Matemáticas Aplicadas Ciencias Sociales II. Álgebra Lineal

Transcripción

1 Álgebr Linel (Junio-9 Sen ls mtrices, B Clculr l mtriz invers de B b Hllr el producto de l invers de B por l invers de. Qué relción eiste entre l mtriz del prtdo nterior y est mtriz? Justificr l respuest. (Sol: ; b ( B B (Junio-9 Un utomóvil sube cuests Km/h. Ls bj 9 Km/h y en llno mrch 8 Km/h. Pr ir de B trd hors y minutos, y pr volver de B, hors y 8 minutos. Cuál es l longitud de cmino llno entre y B, si se sbe que y B distn 9 Km? (Sol: Km (Sept-9 Discutir, según los vlores de m, el sistem b Resolverlo cundo m m y my (Sol: Si m SCD ; Si m, SI ; Si m, SCI; b / 6, y 7 / 6 m m (Sept-9 En un cdemi de idioms se imprte inglés y lemán en cutro niveles y dos modliddes: grupos 6 8 normles y grupos reducidos. L mtriz epres el número de persons en cd grupo, donde 6 l primer column corresponde los cursos de inglés, l segund los de lemán y ls fils, los niveles primero, segundo, tercero y curto, respectivmente. Ls columns de l mtriz:....7 B reflejn el porcentje de estudintes (común pr mbos idioms que siguen curso reducido (primer fil y curso norml (segund fil pr uno de los niveles. Obtener l mtriz que proporcion el número de estudintes por modlidd e idiom b Sbiendo que l cdemi cobr pt. por person en grupos reducidos y pt. por person en grupo norml, hllr l cntidd ingresd en cd uno de los idioms. (Sol: 9 ; b Inglés; 9 lemán 8 José Mnuel del Toro lgebr Linel -

2 (Sept-9 En cierto instituto, el 6% del lumndo de º de BUP pr º de BUP, el 8% de º de BUP ps º y el 9% de los º ps COU. Repiten curso el % de º, el % de segundo, el % de º y el % de COU. El resto bndon sus estudios y no se dmiten estudintes de otros centros slvo pr comenzr el ciclo. demás se sbe que el 6% de los estudintes que terminn EGB se mtriculn en dicho instituto en el curso siguiente. demás, el número de persons que finliz EGB cd ño es el 9% de ls que terminron el nterior. Construir un mtriz que muestre l evolución entre cursos de l poblción estudintil en dich loclidd. b Si en cierto curso, hbí 7 estudintes que terminbn EGB, en º, en º, en º y 7 en COU, cuál será l distribución de estudintes en el curso siguiente?..6 (Sol: ; b en 8º en º 6en º 6en º 87en COU 6 (Junio-96 Un empres fbric tres tipos de rtículos:, B y C. Los precios de coste de cd unidd son 6, 9 y. pesets, respectivmente. Los correspondientes precios de vent de un unidd de cd rtículo son.8,.8 y. pesets. El número de uniddes vendids nulmente es de.,.6 y 8, respectivmente. Sbiendo que ls mtrices de costes e ingresos C e I, son digonles y que l mtriz de vents V, es un mtriz fil, se pide: Determinr ls mtrices C, I y V. b Obtener, prtir de ls mtrices nteriores, l mtriz de ingresos nules correspondiente los tres rtículos, l mtriz de gstos nules y l mtriz de beneficios nules. 6 8 (Sol: C 9 ; I 8 ; V 6 8 b 68 I ; 9 6 B G ; 7 (Sept-96 Sen un mtriz de dimensión, B un mtriz de dimensión mn y C de dimensión 7. Si se sbe que se puede obtener l mtriz producto BC, cuál es l dimensión de l mtriz B? Y de l mtriz BC? b Si es un mtriz, eiste siempre el producto T? Rzone l respuest. (Sol: L de B, l de BC 7 ; b Siempre que se cudrd José Mnuel del Toro lgebr Linel -

3 8 (Sept-96 Un empres dispone de.7. pesets pr ctividdes de formción de sus cien empledos. Trs estudir ls necesiddes de los empledos, se h decidido orgnizr tres cursos:, B y C. L subvención por person pr el curso es de. pesets, pr el B es de 6. pesets y es de. pr el C. Si l cntidd que se dedic l curso es cinco veces myor que l correspondiente l B, cuántos empledos siguen cd curso? (Sol: el, el B y el C 9 (Junio-97 Sen ls mtrices y B Clculr ls mtrices C y D, sbiendo que C BD I, siendo I l mtriz identidd de orden dos. b Discutir y resolver el sistem ddo por: ( C D y, siendo ls mtrices C y D indicds en el prtdo nterior (Sol: C / 7 / 7 / 7 / 7 ; / / D ; b SCI ; (, R C y D ls mtrices inverss de (Sept-97 En un cerí se fbricn tres tipos de productos: cero en lámins, en rollos o ceros especiles. Estos productos requieren chtrr, crbón y leciones en ls cntiddes que se indicn en l tbl siguiente, por cd unidd de producto fbricdo: cero en lámins cero en rollos ceros especiles Chtrr Crbón 6 6 leciones Si durnte el próimo mes se desen fbricr 6 uniddes de cero en lámins, uniddes de cero en rollos y uniddes en ceros especiles, obtener un mtriz que indique ls cntiddes de chtrr, crbón y leciones que serán necesris. b Si se dispone de uniddes de chtrr, 8 de crbón y 9 de leciones, cuánts uniddes de cd tipo de cero se podrán fbricr con estos mteriles? (Sol: 9 de Chtrr, 7 de Crbón y de leciones ; b 8 de lámins, 8 de rollos y especiles (Junio-98 Se d el sistem m my y z z z José Mnuel del Toro lgebr Linel -

4 Hállense los vlores de m pr los que se comptible b Resuélvse, si es posible pr m (Sol: Siempre ; b (,, R (Junio-98 Los estudintes de cierto curso venden cmisets, gorrs y bnderines pr yudrse pgr un vije. Cd cmiset se vende 8 pesets, cd gorr pesets y cd bnderín pesets. Los costes de cd prend son de pesets por cmiset, por gorr y 8 pesets por bnderín. El beneficio neto obtenido es de 67. pesets y el gsto totl es de.6 pesets. Sbiendo que se hn vendido un totl de 7 uniddes en conjunto, clcúlese cuánts se hn vendido de cd clse. (Sol: cmisets, gorrs, bnderines (Junio-98 En un colegio se imprten clses de º, º y º de cierts enseñnzs. Los profesores tienen signdo un número de hors de clse, tutorís y gurdis cubrir de cuerdo con l siguiente mtriz: º M º º clse 8 gurdis 6 tutorís El colegio pg cd hor de clse. pesets, cd hor de gurdi pesets y cd hor de tutorí. pesets, según el vector: C El colegio dispone de profesores pr primer curso, pr segundo y 6 pr tercero, representdos por el vector: P 6 Clcúlense cd uno de los siguientes productos de mtrices e interprétense los resultdos: PM b MC c PMC (Sol: PM 7 ; b MC 6 (Sept-98 Se l mtriz ; c PMC=68. pts Hállese un mtriz B tl que B b Discútse, según los vlores de m, el sistem: my y José Mnuel del Toro lgebr Linel -

5 c Resuélvse el sistem nterior en quellos csos en los que se comptible (Sol: B b Si m SCD, Si m SI ; m ; y m m (Sept-98 Tres recipientes, B y C, lmcenn un totl de 7 litros de disolvente. El recipiente contiene l tercer prte que hy en B y C juntos. Si de B se psn litros C y 6 litros, se iguln ls cntiddes que hy en cd recipiente. Plntéese el sistem de ecuciones lineles que proporcion ls cntiddes de disolvente que hbí inicilmente en cd recipiente. b Resuélvse el sistem nterior. (Sol: 8 de, de B, de C 6 (Junio-99 Se consider el sistem: Discútse según los vlores de b Resuélvse pr y y y (Sol: Si SCD, Si, SI; b, y, z 9 z ( z z (Sept-99 Se l mtriz / / Clcúlese b Resuelve el sistem y z (Sol: / / b, y, z 9 8 (Junio- Se un número rel culquier, se define el sistem: y y z z z Discútse dicho sistem en función del vlor de b Encuéntrense tods sus soluciones pr José Mnuel del Toro lgebr Linel -

6 (Sol: Si SCD, Si, SCI ; b,, R ( 9 (Sept- Un empres dese disponer de dinero en efectivo en euros, dólres y librs esterlins. El vlor totl entre ls tres moneds h de ser igul 6. euros. Se quiere que el vlor del dinero disponible en euros se el doble del vlor del dinero en dólres, y que el vlor del dinero en librs esterlins se l décim prte del vlor del dinero en euros. Si se supone que un libr esterlin es igul, euros y un dólr es igul, euros, se pide determinr l cntidd de euros, dólres y librs esterlins que l empres h de tener disponible. (Sol: 6. euros, 7. dólres,. librs (Junio- Considérese el sistem de ecuciones dependiente del prámetro rel Discútse según los vlores de b Resuélvse el sistem pr y y y z z z (Sol: Si, SCD; Si, SCI ; Si, SI ; b y, z (Sept- Sen ls mtrices B Determínese si y B son invertibles y, en su cso, clcúlese l mtriz invers. b Resuélvse l ecución mtricil X B I, siendo I l mtriz identidd de orden tres. c Clcúlese 86. (Sol:, B no eiste ; b 7 86 X 7 ; c (Sept- Un hipermercdo inici un cmpñ de oferts. En l primer de ells descuent un % en un cierto producto, un 6% en el producto B y un % en el producto C. ls dos semns pone en mrch l segund ofert descontndo un 8% sobre el precio inicil de, un % sobre el precio inicil de B y un 6% sobre el precio inicil de C. Se sbe que si un cliente compr durnte l primer ofert un producto de, dos B y tres C, se horr 6 euros respecto l precio inicil. Si compr tres productos, uno B y cinco C en l segund ofert, el horro es de 9 euros. Si compr un producto, uno B y uno C, sin ningún tipo de descuento, debe bonr euros. Clcúlese el precio de cd producto ntes de ls oferts. (Sol: = euros, B = euros, C = 6 euros José Mnuel del Toro lgebr Linel - 6

7 José Mnuel del Toro lgebr Linel - 7 (Junio- Dds ls mtrices:, B, z y X, C Clculr ls mtrices B M y B N b Clculr P, siendo I N P, donde I represent l mtriz identidd. c Resolver el sistem C PX (Sol: 7 6 ; ( N M ; b / / / / P ; c X (Sept- Encontrr tods ls mtrices X tles que X X, siendo (Sol: d d X ( (Junio- Estudir y resolver el siguiente sistem linel de ecuciones: z y y z y (Sol: SCI; sol: R,, ( 6 (Sept- Clculr los vlores de pr ls cules l invers de l mtriz coincide con su trspuest. (Sol: 7 (Junio- Hllr tods ls mtrices c b X ; c b,, que stisfcen l ecución mtricil X X (Sol: X ; b X ; b X ; X 8 (Sept- Se consider el sistem linel de ecuciones dependientes del prámetro rel m: mz my z y z y m

8 Discútse el sistem según los distintos vlores del prámetro m. b Resuélvse el sistem pr m (Sol: Si m y m, SCD, Si m, SI, Si m, SCI ; b 9,, R 9 (Junio- Se consider el siguiente sistem de ecuciones, dependiente del prámetro rel k: y z ky z y z Se pide: Discutir el sistem pr los distintos vlores de k. b Resolver el sistem en los csos en que se posible. (Sol: Si k 8, SCD; Si k 8, SCI ; b Pr k 8, (,, ; Pr k 8, 7,, 9 9 R (Sept- Se consider el sistem linel de ecuciones que depende del prámetro rel p y y y Discutir el sistem según los distintos vlores de p. b Resolver el sistem pr p (Sol: Si p, SCD; Si p, SI ; b, y, z z pz z p (Junio-6 Encontrr tods ls mtrices X cudrds que stisfcen l iguldd X X en cd uno de los dos csos siguientes: b (Sol: b ; b d b (Sept-6 Se consider el sistem linel de ecuciones que depende del prámetro rel y y y z z z José Mnuel del Toro lgebr Linel - 8

9 Discutir el sistem según los distintos vlores de. b Resolver el sistem pr (Sol: Si, SCD; Si, SCI b, y, z (Junio-7 Se consider el sistem linel de ecuciones que depende del prámetro rel y y y Discutir el sistem según los distintos vlores de. b Resolver el sistem pr (Sol: Si 7 /, SCD; Si 7 /, SI b, y, z z z z 8 (Sept-7 Se consider el sistem linel de ecuciones que depende del prámetro rel y y y c Discutir el sistem según los distintos vlores de. d Resolver el sistem pr y z z z (Sol Si, SI; Si, SCI ; b, y, z,,, R (Junio-8 Un gricultor tiene reprtids hectáres de terreno en brbecho, cultivo de trigo y cultivo de cebd. L superficie dedicd l trigo ocup hectáres más que l dedicd l cebd, mientrs que en brbecho tiene 6 hectáres menos que l superficie totl dedicd l cultivo totl de trigo y cebd. Cuánts hectáres tiene dedicds cd uno de los cultivos y cuánts están en brbecho? (Sol: H de Brbecho, de trigo y de cebd 6 (Sept-8 Un empres instl css prefbricds de tres tipos, B y C. Cd cs del tipo necesit hors de lbñilerí, de fontnerí y de electricist. Cd cs del tipo B necesit hors de lbñilerí, de fontnerí y de electricist. Cd cs del tipo C necesit hors de lbñilerí, 6 de fontnerí y de electricist. L empres emple ectmente 7 hors de trbjo l mes de lbñilerí, 68 de fontnerí y 8 de electricist. Cuánts css de cd tipo instl l empres en un mes? (Sol: de, 6 de B y de C 7 (Junio-9 Se consider el sistem linel de ecuciones que depende del prámetro rel k José Mnuel del Toro lgebr Linel - 9

10 y y y Discutir el sistem según los distintos vlores de k. kz z z b Resolver el sistem en el cso de que teng infinits soluciones. c Resuélvse el sistem pr k (Sol: Si k, SCD; Si k, SCI ; b,, R, c, y, z 8 (Sept-9 Se consider el sistem linel de ecuciones dependiente del prámetro rel k. Discútse el sistem según los vlores de k. y z ky z k z 6 b Resuélvse el sistem en el cso de que teng infinits soluciones. c Resuélvse el sistem pr k. (Sol: Si k y k SCD, Si k SCI, Si k SI ; b,, 6 R ; c / y, z / 9 (Junio- Fse Generl Se consider el sistem linel de ecuciones dependiente del prámetro rel k. Discútse el sistem según los vlores de k. y ky y kz z z k b Resuélvse el sistem pr el vlor de k pr el cul el sistem tiene infinits soluciones. c Resuélvse el sistem pr k (Sol: Si k y k, SCD; Si k, SI ; Si k, SCI ; b,, R ( ; c ; y / ; z / (Junio--Fse Específic Se consider el sistem linel de ecuciones dependiente del prámetro rel k. k y y y Discútse el sistem según los vlores de k. 7z kz b Resuélvse el sistem pr el vlor de k pr el cul el sistem tiene infinits soluciones. c Resuélvse el sistem pr k z 8 (Sol: Si k y k, SCD; Si k, SI ; Si k, SCI ; b,, R ; c ; y ; z José Mnuel del Toro lgebr Linel -

11 (Sept--Fse Generl Se consider el sistem linel de ecuciones dependiente del prámetro rel. y z 7 Discútse el sistem pr los diferentes vlores del prámetro. b Resuélvse el sistem pr el vlor de pr el cul el sistem tiene infinits soluciones. c Resuélvse el sistem pr Si k, SCD; Si k, SCI ; b,, R (Sept--Fse Específic Se considern ls mtrices. ; ( X y ; z O Clcúlense los vlores de pr los cules no eiste l mtriz invers b Pr, clcúlese l mtriz invers. c Pr, clcúlense tods ls soluciones del sistem linel X O (Sol:,, ; b / / / / / 6 / ; c (, /, R /. (Junio- Se consider el sistem linel de ecuciones dependiente del prámetro rel. y y y z z z Discútse el sistem según los diferentes vlores de. b Resuélvse el sistem en el cso en que teng infinits soluciones. c Resuélvse el sistem pr (Sol: Si y, SCD; Si, SCI ; Si (Junio- Se considern ls mtrices, SI ; b,, k 8 R ; c ; y ; z 9 ; B Clcúlense los vlores de k pr los que l mtriz es invertible. b Pr k, clcúlese l mtriz invers k José Mnuel del Toro lgebr Linel -

12 c Pr k, resuélvse l ecución mtricil X B (Sol: Si k, k ; b / / ; / X 8 (Sept- Se considern ls mtrices ; B ; I ; O b Clcúlense, b pr que se verifique l iguldd B B b Clcúlense c, d pr que se verifique l iguldd c di O c Clcúlense tods ls soluciones del sistem linel: I y (Sol:, b ; b c, d ; c (, R 6 (Junio- Se consider el sistem linel de ecuciones dependiente del prámetro rel. y ( y y 7z (6 z 6z Discútse el sistem según los diferentes vlores de. b Resuélvse el sistem en el cso en que teng infinits soluciones. c Resuélvse el sistem en el cso (Sol: Si y, SCD; Si, SCI ; Si, SI ; b,, R ; c 7 ; y ; z 7 (Junio- Un estdio de fútbol con cpcidd pr 7 espectdores está lleno durnte l celebrción de un prtido entre los equipos y B. Unos espectdores son socios del equipo, otros lo son del equipo B, y el resto no son socios de ninguno de los equipos que están jugndo. trvés de l vent de locliddes sbemos lo siguiente: No hy espectdores que sen socios de mbos equipos simultánemente. b Por cd socios de lguno de los dos equipos hy espectdores que no son socios. c Los socios del equipo B supern en 6 los socios del equipo. Cuántos socios de cd equipo hy en el estdio viendo el prtido? (Sol: 6 socios de, de B 8 (Sept- Se consider el sistem linel de ecuciones dependiente del prámetro rel k. José Mnuel del Toro lgebr Linel -

13 k y ky y z z z Discútse el sistem según los diferentes vlores de k. b Resuélvse el sistem pr k. c Resuélvse el sistem pr k. (Sol: Si k y k, SCD; Si k, SCI ; Si k, SI ; b ; y ; z ; c,, R 9 (Junio- Dd l mtriz Clcúlese b Resuélvse el sistem de ecuciones ddo por: y z (Sol: ; b, y, z (Junio- Se consider el sistem linel de ecuciones dependiente del prámetro rel. y y y z z Discútse el sistem según los diferentes vlores del prámetro R b Resuélvse el sistem pr. (Sol: Si, SCD; Si, SI ; b / ; y / ; z 8 (Sept- Se considern ls mtrices y B Clcúlese l mtriz invers de b Resuélvse l ecución mtricil X B I, donde I es l mtriz identidd (Sol: / / ; b X (Sept- Se consider el sistem linel de ecuciones dependiente del prámetro rel k José Mnuel del Toro lgebr Linel -

14 k k y ky y z kz Discútse el sistem según los diferentes vlores del prámetro k b Resuélvse el sistem pr k. (Sol: Si k,,, SCD; Si k, SCI ; Si k, SI b /8; y /8; z / (Junio- Sen ls mtrices y B Clculr ( t B donde t denot l trspuest de l mtriz b Resuélvse l ecución mtricil y / (Sol: ; b ; y (Junio- Se consider el sistem linel de ecuciones dependiente del prámetro rel y y y z z z Discútse el sistem según los diferentes vlores del prámetro b Resuélvse el sistem pr. (Sol: Si, SCD; Si, SCI ; b ; y ; z (Sept- Considérese el siguiente sistem de ecuciones dependientes del prámetro rel y y z z Determínense los vlores del prámetro rel que hcen el que el sistem se incomptible. b Resuélvse el sistem pr (Sol: ; b s t, s, t s, t R 6 (Sept- Considérese l mtriz José Mnuel del Toro lgebr Linel -

15 José Mnuel del Toro lgebr Linel - Clcúlese ( t b Clcúlese ( I t (Sol: ; b / / /