INDICADORES DE DESEMPEÑO

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1 INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICAS ASIGNATURA: MATEMATICAS DOCENTE: HUGO HERNAN BEDOYA TIPO DE GUIA: NIVELACION PERIODO GRADO FECHA DURACION 8º A/B Julio de 0 módulos INDICADORES DE DESEMPEÑO. Aplic procesos lógicos coherentes, l fctorizr completmente un epresión lgeric.. Estlece relción entre los procesos inversos de los productos notles, utilizándolos en l simplificción de epresiones lgerics.. Muestr inicitiv en l relizción de ctividdes consults.. Vlor el trjo en equipo, fvoreciendo el prendizje colectivo. FACTORIZACIÓN Es el proceso medinte el cul epresmos un polinomio como el producto de dos o ms epresiones o fctores. Es de notr que de cuerdo l estructur o form cso del polinomio, dich fctorizción o representción tiene un proceso definido; sí encontrmos los siguientes csos: FACTOR COMUN Fctor común sencillo Se d o present cundo todos los términos de l epresión lgeric, tienen un fctor común, es decir, todos los términos tienen un divisor común. Se etre el fctor común de los coeficientes máimo común divisor De l prte literl se etre l letr repetid en todos los términos, con el menor eponente. Se divide cd término de l epresión lgeric entre el fctor común el cociente resultnte se pone en un préntesis; préntesis que qued multiplicdo por el fctor común generl. Ejemplos:. + 8 En este ejercicio se oserv que h fctores comunes entre los términos del polinomio ddo, por lo que se eligen los fctores comunes con su menor eponente M.C.D. tnto entre los coeficientes numéricos como en l prte literl, oteniéndose como fctor común El otro fctor el que v dentro de un préntesis, result de dividir cd término del polinomio entre el fctor común. Luego el polinomio ddo qued fctorizdo Not: L fctorizción se puede compror efectundo el producto indicdo en el ldo derecho de iguldd, el cul dee dr el polinomio que se fctorizó.. m + m m

2 Est vez, el fctor común es un polinomio inomio, en este cso, m l fctorizción se reliz en form nálog l ejercicio nterior. Por lo tnto, m + m c m m. + c Fctor común por grupción de términos Este cso se present, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de igul numero de términos, con un fctor común diferente en cd grupo; sí se sc en cd grupo el fctor común quedndo l mism epresión en cd uno de los préntesis, pr luego tomr dicho préntesis como un polinomio común fctor común. Not: Trtr desde el principio que nos queden igules los términos de los préntesis nos hrá más sencillo el resolver estos prolems. Ejemplos:. v + u + uv uv u u v A simple vist se oserv que no h fctor común en todos los terminos, pero h términos que se precen como v uv. Además, h un número pr de términos, por lo que, se puede pensr en el cso de fctor común por grupción, Ahor efectumos un grupción conveniente de términos, por ejemplo, el º con el º, el º con el º el º con el º. Entonces, v + u + uv uv u u v v uv u u + uv u v, téngse en cuent que l encerrr en el préntesis, uno de los inomios grupdos, se dej un signo menos por fuer pr que en interior todos los términos tomen distinto signo sen igules los de los demás préntesis; luego scmos fctor común de cd prenteis. v u u u + u v u preciendo un nuevo fctor común u.v u + u v Finlmente, tenemos v + u + uv uv u u v u v u + u v Not: si l fctorizr los grupos no se consigue un nuevo fctor común, entonces, se grupn de otr form hst logrrlo. Es de notr que el ejercicio nterior tmién puede relizrse grupndo los términos de en, por ejemplo, los términos que tienen coeficiente numérico los que tienen coeficiente numérico. Trinomio cudrdo perfecto T.C.P Un trinomio es Cudrdo Perfecto si se tienen dos términos cudrdos un tercer término epresdo como el dole producto de sus ríces. Pr fctorizrlo se etre l ríz cudrd l primero tercer términos del trinomio se seprn ests ríces por el signo del segundo término. El inomio formdo se elev l cudrdo. Ejemplo: Como es un trinomio, l pregunt inmedit es: Será un trinomio cudrdo perfecto? Se

3 reconoce porque dos de sus términos son positivos cudrdos perfectos tienen ríz cudrd ect el tercer término positivo o negtivo es igul l dole producto de ls ríces cudrds de los dos primeros:. Entonces, el trinomio cudrdo perfecto se fctoriz seprndo ls ríces cudrds por el signo del º término, se encierrn entre préntesis se elev l cudrdo. O se, Diferenci de Cudrdos + Este cso se d cundo dos cudrdos perfectos se están restndo; pr fctorizrlo se etre l ríz cudrd l minuendo sustrendo se multiplic l sum de ests ríces cudrds por su diferenci. Ejemplos: +. Osérvese que son dos cudrdos perfectos que se están restndo, por lo tnto pr fctorizrlo, se sc l ríz cudrd de cd uno de los términos ests formn dos fctores, uno con ms uno con menos. Por lo tnto, Tmién se trt de un diferenci de cudrdos. Entonces, + + [ ] [ + + ] [ ] [ + + ] [] [ ]. + + Trinomio de l Form Es un trinomio pero no cudrdo perfecto, sino de l form + + c Se ren dos préntesis se sc l ríz cudrd de, l cul se distriue en cd uno de los préntesis. Se coloc el signo del segundo término en el primer préntesis en el segundo, el producto de los signos del º tercer término. Así: + + c p q, con p.q c, p + c

4 Ejemplos: 7 + como los signos de los préntesis quedn igules, uscmos dos números que multiplicdos den sumdos den 7. Estos son. Se coloc primero el mor en el segundo préntesis, el menor. Entonces, 7 + Trinomio de l form + + c Los trinomios de l form + + c pueden fctorizrse por vrios métodos o procedimientos: llevándolo l form de un trinomio de l + + c ; por tnteo plicndo l formul del chiller. ª form: Se multiplic se divide por el polinomio ddo, de mner que el primer término quede epresdo como un cudrdo perfecto, o se, ; en el segundo término se dej indicd l multiplicción, de mner, que se ve l ríz cudrd del primero, o se, en el último término, se hce l multiplicción ordinri; sí otenemos en el numerdor un trinomio de l form + + c, que finlmente deemos dividir por el mismo fctor por el que multiplicmos el polinomio inicilmente. Ejemplo: Primero multiplicmos dividimos el polinomio ddo por, oteniendo, luego fctorizmos el numerdor., pr ello uscmos dos números que multiplicdos den restdos porque tienen signos diferentes den. Los números son ;. Luego se fctoriz el primer préntesis pr eliminr el que está como denomindor, sí: Diferenci sum de cuos perfectos... Este cso se d cundo dos cuos perfectos se están restndo se descompone o fctoriz como el producto de dos fctores: El primer fctor es l diferenci de sus ríces cúics el segundo fctor se otiene elevndo l cudrdo l primer ríz, más el producto de ls dos ríces, más el cudrdo de l segund ríz. Ejemplos: Es un sum de cuos, hor scmos l ríz cúic cd término luego formmos los fctores: Por tnto, [ + ] + 0 +

5 . Se trt de un diferenci de dos cuos, por lo que se plic l segund epresión, [ ] [ + + ] desrrollndo: [ + ] [ ] Simplificndo: [ ] [ ] fctorizndo simplificndo: Polinomio Cuo Perfecto +, entonces, Pr que un polinomio de términos se el cuo de un inomio dee cumplir ls siguientes condiciones:.el primer el último término sen cuos perfectos.que el segundo término se más o menos el triple del cudrdo de l ríz cúic del primer término multiplicdo por l ríz cúic del último término..que el tercer término se más el triple de l ríz cúic del primer término por el cudrdo de l ríz cúic del último término. Not: Si los términos son positivos se refiere l cuo de l sum de ls ríces cúics de su primero último término si son lterndos positivos negtivos, l epresión dd es el cuo de l diferenci de dichs ríces. Ejemplo: Este cso se reconoce porque el polinomio tiene términos dos de ellos son cuos perfectos tienen ríces cúics ects; enseguid se dee ordenr pr ver si se trt del cuo de un inomio. En este cso, el polinomio está ordendo hor h que compror si se cumplen ls condiciones. Se procede sí: Se sc l ríz cúic del º el º término verificmos si,, El º término, es el triple del cudrdo de l primer ríz cúic por l segund:.. 7 El tercer término, dee ser el triple de l primer ríz por el cudrdo de l segund: Como se cumplen tods ls condiciones, demás, todos los términos son positivos, se trt del cuo de un sum. Entonces, se sumn ls ríces cúics, se encierrn entre préntesis luego se elev l cuo. O se,

6 . 8m + mn n 8m n El polinomio tiene términos dos de ellos son cuos perfectos, entonces, h que ordenrlo con relción l letr m: 8m 8m n + mn n Como los signos vn lterndos, se trtrí del cuo de un diferenci se fctoriz como en el ejemplo nterior: REGLA DE RUFFINI 8m 8m n + mn n m n m n m n m n En lgunos csos es conveniente fctorizr los polinomios medinte divisiones sintétics regl de Ruffini. Est regl se plic en polinomios cuos fctores son de l form ± Est regl nos dice que un polinomio tiene por fctor ± si l reemplzr el vlor por en el polinomio, el resultdo es cero. El vlor de de los posiles fctores de l epresión, es un divisor del término independiente del polinomio. Ejemplo: El posile vlor de deer ser divisor del término independiente es este cso tiene por divisor,,,, 8,. Culquier de ellos puede ser el que hg cero l epresión. Pr dividir en form sintétic, tommos los coeficientes del polinomio dividimos pr los divisores de. Promos con : Si , Sus coeficientes en orden son: NO SI Coeficientes resultntes Volvemos dividir: SI Bjs el primer cociente multiplics por el divisor. Uics jo el do.cociente pr sumr o restr según se el cso. Multiplics por el divisor uics jo el er.coeficiente si sucesivmente hst terminr todos los coeficientes. Comprues que l operción con el ultimo coeficiente te de cero cso contrrio usc otro divisor vuelve intentr. Si otienes cero entonces ese divisor es el vlor de l vrile pr que se cero el fctor será con el signo contrrio En nuestro cso nos slió pr - entonces el fctor es +. El polinomio se fctor entonces disminuendo un grdo l polinomio inicil tomndo los coeficientes resultntes.

7 CASOS COMBINADOS - reiterdos. En este ejercicio, oservmos que se d el cso de diferenci de cudrdo, entonces l fctorizción qued +, sin emrgo uno de los fctores o préntesis, dicionlmente cumple con ser tmién diferenci de cudrdos. Por lo que el polinomio ddo qued epresdo como: Primero verificmos si cumple lgunos de los csos vistos, como no es posile plicrlos entonces, se grupn los tres últimos términos del polinomio, los cules formrán un trinomio cudrdo perfecto sí, se otendrá un diferenci de cudrdos: + + [ + ] [ ] destruendo + + ACTIVIDAD I. Fctorr o fctorizr los siguientes polinomios: p q + pq m n + 8 mn - 7mn 7. 7hk + hk + hk 8. w - w + w. m m mc mnn mn..... n n. 7. z z m n m n.... n z nz n. n n n 7. n n p p t 0t. z z. n 0. p p.. 7. t t n n. z z

8 II. UBICAR EN CADA ESPACIO EL NÚMERO QUE HACE FALTA PARA QUE EL RESPECTIVO TRINOMIO SEA CUADRADO PERFECTO n n. 7. 7m m m m n 8. m m 8.. m n z n III. Fctorr o fctorizr: 8. m m n n m n - p 0. n. n m m m tn.tn Recuerd ls únics persons normles son ls que uno no conoce ien

9 COMBINADOS n n 7. 8 n n m m. p p p. m m m 0. FACTORIZAR Y SIMPLIFICAR... z z c c c c LOS OBSTÁCULOS SON ESAS COSAS ESPANTOSAS QUE VEZ CUANDO APARTAS LOS OJOS DE TU META HENRY FORD

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