr l Educción Secundri en Mtemátic Elementos de l Aritmétic y el Álgebr c) 0,8 1 1, d) , (0,) 5) Indique si ls siguientes firmciones son verdders o flss, justificndo su respuest: 58 9 ) b) 0, c) ) Escrib tres números rcionles que se encuentren entre 1,4 y. 7) Invente un número irrcionl myor que pero menor que,1. 8) Los siguientes números irrcionles fueron inventdos siguiendo un regl. Descubr dich regl y escrib ls 8 cifrs siguientes: ) 0, b) 0, ) Encuentre un número irrcionl que esté entre y. Podrá encontrr otro? Justifique. 10) En el conjunto de todos los números x tles que x 8 ) Cuántos números nturles hy en este conjunto? Por qué? b) Cuántos números rcionles hy en este conjunto? Por qué? c) Cuántos números irrcionles hy en este conjunto? Por qué? d) Cuántos números reles hy en este conjunto? Por qué? 11) Extre todos los fctores que pued fuer del rdicl: ) b c 4 d 6 b) 8 b 5 c) 81 d) 5 64 b 5 c 8 1) Resuelv: ) b) c) 50 18

12 Profesordo pr l Educción Secundri en Mtemátic Elementos de l Aritmétic y el Álgebr d) e) f) (1 7) 1) Si l rist de un cubo mide 5. Clcule el perímetro y el áre de un cr del cuerpo. Luego el volumen de dicho cuerpo. 14) Clcule l medid de l digonl de un cubo de rist uniddes. 15) Resuelv ls siguientes operciones: ) b) c) d) e) f) g)

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