euros Ejemplo: 1 Es bien conocida la fórmula del área de un triángulo de base b y altura asociada h: Ejemplo:

Transcripción

1 CAPÍTULO EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS. INTRODUCCIÓN. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.. Introducción No hce flt imginr situciones reuscds r ue, l hor de relizr un rzonmiento, nos toemos con lgun de ls cutro oerciones mtemátics ásics sum, rest, multilicción o división. Ejemlos Tres migos hn relizdo un vije de vcciones. A l vuelt, hn sumdo los gstos efectudos éstos scienden euros. El gsto relizdo or cd uno h sido de euros, es decir, euros. Si vmos comrr mndrins un fruterí en l ue el recio de un kilogrmo es de euros, result hitul ue, según vmos introduciendo l frut en un ols, vmos tntendo el imorte finl. Pr ello odemos colocr vris veces l ols sore un lnz, trs oservr el eso, relizmos l oerción ' donde es l cntidd de kilogrmos ue nos h indicdo l lnz. Desués de cd esd, el resultdo de es multilicción reflej el imorte de ls mndrins ue, en ese momento, contiene l ols. Suongmos ue tenemos un contrto con un comñí de telefoní móvil or el ue gmos céntimos de euro or minuto, sí como céntimos or estlecimiento de llmd. Con es trif, un llmd de minutos nos costrá 0'0 0' 0' 0' 0' euros Pero cuál es el recio de un llmd culuier? Como desconocemos su durción, nos encontrmos con un cntidd no determind, o indetermind, or lo ue en culuier resuest ue demos l regunt nterior se recirá l usenci de ese dto concreto. Podemos decir ue el coste de un llmd culuier es 0'0 0' 0'0 0' euros donde señl su durción, en minutos. Actividdes rouests. A finles de cd mes l emres de telefoní móvil nos roorcion l fctur mensul. En ell rece much informción, en rticulr, el número totl de llmds relizds N sí como l cntidd totl de minutos de conversción M. Con los dtos del nterior ejemlo, justific ue el imorte de ls llmds efectuds durnte ese mes es 0'0 M 0'N 0'0M 0'N euros Ejemlo h Es ien conocid l fórmul del áre de un triángulo de se ltur socid h En todos estos ejemlos hn surgido eresiones lgerics... Eresiones lgerics Llmmos eresión lgeric culuier eresión mtemátic ue se constru con números reles ls oerciones mtemátics ásics sum, rest, multilicción /o división. En un eresión lgeric uede her dtos no concretdos; según el conteto, reciirán el nomre de vrile, indetermind, rámetro, entre otros. Si en un eresión lgeric no h vriles, dich eresión no es más ue un número rel Ejemlo 0 Al fijr un vlor concreto r cd indetermind de un eresión lgeric rece un número rel el vlor numérico de es eresión lgeric r tles vlores de ls indeterminds. Ejemlo El volumen de un cilindro viene ddo or l eresión lgeric r h en l ue r es el rdio del círculo se h es su ltur. De este modo, el volumen de un cilindro cu se tiene un rdio de 0 cm de ltur cm es igul Mtemátics º B de ESO. Cítulo Eresiones lgerics. Polinomios cm L eresión lgeric ue reresent el roducto de los cudrdos de dos números culesuier e se simoliz or. Si en l eresión rticulrizmos ls tres vriles con los vlores =,, z surge el z número rel / En un eresión lgeric uede no tener sentido otorgr lgún vlor ciert indetermind. En efecto, en el último ejemlo no es osile hcer z = 0. Autor Edurdo Cuchillo Iáñez Revisor Jvier Rodrigo Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF

2 Actividdes rouests. Recuerd l eresión lgeric ue nos roorcion l longitud de un circunferenci.. Escrie en lenguje lgerico los siguientes enuncidos, referidos dos números culesuier e L mitd del ouesto de su sum. L sum de sus cuos. c El cuo de su sum d El inverso de su sum. e L sum de sus inversos. Un tiend de ro nunci en sus escrtes ue está de rejs ue todos sus rtículos están rejdos un 0 % sore el recio imreso en cd etiuet. Escrie lo ue gremos or un rend en función de lo ue rece en su etiuet.. El nterior comercio, en los últimos dís del eriodo de rejs, dese deshcerse de sus eistencis r ello h decidido umentr el descuento. Mntiene el 0 % r l comr de un únic rend, rtir de l segund, el descuento totl ument un % or cd nuev iez de ro, hst un máimo de 0 rtículos. Anliz cuánto gremos l relizr un comr en función de l sum totl de ls cntiddes ue figurn en ls etiuets del número de rtículos ue se duiern.. Clcul el vlor numérico de ls siguientes eresiones lgerics r el vlor o vlores ue se indicn + r = r = =. c + r =.. Indic, en cd cso, el vlor numérico de l siguiente eresión z =, =, z = =, = 0, z = c = 0, =, z = 0.. POLINOMIOS. SUMA Y PRODUCTO.. Monomios. Polinomios Uns eresiones lgerics de grn utilidd son los olinomios, cu versión más simle, l vez, generdor de ellos, son los monomios. Un monomio viene ddo or el roducto de números reles e indeterminds. Llmremos coeficiente de un monomio l número rel ue multilic l indetermind, o indeterminds; l indetermind, o indeterminds, conformn l rte literl del monomio. Ejemlos L eresión ue nos roorcion el dole de un cntidd,, es un monomio de vrile, de coeficiente. El volumen de un cilindro, r h, es un monomio con dos indeterminds, r h, coeficiente. Su rte literl es r h. Otros monomios son, z L eresión está formd or tres términos, tres monomios. Cd uno tiene un coeficiente un rte literl En el rimero,, el coeficiente es l rte literl. El segundo,, tiene or coeficiente rte literl. Y en el tercero,, el coeficiente es l rte literl. Atendiendo l eonente de l vrile, o vriles, djudicremos un grdo cd monomio con rreglo l siguiente criterio Cundo h un únic indetermind, el grdo del monomio será el eonente de su indetermind. Si recen vris indeterminds, el grdo del monomio será l sum de los eonentes de ess indeterminds. Ejemlos es un monomio de grdo en l vrile. r h es un monomio de grdo en ls indeterminds r h. es un monomio de grdo en e. z es un monomio de grdo en, z. Un número rel uede ser considerdo como un monomio de grdo 0. Un olinomio es un eresión construid rtir de l sum de monomios. El grdo de un olinomio vendrá ddo or el mor grdo de sus monomios. Ejemlos es un olinomio de grdo en l vrile. es un olinomio de grdo en ls indeterminds e. es un olinomio de grdo en e. z es un olinomio de grdo en, z. Tnto en est sección como en l siguiente nos limitremos, ásicmente, considerr olinomios con un únic vrile. Es Mtemátics º B de ESO. Cítulo Eresiones lgerics. Polinomios Autor Edurdo Cuchillo Iáñez Revisor Jvier Rodrigo Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF

3 Mtemátics º B de ESO. Cítulo Eresiones lgerics. Polinomios Autor Edurdo Cuchillo Iáñez Revisor Jvier Rodrigo Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF hitul escriir los diferentes monomios de un olinomio de form ue sus grdos vn en descenso r, con este criterio, recir en su rimer monomio cuál es el grdo del olinomio. El secto genérico de un olinomio en l vrile es 0... n n n n donde los coeficientes k son números reles. Decimos ue un olinomio es mónico cundo el coeficiente de su término de mor grdo es igul. Ejemlos es un olinomio de grdo en l vrile. es un olinomio de grdo en l indetermind. z z es un olinomio de grdo en z. Además, es un olinomio mónico. es un olinomio de grdo en. Como ocurre con culuier eresión lgeric, si fijmos, o escogemos, un vlor concreto r l vrile de un olinomio rece un número rel el vlor numérico del olinomio r ese vlor determindo de l vrile. Si hemos llmdo un olinomio, l evlución de en, or ejemlo, el número l denotmos or, leemos de menos tres o en menos tres. Con este criterio, si es un olinomio cu indetermind es l vrile, odemos referirnos él como o indistintmente. De est form recimos ue un olinomio uede ser entendido como un mner concret de signr cd número rel otro número rel. Ejemlos Si evlumos el olinomio en = nos encontrmos con el número El vlor del olinomio r es 0 Al rticulrizr el olinomio z z r en 0 z result el número 0 r... Sum de olinomios Como un olinomio es un sum de monomios, l sum de dos olinomios es otro olinomio. A l hor de sumr dos olinomios rocederemos sumr los monomios de igul rte literl. Ejemlos L sum de los olinomios es el olinomio + + = + En el siguiente ejemlo sumremos dos olinomios disoniéndolos, decudmente, uno sore otro. Ejemlo Proieddes de l sum de olinomios Proiedd conmuttiv. Si son dos olinomios, no imort el orden en el ue los colouemos l hor de sumrlos

4 Mtemátics º B de ESO. Cítulo Eresiones lgerics. Polinomios Autor Edurdo Cuchillo Iáñez Revisor Jvier Rodrigo Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF 0 Ejemlo Proiedd socitiv. Nos señl cómo se ueden sumr tres o más olinomios. Bst hcerlo gruándolos de dos en dos r r Ejemlo Tmién Actividdes rouests. Reliz ls siguientes sums de olinomios Elemento neutro. H un olinomio con un roiedd rticulr el resultdo de sumrlo con culuier otro siemre es éste último. Se trt del olinomio ddo or el número 0, el olinomio cero. Ejemlo 0 0 Elemento ouesto. Cd olinomio tiene socido otro, l ue llmremos su olinomio ouesto, tl ue l sum de mos es igul l olinomio cero. Alcnzmos el olinomio ouesto de uno ddo, simlemente, cmindo el signo de cd monomio. Ejemlo El olinomio ouesto de es, l ue denotremos como " ". Rtifiuemos ue su sum es el olinomio cero 0 Actividdes rouests. Escrie el olinomio ouesto de cd uno de los siguientes olinomios c 0. Consider los olinomios,, sí como el olinomio sum s. Hll los vlores ue dot cd uno de ellos r, es decir, clcul, s. Estudi si eiste lgun relción entre esos tres vlores.. Otén el vlor del olinomio en =. Qué vlor tom el olinomio ouesto de en =?.. Producto de olinomios Otr oerción ue odemos relizr con olinomios es l multilicción. El resultdo del roducto de olinomios siemre será otro olinomio. Aunue en un olinomio tenemos un indetermind, o vrile, como ell tom vlores en los números reles, l hor de multilicr olinomios utilizremos ls roieddes de l sum el roducto de los números reles, en rticulr l roiedd distriutiv del roducto resecto de l sum; sí, todo ued en función del roducto de monomios, cuestión ue resolvemos con fcilidd m n m n Ejemlos Tmién odemos mterilizr el roducto de olinomios tl como multilicmos números enteros

5 Mtemátics º B de ESO. Cítulo Eresiones lgerics. Polinomios Autor Edurdo Cuchillo Iáñez Revisor Jvier Rodrigo Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF Ejemlo Recordemos ue el olinomio ouesto de otro se otiene simlemente cmindo el signo de cd monomio. Est cción se corresonde con multilicr or el número el olinomio originl. De est form el olinomio ouesto de es En este momento rece de mner nturl l oerción diferenci, o rest, de olinomios. L definimos con l ud del olinomio ouesto de uno ddo Ejemlo Actividdes rouests. Efectú los siguientes roductos de olinomios c d. Reliz ls siguientes diferencis de olinomios c. Multilic cd uno de los siguientes olinomios or un número de tl form ue surjn olinomios mónicos. Clcul simlific los siguientes roductos c d Proieddes del roducto de olinomios Proiedd conmuttiv. Si son dos olinomios, no imort el orden en el ue los colouemos l hor de multilicrlos Ejemlo Proiedd socitiv. Nos señl cómo se ueden multilicr tres o más olinomios. Bst hcerlo gruándolos de dos en dos r r Ejemlo Tmién Actividdes rouests. Reliz los siguientes roductos de olinomios Elemento neutro. H un olinomio con un roiedd rticulr l multilicrlo or culuier otro siemre nos d éste último. Se trt del olinomio ddo or el número, el olinomio unidd. Ejemlo Proiedd distriutiv de l multilicción resecto de l sum. Cundo en un multilicción de olinomios uno de los fctores viene ddo como l sum de dos olinomios como, or ejemlo, tenemos dos ociones r conocer el resultdo relizr l sum, desués, multilicr

6 distriuir, licr, l multilicción cd uno de los sumndos, desués, sumr Comromos ue otenemos el mismo resultdo. En generl, l roiedd distriutiv de l multilicción resecto de l sum nos dice ue r r Conviene comentr ue l nterior roiedd distriutiv leíd en sentido contrrio, de derech izuierd, es lo ue comúnmente se denomin scr fctor común. Ejemlo Actividdes rouests. De cd uno de los siguientes olinomios etre lgún fctor ue se común sus monomios 0 0 ; 0. DIVISIÓN DE POLINOMIOS.. Introducción ls frcciones olinómics Hst este momento hemos estudido vris oerciones con olinomios sum, rest roducto. En culuier de los csos el resultdo siemre es otro olinomio. Cundo estlecemos un frcción olinómic como, or ejemlo,. lo ue tenemos es un eresión lgeric, un frcción lgeric, l cul, en generl, no es un olinomio. Sí rece un olinomio en el mu rticulr cso en el ue el denomindor es un número rel diferente de cero, esto es, un olinomio de grdo 0. Es sencillo consttr ue l eresión nterior no es un olinomio culuier olinomio uede ser evludo en culuier número rel. Sin emrgo es eresión no uede ser evlud r, ue nos uedrí el número 0 en el denomindor. Podrímos creer ue l siguiente frcción olinómic sí es un olinomio L eresión de l derech sí es un olinomio, ues se trt de un sum de monomios, ero l de l izuierd no lo es ue no uede ser evlud en 0. No ostnte, es frcción lgeric el olinomio, cundo son evludos en culuier número diferente de cero, ofrecen el mismo vlor. Son eresiones euivlentes llí donde ms tienen sentido... División de olinomios Aunue, como hemos visto en el rtdo nterior, un frcción olinómic, en generl, no es un olinomio, vmos dentrrnos en l división de olinomios ues es un cuestión imortnte útil. Anlicemos con detenimiento l división de dos números enteros ositivos. Cundo dividimos dos números, D dividendo entre d divisor, distinto de 0, surgen otros dos, el cociente c el resto r. Ellos se encuentrn ligdos or l llmd rue D r de l división D d c r. Alterntivmente c d d Además, decimos ue l división es ect cundo r 0. El conocido lgoritmo de l división ersigue encontrr un número entero, el cociente c, tl ue el resto r se un número menor ue el divisor d, mor o igul ue cero. Fijémonos en ue, sin est eigenci r el resto r, odemos escoger ritrrimente un vlor r el cociente c el cul nos suministr su vlor socido como resto r. En efecto, si tenemos como dividendo D = como divisor d =, si ueremos ue el cociente se c = su resto socido es r Dd c l coneión entre estos cutro números es Est últim lectur de l división de números enteros v guirnos l hor de dividir dos olinomios. Ddos dos olinomios, l división de, olinomio dividendo, entre, olinomio divisor, nos roorcionrá otros dos olinomios, el olinomio cociente c el olinomio resto r. Tmién uí esrá un eigenci sore el olinomio resto su grdo deerá ser menor ue el grdo del olinomio divisor. L relción entre los cutro será, nturlmente, c r r Tmién escriiremos c unue, en tl cso, seremos conscientes de ls cutels señlds en el rtdo nterior en cunto ls euivlencis entre olinomios otrs eresiones lgerics. Mtemátics º B de ESO. Cítulo Eresiones lgerics. Polinomios Autor Edurdo Cuchillo Iáñez Revisor Jvier Rodrigo Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF

7 Al igul ue ocurre con el lgoritmo de l división enter, el lgoritmo de l división de olinomios const de vris ets, de crácter reetitivo, en cd un de ls cules recen unos olinomios cociente resto rovisionles de form ue el grdo de esos olinomios resto v descendiendo hst ue nos tomos con uno cuo grdo es inferior l grdo del olinomio divisor, lo ue indic ue hemos concluido. Vemos este rocedimiento con un ejemlo concreto. Ejemlo Vmos dividir el olinomio entre el olinomio. Como el olinomio divisor,, es de grdo, deemos encontrr dos olinomios, un olinomio cociente c, un olinomio resto r de grdo o 0, tles ue c r o, como iguldd entre eresiones lgerics, c r A l vist de los olinomios, de lo dicho sore r, es evidente ue el grdo del olinomio cociente, c, h de ser igul. Vmos otenerlo monomio monomio. Primer roimción los olinomios cociente resto Pr oder logrr l iguldd c r, como el grdo de r será o 0, el término de mor grdo de,, surgirá del roducto c. Así otenemos l rimer roimción de c, su monomio de mor grdo mner utomátic, tmién un rimer resto r c, de r c Como este olinomio r es de grdo, mor ue, el grdo del olinomio divisor, ese olinomio resto no es el definitivo; deemos continur. Segund roimción los olinomios cociente resto r Si rticulrizmos l iguldd entre eresiones lgerics c lo ue tenemos hst hor result Est segund et consiste en dividir el olinomio r, surgido como resto de l et nterior, entre el olinomio, el divisor inicil. Es decir, reetimos lo hecho ntes ero considerndo un nuevo olinomio dividendo el olinomio resto del so nterior. El nuevo ojetivo es lcnzr l iguldd r c r. Al igul ue ntes, el grdo de r deerí ser o 0. Como el término de mor grdo de r,, sle del roducto c, es necesrio ue el olinomio cociente conteng el monomio c Ello nos llev un segundo resto r r r c Como este olinomio r es de grdo, igul ue el grdo del olinomio divisor, ese olinomio resto no es el definitivo; deemos continur. Tercer roimción los olinomios cociente resto Lo relizdo en l et segund nos ermite vnzr en l decud descomosición de l eresión lgeric ue nos ocu Est tercer et consiste en dividir el olinomio r, el resto de l et nterior, entre el olinomio, el divisor inicil. De nuevo reetimos el lgoritmo ero con otro olinomio dividendo el olinomio resto del so nterior. Perseguimos ue r c r. Como en cd so, el grdo de r deerí ser o 0. El término de mor grdo de r,, surge del roducto c, or lo ue c el tercer resto r es r r c Como este olinomio r es de grdo, menor ue, grdo del olinomio divisor, ese olinomio resto sí es el definitivo. Hemos concluido Mtemátics º B de ESO. Cítulo Eresiones lgerics. Polinomios Autor Edurdo Cuchillo Iáñez Revisor Jvier Rodrigo Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF

8 Mtemátics º B de ESO. Cítulo Eresiones lgerics. Polinomios Autor Edurdo Cuchillo Iáñez Revisor Jvier Rodrigo Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF Si lo eresmos medinte olinomios Conclusión l dividir el olinomio entre el olinomio otenemos como olinomio cociente c como olinomio resto r. Seguidmente vmos gilizr l división de olinomios Actividdes rouests. Comrue ue los cálculos ue tienes continución reflejn lo ue se hizo en el ejemlo nterior r dividir el olinomio entre el olinomio. Primer et Primer segund ets Ls tres ets. Divide los siguientes olinomios entre ; 0 entre c entre d 0 entre e entre 0. Encuentr dos olinomios tles ue l dividirlos rezc como olinomio cociente r como resto... Oerciones con frcciones lgerics Puesto ue tnto los olinomios como ls frcciones lgerics otenids rtir de dos olinomios son, en otenci, números reles, oerremos con tles eresiones siguiendo ls roieddes de los números reles. Sum o rest. Pr sumr o restr dos frcciones olinómics deeremos conseguir ue tengn igul denomindor. Un mner segur de logrrlo, unue uede no ser l más decud, es ést Producto. Bst multilicr los numerdores denomindores entre sí División. Sigue l conocid regl de l división de frcciones numérics

9 Mtemátics º B de ESO. Cítulo Eresiones lgerics. Polinomios Autor Edurdo Cuchillo Iáñez Revisor Jvier Rodrigo Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF Actividdes rouests. Efectú los siguientes cálculos c d. Reliz ls siguientes oerciones lterndo, en cd rtdo, únicmente uno de los denomindores, su resectivo numerdor. Comrue ls siguientes identiddes simlificndo l eresión del ldo izuierdo de cd iguldd. Clcul los siguientes cocientes 0 c 0 d. Simlific ls siguientes frcciones lgerics c d. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN POLINOMIO.. Fctorizción de un olinomio Tl como ocurre con l división enter, l división de olinomios tmién uede ser ect, es decir, el resto uede ser el olinomio cero. Ejemlo 0 En este cso escriimos diremos ue divide. Si otmos or un iguldd olinómic Oservmos ue el her otenido como resto el olinomio 0 nos ermite eresr el olinomio dividendo,, como roducto de otros dos olinomios, los olinomios divisor cociente, c. Hemos lcnzdo un fctorizción del olinomio, o un descomosición en fctores de. En generl, un olinomio concreto uede ser fctorizdo, o descomuesto, or medio de diferentes gruos de fctores. Si continumos con el olinomio nterior, un mner de otener un descomosición lterntiv consiste en, su vez, lcnzr un fctorizción de lguno de los olinomios o c. Consttemos ue el olinomio divide c 0 En efecto, l división es ect ello nos llev l siguiente iguldd Si l trsldmos l descomosición ue tenímos de

10 Actividdes rouests. Comlet, cundo se osile, ls siguientes fctorizciones c d. Determin un olinomio de grdo ue dmit un descomosición fctoril en l ue rticie el olinomio. Decimos ue un olinomio es reducile si dmite un fctorizción medinte olinomios de grdo inferior l suo. En cso contrrio el olinomio será irreducile. Es clro ue los olinomios de grdo no ueden ser descomuestos como roducto de otros dos olinomios de menor grdo. Son olinomios irreduciles. En el siguiente rtdo consttremos ue h olinomios de grdo ue tmién son irreduciles. De ls diferentes fctorizciones ue uede dmitir un olinomio l ue más informción nos roorcion es uell en l ue todos los fctores ue intervienen son olinomios irreduciles, uesto ue no es mejorle. Conviene dvertir ue, en generl, no es fácil lcnzr ese tio de descomosiciones. Seguidmente vmos hondr en est cuestión... Ríces de un olinomio Ddo un olinomio diremos ue un número rel concreto es un ríz, o un cero, del olinomio, si l evlur en otenemos el número 0, esto es, si 0 Ejemlo Consideremos el olinomio s. El número es un ríz de s, uesto ue s 0 Otr ríz de s es el número s 0 En cmio, el número no es un ríz de s s 0 Tmoco es ríz de s el número 0 s Actividdes rouests. Estudi si los siguientes números son o no ríz de los olinomios indicdos de de de 0 de de En el siguiente ejercicio vmos recoger lguns coneiones entre ls ríces de un olinomio ls oerciones de sum roducto de olinomios. Actividdes rouests. Suongmos ue tenemos dos olinomios,, un número rel. Si es un ríz de, tmién es ríz del olinomio sum? Si es un ríz de, tmién es ríz del olinomio roducto? H lgun relción entre ls ríces del olinomio ls del olinomio? El ue un número rel se ríz de un olinomio está fuertemente conectdo con l fctorizción de dicho olinomio Si un número rel concreto es un ríz del olinomio, entonces el olinomio divide. Dicho de otro modo, el olinomio dmite un descomosición fctoril de l siguiente form c r cierto olinomio c, el cul uede ser conocido l dividir entre. Vmos demostrr l nterior severción. Si dividimos entre, otendremos c r Como el olinomio divisor,, es de grdo, el olinomio resto h de ser de inferior grdo, deducimos ue el resto nterior es un número rel. Escrimos r c El olinomio de l izuierd,, es idéntico l de l derech, c. Por es rzón, l evlurlos en cierto número rel otendremos el mismo vlor. Procedmos rticulrizrlos r. Al ser ríz de, 0. Esto nos llev 0 c 0 c 0, sí, el resto es 0, c Es nturl ue nos reguntemos si es cierto el recíroco del resultdo nterior. L resuest es firmtiv Mtemátics º B de ESO. Cítulo Eresiones lgerics. Polinomios Autor Edurdo Cuchillo Iáñez Revisor Jvier Rodrigo Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF

11 Si un olinomio dmite un descomosición fctoril de l form c r cierto olinomio c cierto número rel, entonces el número es un ríz del olinomio, esto es, 0. Su demostrción es sencill. Bst ue evluemos en c 0 c 0 Si fundimos estos dos últimos resultdos en uno solo nos encontrmos nte el denomindo teorem del fctor Teorem del fctor. Un número rel concreto es ríz de un olinomio si solo si el olinomio divide, es decir, si solo si el olinomio dmite un descomosición fctoril de l form c Ejemlo Volvmos con el olinomio s. Semos ue el número es un Podemos descomoner s de l ríz de s. Rtifiuemos ue siguiente form divide s. Construe un olinomio de grdo de form ue teng un únic ríz. Mtemátics º B de ESO. Cítulo Eresiones lgerics. Polinomios 0 Vimos ue otr ríz de s es el número. Si oservmos l recedente fctorizción de s, es evidente ue este número no es ríz del fctor, or lo ue necesrimente dee serlo del otro fctor c c 0 Al her consttdo ue es ríz del Luego olinomio c, deducimos ue nos v udr descomoner c 0 Si reunimos lo hecho en los rtdos recedentes de este ejemlo s Se h descomuesto s como roducto de tres olinomios irreduciles de grdo. A l vist de ellos conocemos tods ls ríces de s, los números,. Los resultdos teóricos ue hemos estlecido nos conducen este otro Todo olinomio de grdo n tiene lo sumo n ríces reles, lgun de ls cules uede recer reetid entre esos no más de n números reles. H olinomios ue no dmiten ríces, es decir, ue no se nuln nunc Ejemlos El olinomio t no tiene ríces uesto ue l evlurlo en culuier número rel siemre nos d un vlor ositivo, or lo tnto, distinto de 0 t 0 Además, este olinomio de grdo dos, t, es un olinomio irreducile orue, l crecer de ríces, no odemos eresrlo como roducto de olinomios de menor grdo. Otro olinomio sin ríces es u. Sin emrgo, u es un olinomio reducile uesto ue, ovimente, uede ser eresdo como roducto de dos olinomios de inferior grdo. Aunue no se osile demostrrlo, or su dificultd, sí se uede nuncir ue todo olinomio de grdo imr osee, l menos, un ríz rel. Actividdes rouests 0. Construe un olinomio de grdo tl ue ose tres ríces distints.. Determin un olinomio de grdo tl ue teng, l menos, un ríz reetid. Autor Edurdo Cuchillo Iáñez Revisor Jvier Rodrigo Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF

12 . Conjetur, luego demuestr, un le ue nos ermit ser cuándo un olinomio culuier n n n n... 0 dmite l número 0 como ríz. n n. Demuestr un norm ue señle cuándo un olinomio culuier n n... 0 dmite l número como ríz.. Otén tods ls ríces de cd uno de los siguientes olinomios.. Regl de Ruffini En el rtdo nterior se roó l euivlenci entre ue un número rel se ríz de un olinomio el hecho de ue el olinomio mónico de grdo uno divid, esto es, ue eist otro olinomio c tl ue se osile un fctorizción de del tio c Deido l imortnci ue tiene l división de olinomios cundo el olinomio divisor es de l form, es conveniente gilizr tles divisiones. Ejemlo Consideremos el olinomio Puesto ue el resto no es cero,. Vmos no es un ríz de. 0 dividirlo entre. Si el resto es 0 Vemos cómo hn surgido tnto el 0 olinomio cociente como el resto. El el número será un ríz de 0 0 ue el grdo del dividendo se tres ; en el cso contrrio, si no es 0 el ue el divisor se de grdo uno resto, entonces no será ríz de imone ue el cociente teng grdo dos ue el resto se un número rel. El cociente const de los monomios, 0, los cules coinciden con los monomios de mor grdo de cd uno de los dividendos desués de disminuir sus grdos en un unidd rocede de el dividendo inicil, 0 viene de 0, or último, de. Este hecho, coincidenci en el coeficiente disminución del grdo en un unidd, se dee ue el divisor,, es mónico de grdo uno. Seguidmente, vmos tener en cuent únicmente los coeficientes del dividendo, or orden de grdo,,, ; en cunto l divisor, como es mónico de grdo uno, st considerr su término indeendiente, +, ero como el resultdo de multilicr los monomios ue vn conformndo el cociente or el divisor hemos de restárselo cd uno de los dividendos, tendiendo este cmio de signo, en lugr del término indeendiente, +, oerremos con su ouesto,, número ue, l vez, es l ríz del divisor sore el ue es l regunt de si es o no ríz de. 0 Primer so de l división Segundo so. El dividendo s ser Arece en el cociente el monomio coeficiente, el cul rovoc l desrición de en el dividendo l rición del monomio coeficiente. Desués de oerr sumr nos encontrmos con 0 coeficiente 0, en el cociente, 0. L irrución en el cociente del monomio 0 coeficiente 0 rovoc l desrición de 0 0 en el dividendo l rición del monomio 0 0 coeficiente 0 0. Desués de oerr sumr nos encontrmos con coeficiente 0, en el cociente,. Mtemátics º B de ESO. Cítulo Eresiones lgerics. Polinomios Autor Edurdo Cuchillo Iáñez Revisor Jvier Rodrigo Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF

13 0 0 Tercer so. El dividendo s ser En cd uno de los sos figur, en l rte centrl, lo mismo ue se h relizdo en l división convencionl, ero con l ventj de ue todo es más ágil deido ue únicmente se mnejn números reles los coeficientes de los distintos olinomios intervinientes. Estmos nte l llmd regl de Ruffini, un lgoritmo ue nos roorcion tnto el cociente como el resto ue resultn de dividir un olinomio culuier entre otro de l form. Ejemlo Dividmos el olinomio 0 entre Tenemos en el cociente el término indeendiente. Éste rovoc l eliminción de en el dividendo l rición del término Desués de oerr sumr nos encontrmos con el resto El cociente es el resto. Como el resto no es 0 deducimos ue el número no es ríz de. L relción entre dividendo, divisor, cociente resto es, como siemre Si evlumos en no uede dr cero, ero ué vlor result? 0 Nturlmente hemos otenido el resto nterior. Este hecho viene recogido en el denomindo teorem del resto. Teorem del resto. El vlor numérico ue dot un olinomio l rticulrizrlo en coincide con el resto ue rece l dividir entre. Actividdes rouests. Us l regl de Ruffini r relizr ls siguientes divisiones de olinomios entre entre c entre d entre. Emle l regl de Ruffini r dictminr si los siguientes números son o no ríces de los olinomios citdos de de c de d de. Utiliz l regl de Ruffini r conocer el vlor del olinomio en.. Estudi si es osile usr l regl de Ruffini, de lgun form, r dividir entre. Pr fcilitr l comrensión de los concetos resultdos de este tem l morí de los números ue hn recido hst hor, coeficientes, ríces, etc., hn sido números enteros. Por suuesto ue odemos encontrrnos con olinomios con coeficientes rcionles, o irrcionles, o con olinomios con ríces dds or un frcción o un número irrcionl. Tmién eisten olinomios ue crecen de ríces. Ejemlos Comroemos, medinte l regl de Ruffini, ue es ríz del olinomio / 0 Pr conocer ls ríces del olinomio deemos estudir si h lgún número rel tl ue lo nule, es decir, r el ue se teng 0. Así, el olinomio de grdo dos tiene dos ríces distints, ls cules son números irrcionles. Y semos ue h olinomios ue crecen de ríces, como or ejemlo. Arecimos ue l regl de Ruffini nos inform sore si un número concreto es o no ríz de un olinomio. Nturlmente, Mtemátics º B de ESO. Cítulo Eresiones lgerics. Polinomios Autor Edurdo Cuchillo Iáñez Revisor Jvier Rodrigo Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF

14 0 cundo estmos nte un olinomio, nos interes conocer sus ríces, no es osile efectur un rue con cd número rel r determinr cuáles son ríz del olinomio. En el róimo rtdo destcremos ciertos números cndidtos ser ríz de un olinomio... Cálculo de ls ríces de un olinomio A l hor de uscr ls ríces enters de un olinomio disonemos del siguiente resultdo n n Ddo un olinomio culuier n n... 0 cuos coeficientes son todos números enteros, sus ríces enters, si ls tuvier, se encuentrn necesrimente entre los divisores enteros de su término indeendiente 0. Procedmos su demostrción. Suongmos ue cierto número entero es un ríz de ese olinomio. Tl número dee nulrlo n n n n n n ;n n... 0 n n n n 0 n n... 0 ;n n... En l últim iguldd, el número del ldo izuierdo es entero, orue está eresdo como un sum de roductos de números enteros. Por ello, el número del ldo derecho, 0, tmién es entero. Al ser tmién enteros tnto 0 como, lcnzmos ue es un divisor de 0. Ejemlos Determinemos, con rreglo l nterior resultdo, ué números enteros son cndidtos ser ríces del olinomio. Tles números enteros cndidtos deen ser divisores de, el término indeendiente del olinomio. Por ello, los únicos números enteros ue ueden ser ríz de ese olinomio son,,,. Puede comrorse ue los números enteros son ríces; los demás no lo son. Ls únics osiles ríces enters del olinomio tmién son,,, En este cso ninguno de esos números es ríz del olinomio. Actividdes rouests 0. Pr cd uno de los siguientes olinomios señl, en rimer lugr, ué números enteros son cndidtos ser ríces sus, desués, determin cuáles lo son ; ; c ; d Algo más generl odemos firmr sore clses de números ríces de un olinomio n n Ddo un olinomio culuier n n... 0 cuos coeficientes son todos números enteros, sus ríces rcionles, si ls tuvier, necesrimente tienen or numerdor lgún divisor del término indeendiente, 0, or denomindor lgún divisor del coeficiente del término de mor grdo, Ejemlos Volviendo uno de los olinomios del ejemlo nterior,, los números rcionles cndidtos ser ríces sus tienen or numerdor un divisor de or denomindor un divisor de. Por lo tnto, los únicos números rcionles ue ueden ser ríz de ese olinomio son,,,,,,, Además de, tmién es ríz ; los demás no lo son. Ls únics osiles ríces rcionles del olinomio son,,,. En este cso ninguno de esos números es ríz del olinomio. Actividdes rouests. Comlet el ejemlo recedente comrondo ue, en efecto,. Pr cd uno de los siguientes olinomios indic ué números rcionles son cndidtos ser ríces sus, desués, determin cuáles lo son En el cítulo róimo, dedicdo ls ecuciones, seremos cces de otener ls ríces de todo olinomio de grdo dos, si ls tuviere. Mtemátics º B de ESO. Cítulo Eresiones lgerics. Polinomios Autor Edurdo Cuchillo Iáñez Revisor Jvier Rodrigo n es ríz del olinomio. Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF

15 .. Fctorizción de olinomios frcciones lgerics L fctorizción de olinomios uede ser utilizd r simlificr lguns eresiones en ls ue intervienen frcciones lgerics. Veámoslo trvés de un r de ejemlos Ejemlo Un frcción lgeric como uede ser simlificd grcis ue el numerdor el denomindor dmiten fctorizciones en ls ue lgún olinomio está resente en ms. Como hemos untdo en otrs ocsiones, ls eresiones finl e inicil no son idéntics ero sí son euivlentes en todos uellos vlores r los ue ms tienen sentido, esto es, r uellos en los ue no se nul el denomindor. Ejemlo En un sum de frcciones olinómics como ést odemos lcnzr un común denomindor en ls frcciones rtir de l descomosición de cd denomindor Conviene destcr ue en el resultdo finl se h otdo or dejr el denomindor fctorizdo. De es form, entre otrs cuestiones, se reci ráidmente r ué vlores de l indetermind es frcción lgeric no dmite ser evlud. Actividdes rouests. Simlific, si es osile, ls siguientes eresiones ; ; c. Reliz ls siguientes oerciones teniendo en cuent ls fctorizciones de los denomindores.. Productos notles de olinomios En este rtdo vmos destcr un serie de roductos concretos de olinomios ue surgen frecuentemente. Podemos eonerlos de mu diverss forms. Tl como lo hremos, recerá más de un indetermind; hemos de ser cces de recir ue si, en un lgún cso concreto, lgun indetermind s ser un número concreto esto no hrá nd más ue rticulrizr un situción más generl. Potencis de un inomio. Ls siguientes igulddes se otienen, simlemente, trs efectur los oortunos cálculos El cudrdo de un sum es igul l cudrdo del rimero, más el dole roducto del rimero or el segundo, más el cudrdo del segundo. Comrue l iguldd rtir de los cudrdos rectángulos de l ilustrción. El cudrdo de un diferenci es igul l cudrdo del rimero, menos el dole roducto del rimero or el segundo, más el cudrdo del segundo. Oserv l figur conéctl con l iguldd. Rtific l iguldd con los cuos risms de l figur. Podemos oservr ue, en cd uno de los desrrollos, el eonente del inomio coincide con el grdo de cd uno de los monomios. Mtemátics º B de ESO. Cítulo Eresiones lgerics. Polinomios Autor Edurdo Cuchillo Iáñez Revisor Jvier Rodrigo Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF

16 Ejemlos Actividdes rouests. Reliz los cálculos ; ; c ; d ; e. Otén ls fórmuls de los cudrdos de los siguientes trinomios c ; c. Desrroll ls siguientes otencis + ; + / ; c / ; d ; e ; f / /. Eres como cudrdo de un sum o de un diferenci ls siguientes eresiones lgerics c 0 + d + + e + f + + Sum or diferenci. De nuevo l siguiente iguldd se otiene trs efectur el roducto señldo Sum or diferenci es igul diferenci de cudrdos. Oserv ls figurs conéctls con l iguldd. Ejemlos c d Actividdes rouests. Efectú estos roductos ; ; c De vuelt los olinomios de un vrile, odemos decir ue en este rtdo hemos endido otencis de un olinomio, o roductos de un olinomio or sí mismo, sí como roductos de l form sum or diferenci. Conviene drse cuent de ue sus fórmuls, leíds l revés, constituen un fctorizción de un olinomio. Ejemlos Actividdes rouests 0. De cuerdo con lo euesto, fctoriz los siguientes olinomios ; ; c. Clcul los siguientes roductos + ; + ; c + ; d +. Eres como sum or diferenci ls siguientes eresiones ; ; c ; d 00. Simlific ls siguientes frcciones lgerics ; ; c EJERCICIOS Y PROBLEMAS.. En este ejercicio se v resentr un truco medinte el cul vmos divinr el número ue result trs mniulr reetidmente un número desconocido. Convierte en un eresión lgeric ls sucesivs lterciones del número desconocido justific lo ue ocurre. i. Dile un comñero ue escri en un el un número nturl ue no lo muestre ii. Que lo multiliue or 0 iii. Que l resultdo nterior le sume 00 iv. Que multiliue or 000 lo otenido v. Que divid entre 0000 l últim cntidd vi. Que l resultdo recedente le reste el número ue escriió vii. Indeendientemente del número desconocido originl ué número h surgido? Mtemátics º B de ESO. Cítulo Eresiones lgerics. Polinomios Autor Edurdo Cuchillo Iáñez Revisor Jvier Rodrigo Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF

17 . En este otro ejercicio vmos divinr dos números ue h ensdo un comñero. Construe un eresión lgeric ue recoj todos los sos, finlmente, descure el truco. i. Solicit un comñero ue escri en un el, no muestre, dos números nturles uno de un cifr entre otro de dos cifrs entre 0. ii. Que multiliue or el número escogido de un cifr. iii. Que l resultdo nterior le sume. iv. Que multiliue or lo otenido. v. Que l últim cntidd le reste. vi. Que multiliue el resultdo recedente or. vii. Que le sume lo nterior el número de dos cifrs ue eligió. viii. Dile l comñero ue desvele cuál es el resultdo de todos esos cmios. i. Qué deemos hcer r descurir los dos números ue escogió el comñero?. Estudi si h números reles en los ue ls siguientes eresiones no ueden ser evluds c d. Un erson tiene horrdos 000 euros decide deositrlos en un roducto ncrio con un tio de interés nul del %. Si decide recuerr sus horros l co de dos ños, cuál será l cntidd totl de l ue disondrá?. Generlicemos el ejercicio nterior Si ingresmos X euros en un deósito ncrio cuo tio de interés es del i % nul, cuál será l cntidd ue recuerremos l co de n ños?. Construe un olinomio de grdo,, tl ue.. Consideremos los olinomios, r. Reliz ls siguientes oerciones r ; ; c r ; d r. Clcul los roductos 0, 0, + 0,z 0, + 0, 0,z c. Efectú ls divisiones de olinomios entre ; 0 entre 0. Clcul los cocientes z / z c Reliz ls oerciones entre frcciones lgerics c d. Construe un olinomio de grdo tl ue el número se ríz su.. Determin un olinomio de grdo tl ue sus ríces sen, 0.. Construe un olinomio de grdo tl ue teng únicmente dos ríces reles.. Encuentr un olinomio tl ue l dividir entre se oteng como olinomio resto r.. Hll ls ríces enters de los siguientes olinomios c d. Otén ls ríces rcionles de los olinomios del ejercicio nterior.. Descomón los siguientes olinomios como roducto de olinomios irreduciles c d. Clcul ls otencis + z c / + d 0. Anliz si los siguientes olinomios hn surgido del desrrollo de otencis de inomios, o trinomios, o de un roducto sum or diferenci. En cso firmtivo eres su rocedenci. c 0 d e f g h i. Descomón en fctores c z d +. Con este ejercicio se retende mostrr l convenienci l hor de no oerr un eresión olinómic ue tenemos fctorizd totl o rcilmente. Comrue l iguldd. Determin tods ls ríces del olinomio. Mtemátics º B de ESO. Cítulo Eresiones lgerics. Polinomios Autor Edurdo Cuchillo Iáñez Revisor Jvier Rodrigo Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF

18 Mtemátics º B de ESO. Cítulo Eresiones lgerics. Polinomios Autor Edurdo Cuchillo Iáñez Revisor Jvier Rodrigo Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF. Fctoriz numerdor denomindor simlific c. Efectú ls siguientes oerciones simlific todo lo osile c. Efectú ls siguientes oerciones simlific todo lo osile c. Efectú ls siguientes oerciones simlific todo lo osile c. Efectú ls siguientes oerciones simlific todo lo osile c AUTOEVALUACIÓN. Señl los coeficientes ue recen en ls siguientes eresiones lgerics z c z. El vlor numérico de l eresión z en z,, es c d. Comlet decudmente ls siguientes frses L sum de dos olinomios de grdo dos es siemre otro olinomio de grdo. L sum de tres olinomios de grdo dos es siemre otro olinomio de grdo. c El roducto de dos olinomios de grdo dos es siemre otro olinomio de grdo. d L diferenci de dos olinomios de grdo dos es siemre otro olinomio de grdo.. Al dividir el olinomio entre el olinomio resto resultnte dee ser de grdo. uede ser de grdo. c dee ser de grdo menor ue. d ningun de ls ociones recedentes.. Consider el olinomio. Cuáles de los siguientes números enteros son rzonles cndidtos r ser un ríz su? c d. Consider el olinomio. Cuáles de los siguientes números rcionles son rzonles cndidtos r ser un de sus ríces? c d. Todo olinomio con coeficientes enteros de grdo tres tiene tres ríces reles. tiene, lo sumo, tres ríces reles. c tiene, l menos, tres ríces.. Es osile ue un olinomio, con coeficientes enteros, de grdo cutro teng ectmente tres ríces, sen diferentes o con lgun múltile?. Justific l vercidd o flsedd de cd un de ls siguientes frses L regl de Ruffini sirve r dividir dos olinomios culesuier. L regl de Ruffini ermite dictminr si un número es ríz o no de un olinomio. c L regl de Ruffini solo es válid r olinomios con coeficientes enteros. d L regl de Ruffini es un lgoritmo ue nos roorcion tods ls ríces de un olinomio. 0. Anliz si uede her lgún olinomio de grdo ocho ue no teng ningun ríz.

19 Eresión lgeric Vrile, indetermind Vlor numérico de un eresión lgeric RESUMEN Eresión mtemátic ue se construe con números reles ls oerciones mtemátics ásics de sum, rest, multilicción /o división Lo no concretdo en un eresión lgeric Al fijr un vlor concreto r cd indetermind, o vrile, de un eresión lgeric rece un número rel el vlor numérico de es eresión lgeric r tles vlores de ls indeterminds z Ls vriles, o indeterminds, del ejemlo nterior son,, z. Si, en l eresión recedente, hcemos =, =-, z=/ otenemos Monomio Eresión dd or el roducto de números reles e indeterminds z, Coeficiente de un monomio Prte literl de un monomio El número rel ue multilic l indetermind, o indeterminds, del monomio L indetermind, o roducto de indeterminds, ue multilic l coeficiente del monomio Grdo de un monomio Cundo h un únic indetermind es el eonente de dich indetermind. Si recen vris, el grdo del monomio será l sum de los eonentes de ess indeterminds Los coeficientes de los nteriores monomios son, resectivmente, - L rte literl de z es z Polinomio Eresión construid rtir de l sum de monomios Los grdos de los monomios recedentes son, resectivmente Grdo de un olinomio El mor grdo de sus monomios El nterior olinomio es de grdo Sum, rest roducto de olinomios El resultdo siemre es otro olinomio = + ; = +. + = + 0; = + ; = + +. División de dos olinomios Fctorizción de un olinomio Polinomio irreducile Se otienen otros dos olinomios, los olinomios cociente c resto r, ligdos los olinomios iniciles, los olinomios dividendo divisor Consiste en eresrlo como roducto de otros olinomios de menor grdo Es uel ue no uede ser eresdo como roducto de otros olinomios de grdo inferior Ríz de un olinomio Un número rel concreto es un ríz, o un cero, del olinomio, si l evlur en otenemos el número 0, es decir, si 0 Ríces fctorizción El ue un número rel concreto se un ríz del olinomio es euivlente ue el olinomio dmit un descomosición fctoril de l form c r cierto olinomio c c r, es ríz de son ríces de es un ríz de Número de ríces grdo Regl de Ruffini Todo olinomio de grdo n tiene lo sumo n ríces reles, lgun de ls cules uede recer reetid entre esos no más de n números reles Nos uede udr l hor de fctorizr un olinomio conocer sus ríces tiene dos ríces, no tiene ríces Mtemátics º B de ESO. Cítulo Eresiones lgerics. Polinomios Autor Edurdo Cuchillo Iáñez Revisor Jvier Rodrigo Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF