10.1 Funciones integrables Teorema fundamental del Cálculo Ejercicios

Transcripción

1 Integrción Funciones integrbles Integrción. Funciones integrbles 49. Teorem fundmentl del Cálculo 55.3 Ejercicios 58 El áre de un recinto, l longitud de un cble que cuelg entre dos postes, el volumen o l superficie de un esfer...estos son el tipo de problems que vmos resolver en este cpítulo. Pr ello presentmos el concepto de integrl de un función.. Funciones integrbles Definición.. Un prtición P de un intervlo [, b] es un conjunto finito del tipo P = {x, x,..., x n } donde = x < x <... < x n < x n = b. Ejemplo.. Los conjuntos {, }, {,, } o {, 3,, } son prticiones del intervlo [, ]. No lo son, en cmbio, conjuntos como {,, 3, }, {, 3, }. Definición.3. Se f : [, b] R un función cotd y P un prtición del intervlo. L sum superior S ( f, P) de l función f reltiv l prtición P es S ( f, P) = sup f ([x, x ])(x x ) + sup f ([x, x ])(x x ) sup f ([x n, x n ])(x n x n ). Análogmente se define l sum inferior I( f, P) como I( f, P) = inf f ([x, x ]) (x x ) + sup f ([x, x ])(x x ) sup f ([x n, x n ])(x n x n ). Ls sums inferiores y superiores que vemos en l siguiente figur son un proximción del áre que queremos clculr. Ahor bien, el vlor de l sum inferior siempre será menor que el de l integrl y l sum superior le ocurre lo contrrio. Definición.4. L integrl superior de f se define como f = inf { S ( f, P) : P prtición de [, b] }. [,b] L integrl inferior de f se define como f = sup { I( f, P) : P prtición de [, b] }. [,b] 49

2 Funciones integrbles Integrción f f x x x x 3... x n x x x x 3... x n Sum superior Sum inferior Figur. Sums superiores e inferiores Ls integrles superior e inferior son proximciones l integrl de l función. En un cso por exceso y en otro por defecto. Cundo mbs proximciones coinciden, tenemos un función integrble. Definición.5. Se f : [, b] R un función cotd. Diremos que f es integrble si coinciden l integrl superior e inferior. En ese cso, denotremos f dich integrl. [,b] Tmbién usremos con frecuenci ls notciones b en l vrible de integrción. f o b f (x) si queremos hcer hincpié Ejemplo.6. Clculr l integrl de f (x) = x en el intervlo [, ] Consideremos l prtición P n del intervlo [, ] que consiste en dividirlo en n trozos igules: { P n =, n, n,..., n } n,. Como l función f es creciente, su vlor máximo se lcnzrá en el extremo de l derech y el mínimo en el extremos de l izquierd. Con esto es fácil clculr el vlor de ls sums superiores e inferiores. S ( f, P n ) = I( f, P n ) = n ( i f n) n = n n i = i= i= i= n ( ) i f n n = n n(n + ) n n i = i=, y (n )n n. Si hcemos tender n infinito, lim n S ( f, P n ) = lim n S ( f, P n ) =. Por tnto x =. No es fácil clculr l integrl de un función con l definición. En el ejemplo nterior hemos tenido que usr l sum de un progresión ritmétic y usr prticiones de un form prticulr. En el resto del tem veremos qué funciones son integrbles, qué propieddes tienen y, por último, el teorem fundmentl del cálculo y l regl de Brrow nos permitirán clculr integrles de un form más cómod. 5

3 Integrción Funciones integrbles.. Propieddes Comenzmos recogiendo informción sobre l integrbilidd de funciones relciond con ls operciones usules. Linelidd de l integrl Con respecto l sum, el conjunto de ls funciones integrbles es un espcio vectoril y l integrl es un plicción linel. Proposición.7. Sen f, g : [, b] R integrbles. Entonces ) L sum f + g es integrble y ( f + g) = f + g. b) Si λ R, entonces (λ f ) = λ f. Producto de funciones L integrl que cbmos de introducir tmbién se comport bien con respecto l producto unque en este cso no hy un identidd que relciones l integrl de un producto de funciones con el producto de ls integrles. Proposición.8. Sen f, g : [, b] R integrbles. ) El producto de mbs funciones, f g, es un función integrble. b) (Desiguldd de Schwrz) ( ( f g) ) f g. c) (Desiguldd de Minkowski) ( ( f + g) ) / ( f ) / + ( g ) /. Orden En cunto l orden, el siguiente resultdo nos dice que l integrl lo conserv. Proposición.9. Sen f, g : [, b] R integrbles. Si f (x) g(x) pr culquier x [, b], entonces b f (x) b g(x). En prticulr, si f (x) pr culquier x se tiene que b f (x). No es evidente de l definición, pero se puede comprobr que si un función es integrble, su vlor bsoluto tmbién lo es. Proposición.. Se f : [, b] R integrble. Entonces l función f (x) = f (x) es integrble y f (x) [,b] [,b] f (x). 5

4 Funciones integrbles Integrción Dominio Se puede demostrr que si un función es integrble en un intervlo, tmbién lo es en culquier intervlo contenido en él. Teniendo en cuent esto, podemos clculr l integrl de un función en un intervlo dividiendo este en vrios trozos y sumr los resultdos. Esto se conoce como ditividd de de l integrl respecto de su dominio. Proposición. (Aditividd respecto del dominio). Se f : [, b] R un función cotd y c ], b]. Entonces f es integrble en [, b] si, y sólo si, es integrble en los intervlos [, c] y [c, b]. En ese cso, b c b f (x) = f (x) + f (x). c Observción.. L integrl de un función f en un intervlo [, b] no cmbi si trsldmos dich función. b f b + k b+k +k f (x k) b + k Podemos utilizr esto pr simplificr el cálculo de lguns integrles. Por ejemplo, si f es un función impr, entonces f (x) =. Por qué? Sólo tenemos que mirr l gráfic de l función. El áre entre y es igul que el áre entre y pero con signos opuestos y mbs se cnceln. Por ejemplo x 3 =. Si por el contrrio f es un función pr entonces f = f... Condiciones suficientes de integrbilidd Y hemos visto que ls funciones integrbles tienen muchs propieddes interesntes. L siguiente cuestión es hy muchs? Qué funciones son integrbles? Tenemos suficientes ejemplos de funciones integrbles? El primer resultdo que presentmos nos dice que el conjunto de ls funciones integrbles incluye l myorí de ls funciones con ls que hemos estdo trbjndo hst hor. Proposición.3 (Condiciones suficientes de integrbilidd). Se f : [, b] R un función. 5

5 Integrción Funciones integrbles ) Si f es continu, entonces es integrble. b) Si f es monóton, entonces es integrble. Observ que no hemos menciondo que l función teng que ser cotd. En ninguno de los csos es necesrio: pr funciones monótons es inmedito y pr funciones continus es consecuenci de l propiedd de compcidd. Podemos ir un poco más lejos, si estropemos un función integrble en unos pocos puntos, ni l integrbilidd ni el vlor de l integrl se ltern. Proposición.4. Se f : [, b] R integrble. Se g : [, b] R verificndo que el conjunto {x [, b] : f (x) g(x)} es finito. Entonces g es integrble y b f (x) = b g(x). Est resultdo firm que si se cmbi el vlor de un función en un cntidd finit de puntos se obtiene un función que sigue siendo integrble y, de hecho, el vlor de l integrl no cmbi. Observción.5. Existen funciones integrbles que no son continus. Este hecho deberí estr clro después de hber firmdo que ls funciones monótons son integrbles y recordndo que y conocemos funciones monótons que no son continus (como por ejemplo l prte enter). De tods forms l últim proposición nos d un mner muy fácil de fbricr funciones integrbles que no son continus: tómese un función continu y cámbiesele el vlor en un punto. De este modo se obtiene un función que dej de ser continu en dicho punto pero que tiene l mism integrl. Cmbindo el vlor de un función en un punto sólo obtenemos discontinuiddes evitbles. Aunque ls discontinuiddes no sen evitbles, si no son demsids, l función es integrble. Proposición.6. Se f : [, b] R cotd. Si f tiene un cntidd finit de discontinuiddes, entonces es integrble. Existe un crcterizción complet de ls funciones integrbles. Pr drl, se necesit hblr de conjuntos pequeños : los llmdos conjuntos de medid nul. Si l medid, l longitud en est cso de un intervlo cotdo es l(i) = sup(i) inf(i). Un conjunto de medid nul es un conjunto que tiene longitud cero. Vemos l definición con más detlle. Definición.7. Se A un subconjunto de R. Diremos que A es un conjunto de medid nul si ddo ε > existe un sucesión de intervlos cotdos {I n } verificndo que ) A i= I n, y b) l(i ) + l(i ) + + l(i n ) ε, n N. Ejemplo.8. Culquier conjunto finito es de medid nul. Teorem.9 (de Lebesgue). Se f : [, b] R un función cotd. Son equivlentes: ) f es integrble. b) El conjunto de puntos de discontinuidd de f es un conjunto de medid nul. 53

6 Funciones integrbles Integrción..3 Sums de Riemnn Un de ls dificultdes de l definición de integrl que hemos ddo rdic en el hecho de que involucr tods ls posibles prticiones del intervlo [, b]. L segund dificultd es verigur cuál es el supremo o el ínfimo de l función en cd uno de los intervlos socidos un prtición. Vmos dr respuest mbs cuestiones: ) En cunto ls prticiones, veremos que es necesrio considerr tods sino sólo lguns elegids decudmente. Así nos encontrremos el concepto de norm de un prtición. b) En cunto l segundo punto, el teorem de Drboux nos dirá que no hce flt clculr el supremo ni el ínfimo y que culquier punto del intervlo puede jugr el mismo ppel. Comencemos con ls prticiones. El ejemplo típico de prtición que hemos usdo consiste en dividir el intervlo [, b] en trozos igules. Aumentndo el número de trozos, nos proximmos l vlor de l integrl. En este cso, l longitud de cd uno de los trozos es b n, l longitud del intervlo dividido por el número de trozos, n. L norm de un prtición nos mide el tmño de los trozos o, más concretmente, el tmño del trozo más grnde. Definición.. Se P = { = x < x < x <... < x n = b} un prtición del intervlo [, b]. L norm de l prtición P es P = mx {x i x i : i =,,..., n}. Si en ls sums inferiores y superiores proximábmos por rectángulos cuy ltur er el supremo o el ínfimo de l función, hor vmos elegir como ltur el vlor de l función en un punto rbitrrio en cd uno de los intervlos reltivos l prtición. Pr cd prtición, tenemos muchs posibles elecciones de puntos. A culquier de ésts, ls vmos llmr sums integrles o sums de Riemnn. Definición.. Se f : [, b] R un función y se P = { = x < x < x <... < x n = b} un prtición del intervlo [, b]. Un sum integrl o sum de Riemnn es un sum de l form donde y i [x i, x i ], i =,,...n. f (y )(x x ) + f (y )(x x ) + + f (y n )(x n x n ) 54

7 Integrción Teorem fundmentl del Cálculo Y podemos dr l respuest l pregunt que plntemos l principio de l sección: pr proximrnos l vlor de l integrl de l función sólo tenemos que segurrnos de que l norm de ls prticiones tiendn cero independientemente de cuáles sen los puntos elegidos en el intervlo. Un de ls forms más fáciles de conseguirlo es dividiendo el intervlo en n trozos igules y hcer n tender infinito. Est es un versión light del teorem de Drboux que, de hecho, permite crcterizr ls funciones integrbles utilizndo sums integrles en lugr de sums superiores e inferiores. f (y i ) Figur. x x x y i x n Sum integrl o de Riemnn f Teorem. (de Drboux). Se f : [, b] R un función cotd y se {P n } un sucesión de prticiones del intervlo [, b] con lim P n =. Entonces, si S n son sums de n Riemnn socids P n se cumple lim S n = f. n. Teorem fundmentl del Cálculo Si f es un función definid y es un elemento de su dominio, diremos que f es integrble en [, ] y que f (x) =. Tmbién convendremos que b f = b f. Definición.3. Se I un intervlo. Diremos que f : I R es loclmente integrble si es integrble en culquier intervlo cerrdo y cotdo contenido en I. Ejemplo.4. ) Ls funciones continus y ls funciones monótons son loclmente integrbles. b) Si f es integrble en [, b], es loclmente integrble en dicho intervlo. Lem.5. Se f un función loclmente integrble en un intervlo I y sen, b, c I. Entonces b c b f (x) = f (x) + f (x). c Obsérvese que l comodidd del lem nterior rdic en que no sbemos como están ordendos, b y c. Definición.6. Si f es un función loclmente integrble en I y I podemos definir un nuev función que mide como cmbi l integrl de l función de l form F(x) = x f (t) dt. A ls funciones F definids de est form ls llmremos integrles indefinids de f. L integrl indefinid es l función que nos d el áre sombred de l Figur.3. 55

8 Teorem fundmentl del Cálculo Integrción Definición.7. Se I un intervlo de R. Un primitiv de un función f : I R es un función G : I R continu y derivble en el interior del intervlo que cumple que G (x) = f (x) pr culquier x en el interior de I. Figur.3 x Integrl indefinid Observción.8. Dos integrles indefinids se diferencin en un constnte. Ocurre lo mismo pr dos primitivs de un mism función. En efecto, l diferenci entre dos funciones con l mism derivd tiene derivd cero y por tnto es constnte (en un intervlo). En cunto integrles indefinids, si F(x) = x f (t) dt, y G(x) = x son integrles indefinids, entonces x x F(x) G(x) = f (t) dt f (t) dt = x f (t) dt + b b x b f (t) dt = f (t) dt b f (t) dt. Existe un grn tendenci confundir integrl y primitiv. Es usul que hblemos de vmos clculr l integrl cundo nos estmos refiriendo encontremos un función cuy derivd se.... Los conceptos de integrl definid y primitiv son, en principio, independientes. El objetivo de los dos siguientes resultdos es poner de mnifiesto que existe un clr relción entre ellos y, de pso, obtener un form práctic de clculr integrles. Teorem.9 (fundmentl del Cálculo). Se I un intervlo, f : I R un función loclmente integrble y F un integrl indefinid de f. Entonces ) F es un función continu. b) Si f es continu en I, entonces F es derivble en con F () = f (). En prticulr, si f es un función continu, F es un función derivble y F (x) = f (x) pr todo x en I. Ejemplo.3. ) L función prte enter, E(x), es monóton y por tnto integrble en culquier intervlo. Dicho de otr mner, l función prte enter es loclmente integrble en R. Culquier integrl indefinid será un función continu en todo R y derivble en R \ Z. Sin embrgo, l función prte enter no tiene primitiv. El teorem del vlor intermedio pr ls derivds (Teorem 7.) nos dice que l función prte enter no es l derivd de ndie porque su imgen no es un intervlo. b) L función f : [, ] R definid como {, si x = ±, f (x) =, x si < x <, no es integrble por no ser cotd. En cmbio, sí dmite un primitiv: l función rcoseno. 56

9 Integrción Teorem fundmentl del Cálculo Un de ls primers utiliddes del Teorem fundmentl del Cálculo es poder definir funciones de un mner riguros usndo l integrl. Por ejemplo, se puede definir l función logritmo como log(x) = x t dt. L función G(x) = h(x) f (t) dt es continu si lo son f y g. Si, demás, g y h son derivbles, y f es g(x) continu, entonces G es derivble con ( h(x) f (t) dt) (x) = f (h(x))h (x) f (g(x))g (x). g(x) Ejemplo.3. L función f (x) = x +.. Regl de Brrow sen(t) t dt es derivble y su derivd es f (x) = sen ( x + ) x x. + El siguiente resultdo, l regl de Brrow, nos permite resolver de modo práctico el cálculo de integrles y sustituirlo por el cálculo de primitivs. Teorem.3 (Regl de Brrow). Se f : [, b] R integrble y G un primitiv de f. Entonces b f (x) = G(b) G(). Ejemplo.33. L primer integrl que clculmos fue l de l identidd en el intervlo [, ] (ver Ejemplo.6). Ahor podemos clculrl mucho más fácilmente. [ ] x x = =. Ejemplo.34. Ls propieddes de l integrl nos pueden servir pr drnos cuent de que estmos hciendo lgo ml. Por ejemplo: [ ] x + x 4 = x + x = 3 ( + x ) 3/ =. A primer vist puede precer correcto, pero l integrl de un función continu y positiv no puede vler cero, tiene que ser positiv tmbién. Qué hemos hecho ml? L respuest es que x es x y no x como hemos dicho. Hgámosl correctmente: x + x 4 = x + x usemos que el integrndo es un función pr, [ ] = x + x = 3 ( + x ) 3/ =

10 Ejercicios Integrción Corolrio.35 (Teorem de cmbio de vrible). Se φ : [, b] R un función derivble y con derivd φ integrble. Se I un intervlo tl que φ([, b]) I y f : I R un función continu con primitiv G. Entonces.3 Ejercicios b ( f φ)φ = φ(b) φ() f = G(φ(b)) G(φ()). Ejercicio.. Hll ls derivds de cd un de ls funciones siguientes: ) F(x) = x sen3 (t) dt, b) F(x) = b x c) F(x) = b +t +sen (t) dt, x +t +sen (t) dt. Ejercicio.. Hll ls derivds de cd un de ls funciones siguientes: ) F(x) = x sen(log( + t)) dt, b) F(x) = x sen 3 (t) dt, c) F(x) = x 3 cos 3 (t) dt. x E Ejercicio.3. Estudi el crecimiento y decrecimiento de l función f : R + R definid como f (x) = x 3 x e t dt. Como consecuenci, estudir los extremos reltivos de dich función. E E Ejercicio.4. Ejercicio.5. Clcul el siguiente límite: lim x sen(x) e t dt sen. (x) x +x Clcul el máximo bsoluto de l función f : [, + [ R definid por f (x) = x (e t e t ) dt. Sbiendo que lim x + f (x) = ( π ), clcul el mínimo bsoluto de f. Ejercicio.6. Clcul el siguiente límite lim x x x sen(sen(t)) dt x. 58

11 Integrción Ejercicios E Ejercicio.7. Se consider l función f (x) = x 3 x e t dt, x R. ) Encuentr los intervlos de crecimiento y de decrecimiento de l función f en R. b) Clcul los extremos reltivos de f. c) Clcul lim x f (x) sen(x 3 x ). 59

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13 Cálculo de primitivs Cálculo de primitivs Cálculo de primitivs. Cálculo de primitivs Utilizremos l notción f (x) pr denotr un primitiv de l función f. Además, busndo del lenguje, menudo hblremos de integrl de l función cundo deberímos decir primitiv de l función. Los métodos que vmos comentr son sólo unos pocos y cubren l myorí de los csos usules, pero no debes olvidr que hy muchos más. En culquier cso, lo primero y más importnte es mnejr con soltur ls derivds de ls funciones elementles. En el Apéndice B puedes encontrr un pr de tbls con lguns de ls derivds y primitivs... Cmbio de vrible Medinte un cmbio de vrible es posible trnsformr l integrl en otr más sencill. Si hcemos y = φ(x), dy = φ (x), se tiene f (φ(x))φ (x) = f (y) dy. Pr terminr sólo tenemos que deshcer el cmbio. Ejemplo.. Clculr e x +3e x.. Integrción por prtes +e x. e x + 3e x [ y = e x ] y + 3y + e x = dy = e x = + y + 3y y dy = + y dy ( = 3 5 ) dy + y =3y 5 log y + = 3e x 5 log ( e x + ). Si u y v son dos funciones, teniendo en cuent que (u v) = u v + v u, obtenemos que u(x)v (x) = u(x)v(x) v(x)u (x). Est fórmul prece escrit en muchs ocsiones de l form udv = uv vdu El teorem especific con un poco más de rigurosidd ls condiciones necesris. Teorem. (Integrción por prtes). Sen u, v : [, b] R funciones derivbles con derivd continu. Entonces uv y vu son integrbles en [, b] y 6

14 Cálculo de primitivs Cálculo de primitivs b u(x)v (x) = u(b)v(b) u()v() b v(x)u (x). Ejemplo.3. Clculr x e x. [ ] x e x u = x, du = = dv = e x, v = e x = x e x e x = x e x e x = e x (x ). Ejemplo.4. Clculr sen(x) e x. [ ] u = sen(x), du = cos(x) sen(x)e x = dv = e x, v = e x = sen(x)e x [ ] u = cos(x), du = sen(x) = dv = e x, v = e x = sen(x)e x cos(x)e x sen(x)e x, cos(x)e x con lo que despejndo tenemos sen(x)e x = (sen(x)ex cos(x)e x )...3 Integrción de funciones rcionles Sen P(x) y Q(x) dos polinomios, y queremos clculr P(x) Q(x). Si el grdo de P es myor o igul que el de Q, podemos dividir los dos polinomios obteniendo P(x) G(x) = H(x) + Q(x) Q(x), donde H(x) y G(x) son polinomios y el grdo de G es menor que el grdo de Q. Por tnto, supondremos siempre que el grdo de P es menor que el grdo de Q. Integrles del tipo P(x) (x+b) n El cmbio de vrible y = x + b l trnsform en un integrl inmedit de l form P(y) y n Ejemplo.5. 3x + 5x + (x ) 3 = [ y = x, dy = ] = 3y + y + Integrles del tipo = =3 y 3 dy dy dy dy y + y + y 3 =3 log x x 5 (x ). 3(y + ) + 5(y + ) + dy Mx+N, donde el denomindor no tiene ríces reles x +bx+c Siempre se puede escribir x + bx + c = (x d) + k, con lo que descomponemos nuestr integrl en dos: y 3 dy. 6

15 Cálculo de primitivs Cálculo de primitivs Mx + N x + bx + c = Mx + N M(x d) + N + Md (x d) + k = (x d) + k M(x d) = (x d) + k + N + Md (x d) + k = M log (x d) + k + (N + Md) (x d) + k y l últim integrl es inmedit (del tipo rcotngente) si hcemos el cmbio de vrible y = x d k. Ejemplo.6. Clculr x+3 x +x+. Como x + x + = (x + ) +, hcemos el cmbio y = x + x + 3 x + x + = (y ) + 3 y dy = + Ríces reles y/o complejs simples En este cso y y + dy + dy y + = log(y + ) + rctn(y) = log(x + x + ) + rctn(x + ). Q(x) = (x )(x )... (x n )(x + b x + c )(x + b x + c )... (x + b m x + c m ). Lo que vmos hcer es descomponer de nuevo en frcciones más sencills de l siguiente mner: P(x) Q(x) = A + A + + A n x x x n + B x + C x + B x + C B m x + C m + b x + c x + + b x + c x, + b m x + c m donde A, A,..., A n, B, B,..., C m son constntes determinr. Pr clculrls desrrollmos e igulmos los coeficientes del mismo grdo. Observción.7. Si el polinomio Q(x) sólo tiene ríces reles se pueden clculr ls constntes A,...,A n dndo l vrible x los vlores,..., n. Ejemplo.8. Cálculo de x 4 : Como x 4 = (x )(x + )(x + ), l descomposición nos quedrí: x 4 = Si desrrollmos e igulmos coeficientes: Por tnto, A x + B x + + Cx + D x + x 4 = A(x + )(x + ) + B(x )(x + ) + (Cx + D)(x ) x 4 = (A + B + C)x 3 + (A B + D)x + (A + B C)x + (A B D) A + B + C = A = /4 A B + D = B = /4 = A + B C = C = A B D = D = / 63

16 Cálculo de primitivs Cálculo de primitivs x 4 = 4 x 4 x + x + = 4 log x 4 log x + rctn(x). Ríces reles múltiples En este cso el denomindor tiene l form Q(x) = (x ) r (x ) r... (x n ) r n, y podemos descomponer l frcción P(x) Q(x) en frcciones simples P(x) Q(x) = A x + A (x ) + + A r (x ) r + B x + B (x ) + C rn (x n ) r n Cd un de ests frcciones pertenecen lguno de los csos y estudidos. Ejemplo.9. Clculr (x )(x+) 3 (x )(x + ) 3 = A x + Igulndo coeficientes: L integrl nos qued (x )(x + ) 3 = 8 B x + + C (x + ) + D (x + ) 3 = A(x + )3 + B(x )(x + ) + C(x )(x + ) + D(x ) (x )(x + ) 3 = (x )(x + ) 3 A + B = 3A + B + C = 3A B + D = A B C D = x 8 x + 4 A = 8 B = 8 C = 4 D =. (x + ) = 8 log x 8 log x + + 4(x + ) + 4(x + ). Ríces reles y complejs múltiples. Método de Hermite P(x) Q(x) (x + ) 3 El método que vmos estudir, conocido como Método de Hermite, consiste en descomponer como sum de frcciones más simples de un form muy prticulr. Psos seguir: Pso Descomponemos el denomindor, Q(x), como producto de fctores de grdo y fctores de grdo irreducibles: Pso Q(x) = (x ) α (x n ) α n (x + b x + c ) β (x + b m x + c m ) β m. Escribimos el cociente P(x) Q(x) de l siguiente form: 64

17 Cálculo de primitivs Cálculo de primitivs P(x) Q(x) = A + + x ( + d A n x n + M x + N x + b x + c + + M mx + N m x + b m x + c m + F(x) (x ) α (x n ) α n (x + b x + c ) β (x + b m x + c m ) β m donde A,..., A n, M,..., M m, N,..., N m son coeficientes que tenemos que determinr, y en l frcción que prece con un derivd F(x) es un polinomio genérico de grdo uno menos que el denomindor. En resumen, se trt de escribir P(x) Q(x) como sum de frcciones simples, un por cd fctor, más l derivd de un cociente que tiene por denomindor lo que qued de Q(x). Cómo determinmos todos los coeficientes? Bst efectur l derivd, reducir tods ls frcciones común denomindor (que será Q(x)), e igulr P(x) l numerdor resultnte. Esto nos producirá un sistem de ecuciones cuy resolución nos drá el vlor de todos los coeficientes. Pso 3 Un vez escrit l función rcionl P(x) Q(x) P(x) Q(x) = de l form nterior, es fácil clculr su integrl: M x + N x + + b x + c A x + + F(x) + (x ) α (x n ) αn (x + b x + c ) β (x + b m x + c m ) β m Ejemplo.. Cálculo de x (x +9). x (x + 9) = Mx + N x d ( ) x + b x + 9 = (Mx + N)(x + 9) (x + 9) + (x + 9) x(x + b) (x + 9) = Mx3 + (N )x + (9M b)x + (9 + 9N) (x + 9) Igulndo los numerdores coeficiente coeficiente, obtenemos el sistem de ecuciones: M = { + N = M = b = = b + 9M = N = / = / 9 + 9N = De est form se tiene y l últim integrl vle x (x + 9) = x x x + 9 = ( x 3 x + 9, /9 ) = ( x ) + 3 rctn. 3 ) En resumen, x (x + 9) = x (x + 9) + ( x ) 6 rctn. 3 65

18 Cálculo de primitivs Cálculo de primitivs Ejemplo.. Clculr x x 3 (x +). x x 3 (x + ) = A x + Mx + N x + + d ( x 3 + bx + cx + d x (x + ) Relizndo l derivd y reduciendo común denomindor, obtenemos un sistem de ecuciones cuy solución es =, b = 5/, c =, d =, A = 5, M = 5 y N = ; por lo tnto x x 3 (x + ) = (5/)x + x (x + ) + 5 log(x) 5 log(x + )...4 Integrción de funciones trigonométrics Integrles de l form sen(x) cos(bx), sen(x) sen(bx), cos(x) cos(bx) Se resuelven usndo ls identiddes sen(x) sen(y) = [cos(x y) cos(x + y)], cos(x) cos(y) = [cos(x y) + cos(x + y)], sen(x) cos(y) = [sen(x + y) + sen(x y)]. ). Ejemplo.. sen(3x) cos(x) = sen(5x) + sen(x) = cos(5x) cos(x). Integrles de l form tn n (x), cotn n (x) Se reducen un con grdo inferior seprndo tn (x) o cotn (x) y sustituyéndolo por sec (x) y cosec (x). Ejemplo.3. Clculr tn 5 (x). tn 5 (x) = tn 3 (x) tn (x) = tn 3 (x) ( sec (x) ) = tn 3 (x) sec (x) tn 3 (x). Acbmos por seprdo cd integrl: tn 3 (x) sec (x) = 4 tn4 (x) (utilizndo el cmbio y = tn(x)) tn 3 (x) = = tn(x) tn (x) = tn(x)(sec (x) ) tn(x) sec (x) tn(x) = tn (x) + log cos(x). 66

19 Cálculo de primitivs Cálculo de primitivs Integrles de l form sen m (x) cos n (x), con n o m enteros impres Se trnsformn en un integrl rcionl con el cmbio y = cos(x) (si m es impr) o y = sen(x) (si n es impr). Ejemplo.4. Clculr cos 3 (x) sen (x). cos 3 (x) ( sen [ ] sen (x) = (x)) cos(x) y = sen(x) y sen = = (x) dy = cos(x) y dy = y y = sen(x) sen(x). Integrles de l form sen m (x) cos n (x), con n y m enteros pres Se resuelven usndo ls identiddes cos (x) = ( + cos(x)), y sen (x) = ( cos(x)). Ejemplo.5. Clculr cos (x). + cos(x) cos (x) = = cos(x) + = x + sen(x). 4 Integrles de l form R (sen(x), cos(x)), R un función rcionl pr. Diremos que R es un función rcionl pr si R(sen(x), cos(x)) = R( sen(x), cos(x)). Se resuelven utilizndo el cmbio y = tn(x) Ejemplo.6. Clculr sen 3 (x) cos 5 (x) [ ] sen 3 (x) cos 5 (x) = y = tn(x) ( + y ) 3 dy = sec = x y 3 dy = cotn (x) + 3 log tn(x) + 3 tn (x) + 4 tn4 (x). Integrles de l form R (sen(x), cos(x)), R un función rcionl Se trt de clculr primitivs de funciones rcionles en sen(x) y cos(x), es decir, funciones que sen cociente de dos polinomios en sen(x) y cos(x). En generl, se hce el cmbio de vrible t = tn ( ) x, con lo que sen(x) = t, cos(x) = t, y = dt. Con este cmbio convertimos l +t +t +t integrl en l integrl de un función rcionl, que y hemos estudido. Ejemplo.7. Clculr sen(x) tn(x) = sen(x) tn(x) cos(x) [ ( x ] t sen(x) cos(x) sen(x) = tn = t = = ) t 3 = 4t + log t =..5 Integrción de funciones hiperbólics 4 tn ( x ) + ( x ) log tn. dt 67

20 Cálculo de primitivs Cálculo de primitivs Integrles de l form R (senh(x), cosh(x)), R un función rcionl Se trt de clculr primitivs de funciones rcionles en senh(x) y cosh(x), es decir, funciones que sen cociente de dos polinomios en senh(x) y cosh(x). En generl, se hce el cmbio de vrible e x = t, con lo que l integrl en un rcionl, que y hemos estudido. Ejemplo.8. Clculr + senh(x)+3 cosh(x) + senh(x) + 3 cosh(x) = [ + 5 ex + = e x ] = t e x = dt/t dt = 5t + t + ( ) 5 t + = rctn ( 5 e x ) + = rctn. En lgunos csos, utilizr un método similr l que usmos pr clculr primitivs de funciones trigonométrics puede simplificr los cálculos. El siguiente método es un ejemplo de ello. Integrles de l form senh(x) cosh(bx), senh(x) senh(bx) o cosh(x) cosh(bx) Se resuelven usndo ls identiddes senh(x) senh(y) = (cosh(x + y) senh(x y)) cosh(x) cosh(y) = (cosh(x + y) + senh(x y)) senh(x) cosh(y) = (senh(x + y) + senh(x y)). Ejemplo.9. senh(3x) cosh(x) = senh(4x) + senh(x) = 8 cosh(4x) 4 cosh(x)...6 Integrción de funciones irrcionles Integrles de l form ( R x, ( ) p x+b q cx+d, ( x+b cx+d q,..., ( ) ) x+b p n qn cx+d Se resuelven utilizndo el cmbio de vrible y q = x+b cx+d, donde q es el mínimo común múltiplo de q, q,..., q n. Ejemplo.. Clculr Hciendo el cmbio x = y 6, x + 3 = x x+ 3 x 6y 5 y 3 + y dy = 6 y 3 y + dy ) p =y 3 3y + 6y 6 log y + = x 3 3 x x 6 log 6 x +. 68

21 Cálculo de primitivs Cálculo de primitivs Integrles de l form R ( x, x ) Se trnsformn en un integrl trigonométric con el cmbio x = sen(t) o x = cos(t). Tmbién se puede relizr el cmbio x = tnh(t) y se trnsform en un integrl hiperbólic. Ejemplo.. Cálculo de 4 x : x Hcemos el cmbio x = sen(t), con lo que = cos(t)dt y 4 x = 4 4 sen (t) = cos(t). Sustituyendo: 4 x ( cos(t))( cos(t)) x = 4 sen dt = cotn (t) dt (t) = (cosec (t) ) dt = cotn(t) t usndo que cotn(t) = cos(t) sen(t) = 4 x x, se tiene que = 4 x Integrles de l form R ( x, + x ) x ( x rcsen. ) Se trnsformn en un integrl trigonométric usndo el cmbio x = tn(t). Tmbién se pueden resolver utilizndo el cmbio x = senh(t). Ejemplo.. Clculr x +x. Hcemos el cmbio x = tn(t), = sec (t)dt, x + x = sec (t) tn(t) sec(t) dt = dt sen(t) = log ( t ) cos ( + log t ) sen. Ejemplo.3. Clculr x +x. Hcemos el cmbio x = senh(t), x = senh (t) dt = + x (cosh(t) ) dt = 4 senh(t) t. Integrles de l form R ( x, x ) Se resuelven utilizndo los cmbios x = sec(t) o x = cosh(t). Ejemplo.4. Clculr x. x = tn(t) sen(t) sen cos (t) dt = (t) cos 3 (t) dt, que se resuelve plicndo los métodos y vistos. Tmbién podrímos hber utilizdo el cmbio x = cosh(t) y, en ese cso, se tiene que cosh(t) x = senh (t) dt = dt =... = x x rccosh(x). 69

22 Ejercicios Cálculo de primitivs Integrles de l form R ( x, x + bx + c ) Se reducen uno de los csos nteriores completndo cudrdos, esto es, escribiendo x +bx+c de l form (x + α) + β. Ejemplo.5. Clculr. 8x x Trnsformmos el integrndo: 8x x = (x 8x + 6) + 6 = (x 4) + 6 = 6 ( x 4 4 y hcemos el cmbio de vrible y = (x 4)/4: [ ] = y = (x 4)/4 8x x ( 6 ( ) x 4 ) = = dy = /4 4 ( ) 4dy = 4 y = dy x 4 = rcsen(y) = rcsen. y 4. Ejercicios.. Integrles inmedits y cmbio de vrible ) Ejercicio.. Clcul ls siguientes primitivs ) 5 x 6 b) x(x + )(x ) c) ( + 3 x 3 ) Ejercicio.. d) n x e) ( 3 x 3 ) 3 Clcul ls siguientes primitivs ) 3 +log(x) x b) e x + f) x + x c) x(x + 5).. Integrción por prtes Ejercicio.3. Clcul ls siguientes primitivs ) log(x) b) rctn(x) c) rcsen(x) d) x sen(x) e) xe x f) x e 3x..3 Integrción de funciones rcionles g) x sen(x) cos(x) Ejercicio.4. ) x 5x+9 x 5x+6 b) 5x 3 + x 3 5x +4x c) x(x+) Ejercicio.5. Clcul ls siguientes primitivs d) (x 4x+3)(x +4x+5) e) (x+)(x+b) Clcul ls siguientes primitivs 7

23 Cálculo de primitivs Ejercicios ) x 3 + b) (x+) (x +) c)..4 Integrción de funciones trigonométrics (x 4 ) Ejercicio.6. ) cos 3 (x) b) sen 5 (x) Clcul ls siguientes primitivs c) sen (x) cos 3 (x) d) sen (x) cos (x) e) cos 6 (3x) f) cos 5 (x) sen 3 (x) Ejercicio.7. Clcul ls siguientes primitivs ) cos(x) +cos(x) b) +tn(x) tn(x) c) +cos (3x) d) 3 sen (x)+5 cos (x) e) sen(x) +sen (x)..5 Integrción de funciones irrcionles Ejercicio.8. ) x 3 x b) x++ (x+) 3 Ejercicio.9. ) x x x+ b) x 5 x c) x 5 x Clcul ls siguientes primitivs Clcul ls siguientes primitivs c) x+ 3 x d) x++ (x+) x+ d) x 6 +x 7

24 7

25 Integrles impropis Integrles impropis en intervlos cotdos Integrles impropis. Integrles impropis en intervlos cotdos Hst hor hemos visto cómo clculr integrles de funciones cotds en intervlos cerrdos y cotdos. En est sección vmos extender l noción de integrl intervlos de culquier tipo y funciones no cotds. Pensemos por un momento en un cso concreto: l función f (x) = x en ], [. Sbemos clculr su integrl en culquier intervlo de l form [, b] ], [: b x = rcsen(b) rcsen(). Si queremos definir l integrl en ], [, l ide más nturl prece tomr límites. Movmos b hci y hci. L form más cómod de formlizr estos límites es utilizr sucesiones. Definición.. Se f :], b[ R un función loclmente integrble. Diremos que f es impropimente integrble si pr culesquier sucesiones { n } y {b n } de elementos de ], b[ con lim n = y lim b n = b se cumple que existe el límite n n bn lim f (x). n n En ese cso, usremos l notción bn lim n n f (x) = b f (x). L integrl impropi stisfce propieddes similres l de l integrl y vist. Sirvn los siguientes resultdos como muestr. Proposición. (Aditividd respecto del dominio). Se f un función loclmente integrble en el intervlo ], b[ y se c ], b[. Entonces ls siguientes firmciones son equivlentes. ) f es impropimente integrble en ], b[. b) f es impropimente integrble en ], c[ y en ]c, b[. Además, cso de ser cierts, se cumple que b c b f (x) = f (x) + f (x) c Proposición.3. Sen f y g funciones impropimente integrbles en ], b[ y sen λ, µ números reles. ) L función λ f + µg es impropimente integrble y En est definición no hemos sumido que el límite es único. Esto se obtiene como consecuenci de que el límite exist pr culesquier prej de sucesiones { n } y {b n }. 73

26 Integrción en intervlos no cotdos Integrles impropis b (λ f + µg)(x) = λ b b) Si f (x) g(x) pr todo x en ], b[, entonces b f (x) + µ f b g. b g(x). Sí hy un diferenci en cunto l integrbilidd impropi de l función f. Hy funciones impropimente integrbles cuyo vlor bsoluto no lo es. El recíproco sí es cierto. Teorem.4 (Test de comprción). Se f un función loclmente integrble en ], b[ y supongmos que g es un función impropimente integrble en ], b[ con f (x) g(x), pr todo x ], b[. Entonces f es impropimente integrble y se cumple que b b f (x) g(x). En prticulr si f es loclmente integrble y f es impropimente integrble, f tmbién es impropimente integrble. Ejemplo.5. L función f (x) = sen(x) x si x > y f () = es impropimente integrble en ], + [ pero f no lo es. En el cso de funciones continus l situción es un poco más sencill. El teorem fundmentl del Cálculo nos grntiz que l integrl indefinid es un primitiv. Vmos ver tres csos posibles.. Integrción en intervlos no cotdos Supongmos que tenemos un función definid en un intervlo no cotdo, f : [, + [ R, que es continu en todo [, + [. Podemos buscr un primitiv de f, llmémosl F, y estudir su comportmiento en + : si l función F tiene límite en +, diremos que existe l integrl impropi de f en [, + [, y dich integrl vldrá: + ( ) f (x) = lim F(x) F(), x + es decir, l integrl vle F(+ ) F(), considerndo F(+ ) = lim x + F(x). Si el límite de l primitiv es + o, diremos que l integrl vle + o. Un vez que hemos definido un integrl pr este tipo de funciones, podemos generlizr el áre bjo un curv, l longitud de un rco de curv, l superficie y el volumen de un sólido de revolución,etc. siendo tods fórmuls perfectmente válids. El cso de un función definid en un intervlo de l form ], b] es completmente nálogo. Además, si tenemos un función definid en todo R, podemos dividir l integrl como: + f (x) = c f (x) + + c f (x) pr culquier c R. Si l sum vle, no podemos clculr l integrl. Ejemplo.6. Clculr el áre comprendid bjo l curv y = /x en el intervlo [, + [. Viendo el áre bjo l curv como un integrl se tiene que + [ ] + ( ) A = x = = lim ( ) =. x x + x 74

27 Integrles impropis Algunos csos prticulres.3 Algunos csos prticulres.3. Integrción de funciones continus en intervlos biertos Se trt de clculr integrles de funciones definids en un intervlo bierto en uno de sus extremos, y que tienen un síntot verticl en dicho extremo. Supongmos que el intervlo es de l form ], b]; el cso de un intervlo [, b[ es completmente nálogo. Se pues f :], b] R un función continu l que queremos clculr su integrl, y se F un primitiv suy. Estudimos entonces el límite por l derech de l primitiv en, y si existe podemos clculr l integrl de f : b ( ) f (x) = F(b) lim F(x) x + Not: Si el límite de l primitiv es + o, diremos que l integrl vle + o. Si tenemos un función continu en un intervlo bierto f :], b[ R, su integrl vldrá b ( ) ( ) f (x) = lim F(x) lim F(x) x b x + Otr vez, si l sum vle, no podemos clculr l integrl. Al igul que ntes, podemos plicr estos resultdos l cálculo de longitudes, áres y volúmenes. Ejemplo.7. Clculr el áre bjo l curv y = / x en ], ]. Aplicmos l fórmul dd, y tenemos A = x = [ ] ( ) x = lim x =. x +.3. Integrción de funciones continus en un intervlo slvo un punto interior Supongmos que tenemos un función f : [, b] \ {c} R que es continu en [, b] \ {c} y que tiene un síntot verticl en x = c. Entonces, si queremos clculr l integrl de f entre y b, tenemos que dividir dich integrl en dos trozos: l integrl en [, c[ y l integrl en ]c, b]. Como estos dos csos quedn contempldos en los supuestos nteriores, podemos clculr l integrl de f entre y b como b c b f (x) = f (x) + f (x). c El único problem que se puede presentr es, de nuevo, que l sum vlg, en cuyo cso no podemos clculr l integrl. Ejemplo.8. Clculr log ( x ). L función que nos dn es f : [, ] \ {} R, f (x) = log(x ). Est función tiene un síntot verticl en x =, por lo que pr clculr su integrl dividimos el intervlo en dos prtes, [, [ y ], ]. Cd un de ls dos integrles vle: log ( x ) = [ x log ( x ) x ] = log ( x ) = [ x log ( x ) x ] =, 75

28 Ejercicios Integrles impropis con lo que se tiene que log ( x ) = = 4. Ejemplo.9. Clculr Si hcemos x. x = [ ] = (+) =!!!!! x Pero l función que estmos integrndo es positiv, no tiene sentido que teng integrl negtiv! Qué h psdo? Como l función /x tiene un síntot verticl en x =, tenemos que descomponer l integrl como pero y por tnto = +. x.4 Ejercicios Ejercicio.. en cd cso: ) b) / c) 3 d) e) + f) + g) + +e = + log ( x +e x = x = x = [ x [ x ] ] x + x, = lim ( /x) (+) = + x = lim ( /x) = +, x + Prueb que existen ls siguientes integrles y que tienen el vlor que se indic = rcsen ( +8x x 3 9 x = π x x 6 = π 6 x x 3 3x +x+5 x 3+x 4 = e x +e x = π Ejercicio.. en cd cso: ) = 3π+log() 3π ) x = π b) π π ( + cos(x)) = 3π c) π/ π/ sen(x) 3 = 4 3 d) π/ sen (y) cos (y) dy = π 6 ) ( ) rcsen 7 Prueb que existen ls siguientes integrles y que tienen el vlor que se indic 76

29 Aplicciones de l integrl Cálculo de áres Aplicciones de l integrl 3 3. Cálculo de áres El áre entre dos funciones f, g : [, b] R se define como Áre = b f (x) g(x). Hst hor no hemos visto ningún metodo que nos permit clculr primitivs en ls que precen vlores bsolutos. Por eso, ntes de comenzr integrr, es necesrio estudir cuánto vle f g o, dicho de otr form, verigur cuál de ls dos funciones es l myor. Ejemplo 3.. Clculr el áre entre l función f (x) = x(x )(x ) y el eje OX en el intervlo [, 3]. Dividimos en intervlos donde sepmos el signo de l función e integrmos: 3 f (x) = = + 3 f (x) + x(x )(x ) x(x )(x ) = = Longitudes de curvs f (x) + 3 f (x) x(x )(x ) f (x) = x(x )(x ) 3 Se f un función derivble con derivd continu en el intervlo [, b]. L longitud del rco de l curv y = f (x) entre x = y x = b es b longitud = + f (x). Ejemplo 3.. Clculr l longitud de un circunferenci de rdio. L ecución de un circunferenci de rdio es x +y =. Podemos despejr y en l prte positiv: y = f (x) = x con x [, ]. Así, l longitud de medi circunferenci será: l = + f (x) = = x = [ rcsen(x) ] = π + π = π. 77

30 Áre de sólidos de revolución Aplicciones de l integrl 3.3 Áre de sólidos de revolución Se f : [, b] R un función derivble con derivd continu en [, b]. Entonces el áre de l superficie generd hciendo girr lrededor del eje OX el rco de curv y = f (x) en [, b] es b Superficie = π f (x) + f (x). Ejemplo 3.3. Clculr l superficie de un esfer de rdio. Podemos generr un esfer girndo respecto del eje OX l curv del ejemplo nterior y = f (x) = x x [, ] De est form, l superficie será: S = π f (x) + f (x) = = π 3.4 Volúmenes de sólidos de revolución Figur 3. respecto l eje OX b Volumen l girr f V =π x = π = π = 4π. x Se f : [, b] R un función continu. El volumen del sólido generdo l girr el áre bjo l curv y = f (x) respecto del eje OX es b V OX = π f (x) y el volumen del sólido generdo l girr dich áre respecto l eje OY es b V OY = π x f (x). En este segundo cso, l función f tiene que ser positiv. Ejemplo 3.4. Clculr el volumen de un esfer de rdio. Podemos generr un esfer rotndo respecto del eje OX el áre bjo l curv y = f (x) = x x [, ] Con ello, el volumen será ] [x x3 3 f (x) = π ( x ) = π =π (( 3 ) ( + 3 ) ) = 4π Alguns funciones definids medinte integrles 3.5. L función gmm L función gmm Γ : R + R está definid como Γ(x) = t x e t dt. 78

31 Aplicciones de l integrl Ejercicios Est función, debid Euler, tiene interés como posible generlizción del fctoril pr números reles culesquier. Se puede demostrr que ) Γ(x + ) = xγ(x), pr culquier x R +. b) Γ(x + n) = (x + n )(x + n )... (x + )Γ(x), x R +, n N. c) Γ(n) = (n )!, n N L función bet L función β : R + R + R está definid como β(p, q) = xp ( x) q. Está relciond con l función gmm medinte l iguldd β(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p+q). 3.6 Ejercicios Ejercicio 3.. Clcul ls siguientes áres: ) Áre limitd por ls curvs y = x y y = 8x b) Áre limitd por y = xe x, el eje OX, l ordend en el punto x = y l ordend en el máximo. c) Áre de l figur limitd por l curv y = x(x )(x ) y el eje OX. Ejercicio 3.. Hll el áre comprendid entre el eje de bsciss y l curv y = x 3 6x + 8x. Ejercicio 3.3. Hll el áre comprendid entre ls prábols y = 6x x, y = x x. Ejercicio 3.4. Hll el áre del recinto limitdo por ls gráfics de f (x) = cosh(x) y g(x) = senh(x), en el primer cudrnte. E Ejercicio 3.5. Clcul el áre entre ls curvs y = sech(x) e y = 3 4 cosh(x). E Ejercicio 3.6. El cudrdo con un vértice en el origen y el vértice opuesto en (, ) se divide en dos prtes por cd un de ls siguiente curvs. En cd cso, hll l rzón entre el áre myor y el áre menor. ) y = x 3, b) y = x n, n >, c) y = xe x. Ejercicio 3.7. Hll l longitud de ls siguientes curvs: ) y = x x en [, 4] b) y = log( x ) en [ 3, 3]. c) Hll l longitud de l ctenri, o se, de l función f : [, ] R definid como f (x) = ( e x/ + e x/). 79

32 Ejercicios Aplicciones de l integrl Ejercicio 3.8. Hállese l longitud del rco de curv x = 3 y3 + 4y desde y = hst y = 3. Ejercicio 3.9. ( 3, 3). Hállese l longitud del rco de l curv 9x = 4y 3 entre los puntos (, ) y Ejercicio 3.. L curv y = sen (x), pr x [, π], gir en torno l eje OX determinndo un sólido. Clcul su volumen. Ejercicio 3.. Hll el volumen generdo l girr lrededor del eje OX l gráfic de f (x) = 8x x +9. Ejercicio 3.. Clcul el volumen del sólido generdo l girr l región limitd por x = y e y = x ) lrededor del eje OX. b) lrededor del eje OY. Ejercicio 3.3. Hll el volumen del cuerpo engendrdo l girr lrededor del eje OX l curv y = ex +e x entre x = y x =. Ejercicio 3.4. Al girr lrededor del eje OX, el segmento de curv y = x comprendido entre ls bsciss y, engendr un tronco de prboloide de revolución cuy superficie es igul l de un esfer de rdio 3/. Hállese el vlor de. Ejercicio 3.5. Hll el áre de l superficie generd l girr l curv y = x lrededor del eje OX entre y = y y =. Ejercicio 3.6. Hll medinte integrción el áre y volumen de un cono circulr recto de ltur h y con bse de rdio r. 8