Sistemas de ecuaciones lineales

Transcripción

1 Sistems de ecuciones lineles Números reles L I T E R AT U R A Y M AT E M ÁT I C A S Amor se escribe sin hche [Est novel es un histori de mor contd con un humor disprtdo. En l siguiente escen, los protgonists, Slvi Zmbombo, llegn un isl después de nufrgr el brco donde vijbn. Un ve encendid un hoguer dmirble, Zmbombo determinó construir un cbñ.] Sí, sí! plmoteó Slvi. Un cbñ... tu mor... Ah! Qué dichos so! Zmb se dirigió l entrd del bosque trnsportó l pl unos cuntos árboles que cín en el suelo derribdos, tl ve, por lgun torment. Clculó l resistenci de los árboles midiendo su diámetro su longitud escribió en su cudernito: A B (A B) (A B)? (A B) (A B) Elevó l cudrdo el primer término, con grn sorpres su, que no creí sber tnts mtemátics, obtuvo: (A B) (A B) (A B)? (A B) (A B) Y sustituendo esto por ls cifrs veriguds, logró: ( ) L resistenci de los troncos del árbol er de kilogrmos. Puso los troncos podos entre sí, formndo dos vertientes, en número de quince. De mner que cundo Zmb Slvi se metieron debjo, los kilos de árbol que se les ceron encim, l desplomrse l cbñ, fueron: o se:.9.? Ambos se desmron consecuenci del trumtismo. Al volver en sí, er de noche.* * Puede clculrse que, por cd kilos que le cen en l cbe un ser humno, permnece desmdo un minuto. Como en.9 kilos h, proimdmente, 9 veces kilos, result que Zmbombo Slvi estuvieron desmdos durnte 9 minutos, o se, dos hors menos once minutos. No nos eplicmos, por lo tnto, por qué l volver en sí er de noche. ENRIQUE JARDIEL PONCELA

2 SOLUCIONARIO Amor se escribe sin hche Enrique Jrdiel Poncel En est obr, como en csi tods ls de Jrdiel Poncel, el humor es el recurso literrio predominnte, trvés de un mnejo csi surrelist del mismo, logr que los lectores (cundo se trt de novels) los espectdores (cundo se trt de pies tetrles) revisen su percepción de los problems humnos más importntes. En est novel bord el tem del mor trvés de l histori disprtd que viven los protgonists, Slvi Zmbombo. El teto nterior form prte de un escen donde los protgonists hn llegdo un isl después de nufrgr el brco donde vijbn. Allí tienen que enfrentrse cutro problems: loclir geográficmente el sitio donde se encuentrn, hcer fuego, construir un cho encontrr víveres. Zmbombo bord el problem de l orientción con técnics disprtds, como l medid de l velocidd del viento medinte un regl de tres: Pr ello, por medio de dos rs, señló en el suelo su esttur, que er de un metro setent cinco. Colocó en un de ls rs un ppelito midió, reloj en mno, lo que el viento trdb en llevr el ppel l otr rit. Trdó cutro segundos. Y Zmb ronó por medio de l regl de tres:, metros los recorre en segundos. metros (o se un kilómetro) los recorrerá en De donde er igul. multiplicdo por prtido por,. Hio ls operciones, contndo por los dedos, comprobó que el viento corrí que se ls pelb. Luego Zmbombo, como si fuer un robinsón, se dedic hcer fuego frotndo dos troos de mder. Cundo consigue un llmit trs seis hors de trbjo, su propio sudor se l pg. Slvi le dice: Qué? No puedes hcer fuego?. Y él le contest: Podré, porque trigo cerills, pero si no ls hubier trído, no sé cómo nos ls hbrímos rregldo.... Un ve encendid un hoguer dmirble, Zmbombo determinó construir un cbñ tl como se describe en el teto elegido. Finlmente, el curto problem, el de los víveres, lo resuelven comiendo los productos vegetles nuncidos en el crtel que vieron l llegr en l pl. Veinte dís después, Slvi hbí delgdo dieciocho librs Zmbombo, diecinueve. Pero se recuperron cundo prendieron pescr piscis rodolphus vlentinus. L ingenuidd romántic de Zmbombo desencden el desenlce de est ventur le sirve Jrdiel pr plnter l siguiente llegr, finlmente, l conclusión morl de l novel. Jrdiel Poncel utili quí el lenguje lgebrico como un recurso humorístico, un plicción novedos, porque en Mtemátics en ls otrs ciencis se emple pr epresr propieddes o resolver problems como este: «Slvi tiene ños; tiene el doble de l edd que tení Zmbombo cundo ell tení l edd que él tiene hor. Qué edd tiene Zmbombo?». Se l edd que tiene Zmbombo. Entonces: ( ( )) ( ) 6 8 ños 9

3 Sistems de ecuciones lineles ANTES DE COMENZAR RECUERDA Resuelve estos sistems. ) b) ) b) Escribe tres ecuciones equivlentes ests. ) b) c) 6 ) Respuest biert. Por ejemplo: 9 b) Respuest biert. Por ejemplo: 6 6 c) Respuest biert. Por ejemplo: Escribe dos sistems equivlentes estos. ) b) ) Respuest biert. Por ejemplo: b) Aunque el sistem es incomptible, podemos considerr sistems equivlentes. Los siguientes sistems se hn obtenido multiplicndo ls ecuciones por un constnte: 6 ACTIVIDADES Escribe un ecución con tres incógnits de coeficientes,, respectivmente, con término independiente. Clcul tres soluciones de est ecución. L ecución es, tres soluciones son:, 6,,

4 SOLUCIONARIO Determin un solución de este sistem: Respuest biert. Por ejemplo:,, Clsific estos sistems según su número de soluciones. ) b) c) ) Tiene infinits soluciones. El sistem es comptible indetermindo. b) No tiene solución. El sistem es incomptible. c) Tiene solución únic. El sistem es comptible determindo. Convierte este sistem en un sistem esclondo resuélvelo. 6 Resuelve estos sistems de ecuciones lineles utilindo el método de Guss. ) b) ) R b) 6

5 Sistems de ecuciones lineles 6 Resuelve plicndo el método de Guss. ) b) t t t t ) 8 b) t t t 9 t 6 t Discute estos sistems de ecuciones lineles utilindo el método de Guss. ) b) ) Sistem comptible indetermindo b) Sistem incomptible

6 SOLUCIONARIO 8 Discute utilindo el método de Guss. t t t t Sistem incomptible 9 Discute resuelve este sistem: Si Sistem incomptible Si ( ) con R { }

7 Sistems de ecuciones lineles Discute resuelve el siguiente sistem: Si Sistem comptible Si Sistem comptible indetermindo con R Escribe medinte ecuciones este sistem, resuélvelo plicndo el método de Guss. Determin l epresión mtricil de este sistem, resuélvelo como si fuer un ecución mtricil. A X B

8 SOLUCIONARIO AX B X A B A A X Utili el teorem de Rouché-Fröbenius pr determinr si estos sistems son comptibles, resuélvelos plicndo el método de Guss. ) b) ) A A * A A Rngo ( ) Rngo ( *) A Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo con R b) A A * A A Rngo ( )

9 Sistems de ecuciones lineles 8 Rngo ( A*) Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Medinte el teorem de Rouché-Fröbenius, determin si el sistem es comptible. t t A A* A Rngo ( A) 8 Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo Rngo ( A*) Discute este sistem plicndo el teorem de Rouché-Fröbenius. t t t A A* A 6

10 SOLUCIONARIO Rngo ( A) Rngo ( A*) Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo 6 Añde un ecución l sistem de ecuciones pr que se conviert en: ) Un sistem comptible determindo. b) Un sistem comptible indetermindo. c) Un sistem incomptible. ) Respuest biert. Por ejemplo: b) Respuest biert. Por ejemplo: c) Respuest biert. Por ejemplo: Evlú si se puede plicr l regl de Crmer estos sistems de ecuciones. ) b) t t t ) El número de ecuciones es igul l número de incógnits. Se puede plicr l regl de Crmer. b) El número de ecuciones no es el mismo que el número de incógnits, por tnto, no se puede plicr l regl de Crmer.

11 8 Sistems de ecuciones lineles 8 Escribe dos sistems de ecuciones lineles los que se pued plicr l regl de Crmer que cumpln cd un de ests condiciones. ) Teng ecuciones. b) Teng incógnits. ) Respuest biert. Por ejemplo: b) Respuest biert. Por ejemplo: t t t t t t 9 Evlú si se puede plicr l regl de Crmer este sistem, si se puede, clcul A, A A resuelve el sistem. El número de ecuciones es igul l número de incógnits. Se puede plicr l regl de Crmer. A A A A A A A A A

12 SOLUCIONARIO Resuelve este sistem de ecuciones utilindo l regl de Crmer, si es posible. t t 8 t El número de ecuciones es igul l número de incógnits. 9 Se puede plicr l regl de Crmer. A A 8 8 A A t 8 8 A A A A t t A A A A Resuelve estos sistems de ecuciones medinte l regl de Crmer. ) b) ) Rngo ( ) A 9

13 Sistems de ecuciones lineles Rngo ( A) Rngo ( A*) n.º de incógnits Sistem comptible indetermindo Consideremos el sistem: A A A A A A L solución es:,, con R b) Rngo ( ) A Rngo ( A) Rngo ( A*) n.º de incógnits Sistem comptible indetermindo Considermos el sistem: A A A A L solución es: A A,, con R Resuelve el sistem utilindo l regl de Crmer. t t t Rngo (A)

14 SOLUCIONARIO Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo Considermos el sistem: t t A t t t A A t A t t t A A t L solución es: t 8 8,,, con, R Resuelve este sistem: Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits L solución es:,, Escribe un sistem de ecuciones lineles homogéneo de cutro ecuciones que teng: ) Solución únic. b) Infinits soluciones. ) Respuest biert. Por ejemplo: t t t b) Respuest biert. Por ejemplo: t t t

15 Sistems de ecuciones lineles Discute este sistem en función de los vlores de m. m m m m Si m A Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Si m A Rngo ( A) Rngo ( A*) Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible 6 Discute el sistem según los vlores de. El sistem es homogéneo Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible 6 Si 9 A Rngo (A) n. o de incógnits Si 9 A 9 Rngo (A) n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo Resuelve este sistem en función de los vlores de m. m m

16 SOLUCIONARIO Si m A m Se puede plicr l regl de Crmer. A m m m 6m ( m)( m) A m m ( m m ) A m m A A ( m)( m) m m A A ( m m ) m m m m A A m m m m 8 Resuelve el sistem según los vlores de. Si 9 A 6 Como el sistem es homogéneo l solución es:,, Si 9 A Considermos el sistem: 9 9 A A 9 A A A A L solución es:,, con R 9 Resuelve por los métodos clásicos: reducción, igulción o sustitución, los sistems de ecuciones clsifíclos tendiendo su número de soluciones. ) b) c) 6 9 d) e) 8 f ) b b b

17 Sistems de ecuciones lineles ) b) 6 6 9, con R Sistem comptible indetermindo c) Sistem incomptible d) e) 8 f ) 6 6 b b b b 8 b b b Sistem incomptible Ddo el sistem, escribir un tercer ecución de l form b c (distint que ls nteriores) de mner que el sistem de tres ecuciones dos incógnits resultnte sig siendo comptible. (Mdrid. Junio. Opción B. Ejercicio ) 6 Respuest biert. Por ejemplo: 6

18 SOLUCIONARIO Resuelve plicndo el método de Guss. ) d) 8 b) e) c) f ) p q r p r p 6q r g) 9 8 h) b c b c b 8c ) b) c) d) e) 8 8

19 6 Sistems de ecuciones lineles f ) Sistem incomptible g) con R h) Utili el método de Guss pr discutir los siguientes sistems de ecuciones lineles. ) e) 6 8 p p q q b) f ) c) 6 6 g) d) b b b c c c h) 9 b b b c c c ) S istem comptible indetermindo b)

20 SOLUCIONARIO c) Sistem comptible indetermindo d) e) Sistem incomptible f ) g) Sistem incomptible h) Sistem comptible indetermindo Resolver el sistem de ecuciones lineles: (Etremdur. Septiembre. Repertorio A. Ejercicio ) con R En un sistem h, entre otrs, ests dos ecuciones: 6. Qué puede decirse de ls soluciones del sistem? (Ctluñ. Septiembre. Cuestión ) Como los coeficientes de ls incógnits son proporcionles los términos independientes no lo son, el sistem es incomptible.

21 Sistems de ecuciones lineles Dr un ejemplo de un sistem de ecuciones lineles con incógnits que se incomptible. (Etremdur. Junio. Repertorio B. Ejercicio ) Respuest biert. Por ejemplo: 6 Ddo el sistem, escribir un tercer ecución de l form (distint que ls nteriores) de mner que el sistem de ecuciones incógnits resultnte se comptible indetermindo. (Mdrid. Junio. Opción B. Ejercicio ) Respuest biert. Por ejemplo: Ddo el sistem de ecuciones : ) Añde un ecución linel de mner que el sistem resultnte se incomptible. b) Añde un ecución linel de mner que el sistem resultnte se comptible indetermindo. Resuelve el sistem. (Ctluñ. Junio. Cuestión ) ) Respuest biert. Por ejemplo: b) Respuest biert. Por ejemplo: con R 8 Discute por el método de Guss el sistem: 8

22 SOLUCIONARIO Si Si 9 9 Sistem incomptible 9 9 Resolver el sistem de ecuciones:. Hllr dos constntes de mner que l ñdir l sistem nterior un tercer ecución:, el sistem resultnte se comptible indetermindo. (Mdrid. Junio. Opción B. Ejercicio ) 9 6 Pr que el sistem se comptible indetermindo debe ocurrir que: 6 6 Dds ls mtrices A B b, donde b son números reles, hlle los vlores de b que hcen que ls dos mtrices conmuten, es decir, que hcen que se cumpl AB BA. (Ctluñ. Año. Serie. Cuestión ) b b AB b b BA b b AB BA Los productos son igules pr culquier vlor de de b. Consider ls mtrices A B. Qué condiciones hn de cumplir, pr que ls mtrices A B conmuten, es decir, pr que AB BA? (Cntbri. Septiembre. Bloque. Opción B) 9

23 Sistems de ecuciones lineles AB BA AB BA con R Escribe medinte ecuciones estos sistems. ) b) 6 b ) b) b b b b 6 Escribe en form mtricil estos sistems de ecuciones. ) c) t v 6v 8 b) p q r s p q s q r s d) 9 ) b) p q r s

24 SOLUCIONARIO c) 6 t v 8 d) 9 Escribe en form mtricil, luego resuelve emplendo l mtri invers. ) 8 8 b) 6 ) 8 8 AX B X A B A A X 8 8 b) 6 A X B X A B A A X

25 Sistems de ecuciones lineles Discute los siguientes sistems de ecuciones lineles utilindo el teorem de Rouché-Fröbenius. ) b) 8 6 c) b 6c d b c d 6 6 b d) b b c b c b c 8 ) A 6 A* A 9 Rngo ( A) Rngo ( A*) Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo b) A A* A Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits c) 6 6 A A* Rngo ( A ) 6 6 Rngo ( A*) Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible

26 SOLUCIONARIO d) A A* Rngo ( A) 8 8 Rngo (A*) Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo 6 Resuelve, plicndo l regl de Crmer, estos sistems comptibles determindos. ) b) b c b c b c c) b 6 b d) 9 ) A Se puede plicr l regl de Crmer. A A A A A A b) A Se puede plicr l regl de Crmer. A A b A c A A b A c b c A A A

27 Sistems de ecuciones lineles c) A Se puede plicr l regl de Crmer. A 6 6 A b A A b b A A d) A 6 Se puede plicr l regl de Crmer. A 9 A 9 A 9 6 A A A A A A Resuelve, plicndo l regl de Crmer, estos sistems comptibles indetermindos. ) 6 b) t t c) b b c b c d) p q r p r p q r 6 p 6q r ) 6 A 6 A 6 A A A A L solución es:,, con R

28 SOLUCIONARIO b) t t A t t A t t A A A t t t t A t t A A t t A L solución es:,,, t con R c) 9 b b c A c c A b 6c c A c A b c b A A L solución es:, b, c con R d) 6 6 p p q r p r q con R r

29 Sistems de ecuciones lineles 8 Discute resuelve los siguientes sistems de ecuciones lineles. ) b) c) c b c b c d) 6 e) c b c b c f ) t t t ) A A* g) 6 6 h) b c b c A Rngo ( A) Rngo ( A*) n.º de incógnits A A A A A A A A A b) A A* A Rngo ( A) Rngo ( A*) Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo Considermos el sistem: 6

30 SOLUCIONARIO A A A A A A L solución es:,, con R c) A A* A o Rngo ( A) Rngo ( A*) n. de incógnits A A b A c A A b A c b c A A A d) A 6 A* 6 6 Rngo ( A) 6 o Rngo ( A*) n. de incógnits

31 Sistems de ecuciones lineles e) A A* A Rngo ( A) Rngo ( A*) Rngo ( A) Sistem incomptible f ) A A* Rngo ( ) Rngo ( *) n. o A A de incógn its Sistem comptible indetermindo t Considermos el sistem: t t A t 6t A A 6 A t t t A A L solución es: 6,,, t con, R 8

32 SOLUCIONARIO g) A 6 6 A* 6 6 A 6 6 Rngo ( A ) Rngo ( A*) 6 Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo Considermos el sistem: 6 A A A A 8 9 A A L solución es: 8,, 9 con R h) A A * Rngo ( ) Rngo ( *) n. o A A de incóg nits Sistem comptible indetermindo b c Considermos el sistem: b c A c c A A A b b A A b c c 9 c c 9 9 L solución es:, b, c con R 9

33 Sistems de ecuciones lineles 9 Discute el sistem de ecuciones lineles según los distintos vlores del prámetro m. ( m ) ( m ) Al ser un sistem homogéneo sbemos que es comptible pr culquier vlor de m. m A m A m m m m m m m m Si m R {, } Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Si m o m Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo Discute, en función de, el sistem. (Cstill León. Junio. Prueb B. Cuestión ) A A * A Al ser l últim column de l mtri A* igul que l primer: Si R {, } Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Si o Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo El siguiente sistem de ecuciones depende de un prámetro p. Discútelo según los vlores de p. p p p p 6

34 SOLUCIONARIO A A* p p p A p p p p p p p p Si p Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Si p Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo Discute el sistem según los vlores de. A A A* Si R {, } Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Si Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo Discute este sistem pr los distintos vlores de k. k A A* k Rngo ( A) 6

35 Sistems de ecuciones lineles k k 6 Si k Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si k Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Discute el siguiente sistem de ecuciones lineles según los distintos vlores del prámetro p. p ( p ) p p p p p p p p p p A p A* p p p p p p p p p A p p( p ) p p p( p p) p ( p ) p p Si p R {,, } Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Si p, como Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si p A A* Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo Si p A A* Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo Qué vlores debe tomr en el siguiente sistem de ecuciones lineles pr que se incomptible? Y pr que se comptible? ( ) 6

36 SOLUCIONARIO A A * Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits pr culquier vlor de Sistem comptible indetermindo pr culquier vlor de 6 Clsific el siguiente sistem pr los distintos vlores del prámetro p. pb c pb c b c Al ser un sistem homogéneo sbemos que es comptible pr culquier vlor de p. p A p A p p 8p Si p Rngo (A) Rngo (A*) n.o de incógnits Si p Rngo (A) Rngo (A*) n.o de incógnits Sistem comptible indetermindo Hll pr qué vlores del prámetro este sistem es incomptible. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Qué vlor debe tomr pr que se comptible indetermindo? A ( ) A* ( ) ( ) 6

37 Sistems de ecuciones lineles A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( )) ( )( ) Si R {, } Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Si Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Si A A* Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo Luego no h ningún vlor de pr el que el sistem se incomptible. Los vlores pr los que es comptible indetermindo son. 8 Averigüe si el siguiente sistem puede ser comptible indetermindo pr lgún vlor de m. m Es incomptible pr lgún vlor de m? (Ctluñ. Junio 6. Cuestión ) Al ser un sistem homogéneo sbemos que es comptible pr culquier vlor de m. A m A m m Si m Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Si m Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo El sistem no es incomptible pr ningún vlor de m. 6

38 SOLUCIONARIO 9 Discute el sistem de ecuciones lineles según los vlores de b. ( b) b b b ( b) (Etremdur. Junio 6. Repertorio B. Ejercicio ) A b b b b A b b b b b b b( b ) A* b b b b b b b b b ( b )( b ) b b Si b R {, } Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Si b Si b Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo 6 Discutir l comptibilidd del siguiente sistem de ecuciones en función del prámetro. (Pís Vsco. Julio 6. Bloque A. Problem A) A A* A 6 6 Si Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Si Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible 6

39 Sistems de ecuciones lineles 6 Estudie, según los vlores del prámetro, el sistem de ecuciones lineles siguiente: (Murci. Junio 6. Bloque. Cuestión A) A A ( 6) A* ( ) Si R {6, } Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Si 6 Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo 6 ) El siguiente sistem es comptible determindo. Clcul su solución. b) Consider hor el sistem: Es posible encontrr vlores pr tles que el sistem se incomptible? En cso firmtivo, indic cuáles. Justific tu respuest. Es posible encontrr vlores pr tles que el sistem se comptible indetermindo? En cso firmtivo, indic cuáles. Justific tu respuest. (Cntbri. Junio. Bloque. Opción B) ) A A A A A A A A A 66

40 SOLUCIONARIO Comprobmos con l últim ecución: Por tnto, l solución es:,, b) A A* Rngo ( A) pr culquier vlor de 8 6 Si R {, } Rngo (A*) Rngo (A) Sistem incomptible Si o Rngo (A*) Rngo (A) Por tnto no h vlores pr los que el sistem se comptible indetermindo. 6 Clsificr el siguiente sistem según los distintos vlores de los prámetros b. b (Murci. Junio 8. Bloque. Cuestión B) A A b A* b b Si pr culquier vlor de b: Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Si b Si b Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo 6

41 Sistems de ecuciones lineles 6 Discute este sistem resuélvelo cundo m 6. m m A m A m m A* m m m m Si m Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Si m Si m 6 A Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible A 8 A A A A A 8 6 A A A 6 6 Se consider el sistem, donde es un prámetro rel. ) Discutir el sistem en función del vlor de. b) Resolver el sistem pr. (Cstill León. Septiembre. Prueb A. Problem ) ) A A A* 6 6 Si R, Rngo (A) Rngo (A*) 68

42 SOLUCIONARIO Si Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo b) Considermos el sistem: A A A A A A L solución es:,, con R 66 Se consider el sistem de ecuciones: ( m ) ( m ) m m ) Discútelo pr los distintos vlores de m. b) Resuélvelo pr m. (Cstill-L Mnch. Junio. Bloque. Pregunt B) ) m m A m m m m A m m m m m m A* m m m m m Si m R {, } Rngo (A) Rngo (A*) Si m Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si m Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible b) Si m A A A A A A A A A A 69

43 Sistems de ecuciones lineles 9 6 Ddo el sistem de ecuciones lineles 9, se pide: 9 ) Prueb que siempre es comptible, obteniendo los vlores de pr los que es indetermindo. b) Resuelve el ejercicio nterior pr. (C. Vlencin. Junio. Bloque. Problem ) 9 ) A A* 9 9 Ls dos últims columns de l mtri mplid son proporcionles entonces Rngo (A) Rngo (A*) pr culquier. A 8 8 Si R {, } Rngo (A) Rngo (A*) Si Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Si 6 Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo 9 b) Considermos el sistem: 9 A A A A A 8 A L solución es:, con R 8 68 Se S el sistem de ecuciones lineles: 6 S 9 8 A A Estudir l comptibilidd del sistem en función de A. Resolver pr A =. (Pís Vsco. Julio. Bloque A. Problem A)

44 SOLUCIONARIO 6 B 9 9 B* 8 A 8 A A 6 B 9 A ( 8 A 8 A ) A Si A Rngo (A) Rngo (A*) Si A Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Pr A : Considere el sistem de ecuciones: p 8. p 8. 9 ) Discútlo en función del prámetro p. b) Resuelv el sistem pr p 6. (Ctluñ. Septiembre 6. Problem 6) ) p 8 A p 8 p 8 A p 8 p 8. A* p 8. 9 p 8. p 6 p 6 p p p p 6 6 p Si p R {, 9} Rngo (A) Rngo (A*) 9 Si p o p 9 Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible

45 Sistems de ecuciones lineles b) Pr p 6 A. 8 A A A 6. 8 A A A 6. A A A Discute, según los vlores del prámetro m, el sistem: m m m Resuélvelo, si es posible, pr m m. (Glici. Junio 6. Bloque. Opción ) m A m m A* m m m A m m m m Si m Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si m Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Resolvemos pr m : Pr m el sistem es incomptible. con R Discute el siguiente sistem según el vlor del prámetro k resuélvelo cundo k. k ( k) k ( k) (Bleres. Junio. Opción A. Cuestión ) A k k k A* k k k

46 SOLUCIONARIO A k k k k k k k k k k Si k Rngo (A) Rngo (A*) Si k Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Pr k A A A A A A A A A A Clsific en función del prámetro el sistem de ecuciones: resuélvelo, si es posible, pr. ( ) (Cstill-L Mnch. Septiembre 6. Bloque. Pregunt B) Al ser un sistem homogéneo sbemos que es comptible pr culquier vlor de. A A 6 6 Si R {, } Rngo (A) Rngo (A*) Si o Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Pr considermos el sistem: con R

47 Sistems de ecuciones lineles Discute el siguiente sistem de ecuciones lineles resuélvelo en el cso de que se comptible indetermindo. A A* A Si R {, } Rngo (A) Rngo (A*) Si Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Pr considermos el sistem: A A A A A A L solución es:,, con R Estudir resolver, cundo se posible, el sistem: b (Murci. Septiembre. BLoque. Cuestión A) b A b A b A* b

48 SOLUCIONARIO Si b Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Si b Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Si b Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible b Pr b Pr b L solución es:, b ( b ) b b con R Discute el siguiente sistem de ecuciones resuélvelo en los csos en que se posible. A A A* ( ) Si R {, } Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si o Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Pr considermos el sistem: Pr considermos el sistem: L solución es:,, con R con R 6 Discute el sistem resuélvelo pr los vlores del prámetro que lo hgn comptible determindo. m m m m

49 Sistems de ecuciones lineles m A m m m A m m m m A* m m m m m 6m m Si m Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Si m Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si m Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Pr m A m A m m m m 6m A m 6m m A m m A m m m 6m A m 6m A m m m A m m m m m m m 6 A A m m m 6 m m Pr m considermos el sistem: A 6 A A A A A L solución es:,, con R Resuelve pr los vlores del prámetro que lo hcen comptible determindo. 6

50 SOLUCIONARIO A A Si R {, } Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits A A A A A A A A A 8 Estudir el siguiente sistem de ecuciones según los vlores del prámetro resolverlo en los csos que se posible. (Cnris. Junio 8. Bloque. Opción A) 6 A 6 A A* Si R {, } Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Si o Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Pr R {, }: 6 A A 8 8 A

51 Sistems de ecuciones lineles 6 6 A A A A 6 6 A A Pr considermos el sistem: 6 6 A A A 6 6 A A A L solución es:,, con R Pr considermos el sistem: 6 6 A A A A 6 6 A A L solución es:,, con R 9 Considerr el sistem linel de ecuciones en,. m m m ) Determinr los vlores del prámetro m pr los que el sistem tiene solución únic. Clculr dich solución pr m. b) Determinr los vlores del prámetro m pr los que el sistem tiene infinits soluciones. Clculr dichs soluciones. c) Estudir si eiste lgún vlor de m pr el cul el sistem no tiene solución. (Argón. Junio. Opción A. Cuestión ) A m m A m m m m A* m m m m m m 6 8

52 SOLUCIONARIO ) Si m R {, } Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Pr m A A A A A A A A A A b) Si m Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Pr m considermos: con R c) Si m Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible 8 Discútse, en función del prámetro rel k, el siguiente sistem de ecuciones lineles: k k k Resuélvse el sistem cundo se posible. (Cstill León. Septiembre 6. Prueb B. Problem ) k k A A* k k k k k 9 k 6 Rngo ( A) pr culquier vlor de k k k k k k( k 9) Si k R {,, } Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si k, k o k Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Pr k considermos el sistem: Pr k considermos el sistem: Pr k considermos el sistem: 9

53 Sistems de ecuciones lineles 8 Ddo el sistem de ecuciones lineles: ( k ) k k ( k ) k ) Discutirlo según los distintos vlores del prámetro k. b) Resolverlo cundo teng infinits soluciones. (Mdrid. Septiembre. Opción A. Ejercicio ) ) k A k k k A k k k k k A* k k k k k k k k k k k Si k R, Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Si k Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si k Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo b) Pr k considermos el sistem: A A A A A A L solución es:,, con R 8 Estudi el siguiente sistem de ecuciones lineles dependiente del prámetro rel resuélvelo en los csos en que es comptible. (Nvrr. Junio 8. Grupo. Opción A) ( ) ( ) ( ) 8

54 SOLUCIONARIO A A A * ( )( ) ( ) Si R {,, } Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Si Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si o Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Pr R {,, }: A A ( ) ( )( ) A ( ) A A ( ) A ( ) ( )( ) ( ) A Pr considermos el sistem: Pr considermos el sistem: ( )( ) A ( )( ) A ( )( ) ( ) ( ) con R con R 8 Ddo el sistem resolverlo cundo se comptible. (Argón. Junio 8. Bloque. Opción B) A discutirlo según los vlores de, A* 8

55 Sistems de ecuciones lineles ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) Si R {, } Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Si Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Pr considermos el sistem: A 6 A A A A 6 A A A 6 Pr considermos el sistem: A A A A 8 A A 8 8 A A L solución es: 8 8,, con R 8 8 Discutir, según los vlores que dopte el prámetro t (un número rel), l comptibilidd o incomptibilidd del sistem: t t t Resuélvelo cundo se posible. (L Rioj. Junio 6. Propuest B. Ejercicio ) 8

56 SOLUCIONARIO t t A A* t t t t t 9 t Rngo ( A) pr culquier vlor de t t t t t ( t )( t t ) Si t Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si t Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Pr t considermos el sistem: 8 Consider el sistem de ecuciones lineles, donde m R. m m ( m ) m m ) Determin el crácter del sistem según los vlores de m. b) Resuelve el sistem cundo se comptible determindo. c) Modific solmente un coeficiente de l últim ecución pr que el sistem resultnte se comptible pr culquier vlor de m. (Cntbri. Septiembre. Bloque. Opción A) m m ) A m m A* m m m m A m m m m m m m m m m m Si m Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Si m Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible b) Si m A m m m m A m m m A m m m m 8

57 Sistems de ecuciones lineles A m A m m m m m m m A m m( m ) A m A m m m m m A m c) Respuest biert. Por ejemplo: m m ( m ) m A ( m ) m m m m m Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits pr culquier vlor de m 86 Ddo el sistem de ecuciones lineles: Determinr pr qué vlor o vlores de el sistem tiene un solución en l que. (Mdrid. Junio 8. Opción A. Ejercicio ) Si ( ) 8 Consider este sistem de ecuciones: m m m ) Clsific el sistem según los vlores de m. b) Clcul los vlores de m pr los que el sistem tiene un solución en l que. (Andlucí. Junio. Opción A. Ejercicio ) m ) A m m m A * m m m m m m m m Si m Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Si m Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si m Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo 8

58 SOLUCIONARIO m b) Si m m(m ) m m m m m m m 88 ) Resolver el sistem de ecuciones: b) Hllr l solución del sistem nterior tl que l sum de los vlores correspondientes cd un de ls tres incógnits se igul. (Mdrid. Septiembre 6. Opción B. Ejercicio ) 8 ) con R b) Si 8 89 Ddo el sistem de ecuciones lineles: 6 6 ) Justificr que, pr culquier vlor del prámetro rel, el sistem tiene solución únic. b) Hllr l solución del sistem en función del prámetro. c) Determinr el vlor de pr el que l solución (,, ) del sistem stisfce. (C. Vlencin. Septiembre. Bloque. Problem ) 6 6 ) A 6 A* 6 6 A 6 Rngo ( A) Rngo ( A*) n. o de incógnits pr culquier vlor de 8

59 Sistems de ecuciones lineles A b) A 6 A 6 A A 6 A 6 A A A c) Si 9 Demuestr que pr que el sistem siguiente se comptible tiene que suceder que: c b. b c A A* b c A b c b c El rngo de l mtri A es. Pr que el sistem se comptible el rngo de l mtri A* tmbién tiene que ser igul. Pr ello: b c c b b 9 Los sistems: b c 9 c b Hllr, b c. (Murci. Septiembre. Bloque. Cuestión ) son equivlentes. 86

60 SOLUCIONARIO Si los sistems son equivlentes entonces tienen l mism solución. Así: b b b c 9 b c 9 c b 9 b c 9 9 b c b b 9b 8 c 8 9 Se consider el sistem de ecuciones: ) Discutirlo según los vlores del prámetro rel. b) Resolverlo pr. c) Resolverlo pr. (Mdrid. Junio. Opción B. Ejercicio ) ) A A* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) Si R {, } Rngo (A*) Rngo (A) Sistem incomptible 8

61 Sistems de ecuciones lineles Si Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Si Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo b) Pr considermos el sistem: c) Pr el sistem se reduce : b con, b R b 9 Ddo el sistem de ecuciones: A S B C Demostrr que es comptible determindo pr culquier vlor de A, B C encontrr l solución en función de dichos vlores. (Pís Vsco. Septiembre. Bloque A. Problem A) A A* A B C A Rngo ( A) Rngo ( A*) n. o de incógnits pr culquier vlor de A, B C A A B C A A B C A A B C A A B C A A B A B A A A B C A B B C C A 88

62 SOLUCIONARIO 9 En un supermercdo se venden huevos de ctegorís XL, L M. Averigu el precio de un docen de cd tipo de huevos sbiendo que: Crmen compró un docen de cd ctegorí pgó,9. Jesús pgó 9,6 por docens XL docens M. Esther se llevó docens L M pgó 9,. Sen,, los precios de cd docen de huevos de ctegorís XL, L M, respectivmente. Entonces:, 9, 9, 9 9, 6, 8,,, 6 9,, 6, Así, l docen de huevos XL cuest,8, l de ctegorí L vle,6 l de M,. 9 El bloque de pisos en el que vivo h estdo de obrs. El dministrdor de l comunidd está trtndo de descubrir cuánto cobrn l hor un electricist, un fontnero un lbñil. Sbe que: En el.º A el electricist estuvo hor el lbñil hors tuvieron que pgr 8 de mno de obr. En el.º D pgron 8 por ls hors que estuvo el fontnero l hor que estuvo el lbñil. En mi cs estuvieron hor el fontnero, hor el electricist hors el lbñil nos cobrron. Cuánto cobr por hor cd profesionl? Sen,, los precios por hor de trbjo del electricist, el fontnero el lbñil, respectivmente. Entonces: El electricist cobr 8, el fontnero el lbñil. 96 Tengo horrds moneds por un vlor totl de 9,. H cutro veces más moneds de que de. Tmbién h moneds de céntimos. Cuánts moneds h en totl? 89

63 Sistems de ecuciones lineles Sen,, ls moneds de, céntimos que tengo horrds, respectivmente. Entonces:, 9, H moneds de, de de céntimos. 9 Pilr compr cciones de l empres A, de B de C pg. mientrs que Jun gst. por l compr de cciones de A, de B de C. Con estos dtos, es posible sber el precio de cd cción? Y si cd cción tiene un precio entero comprendido entre, mbos incluidos? Sen,, los precios de ls cciones de ls empress A, B C, respectivmente. Entonces:.. 6. Los rngos de l mtri de coeficientes de l mtri mplid son igules, como el sistem tiene incógnits, el sistem es comptible indetermindo. Es decir, el sistem tiene infinits soluciones de l form: con R Con los dtos no es posible determinr los precios de ls cciones. Si ls cciones tienen un precio entero, el vlor de l cción de l empres C solo puede ser de 9, sí ls cciones de l empres A vlen ls de B. 98 El encrgdo de un lmcén de electrodomésticos dese conocer lo que pesn un frigorífico un lvdor. Como no tiene báscul requiere cierts informciones otros empledos: Sr. Moreno: un frigorífico un lvdor juntos pesn kg. Sr. Arce: el otro dí llevé en el cmión frigoríficos lvdors. L cmionet vcí pes. kg con l crg pesb. kg. Sr. Puente: o llevé frigoríficos lvdors todo pesb 8 kg. 9

64 SOLUCIONARIO Reli los cálculos pr determinr los pesos. Qué sucede? Busc lgun eplicción de esos resultdos. Se el peso de un frigorífico se el de un lvdor. Entonces: Rngo ( A) 8 6 Rngo ( A*) Rngo ( A) Sistem incomptible El sistem no tiene solución, por tnto los dtos recogidos no pueden ser correctos. 99 Cundo en el ño 8 Beethoven escribe su primer sinfoní, su edd es die veces mor que l del jovencito Frn Schubert. Ps el tiempo es Schubert el que compone su célebre Sinfoní Incomplet. Entonces l sum de ls eddes de mbos músicos es igul ños. Cinco ños después muere Beethoven en ese momento Schubert tiene los mismos ños que tení Beethoven cundo compuso su primer sinfoní. Determinr el ño de ncimiento de cd uno de estos dos compositores. (Argón. Junio. Opción A. Cuestión ) Sen e los ños de ncimiento de Beethoven Schubert, respectivmente, se el ño en que se compuso l Sinfoní complet. Entonces:. 8 (. 8 ) 6. ( ) ( ) Así, Beethoven nció en el ño Schubert en el 9. 9

65 Sistems de ecuciones lineles L lig de fútbol de un cierto pís l juegn equipos doble vuelt. Este ño, los prtidos gndos vlín puntos, los emptdos punto los perdidos puntos. En ests condiciones, el equipo cmpeón de lig obtuvo puntos. Hst el ño psdo los prtidos gndos vlín puntos el resto, igul. Con el sistem ntiguo, el ctul cmpeón hubier obtenido puntos. Cuántos prtidos gnó, emptó perdió el equipo cmpeón? (Argón. Septiembre 6. Opción A. Cuestión ) Sen,, los prtidos gndos, emptdos perdidos por el equipo, respectivmente. Entonces: El equipo gnó prtidos, emptó perdió otros. Ls eddes, en ños, de un niño, su pdre su buelo verificn ls siguientes condiciones: L edd del pdre es veces l de su hijo. El doble de l edd del buelo más l edd del niño más l del pdre es de 8 ños. El doble de l edd del niño más l del buelo es. ) Estblece ls eddes de los tres suponiendo que. b) Pr, qué ocurre con el problem plntedo? c) Siguiendo con, qué ocurre si en l segund condición l sum es de en ve de 8? (Asturis. Junio. Bloque ) Sen,, ls eddes del niño, del pdre del buelo, respectivmente. Entonces: 8 ) Si A A 8 A 6 A 6 A A A A A A El hijo tiene 8 ños, el pdre 6 el buelo 6. 9

66 SOLUCIONARIO b) Si A Rngo ( A ) 8 6 Rngo ( A*) Rngo ( A) Sistem incomptible c) Rngo ( A*) Rngo ( A ) o n. de incógnits Sistem comptible indetermindo En un cj h moneds de tres tipos: de, de de céntimos. Se sbe que, en totl, h moneds el vlor conjunto de tods ells es de. Se puede determinr el número de cd tipo de moneds? Si l respuest es firmtiv, encuentr el número de cd uno de los tipos de moned. Si l respuest es negtiv, encuentr, l menos, dos conjuntos diferentes de moneds de los tipos descritos de mner que el vlor totl se de. (Pís Vsco. Junio. Bloque E. Cuestión E) Sen,, el número de moneds de, céntimos que h en l cj, respectivmente. Entonces:, Los rngos de l mtri de coeficientes de l mtri mplid son igules, como el sistem tiene incógnits, el sistem es comptible indetermindo. Es decir, el sistem tiene infinits soluciones de l form:, 6,,, con R Respuest biert: dos soluciones posibles son 8 moneds de, de de céntimos, o bien, 9 moneds de, de de céntimos. 9

67 Sistems de ecuciones lineles De tres números,,,, sbemos lo siguiente: que el primero más el segundo sumn ; que el primero más el tercero sumn ; que l sum de los tres es, pr terminr, que el primero multiplicdo por un número k más el doble de l sum del segundo el tercero d. ) Qué puede decirse del vlor de k? b) Cuánto vlen esos tres números? (Ctluñ. Año. Serie. Problem ) k ( ) k Considerndo ls tres primers ecuciones: Si sustituimos en l últim ecución: k k Por tnto, si k el sistem es comptible determindo los números son:, Si k el sistem es incomptible, es decir, no tiene solución. En el mercdo podemos encontrr tres limentos preprdos pr gtos que se fbricn poniendo, por kilo, ls siguientes cntiddes de crne, pescdo verdur: Alimento Migto: 6 g de crne, g de pescdo g de verdur. Alimento Ctomel: g de crne, g de pescdo g de verdur. Alimento Comect: g de crne, 6 g de pescdo g de verdur. Si queremos ofrecer nuestro gto g de crne, g de pescdo 6 g de verdur por kilo de limento, qué porcentje de cd uno de los compuestos nteriores hemos de meclr pr obtener l proporción desed? (C. Vlencin. Septiembre. Ejercicio B. Problem ) Sen,, los porcentjes de crne, pescdo verdur que se encuentrn en los limentos, respectivmente. Entonces: A 6. A A 6.,6 8 A 9

68 SOLUCIONARIO 6 A A 6., 8 A 6 A A., 6 8 A Los porcentjes son: 6 %, % 6 %. Luis, Jun Óscr son tres migos. Luis le dice Jun: Si te do l tercer prte del dinero que tengo, los tres tendremos l mism cntidd. Clculr lo que tiene cd uno ellos sbiendo que entre los tres reúnen 6. (Argón. Junio. Opción A. Cuestión ) 6 6 Un coleccionist decide reglr un montón de sellos. A cd person con l que se encuentr le d l mitd de los sellos que llevb más uno, se encuentr ectmente con 6 persons. Si l finl regl todos los sellos, cuántos sellos tení el coleccionist? (Pís Vsco. Julio. Bloque E. Cuestión E) Se el número de sellos que tení el coleccionist. A l primer person le d: A l segund: : : A l tercer: : : 8 8 A l curt: 8 : :

69 Sistems de ecuciones lineles A l quint: : : A l set: : : Entonces: Juli Pedro están hblndo por teléfono pr comprobr que los sistems que hn resuelto les dn los resultdos. Solo h uno donde los resultdos son diferentes. Pr Juli ls soluciones de ese sistem son 8 8,,, mientrs que pr Pedro son 8,,. Después de cerciorrse de que mbos hn escrito el enuncido del problem de l mism mner, empien pensr que quiás sen dos mners diferentes de resolver el mismo sistem de ecuciones. Decídelo tú Si formmos un sistem con ls tres ecuciones: 8 8 comprobmos que mbs soluciones son corrects. 96