MATEMÁTICA UNIVERSITARIA:

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2 MATEMÁTICA UNIVERSITARIA: Conceptos y Aplicciones Generles Volumen (ª edición revisd) An Ptrici Rmírez V. Jun Crlos Cárdens A. (Myo 0)

3 Contenido temático:. Mtrices Definición y operciones básics Determinntes Sist. de ecuciones: Método de Crmer Sist. de ecuciones: Métodos de Guss Mtriz Invers y Sist. de ecuciones. Función Eponencil y Logrítmic Definiciones Propieddes de los logritmos Ecuciones eponenciles Ecuciones logrítmics Desigulddes no-lineles Interés compuesto: plicción. Funciones trigonométrics Conceptos básicos Rzones trigonométrics Triángulos rectángulos Aplicción de los triángulos rectángulos Identiddes trigonométrics Círculo trigonométrico Ecuciones trigonométrics. Introducción l Cálculo Interpretción de límites en gráfics Interpretción de límites en form nlític

4 Prefcio l estudinte He quí lguns sugerencis pr inicir este curso y terminrlo con éito: Le el mteril ntes de cd clse. Si usted conoce de l mteri que se verá en clse y lo que contiene el libro, podrá ocupr más tiempo en escuchr y comprender l eposición del profesor. Después de l clse reescrib sus nots mientrs vuelve leer el tem trtdo, remrcndo los conceptos dicionles que prezcn útiles. Resuelv los ejercicios signdos cd lección. Si lgo le confunde es consejble que consulte su profesor ntes de trsrse. En ese cso lleve sus tenttivs de solución los ejercicios pr que el profesor ubique con clridd sus puntos problemáticos. Trte de cumplir ests 5 Regls de Oro:. NO SE ATRASE! El curso es muy rápido y recuperr el tiempo perdido result muy difícil.. NO FALTE A CLASES! Pr cumplir con el punto nterior no flte l clse, l myorí de los tems tienen relción con el nterior. Al fltr, puede que usted se sient perdido y desmotivdo, y tl vez hst necesite recurrir un tutor eterno.. RESUELVA MUCHOS PROBLEMAS! Todo necesit práctic y los problems le yudrán descubrir los puntos que ún no tiene clros. Pr yudrlo con este punto su profesor le signrá ejercicios semnles de tre. Háglos concienci y vris veces si es necesrio.. EVALUACIÓN CONTÍNUA! No flte los quices semnles, demás de ser prte de l clificción del curso, le yudrán entrenrse pr los eámenes (vencer los nervios). Los quices son un herrmient tnto pr usted como pr su profesor, pr nlizr en qué puntos no está clr l mteri, y qué prtes debe repsr. 5. CREA EN USTED! Todos podemos prender y quitrnos ess fobis, no piense que l mtemátic es difícil, si le costó durnte su époc colegil, no necesrimente psrá igul en l Universidd. Hy que considerr que muchos temores no s los infunden en los ños que somos más susceptibles, l niñez o l dolescenci. Ahor usted es un estudinte universitrio y su futuro está en sus mnos piense que puede y podrá!

5 INTRODUCCIÓN Qué son ls mtemátics? Durnte siglos, mtemáticos y filósofos hn trtdo de dr un respuest simple est pregunt prentemente simple. Un filósofo podrí decir que ls mtemátics son un lenguje, mientrs que los defensores de l lógic podrín decir que ls mtemátics son un etensión de l lógic mism. L myorí de los conceptos mtemáticos básicos tienen sus ríces en ls situciones físics que los hombres encrn en su vid diri. Por ejemplo, uno de los conceptos más primitivos y básicos de todos es el de contr. Al mismo tiempo este concepto es l ríz de otros conceptos tn bstrctos como el número y l ritmétic. Así por ejemplo, dos piedrs y tres piedrs son cinco piedrs, lo que nos conduce un proposición más generl: dos coss y tres coss son cinco coss, es decir: + = 5 L hbilidd del hombre pr formulr conceptos relciondos con l eperienci físic en proporciones bstrcts, breves y conciss de este tipo, h sido l bse pr el desrrollo de un civilizción fundd en l comprensión de su medio mbiente. Los ntiguos mercderes árbes desrrollron un notción conveniente y sistemátic como un yud pr conservr l cuent de sus bienes. Los ntiguos egipcios desrrollron muchs de ls ides fundmentles de trigonometrí pr poder determinr los límites de ls propieddes después de los desbordmientos del río Nilo. Isc Newton fue inducido considerr los conceptos fundmentles del tem llmdo hor cálculo pr describir l conduct de los objetos en movimiento. Como vemos, estos conceptos hn sido el resultdo de l necesidd de determinr lgo y como un suplemento nuestro lenguje ordinrio.

6 PRODUCTOS ESPECIALES Y FORMULAS DE FACTORIZACION b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b LEYES DE POTENCIAS n m n m n n n b b ) ( mn n m ) ( n m n m n n n b b PROPIEDADES DE LOS RADICALES mn m n n n n n m n m b b /

7 INDICE. MATRICES. Algebr de Mtrices. Determinntes 0. Sistems de Ecuciones: Regl de Crmer 9. Sistems de Ecuciones: Métodos de Guss.5 Mtriz Invers 8.6 Sistems de Ecuciones: Método de Mtriz Invers. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA. Funciones y ecuciones eponenciles. Funciones y ecuciones logrítmics 9. INTERÉS COMPUESTO 55. Concepto básico: Interés 55. Interés compuesto 55. Interés compuesto en form continu 56. TRIGONOMETRÍA 6. Conceptos básicos 6. Cálculo de funciones trigonométrics y vlores de ángulos 67. Triángulos rectángulos 7. Problems de plicción usndo triángulos rectángulos 7.5 Identiddes trigonométrics 8.6 Círculo trigonométrico 86.7 Ecuciones trigonométrics INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO 9 5. Interpretción gráfic de límites 9 5. Interpretción nlític de límites 00

8 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices. MATRICES Ls mtrices precen por primer vez hci el ño 850, introducids por J.J. Sylvester. El desrrollo inicil de l teorí se debe l mtemático W.R. Hmilton en 85. En 858, A. Cyley introduce l notción mtricil como un form brevid de escribir un sistem de m ecuciones lineles con n incógnits. Ls Mtrices son rreglos de números formdos por fils y columns. Sirven pr resolver Sistems de Ecuciones Lineles, tmbién se emplen en l solución de problems de Trnsporte y problems de comunicción, en el cálculo numérico, en l resolución de sistems de ecuciones lineles, de ls ecuciones diferenciles y de ls derivds prciles. Además de su utilidd pr el estudio de sistems de ecuciones lineles, ls mtrices precen de form nturl en geometrí, estdístic, economí, informátic, físic, etc. L utilizción de mtrices, conocids tmbién como rrys (rreglos), constituye ctulmente un prte esencil en los lengujes de progrmción, y que l myorí de los dtos se introducen en los ordendores como tbls orgnizds en fils y columns: hojs de cálculo, bses de dtos. Es muy común en Ingenierí que se presenten problems que involucren mtrices en su resolución, los métodos mtriciles pr distintos tipos de problems en ingenierí y ciencis hn proliferdo mucho, se eplic cómo utilizr un herrmient como el Mtlb en el cálculo de operciones con mtrices.. Álgebr de mtrices. Definición de mtriz: Se le llm mtriz todo conjunto rectngulr de elementos. El tmño u orden de l mtriz se indic señlndo el número de fils por el número de columns que l conformn, es decir, m n. En otrs plbrs, los elementos ij que formn l mtriz, están dispuestos en m línes horizontles (fils) y n verticles (columns), tl que: nn A m mn Un mtriz es un rreglo de números: 9 A Orden o tmño de l mtriz: m n, donde: m = # de fils = elemento ubicdo en l (fil, column ) de l mtriz A. En otrs plbrs n = # de columns Note el uso de l nomencltur: i j Este subíndice indic l fil. ij 5 6 Este subíndice indic l column. j indic el número de column i indic el número de fil Del esquem nterior, entendemos que los subíndices indicn l posición del elemento dentro de l mtriz, el primero denot l fil i y el segundo l column j. Por ejemplo el elemento 5 será el elemento ubicdo en l intersección de l fil y column 5 (note que el conteo de ls fils y columns se inici desde l esquin superior izquierd de l mtriz, hci bjo y hci l derech, respectivmente). Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág.

9 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices TIPOS DE MATRICES A continución se indicn los tipos de mtrices más comunes que nos podemos encontrr: Mtriz fil: tiene un sol fil, m F 5 Orden = 7 Mtriz cudrd: quell con igul número de fils y columns, es decir m=n 5 M 6 Orden = Mtriz digonl: mtriz cudrd donde los elementos fuer de digonl principl vlen D Orden = 0 0 Mtriz identidd: mtriz esclr en donde los elementos de l digonl principl vlen. 0 0 I Mtriz column: tiene un sol column, m C Orden = 6 Mtriz nul: todos los elementos son N 0 0 Orden = Mtriz esclr: mtriz digonl con los elementos de l digonl principl igules. 0 0 E 0 0 Orden 0 0 Mtriz trnspuest: quell que result de cmbir ls fils por ls columns, o vicevers. Tod mtriz tiene su trnspuest y es únic. 5 T M 6 M 5 6 Pr que dos mtrices sen igules cd entrd de l primer mtriz tiene que ser igul su correspondiente en l segund mtriz. TRANSPOSICIÓN DE MATRICES Dd un mtriz de orden m n, A = ( ij ), se llm mtriz trnspuest de A, y se represent por A T, l mtriz que se obtiene cmbindo ls fils por ls columns (o vicevers) en l mtriz A. De l definición se deduce que si A es de orden m n, entonces A T es de orden n m. Es decir: Propieddes de l trnsposición de mtrices n m A A T m mn n n mn 0 7 T B B Dd un mtriz A, siempre eiste su trnspuest y demás es únic. T A T A Pág. Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

10 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices OPERACIONES CON MATRICES Se estudin tres tipos de operciones con ls mtrices: Sum de mtrices: se obtiene sumndo los elementos que ocupn el mismo lugr en cd mtriz. Producto de un número rel por un mtriz: se obtiene multiplicndo cd uno de los elementos por ese número. Multiplicción de mtrices: se obtiene multiplicndo cd un de ls fils de l ª mtriz por cd un de ls columns de l segund. Sum y diferenci de mtrices L sum de dos mtrices A y B, del mismo tmño, es otr mtriz S de l mism dimensión que los sumndos. Por tnto, pr poder sumr dos mtrices ests hn de tener el mismo tmño. En el siguiente cso, l sum de ls mtrices A y B se denot por A + B. En este cso mbs mtrices son de, por lo tnto l mtriz resultn S tendrá tmbién un tmño de : A B S AB Propieddes de l sum de mtrices A + (B + C) = (A + B) + C (propiedd socitiv) A + B = B + A (propiedd conmuttiv) A + N = A (N es l mtriz nul) L mtriz A, que se obtiene cmbindo de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de mtriz opuest de A. L diferenci de mtrices A y B se represent por A B, y se define como: A B = A + ( B) AB Producto de un mtriz por un número (esclr) El producto de un mtriz A por un número rel k es otr mtriz B = (b ij ) de l mism dimensión que A y tl que cd elemento b ij de B se obtiene multiplicndo ij por k, es decir, b ij = k ij. Ejemplo: Se multiplic cd elemento de l mtriz por el esclr BA B Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág.

11 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices Propieddes del producto de un mtriz por un esclr Pr ls siguientes propieddes, considere los términos k y h como vlores que perteneces l conjunto de los números reles, y los términos A y B como mtrices del mismo tmño. De est form se cumple que: k (A + B) = k A + k B (propiedd distributiv ª) (k + h) A = k A + h A (propiedd distributiv ª) K [h A] = (k h) A (propiedd socitiv mit) A = A (elemento unidd) Operciones combinds Se puede tener dentro de un operción vrios productos esclres, sum, rest y trnspuest. Sen: T Ejemplo.: Clcule l mtriz E ( A B) C, utilizndo ls siguientes mtrices: A B C E T Se respet l jerrquí opercionl y se hce l trnspuest. A l izquierd se muestr el plntemiento con ls mtrices dds E T Se respet l jerrquí opercionl y se hce l trnspuest. A l izquierd se muestr el plntemiento con ls mtrices dds E Aquí l mtriz B se h multiplicdo por -, y se h desrrolldo l trnspuest de C E Se desrroll l rest de ls mtrices del préntesis cudrdo E Aquí se h multiplicdo por el resultdo de l rest E Se hce l sum Pág. Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

12 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices Ejercicios de Práctic ) Pr ls mtrices mostrds A y B, clcule ls operciones indicds: A 9 B 7 0 ) A-B R/ 5 AB 5 b) A-B R/ AB ) Pr ls mtrices indicds A y B, clcule ls epresiones indicds: 0 A 5 0 B ) A+B R/ AB T T b) AB A R/ A B A 5 ) Clcule l operción indicd sbiendo que ls mtrices A, B y C son: A B C ) AB C R/ A B C 5 7 ) Clcule ls operciones indicds pr ls mtrices A y B mostrds: A B ) A B T T R/ AB 7 5 ( ) T T b) ( A B) R/ ( A B) 5 ( 6) 5) Clcule l operción indicd sbiendo que ls mtrices A, B y C son: 0 A 0 B 0 C 6 ) A( B C) R/ A( B C) 0 8 Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág. 5

13 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices Producto de mtrices Pr que dos mtrices puedn multiplicrse, el número de columns de l primer mtriz debe ser igul l número de fils de l segund mtriz. El resultdo será un tercer mtriz, cuyo tmño corresponderá l número de fils de l primer mtriz por el número de columns de l segund mtriz. Sen ls dos mtrices A y B indicds, cuyos tmños se indic debjo de ells: b b AB b b b b ( ) ( ) REQUISITO Pr relizr l operción de A B = R, verificmos primero el requisito y luego el tmño de l resultnte: Requisito: (número de columns de A) = (número de fils de B), lo cul se cumple. Tmño de R =(número de fils de A) (número de columns de B), es decir,. r B R r A donde r r Note entonces que pr obtener el resultdo, los cálculos serín: Por ejemplo, sen ls mtrices r r TAMAÑO DE AB b b b b b b R b b b b b b b b b b b b A y B AB r ij = sum de los productos, término término, de l fil i por l fil j, clcule el producto de ests. Debe hcerse hincpié, que diferenci de l multiplicción lgebric, l multiplicción de mtrices no es conmuttiv, es decir, A B B A. Clro está, hy csos especiles que por el contenido de ls mtrices, si se puede dr est iguldd, pero esto es l ecepción, no l regl. Vemos el siguiente cso, con ls mtrices C y D: 5 C 0 y D ) CD b) DC Pág. 6 Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

14 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices Al igul que en el cso de A B nterior, pr llegr C D se siguió el siguiente proceso: Ejemplo.: Clcule el producto de mtrices indicdo: 5 CD Se multiplic el er elemento de l fil de C, por cd uno de los elementos de l column de D CD Estos productos se sumn, como se muestr l izquierd. Ahor se multiplic el do elemento de l fil de C por cd uno de los elementos de l column de D, y sí sucesivmente, sin olvidr sumr estos productos. De est form se obtiene el vlor de cd elemento del resultdo CD 6 6 L mtriz resultnte es de tmño X (fils de C columns de D) Propieddes del producto de mtrices. A (B C) = (A B) C. El producto de mtrices en generl no es conmuttivo.. Dd un mtriz cudrd A de orden n, no siempre eiste otr mtriz B tl que A B = B A = Identidd. Si eiste dich mtriz B, se dice que es l mtriz invers de A y se represent por A. El producto de mtrices es distributivo respecto de l sum de mtrices, es decir: Consecuencis de ls propieddes. Si A B= 0 no implic que A=0 ó B=0.. Si A B=A C no implic que B = C.. En generl, A B B A A (B + C) = A B + A C Ejemplo.: Utilizndo el concepto de multiplicción de mtrices, encuentre el vlor de ls vribles, b, c,, y, z, según l operción mostrd: b c y z b9c 60bc 66 5b0c y z Se desrroll l multiplicción de mtrices l izquierd de l ecución. Lo que se pretende es comprr los términos de l mtriz resultnte de l izquierd, con los de l mtriz de l derech. Pr que se cumpl l iguldd, se deben igulr estos términos. b9c 6 0 bc 6 5b y z L mtriz resultnte l izquierd tmbién debe ser del mismo tmño de l de l derech, es decir, de tmño Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág. 7

15 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices b9c 60bc 6 5b b9c 0 0bc 5 5b0c 5 Se iguln los términos de cuerdo l posición, es decir, el elemento se igul con el b, y sí sucesivmente. Pr l fil en mbs mtrices, se form el sistem de ecuciones mostrdo l izquierd b 65 y 9 c 5 z 8 Resolviendo el sistem de ecuciones en form simultáne obtenemos los primeros resultdos. El mismo proceso se sigue pr, y, z. Ejercicios de Práctic Relice ls operciones indicds con ls mtrices A, B, C y D: A B C 5 D 0 0 6) B C R/ 7) C D R/ 8 BC 6 CD ) ABC D R/ A B C D 9) ABC D R/ A B C D Relice l multiplicción A B de ls mtrices indicds. Los resultdos quedn en función de ls vribles: 0) ) 0 A, B A 0, B AB R/ 8 R/ AB 77 ) A, B R/ A B ) 0 A, B 5 6 AB 5 R/ Pág. 8 Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

16 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices Relice ls operciones indicds con ls mtrices A, B, C y D: 5 0 Pr: A B C 7 D 0 8 ) F DBA C R/ F 50 5) F B D C A R/ 5 5 F Pr: A B C 7 D E AB C D R/ E Pr: A B C 5 F AB C R/ F ) 7) 8) Hllr los vlores de, b, c,, y, z si: b c y z 9 0 9) Hllr los vlores de, b, c,, y, z si: b c y z 0 0) Hllr los vlores de, b, c,, y, z si: 0 0 b c d R/ 9 R/ b y 9 c 0 z 8 9 R/ b y 9 c 0 z 0 b6 c0 d Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág. 9

17 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd Definición de determinnte: Pr cd mtriz cudrd hy socido un vlor llmdo determinnte de l mtriz y se represent por A o det(a). Dentro de ls principles plicciones de los determinntes están el cálculo de invers, sistems de ecuciones, el cálculo de áres y volúmenes. Propieddes de los determinntes. El determinnte de un mtriz es igul l determinnte de su trnspuest: det( A) det( A T ). Si en un mtriz se cmbin entre sí dos línes, su determinnte cmbi de signo.. Si un mtriz que tiene dos línes prlels igules, su determinnte vldrá 0. Si un mtriz tiene todos los elementos de un líne nulos, su determinnte vldrá 0 5. Si un líne de A es multiplicd por un esclr c, crendo B, entonces det( B) c det( A) 6. El determinnte de un producto de mtrices es igul l producto de los determinntes de cd un de ells: det( AB) det( A) det( B) DETERMINANTE DE MATRICES DE DO ORDEN: Pr un mtriz de segundo orden, es decir, de tmño, el cálculo del determinnte se puede relizr de l siguiente form: A det( A) Ejemplo A El determinnte serí: det( A) DETERMINANTE DE MATRICES DE ER ORDEN: Pr un mtriz de tercer orden, es decir, de tmño, el cálculo del determinnte se puede relizr usndo l regl de Srrus. Regl de Srrus Siendo A un mtriz cudrd de er orden, su determinnte será l sum de los productos de los elementos que formn ls digonles que vn de rrib hci bjo ( ), y se le rest l sum de los productos de elementos que formn ls digonles que vn de bjo hci rrib ( ). El siguiente esquem pretende eplicr más clrmente este plntemiento: A det( A) Se copin ls primers columns l finl de l mtriz, pr fcilitr los cálculos. det( A) Como se puede ver en el esquem, pr fcilitr lo plntedo por l Regl de Srrus, ntes de hcer los cálculos se deben copir ls primers columns l finl de l mtriz, lo cul fcilit visulizr ls digonles mencionds. Pág. 0 Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

18 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices Ejemplo A det( A) det( A) Digonles de rrib Digonles de bjo hci bjo ( ) hci rrib ( ) det( A) det( A) det( A) Ejercicios de Práctic Clcule el determinnte de ls mtrices que se muestrn continución ) ) ) ) 5) 6) 7) 8) 0 A 0 5 A A A A 7 5 A A A R/ det( A) 6 R/ det( A) 95 R/ det( A) R/ det( A) R/ det( A) R/ det( A) 8 R/ det( A) 0 R/ det( A) Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág.

19 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices DETERMINANTE DE MATRICES DE º ORDEN Y MAYORES Pr un mtriz de curto orden, es decir, de tmño y myores, el cálculo del determinnte se reliz plicndo el Teorem de Epnsión, pero pr ello es indispensble introducir dos nuevos conceptos, llmdos Menor y Cofctor. Ambos conceptos están relciondos un posición específic ij de l mtriz, y no l mtriz mism. Note que unque pr l mtriz de hemos utilizdo l Regl de Srrus pr clculr su determinnte, tmbién lo podemos clculr utilizndo el Teorem de Epnsión Definiciones Básics Mtriz menor Se A un mtriz cudrd y ij uno culquier de sus elementos. Si se suprime l fil i y l column j de l mtriz A se obtiene un submtriz M ij que recibe el nombre de mtriz Menor del elemento ij. Esto quiere decir que dd l mtriz A, suprimmos l fil y column de dich mtriz: j n n j j n A M i ij i i in ij in n n n nj nn nj nn Lo que se h obtenido es l mtriz Menor del elemento. Como se preci, est mtriz result de suprimir en l mtriz A l fil y l column. Es decir, si se requiere clculr, por ejemplo, el menor de l posición, l cul se le denominrí M, este serí el determinnte de l mtriz que se form cundo se ein fil y l column. Cofctor Se llm cofctor de ij, y se clcul por l fórmul c ij = ( ) i+j. Si usmos est fórmul y construimos un mtriz reflejndo los signos de los resultdos obtenidos pr cd un de ls posiciones de l mtriz, tendrímos l mtriz: con l cul podrímos fácilmente identificr el signo de los cofctores. Empezndo siempre con positivo en l esquin superior, se vn intercmbindo los signos + y hst llegr l posición de ij, Otr form es usr el signo + o - dependiendo si l sum de los subíndices d un resultdo pr o impr: Si i+j = pr c ij = Si i+j = impr c ij = - Teorem de Epnsión Siendo A un mtriz cudrd de er orden o myor, su determinnte se clcul sumndo los productos de los elementos de culquier fil o column por sus cofctores y menores respectivos. El cálculo se simplific si se escoge un fil o column con myor cntidd de entrds nuls. L formulción mtemátic serí: donde: ij = elemento en l posición ij. c ij = cofctor de l posición ij. M ij = menor de l posición ij. n det( A) c M i ij ij ij Pág. Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

20 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices Pr el cálculo respectivo se puede seguir entonces el siguiente procedimiento:. Elegir un de ls fils o columns pr inicir el desrrollo.. Clculr los cofctores c ij y los menores M ij de ls posiciones de los elementos ij que formn l fil o column selecciond.. Se multiplicn ij c ij M ij. Se sumn todos los productos, lo cul d como resultdo el determinnte de l mtriz. Ejemplo.: Clcule el determinnte de l mtriz mostrd, 0 A Se escoge l fil o column con más ceros. En este cso puede ser l fil o l column. Pr el ejemplo se escoge l fil. det( A) c M c M c M c M Plntendo el Teorem de Epnsión con fil 0 det( A) M M M M Clculndo por prte el resultdo de los menores:, 0, Note que =0, lo que horr el cálculo del M. Los otros menores se clculn y se sustituyen en l ecución del det(a). Recuerde el cálculo de los menores no es ni más ni menos que el cálculo de determinntes, en este cso de mtrices de, por lo que se utiliz l Regl de Srrus pr clculrlos. det( A) 0 0 det( A) 060 Se multiplicn los determinntes por el signo y el elemento correspondiente det( A) 59 Resultdo finl Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág.

21 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices DETERMINANTE DE UNA MATRIZ POR EL MÉTODO DE GAUSS Trnsformciones elementles Son ls trnsformciones que podemos relizrle un mtriz sin que su rngo vríe. Es fácil comprobr que ests trnsformciones no vrín el rngo usndo ls propieddes de los determinntes Si se permutn o se intercmbin fils o columns el determinnte vri de signo. Si se multiplic o divide un líne por un número no nulo se hce l operción contrri l determinnte finl. Si un líne de un mtriz se le sum o rest otr prlel multiplicd por un número no nulo el determinnte no vrí. Método de Guss El método de Guss consiste en plicr ls trnsformciones elementles nteriores un mtriz con objeto de conseguir que los elementos que están por debjo de l digonl principl se nulen, es decir, se conviertn en 0. A esto se le llm tringulrizr un mtriz. Pr conseguirlo, se debe dejr en l digonl principl elementos no nulos, slvo que l fil se nul. Ejemplos de mtrices tringulizds: 7 9 A 0, B El cálculo de determinntes por el método de Guss consiste en hllr un determinnte equivlente (con el mismo vlor) l que se pretende clculr, pero tringulrizndo l mtriz. De est form el problem se reduce clculr un determinnte de un mtriz tringulr, cos que es bstnte fácil usndo ls propieddes de los determinntes. Pr conseguir tringulrizr el determinnte se pueden plicr ls siguientes operciones: Permutr fils ó columns. Multiplicr o dividir un líne por un número no nulo. Sumrle o restrle un líne otr prlel multiplicd por un número no nulo Ejemplo.5: Clcule el determinnte de l mtriz utilizndo el Método de Guss 0 A 0 Se inici hciendo nulos los elementos de l primer column, ecepto el que está en l digonl. Pr ello, en operciones independientes, se multiplicrá l fil por -, y se le sum l fil ; luego se multiplic l fil por - y se le sum l fil : 0 0 FF A F F Debe notrse que en l nuev mtriz trnsformd, el elemento = 0, por lo cul l tringulrizción qued complet. Si 0, se hubier requerido un nuev trnsformción pr completr l tringulrizción. Finlmente, el determinnte se obtiene multiplicndo los elementos de l digonl de l mtriz trnsformd, es decir, y tringulizd: 0 det 0 det( A) 0 0 Pág. Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

22 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices Ejemplo.6: Clcule el determinnte de l mtriz utilizndo el Método de Guss A Se nuln todos elementos de l primer column, ecepto el que está en l digonl. Note que sólo se requiere nulr el elemento 6, pr lo cul se multiplicrá l fil por -6, y se le sum l fil : A F F Siguiendo el orden, se nuln los elementos de l segund column que están debjo del elemento digonl. Se multiplicrá l fil por, y se le sum l fil, y se multiplic l fil por - y se le sum l fil : F F 0 0 F F Finlmente, el determinnte se obtiene multiplicndo los elementos de l digonl de l mtriz trnsformd, es decir, y tringulizd: det det( A) Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág. 5

23 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices Ejemplo.7 (técnic lterntiv): Clcule el determinnte de l mtriz mostrd: B Se muestr otr metodologí, usndo el principio de seleccionr l fil o column con myores entrds nuls, y combinándol con el cálculo de determinntes por el Método de Guss. Se trnsform l mtriz originl, multiplicndo l column por y sumndo l column ; volvemos multiplicr l column por - y sumndo l column ; finlmente se multiplic l column por - y summos l column : B Se inici el cálculo por l fil, que es l que tiene más ceros. Se plic el principio del Teorem de Epnsión que dice ijc ijm ij: detb c M En el cso del M, se clcul utilizndo el método de Guss, pr lo cul requerimos tringulrizr l mtriz: M FF F F 0 F F 9 0 Un vez tringulizd l mtriz, multiplicmos los elementos de su digonl, y el resultdo es el vlor correspondiente M : M 58 9 Finlmente se sustituye el vlor de M encontrdo, en l epresión originl del determinnte de B: B c M B 5 det 58 det 58 Pág. 6 Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

24 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices Ejercicios de Práctic Clcule el determinnte de ls mtrices que se muestrn continución utilizndo tnto el método generl como el método de Guss 9) 0) ) ) ) ) 5) 6) 5 0 A A A A A A A A R/ det( A) 60 R/ det( A) R/ det( A) 9 R/ det( A) 0 R/ det( A) 5 R/ det( A) R/ det( A) 6 R/ det( A) 0 Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág. 7

25 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices 7) 0 A R/ det( A) 59 8) 9) 0) ) ) ) A A A A A A R/ det( A) 560 R/ det( A) 5 R/ det( A) 6 R/ det( A) 0 R/ det( A) R/ det( A) 0 Pág. 8 Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

26 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices. Sistems de Ecuciones: Regl de Crmer Un sistem de ecuciones lineles es un conjunto de ecuciones lineles que podemos escribir de form trdicionl sí:... nn b... nn b mm m... mnn bm Como se preci, tiene "m" ecuciones y "n" incógnits, donde: ij son números reles, llmdos coeficientes del sistem, b m son números reles, llmdos términos independientes del sistem, j son ls vribles del sistem, L solución del sistem es un conjunto ordendo de números reles (s, s,..., s n ) tles que l sustituir ls incógnits,,..., n por los vlores s, s,..., s n se verificn l vez ls "m" ecuciones del sistem. Este mismo sistem de ecuciones lineles en notción mtricil tiene est form: n b n b A X B m m m mn n bn Mtriz de coeficientes Mtriz de incógnits Mtriz de términos independientes Un plicción de los determinntes es clculr l solución de un sistem de ecuciones con n incógnits. L solución pr culquier de ls incógnits viene dd por: det Ai i det A donde A i es l mtriz que se obtiene prtir de A, sustituyendo los elementos de l column i, por los elementos del vector de resultdos Por ejemplo, un sistem de ecuciones con incógnits se escribirí mtricilmente de l siguiente form: b b b Mtriz de coeficientes Mtriz de incógnits Mtriz de términos independientes Por lo tnto ls soluciones, según l Regl de Crmer, vendrín dds por: b b b b b, det A b b, det A b b En todos los csos, note que el denomindor consiste en el determinnte de l mtriz de coeficientes, es decir: det A det A Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág. 9

27 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices Ejemplo.8: Resuelv el sistem de ecuciones mostrdo. yz 0 y z y z 0 Con el soluciondor de ecuciones de l clculdor, puede corroborr los resultdos. 0 AX B y z 0 Mtriz de coeficientes Mtriz de incógnits Mtriz de términos independientes Se reescribe el sistem de ecuciones en form mtricil, de form que se logrn identificr ls respectivs mtrices y vribles. det A A det det A A det det Ay Ay det y det Az 0 0 Az det z 5 0 y 56 z 5 y z y z 5 5 Se clcule el det(a), que se requiere pr el cálculo de tods ls soluciones. Ahor se cmbi l r column de A por el vector B, formndo l mtriz A, l cul se le debe clculr el determinnte, es decir, el det(a), que se requiere pr el cálculo de l solución. Ahor se cmbi l d column de A por el vector B, formndo l mtriz Ay, l cul se le debe clculr el determinnte, es decir, el det(ay), que se requiere pr el cálculo de l solución y. Ahor se cmbi l r column de A por el vector B, formndo l mtriz Az, l cul se le debe clculr el determinnte, es decir, el det(az), que se requiere pr el cálculo de l solución z. Se clculn ls vribles Pág. 0 Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

28 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices Ejemplo.9: Resuelv el sistem de ecuciones mostrdo. L vrible encuéntrel plicndo el método de Crmer. Pr el resto de ls vribles use el soluciondor de l clculdor. w y z y 5 5y 8z 5 y w yzw y 0z 0w y 5 05y8z0w z 5 y0zw 0 w Mtriz A Mtriz X Mtriz B Lo primero que se debe hcer es recomodr el sistem, ordenndo ls vribles y dejndo de un solo ldo los términos independientes. De est form podremos reescribir el sistem en form mtricil. 0 0 det A c M 0 0 c M det A M M donde: M y M 8 (usndo Regl de Srrus) det A det A c M 0 0 c M det A M M donde: M 56 y M (usndo Regl de Srrus) det A 56 Se clcul el det(a). En este cso se utiliz el Teorem de Epnsión, prtiendo de l column. El cálculo de los menores M y M se puede relizr por l Regl de Srrus, unque el ejemplo no lo muestr. Ahor se cmbi l r column de A por el vector B, formndo l mtriz A, l cul se le debe clculr el determinnte, es decir, el det(a), que se requiere pr el cálculo de l solución. Igul que el cso nterior, se utiliz el Teorem de Epnsión prtiendo tmbién de l column. En el cso de los menores, su cálculo se reliz utilizndo l Regl de Srrus. Se clcul l vrible. Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág.

29 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices yzw yzw yzw y 0z 0w 5 y 0z 0w 5 y0z0w 05y8z0w5 5y8z0w5 5y8z0w5 y0zw y0zw y0zw Ahor se sustituye el vlor de en el sistem originl de ecuciones y se vuelve reescribir. yzw y y0z0w z 0 5y8z0w5 w Se obtienen ecuciones con incógnits. Pr utilizr el soluciondor de l clculdor, se deben escoger ecuciones culesquier. Se clculn ls vribles. Sistems de Ecuciones: Métodos de Guss Utiliz lo que se llm mtriz umentd, que no es más que l unión de A (mtriz de coeficientes) y B (mtriz de vlores independientes). En otrs plbrs l mtriz umentd es: n b n b m m m mn b n Mtriz de coeficientes A unid l Mtriz de términos indep. B Al solucionr sistems de ecuciones utilizndo mtrices umentds, lo que se busc es reducir ests mtrices. Veremos métodos que hcen est reducción en form muy similr: Método de Guss (einción gussin): consiste en hcer que l mtriz de coeficientes quede como un mtriz esclond Método de Guss-Jordn: busc reducir l mtriz de coeficientes un mtriz esclond reducid. En otrs plbrs, pr un sistem de ecuciones incógnits, por ejemplo: b b b Mtriz de coeficientes Mtriz de incógnits Mtriz de términos independientes Entonces ls mtrices esclonds, según el método que se escoj, tendrán l siguiente configurción: b 0 0 b 0 b 0 0 b 0 0 b 0 0 b MATRIZ ESCALONADA: bjo l digonl TODOS los términos son 0 MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA: sobre y bjo l digonl TODOS los términos son 0 Pág. Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

30 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices Pr hcer ests reducciones, hy tres operciones mtemátics válids ÚNICAMENTE PARA LAS FILAS de ls mtrices umentds. Ests operciones son similres ls utilizds en el Método de Guss pr el cálculo de determinntes: - Multiplicr o dividir un fil por un número esclr diferente de cero. - Sumr o restr un fil un múltiplo de otr, - Intercmbir (permutr) fils en l mtriz. Se muestr mner de ejemplo, lo que es un mtriz esclond y un mtriz esclond reducid. L mtriz umentd del sistem y 5 5 es 5y 5 su mtriz esclond será y su mtriz esclond reducid será L mtriz umentd del sistem yz y z 5 es 5 yz su mtriz esclond será y su mtriz esclond reducid será MÉTODO DE GAUSS (ELIMINACIÓN GAUSSIANA) Ejemplo.0: Resuelv el sistem de ecuciones mostrdo por el método de Guss. yz yz 5 yz yz y z 5 y 5 yz z Mtriz A Mtriz X Mtriz B Lo primero que se debe hcer es recomodr el sistem, ordenndo ls vribles y dejndo de un solo ldo los términos independientes. De est form podremos reescribir el sistem en form mtricil. 5 F F 7 F F Se construye l mtriz umentd. En este cso el método indicdo implic clculr l mtriz esclond. Los cálculos se empiezn nulndo los términos de l column. Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág.

31 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices 0 7 PF F 9 (, ) Un vez nuldos los términos de l column, se puede psr nulr los de l column. Aún sí en este cso, por convenienci, se permutn ls fils y. 0 9 F F MATRIZ ESCALONADA! Se continú con l einción de términos, en este cso de l column. Al hcer esto se lleg directmente l mtriz esclond desedo yz y z 9 y 5 5z 0 z Con l yud de l mtriz esclond, se construye el sistem de ecuciones mostrdo. Al resolver el sistem, se está resolviendo el sistem de ecuciones originl. Ejemplo.: Resuelv el sistem de ecuciones mostrdo por el método de Guss. 8y6z 0 yz yz F F 0 F 0 F F F F F F 5 MATRIZ ESCALONADA De l mtriz esclond, se construye el sistem de ecuciones y se resuelven ls vribles: yz 0 yz y z z Pág. Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

32 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Ejemplo.: Resuelv el sistem de ecuciones mostrdo por el método de Guss. y z y z y y0z 0 y z y yz z Mtriz A Mtriz X Mtriz B Lo primero que se debe hcer es recomodr el sistem, ordenndo ls vribles y dejndo de un solo ldo los términos independientes. De est form podremos reescribir el sistem en form mtricil. 0 PF F 0 (, ) Se pueden intercmbir fils. En este cso permutn fil por fil, pr ubicr fvorblemente el neutro multiplicdor. 0 F F Se multiplic fil por y se le sum l fil, pr nulr los términos de l column F F Se multiplic fil por - y se le sum l fil, pr nulr el último término de l column PF F 0 6 (, ) Se permutn fil por fil, pr ubicr de nuevo en posición fvorble l neutro multiplicdor F F Se multiplic fil por y se le sum l fil, pr nulr los términos de l column F F Se multiplic fil por 5 y se le sum l fil, pr nulr el último término de l column. Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág. 5

33 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices F Se multiplic por -/8 l fil pr logrr el neutro multiplictivo y fcilitr l nulción de términos en l column F F Se multiplic fil por 6 y se le sum l fil, pr nulr los términos de l column F F Se multiplic fil por 5 y se le sum l fil, pr nulr el último término de l column F 0 F y0z 0 y 0 z y 0 0 y z 0 z 0 Se multiplic por - ls fils y, de form que se llegue l mtriz identidd, y sí poder reconstruir ls ecuciones que dn el resultdo finl. Ejemplo.: Resuelv el sistem de ecuciones mostrdo por el método de Guss-Jordn. yz 0 7y z 6 5y F F F F F F 0 F F F F F F F F F 0 0 0y0z 0 0 0y0z y yz 7 z 7 Pág. 6 Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

34 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices Ejercicios de Práctic ) 5) 6) 7) 8) 9) 50) Resuelv los siguientes sistems de ecuciones, utilizndo tnto el Método de Crmer como los Métodos de Guss y Guss-Jordn. yz 0 8 yz yz 6 y yz 0 y z w R/ z 5) y z w 5 y z y 8 yzw R/ w z y y z y yzw0 R/ z 0 8y 0 5) y z y bc 9 z b 8 w y R/ w b b c R/ c yz 55 yz 5) yz 5 y y6z 7 5yz R/ z y 57y8z 9 R/ z yz 8 yz 0 55) yz 5 y z y 6z 0 R/ z y 5 yz R/ z 5z y 6 ywz yzw6 0 56) y9 z y y7z 8 z 59 7y8zw5 y 0 wy R/ w z 7yzw7 0 R/ w w7y9z w y z 7 6 yzw 6 57) y z 7 w y z 0 y 0 z 7 w y 6z 6 yw y R/ w z y R/ w 5) yz z w w y z 0 yzw R/ 9 y 5 z w Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág. 7

35 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices.5 Mtriz invers Un mtriz cudrd que posee invers se dice que es invertible o regulr; en cso contrrio recibe el nombre de singulr. Mtriz invers A - : Se dice que un mtriz B es invers de otr mtriz A si se cumple que A B=I, es decir, que el producto de ls mtrices d como resultdo l mtriz identidd. L invers de un mtriz se simboliz por A -. Se puede clculr de forms: A prtir de l definición Por el método de reducción de Guss Por determinntes Cálculo de l mtriz invers usndo determinntes c M c M c M T A MADJ donde: MADJ c M c M c M det( A) c M c M c M Siguiendo el desrrollo que propone l ecución nterior, se deberín seguir los siguientes psos:. Clculr el determinnte de l mtriz, det A.. Formr l mtriz djunt, M ADJ, donde cd elemento es el producto del cofctor por el menor de l posición en estudio. Note que el tmño de M ADJ es el mismo que el tmño de A.. Trnsponer l mtriz M ADJ, formndo sí l mtriz (M ADJ ) T.. Multiplicr est nuev mtriz, l (M ADJ ) T, por el inverso del determinnte, es decir / det A. Propieddes de l inversión de mtrices Un mtriz es invertible si y sólo si el determinnte de A es distinto de cero: det A 0 L mtriz invers, si eiste, es únic El producto de un mtriz por su invers, o vicevers, d como resultdo l mtriz identidd I: A A A A I L invers del producto de dos mtrices es el producto de ls inverss, pero cmbindo el orden: AB B A Pr un mtriz dd, l invers de su invers d como resultdo nuevmente l mtriz originl: A A Un esclr por un mtriz, cuyo resultdo se elev l -, equivle multiplicr el recíproco del esclr por l invers de l mtriz originl: ka A k Si l mtriz es invertible, tmbién lo es su trnspuest, y el inverso de su trnspuest es l trnspuest de su invers: T A A T Pág. 8 Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

36 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices INVERSA DE UNA MATRIZ DE DO ORDEN Ejemplo.: Clcule l invers de l mtriz de A Se clcul el determinnte de l mtriz, pr verificr que se distinto de cero. De ser sí, este dto se requiere más delnte en el cálculo de l invers. det A det A Se clcul l mtriz de menores de A y se multiplic por los cofctores: c M c M M ADJ c M c M M ADJ Se trnspone l mtriz clculd nteriormente: T MADJ MADJ Finlmente, se efectú el cálculo de l mtriz invers según l fórmul: T A MADJ A det( A) INVERSA DE UNA MATRIZ DE ER ORDEN EN ADELANTE Ejemplo.5: Clculr l invers de l mtriz B: 5 B det B 9 9 B det det( B) Primer requisito pr clculr l invers de B, es que su determinnte se distinto de cero. Se clcul con l Regl de Srrus. Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág. 9

37 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices c M c M c M M ADJ c M c M c M c M c M c M M ADJ c M () c M ( ) c M M ADJ c M ( ) c M () c M ( ) c M () c M ( ) c M () Se construye l mtriz djunt de B. Cd elemento de l mtriz djunt es el producto del cofctor por el menor de l posición del elemento. En l primer líne se muestr el plntemiento de M, en l segund líne se muestr el plntemiento mtemático, y finlmente en l tercer líne se muestrn los resultdos. M ADJ 0 T 8 M ADJ Un vez obtenid M, se clcul su trnspuest T B MADJ 8 0 B 0 det( B) Aplicndo el concepto de mtriz invers, se clcul l invers de l mtriz B. Ejercicios de Práctic Clcule l mtriz invers de ls siguientes mtrices. 58) 59) 60) 6) A A A b A b R/ R/ R/ A R/ A A A b b 6) 6) 6) 5 A 5 7 A 5 0 A R/ R/ R/ 5 5 A 5 7 A A 0 Pág. 0 Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

38 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices Ejercicios de Práctic Clcule l mtriz invers de ls siguientes mtrices. 65) 66) 67) 68) 69) 5 A 0 A 0 0 A A A R/ R/ R/ R/ R/ A A A A A Sistems de Ecuciones: Método de Mtriz Invers El concepto de mtriz invers se puede utilizr pr resolver sistems de ecuciones. Aunque puede resultr lborioso hcer l invers de un mtriz, l utilidd del método se preci cundo hy que resolver vrios sistems de ecuciones con l mism mtriz de coeficientes, y que se us un mism invers. Y se vio que un sistem de ecuciones lineles, por ejemplo de ecuciones y incógnits, se epres en form mtricil como: b AX B b b Mtriz de coeficientes Mtriz de incógnits Mtriz de términos independientes Por lo tnto, si se quiere despejr l mtriz de incógnits X, se tendrí: b B T X X A B M b A ADJ A det( ) b b Est operción es el cálculo de l invers de A En otrs plbrs, l solución del sistem de ecuciones ddo, se obtiene l multiplicr l invers de l mtriz de coeficientes, por l mtriz de términos independientes: X A B Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág.

39 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices Ejemplo.6: Resolver el siguiente sistem de ecuciones: yz 0 5y 7y z 6 yz , 7yz 6 7 z 6 y y X A B Mtriz A Mtriz X Mtriz B Se reescribe el sistem en form mtricil, pr identificr decudmente ls mtrices A, X y B det A det( A) Primer requisito pr clculr l invers de A, es que su determinnte se distinto de cero c M () c M ( ) c M 7 7 M ADJ c M ( ) c M () c M ( ) c M () c M ( ) c M () M ADJ M T ADJ Se construye l mtriz djunt de A. Cd elemento de l mtriz djunt es el producto del cofctor por el menor de l posición del elemento. Un vez obtenid l mtriz djunt, se construye su trnspuest T A MADJ 6 6 A det( A) Aplicndo el concepto de mtriz invers, se clcul l invers de l mtriz A X A B X y y z 7 z 7 Pág. Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

40 Mtemátic Cp. : Universitri Mtrices Ejercicios de Práctic Resuelv los siguientes sistems de ecuciones utilizndo el Método de Mtriz Invers. 70) yz 0 5y 6 5yz R/ A , y, z ) y 5 yz 5 y z 7 R/ 8 5 A 9, y, z 7) yz y6z 7 57y8z 9 R/ A 7 7 7, y, z 7) y z yz yz 7 0 R/ A , y, z Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág.

41 Mtemátic Universitri Cp. : Funciones Eponenciles y Logrítmics. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA En este cpítulo definiremos ls funciones eponencil y logrítmic. Pr ellos se estudin sus propieddes y se plnte l form de resolver ecuciones que involucrn ests funciones. El concepto de función fue introducido por René Descrtes, como un regl de correspondenci entre dos conjuntos de números. Es decir, estblece un relción de modo que cd número del primer conjunto, le corresponde un número y del segundo conjunto Ls funciones lineles, cudrátics y rcionles se conocen como funciones lgebrics. Ls funciones lgebrics son funciones que se pueden epresr en términos de operciones lgebrics. Si un función no es lgebric se llm un función trscendentl. Ls funciones eponenciles, logrítmics y trigonométrics son funciones trnscendentles: Funciones lgebrics Linel Cudrátic Rcionl Funciones Trscendentles Eponencil Logrítmic Trigonométric Ls funciones trscendentles tienen plicciones en csi culquier cmpo de l investigción humn. En químic, físic, biologí, ingenierí, yudn eplicr l mner en que se dn ciertos fenómenos en l nturlez, sí como eplicr el comportmiento de mteriles. El crecimiento bcterino, l desintegrción rdictiv, l concentrción de medicmentos en el flujo snguíneo, l escl de Richter, leyes de Newton, el cálculo de interés compuesto en mtemátic finncier, todos estos tems requieren el uso de ls funciones eponencil y logrítmic.. Funciones y ecuciones eponenciles. FUNCIÓN EXPONENCIAL Un función eponencil tiene l form: b f( ) b donde: b0 b Está compuest de un bse b y el eponente. L función eponencil no está definid pr bses negtivs. Ejemplos: f( ) f( ) Note, de l figur nterior, que l función eponencil puede ser creciente o decreciente, y esto depende de l bse b, según se indic continución: Cundo l bse b >, entonces f( ) b es un función creciente. Ejemplo: f( ) Cundo l bse 0< b <, entonces f( ) b es un función decreciente. Ejemplo: f( ) Pág. Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

42 Mtemátic Universitri Cp. : Funciones Eponenciles y Logrítmics L función eponencil de bse e Al igul que, otro número irrcionl muy utilizdo es e L notción e pr este número fue dd por Leonhrd Euler (77). El número e tiene grn importnci en ls Mtemátics, siendo que no es rcionl (no es cociente de dos números enteros) y es el límite de l sucesión: n n, es decir, e n n n Pr un número rel, l ecución f( ) e define l función eponencil de bse e, conociéndose tmbién como un función eponencil nturl. L gráfic de f( ) e tendrí l form: El dominio de f( ) e es el conjunto de los números reles y su rngo es el conjunto de los números reles positivos. Como < e <, l gráfic de f( ) e está entre ls de f( ) y f( ), como se ilustr continución: f( ) f( ) e f( ) ECUACIONES EXPONENCIALES DE IGUAL BASE Siempre que se posible, pr resolver ecuciones eponenciles es conveniente epresr los miembros de l ecución como potencis de l mism bse. Esto sugiere que el procedimiento de solución serí el siguiente:. Determinr l bse común que tienen los términos de l ecución.. Prtiendo de ls propieddes de ls potencis, psr ls bses de los términos de l ecución l bse común definid en el pso nterior.. Dentro de lo posible, reducir l ecución únicmente términos, uno cd ldo del signo igul. Esto permite tener clridd que si ls bses son igul, pr que se cumpl l iguldd, entonces los eponentes deben ser igules tmbién.. Del rzonmiento nterior, un vez igulds ls bses, se puede construir un nuev ecución que nce de igulr los eponentes. 5. Se solucion est nuev ecución, con lo que se encuentr tmbién l solución de l ecución originl. Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág. 5

43 Mtemátic Universitri Cp. : Funciones Eponenciles y Logrítmics Debido est ventj mtemátic de trbjr con propieddes de ls potencis, ntes de resolver ecuciones de tipo eponencil, es necesrio recordr lguns de ests propieddes. Tmbién se indicn lguns propieddes de los rdicles, en combinción con los eponenciles: Propiedd Ejemplo Propiedd Ejemplo m n m n m n mn ( b ) n n b n ( ) m n mn m n n m (5) 5 ( ) n n n b b n n n b n n b n n n b b m n mn Otr propiedd muy útil en l solución de ecuciones eponenciles es 0 Ejemplo.: Resuelv l ecución: 8 Note l configurción eponencil de l ecución. L bse común de los términos es. Usndo propieddes eponenciles, se psn todos los elementos es bse. Pr que se cumpl l iguldd, si ls bses son igules, los eponentes tmbién. Por lo tnto igulmos eponentes. L nuev epresión es usulmente un ecución sencill de resolver, en este cso un ecución linel Se comprueb el resultdo. R/ Respuest finl Pág. 6 Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

44 Mtemátic Universitri Cp. : Funciones Eponenciles y Logrítmics Ejemplo.: Resuelv l ecución: e e e Note l configurción eponencil de l ecución. e e e e e L bse común de los términos es e. Usndo propieddes eponenciles, se simplific l epresión hst que quede únicmente un elemento mbos ldos del =. En este cso se inició quitndo los elementos del denomindor. 0 Al hber iguldo ls bses, pr que se cumpl l iguldd, podemos igulr los eponentes tmbién. Se resuelve l nuev epresión. Pr : Pr : e e e e e e 9 6 e e e e e e 9 9 e e e e Se compruebn mbos resultdos. R / Respuest finl Ejemplo.: Resuelv l ecución: 8 0 Note l configurción eponencil de l ecución L bse común de los términos es. Usndo propieddes eponenciles, se simplific l epresión hst que quede únicmente un elemento mbos ldos del =. En este cso se inició quitndo los elementos del denomindor Al hber iguldo ls bses, pr que se cumpl l iguldd, podemos igulr los eponentes tmbién. Se resuelve l nuev epresión. R / 8 Se comprueb el resultdo y se obtiene l respuest finl (se omite el detlle de l comprobción). Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág. 7

45 Mtemátic Universitri Cp. : Funciones Eponenciles y Logrítmics Ejercicios de Práctic Resuelv ls siguientes ecuciones eponenciles: ) 7 R/ ) ) ) 5) 6) 5 8 R/ 6 8 R/, 5 R/,5 ( ) 5 5 R/ R/.6, 7.6, ( ) R/ 7) 8) 8 R/ ( ) 9) 8 8 R/ 6 0) ) R/ 7 7 e e e R/ 6 5, Pág. 8 Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

46 Mtemátic Universitri Cp. : Funciones Eponenciles y Logrítmics. Funciones y ecuciones logrítmics. Los logritmos fueron desrrolldos por el mtemático escocés John Neper y publicdos en 6. Neper buscb un form de relizr multiplicciones y divisiones medinte sums y rests, mucho más fáciles de relizr pr l époc. Así creó un grupo de números rtificiles que sustituín cd número rel. En otrs plbrs, cd número rel le corresponde un número rtificil l que llmó logritmo. Los logritmos credos por Neper se bsn en el número irrcionl e Poco después, en 67, el mtemático Henry Briggs dptó los logritmos de Neper (conocidos tmbién como neperinos) bse 0, que resultn más convenientes. En bse 0, el logritmo de es 0, el logritmo de 0 es, el logritmo de 00 es y sí sucesivmente. Pero lo más importnte es l propiedd que permite clculr productos simplemente medinte l sum de los logritmos de los fctores: FUNCIÓN LOGARÍTMICA c c log log log b b b L función logrítmic se denot de l siguiente form: log b donde: b bse rgumento y se lee como logritmo de con bse b. Los logritmos comunes son los logritmos de bse 0: log( ) log ( ) (es l tecl log en ls clculdors) 0 Los logritmos nturles son los logritmos de bse e: ln( ) log e( ) (es l tecl ln en ls clculdors) Note que ls funciones eponencil f( ) b y logrítmics f( ) log( ) son inverss, pr b >0 y b. Ls funciones eponencil y logrítmic son funciones inverss de mner que: Así por ejemplo: y ylog ( ) b b f() log() f( ) El dominio de f( ) es el conjunto de los números reles, mientrs que el dominio de f() log() el conjunto de los números reles myores que cero es Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág. 9

47 Mtemátic Universitri Cp. : Funciones Eponenciles y Logrítmics Pr resolver ecuciones eponenciles de diferente bse y ecuciones logrítmics se deben mnejr correctmente ls propieddes de los logritmos Propiedd Propiedd log b( y) log b( ) log b( y) log b 0 ln 0 log b log b( ) log b( y) y log b ln log n b n log b( ) log b n n n ln e n b log log b log b log b Uso de l clculdor pr el cálculo de logritmos y eponenciles. Con ls clculdors se pueden clculr directmente los logritmos, usndo ls tecls indicds en l siguiente figur: Ejemplos: log ln e log ln e 0.5 Cundo se necesit clculr un logritmo con bse diferente 0 o e se requiere usr l propiedd de cmbio de bse: log log b log b Ejemplos: log log0 log log log log 0.77 Ejercicios de Práctic ) y log 5 R/ y ) y log R/ y.795 ) y log 5 8 R/ y.69 5) ylog e R/ y.88 6) ln ln y, si e R/ y ) e / ln y, si ln e R/ y Pág. 0 Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

48 Mtemátic Universitri Cp. : Funciones Eponenciles y Logrítmics CASO ESPECIAL: ECUACIÓN EXPONENCIAL CON DIFERENTE BASE En el cso de ecuciones donde ls bses de ls epresiones son diferentes, se plicn logritmos nturles mbos ldos de l ecución. Vemos los siguientes ejemplos. Ejemplo.: Resuelv l ecución: 5 Note que ls bses de ls epresiones eponenciles no son igules. ln5 ln ln 5 ln Aplicr función ln( ) mbos ldos de l ecución. ( ) ln5ln ln 5 ln 5 ln ln ln 5 ln ln ln 5 ln 5 ln ln ln 5 ln ln ln 5 ln R/. Se resuelve l ecución plicndo hor propieddes logrítmics, con el objetivo de trnsformr l ecución en otr que fcilite el despeje de. Se recomod l ecución pr despejr. Se comprueb el resultdo y se obtiene l respuest finl (se omite el detlle de l comprobción). Ejemplo.5: Resuelv l ecución: 5 0 Note que ls bses de ls epresiones eponenciles no son igules. ln 5 ln ln 5 ln 0 0 Aplicr función ln( ) mbos ldos de l ecución. ln 5 ln 0 ( ) ln 5 ln ln 0 ln 5 ln 5 0 ln 0 ln 5 ln 0 ln 5 ln 0 ln 5 ln 5 Se resuelve l ecución plicndo hor propieddes logrítmics, con el objetivo de trnsformr l ecución en otr que fcilite el despeje de. ln 5 ln 0 ln 5.80 Se recomod l ecución pr despejr. R /.80 Se comprueb el resultdo y se obtiene l respuest finl (se omite el detlle de l comprobción). Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág.

49 Mtemátic Universitri Cp. : Funciones Eponenciles y Logrítmics Ejemplo.6: Resuelv l ecución: Cso especil de ecuciones con más de un término que se sum o rest. ( ) 0 Ls bses son múltiplo de, por lo tnto se reescribe l ecución. ( ) Por propieddes eponenciles se logr obtener un epresión eponencil común en todos los sumndos de l ecución. 0 0 Se clcule el fctor común, pr luego resolver l ecución. Est últim resultó ser un ecución eponencil de diferente bse. 0 ln ln 0 ln ln Se inici plicndo l función de logritmo nturl, pr luego provechndo ls propieddes logrítmics, clcule el vlor de. R / 0.9 Se comprueb el resultdo y se obtiene l respuest finl (se omite el detlle de l comprobción). Ejemplo.7: Resuelv l ecución: 8 5 e e e 0 Cso especil de ecuciones con más de un término que se sum o rest. 6 ) e ( e e ) 0 b) e e 0 e 0 6 Se fctoriz l ecución con el término decudo. Note que qued un epresión tipo b 0, de l cul se sc provecho mtemático. e 0 No tiene solución! Resolviendo el cso ), est ecución no tiene solución, y que un término eponencil no puede dr 0. e e 0 6 Si e z z, se form un cudrátic: z e z 0 z e Resolviendo el cso b), por medio de un decud sustitución l ecución se resuelve como un cudrátic. De los dos resultdos obtenidos, el z no tiene solución, y que l igulrlo con el término eponencil, sbemos que estos no pueden ser cero o negtivos. Pág. Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

50 Mtemátic Universitri Cp. : Funciones Eponenciles y Logrítmics e ln( e ) ln ln( e) ln ln ln 0.66 Resolviendo pr z, se trbj como un ecución eponencil con bses distints. Se inici plicndo l función de logritmo nturl, pr luego provechndo ls propieddes logrítmics, clcule el vlor de. R / 0.66 Se comprueb el resultdo y se obtiene l respuest finl (se omite el detlle de l comprobción). Ejercicios de Práctic 8) R/.77 9) 5 R/ ln 5 0, ln 0) 7 R/ ln 7 ln ) ) ) 5 0 R/ R/.6 0 R/ 0.8 ) 5 R/ ln ln 8 9 5) 6) 0 0 R/ R/ ) R/ ) 9) R/ 0.5 R/.8 7 0) 6 R/ ) 0 R/ ) ) R/ R/ 0.7 Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág.

51 Mtemátic Universitri ) Cp. : Funciones Eponenciles y Logrítmics R/ ) ( ) 0 R/ 6) R/ 0.9 7) R/ 0.7 8) 9) 0) R/ e e 5e 0 R/ 0.56 e e 0 0 R/ ) e e 8 0 R/ 6 ) R/, ) R/.0 ln 7 ) 5) 6) 7) 8 ( ) R/, ( ) 8() 9 0 R/, R/ 8 0 R/.5 8) 8 R/.5 9) R/.7 50) R/.78 5) 5) 5) e e 0 e e R/ 0.88 ln ln5 e R/ e R/ 0.8 5) 7 0 R/, 6 5 e e e 55) e e 0 R/, 0, Pág. Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

52 Mtemátic Universitri Cp. : Funciones Eponenciles y Logrítmics DESARROLLO DE LOGARITMOS EN VARIOS MÁS SIMPLES Por convenienci pr desrrollr los cálculos, muchs veces en conveniente trnsformr un logritmo, cuy epresión luce complicd, en vrios logritmos mucho más simples. Esto se logr plicndo propieddes logrítmics, tl como lo muestr el siguiente ejemplo: Ejemplo.8: Desrrolle el logritmo mostrdo en vrios más simples: log y z log y z Ls forms rdicles se psn l form eponencil y log z Se plic l propiedd de un potenci elevd un eponente. y z log log log log y log log z log log y log log z Se plic l propiedd de logritmo de un división que equivle un rest. Se plic l propiedd de logritmo de un multiplicción, que equivle un sum. Finlmente, se ein el préntesis cudrdo y se bjn los eponentes. Ejercicios de Práctic Desrrollo los siguientes logritmos en vrios más simples 56) 57) 58) 59) 60) y log 5 log log 5 5 z 5 ln 6 e ln cos ln R/ R/ log log ylog5 log z log log ( ) log (5 ) R/ 6log log (ln ) log R/ ln ln( ) ln cos R/ ln( ) ln Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág. 5

53 Mtemátic Universitri Cp. : Funciones Eponenciles y Logrítmics SIMPLIFICACIÓN DE VARIOS LOGARITMOS EN UNO MÁS COMPLEJO Contrrio l cso nterior, en est sección se trtrá l form de grupr vrios logritmos de l mism bse, en un solo logritmo de epresión más complej. Al igul que el cso nterior, esto se logr plicndo propieddes logrítmics, tl como lo muestr el siguiente ejemplo: Ejemplo.9: Simplifique l epresión mostrd en un único logritmo: log log y log z log log log y z Lo primero que se not es que los logritmos tengn l mism bse. Luego los multiplicdores de los logritmos se psn eponentes de los logritmos. log log log y z Los eponentes frccionrios se reescriben como epresiones rdicles. log y log z L sum de logritmos se reescribe como un solo logritmo, donde sus rgumentos se multiplicn. log y z Finlmente, l rest de logritmos se reescribe como un solo logritmo con rgumentos que se dividen. Ejercicios de Práctic Reduzc ls siguientes epresiones un único logritmo 6) 6) log log b log c R/ log log b log c R/ 5 6) log log log R/ 6) b log log c bc log 6 tn lntn ln lne R/ ln e 65) log ( ) log ( ) R/ log 66) ln ln yln z R/ 67) ln ln( ) ln( ) R/ ln y z 5 ln Pág. 6 Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

54 Mtemátic Universitri Cp. : Funciones Eponenciles y Logrítmics ECUACIONES LOGARÍTMICAS Como su nombre lo indic, son ecuciones en dónde l incógnit se encuentr dentro de un epresión logrítmic, por ejemplo: log( 6) log( ) Pr resolver un ecución logrítmic, usulmente es necesrio trnsformrl en un ecución eponencil, utilizndo quell relción: Así por ejemplo: y ylog ( ) b b 8 log Ecución originl de form logrítmic Mism ecución trnsformd su form eponencil Solucionndo ecución eponencil Resuldo finl Esto sugiere que el procedimiento de solución serí el siguiente:. Psr todos los términos con logritmo, y que contengn l vrible, un ldo de l ecución. No es necesrio incluir los términos logrítmicos de números.. Reducir estos logritmos uno solo, plicndo propieddes.. Trnsformr este único logritmo su form eponencil, crendo sí un nuev ecución, hor de tipo eponencil.. Resolver l nuev ecución eponencil, con ls técnics respectivs. 5. Comprobr los resultdos Ejemplo.0: Resuelv l siguiente ecución logrítmic: log 9 9 Al hber un solo logritmo, y l reducción del pso está hech. El siguiente pso es trnsformr l ecución logrítmic su form eponencil Se trnsform l ecución, quedndo en un ecución de grdo, l cul l resolverl rroj dos posibles resultdos. Ambos hy que comprobrlos pr ver si los dos son correctos o lguno de los dos debe descrtrse. Pr : Pr : log log 9 9 L bse del logritmo no puede ser negtiv: 9 no tiene solución. 9 9 Se comprueb el resultdo y se obtiene l respuest finl. R / Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág. 7

55 Mtemátic Universitri Cp. : Funciones Eponenciles y Logrítmics Ejemplo.: Resuelv l siguiente ecución logrítmic: log7 7 Al hber un solo logritmo, y l reducción del pso está hech. El siguiente pso es trnsformr l ecución logrítmic su form eponencil. En este cso se resuelve fácilmente. log7 log log(7) 0. R / Se comprueb el resultdo y se obtiene l respuest finl. Ejemplo.: Resuelv l siguiente ecución logrítmic: log Al hber un solo logritmo, y l reducción del pso está hech. El siguiente pso es trnsformr l ecución logrítmic su form eponencil. En este cso se resuelve fácilmente. log 7 log 9 log R / Se comprueb el resultdo y se obtiene l respuest finl. Ejemplo.: Resuelv l siguiente ecución logrítmic: log log log log log log log 0.58 log Al hber un solo logritmo con l vrible, no es indispensble grupr TODOS los logritmos. Se trbj con el ldo izquierdo de l epresión, bjndo el eponente. Este simple pso coloc l vrible en posición de fácil despeje log log.58 log log R / 0.58 Se comprueb el resultdo y se obtiene l respuest finl. Pág. 8 Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

56 Mtemátic Universitri Cp. : Funciones Eponenciles y Logrítmics Ejemplo.: Resuelv l siguiente ecución logrítmic: log log log log log log log log log log Se unen los logritmos con vrible en un solo ldo de l ecución, pr luego reducirlo un sol epresión logrítmic. Note que no simplificmos l epresión lgebric, pr evitr perder posibles soluciones l ecución por efecto de l simplificción Al tener un único logritmo mbos ldos de l ecución, podemos igulr sus rgumentos, y que si: log( ) log( b) b. Reescribimos entonces l epresión y resolvemos l ecución grdo que se tiene. Pr ello se fctoriz l ecución y se encuentrn ls diverss soluciones. Pr Pr Pr NO HAY SOLUCIÓN : log 6 log log 0 : log 0 log log 0 : log 6 log log log 6 log log log NO HAY SOLUCIÓN R / Se comprueb cd un de ls posibles soluciones y se obtiene l finl l solución definitiv. Ejemplo.5: Resuelv l siguiente ecución logrítmic: log log log log log Se unen los logritmos con vrible en un solo ldo de l ecución, pr luego reducirlo un sol epresión logrítmic. L nuev ecución logrítmic se trnsform su form eponencil. 6 0 Se desrroll l ecución eponencil, resultndo en un ecución cudrátic l cul se resuelv, rrojndo dos posibles soluciones. Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág. 9

57 Mtemátic Universitri Pr Pr : log log 0 : log log R /, Cp. : Funciones Eponenciles y Logrítmics Se comprueb cd un de ls posibles soluciones y se obtiene l finl l solución definitiv. En este cso ls dos soluciones preinres cumplen. Ejemplo.6: Resuelv l siguiente ecución logrítmic: ln( ) ln( ) ln( 86) ln( ) ln( ) 0 ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) 0 ln( ) ln( ) ln( ) 0 ( ) ln 0 ( ) Se unen los logritmos con vrible en un solo ldo de l ecución, pr luego reducirlo un sol epresión logrítmic. e 0 ( ) ( ) ( ) ( ) L nuev ecución logrítmic se trnsform su form eponencil. Se desrroll l ecución eponencil, resultndo en un ecución grdo. Pr solucionrl se puede fctorizr y encontrr luego ls tres posibles soluciones. Pr Pr Pr SE PRODUCE INDEFINICIÓN EN ESTE TÉRMINO 0.6 : ln( ) ln(.6) ln ln 0.6 : ln( ) ln0.6 : ln 0 SE PRODUCE INDEFINICIÓN EN ESTOS TÉRMINOS 0 0 R /.6 Se comprueb cd un de ls posibles soluciones, sustituyendo en l ecución originl, y se obtiene l finl l solución definitiv. En este cso solo un de ls soluciones cumple. Not: no se indic l comprobción complet, únicmente se indic en qué prte de l ecución originl se produce l indefinición de los vlores preinres. Pág. 50 Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

58 Mtemátic Universitri Cp. : Funciones Eponenciles y Logrítmics Ejemplo.7: Resuelv l siguiente ecución logrítmic: 7 ln 9 9 ln ln ln ( )( ) ln( ) ln( ) ln ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln ln( ) ln( ) ln( ).0 9 ln( ).8 Por l vriedd de epresiones, prece más conveniente fctorizr. Esto permite identificr epresiones semejntes que se sumn, hst finlizr l regrupción de logritmos pr obtener finlmente un solo logritmo. e.8 e.90.8 L nuev ecución logrítmic se trnsform su form eponencil. Se resuelve est ecución. Pr.90 : 7 ln.8 ln 0.06ln ( 5.8) (.677).0.0 R /.90 Se comprueb y se obtiene l finl l solución definitiv. Ejercicios de Práctic log 5 R/ 59 68) 69) 5 log log ln 0 R/ 70) e ln loglog 0 R/ 0 7) log R/ 8, 8 7) 6 7 log 9 R/ 7) log log log5 R/ 7 7) log 5 log R/ 5 75) log 5 log 0 R/.98 76) log log 0 R/ 77) log6 log R/ 0 78) log log R/ Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág. 5

59 Mtemátic Cp. : Funciones Universitri Eponenciles y Logrítmics 79) log 8 log R/ 80) log log log R/ ) log log R/ 6 6 8) log log R/ 8) log log R/ log log 8) R/ 0 85) log 05 log R/ ) log log log R/.0 87) log log log R/ 88) 5 log log 6 log00 R/ 89) ln 6 ln0 ln ln R/ 90) ln ln ln 0 R/ 9) ln ln ln ln 5 ln6 0 R/ ln ln 6 ln ) 50 R/.57 ln ln 9 ln ) / 7 5 ln ln 5 ln ) ln ln ln ) ( ) ln ln ln ) R/ 5 R/ 5.5 R/ R/ 5 97) ln ln 0 R/ e, e 5 98) log log R/,, 99) 7e R/ ln 00) e log 0 R/ 0) e log R/ Pág. 5 Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

60 Mtemátic Cp. : Funciones Universitri Eponenciles y Logrítmics 0) e log 0 R/ 0) 5log 0 R/ 00000,.70 Ejercicios dicionles l cpítulo R/ 0.870,9,.77 0) e ) R/ 8 06) 5 5 R/ 0, 07) 0.5 R/, 08) 6 56 R/ 5 09) ) ) 6 65 R/.6 R/ 6 R/ 0.0,.0 8 R/ ) ) 9 7 R/ 0.6,.66 ) 7 R/ ) R/ ) R/ 7) R/ 8) 0 R/, 9) 8 9 R/ 0) R/ 7 9 ) e ln log log 5 0 R/ 0,,ln log log 0 log ) R/ 5 ) log log5 log 0 R/ 7,5 Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl Pág. 5

61 Mtemátic Universitri ) Cp. : Funciones Eponenciles y Logrítmics log log log R/ 9 5) log log6 0 R/, ln ln ln.0 6) / 7) e R/ 0.50 log 0 R/ 6, 8) log log 9) R/ 6 6 / / ln ln ln ) R/ 5 log ln log log 0 R/ 8 ) e e 0 ln log log 0 R/ 0.0, ) log log R/ Pág. 5 Derechos reservdos. Prohibid reproducción prcil o totl

62 Mtemátic Universitri Cp. : Aplicciones Interés Compuesto. INTERÉS COMPUESTO. Concepto básico: Interés El interés es l cntidd pgd por el uso del dinero de tercers persons o l cntidd gnd por l inversión de dinero. Interés =Cntidd Pgd por el uso del dinero Ts de interés (psiv). Eisten dos criterios pr clculr el interés recibir o pgr en un trnscción Interés simple Gnd: inversión de dinero. Ts de rendimiento Interés simple o Interés compuesto. El costo (gsto, precio, ) del dinero que se gener sobre un cpitl que se mntiene un periodo de tiempo invertido o en préstmo. Vribles en el interés simple: I = cntidd recibid por los intereses. P = Cpitl, inversión o vlor presente. i = tz de interés de rendimiento por unidd de tiempo sobre l bse de un ño, se epres en decimles. t = es el tiempo o plzo de l trnscción. Puede drse en ños, meses o dís. En est sección nos ocupremos del interés compuesto como un plicción de ls ecuciones eponenciles y los logritmos, en cursos posteriores de mtemátic finncier se profundiz en los tems.. Interés compuesto Es el interés que se gener (gn o pg) sobre un cpitl o principl que v umentndo medid que los intereses generdos en los periodos nteriores se sumn l cpitl, es decir se gn interés sobre interés, los intereses se cpitlizn o se convierten en cpitl. El intervlo de tiempo trnscurrido entre cpitlizciones puede ser de un ño, semestre, trimestre, mes, dí o cd instnte. Por lo que se puede hblr de interés continuo. Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 55

63 Mtemátic Universitri Cp. : Aplicciones Interés Compuesto FORMULA DE INTERES COMPUESTO A P r n ( nt) P = Monto principl = vlor presente = cpitl invertir r = ts de interés (epresd como deciml) n = número de periodos de interés por ño. Diri mensul Trimestrl Semestrl nul Periodos n 60 t = Número de ños en los que se invierte P. A = monto principl después de t ños. (vlor futuro). Interés compuesto en form continu Cundo el número periodos de interés en el ño crece l infinito, mtemáticmente se epres con l siguiente epresión: P n si k = n/r, entonces se puede volver escribir l fórmul: r n nt P k r k k rt Pe rt cundo k y sí se obtiene l fórmul pr el interés contínuo, tl que: A Pe ( rt) Pág. 56 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

64 Mtemátic Universitri Cp. : Aplicciones Interés Compuesto Ejemplo.: Cálculo de A (Vlor futuro) Supong que se invierten $000 un tipo de interés del 9% compuesto mensulmente. Clculr el monto totl obtenido después de 5, 0 y 5 ños. Solución: Aplicndo l formul de interés compuesto con r = 0.09 n = P= $000 El monto totl después de t ños es: 0.09 A 000 Ejemplo.: El de enero de 996 se colocron $000 en un cuent de retiro que pgrá un interés del 0% nul compuesto de mner continu A cuánto scenderá l cuent el primero de enero del ño 06? Solución: L cntidd A después de 0 ños es A P e ( rt ) A $000e A $778. (0.00) Numero Usndo l A de Años fórmul 5 000(.0075) 60 $ (.0075) 0 $ (.0075) 80 $88.0 Ejemplo.: Usted decide invertir 5000, por lo que se inform en diferentes entiddes finnciers, que le ofrecen ls siguientes opciones, tods un plzo de ½ ños: Finncier Anglo: 8% compuesto, en form trimestrl. Bnco Tusctlán: ño l % y luego todo por ½ ño l % (mbos intereses compuestos en form continu) Bnco Gne: 5% compuesto, en form diri. Cuánto dinero obtendrí en cd un, y cuál escogerí pr invertir? t Solución Finncier Anglo: A P r n nt Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 57

65 Mtemátic Universitri Bnco Tusctlán: A Pe rt 5000e Cp. : Aplicciones Interés Compuesto, este monto es el nuevo P, por lo que se us pr el siguiente período: A P e rt 56.8 e Bnco Gne: A P r n nt De todos los entes finncieros, el que nos d mejor resultdo es Finncier Anglo. Ejercicio de Práctic En los siguientes problems, determine l cntidd que result de cd inversión: ) $00 l % compuesto en form trimestrl, después de ños. R/ $08.9 ) $500 l 8% compuest en form trimestrl, después de ños. R/$609.5 ) $600 l 5% compuesto dirimente, después de ños. R/ $ ) $0 l % compuesto en form continu, después de ños. R/.6 5) $00 l 0% compuesto en form continu, después de ños. R/ $5. 6) Usted invierte $000 en un bono que pg el 9% de interés compuesto en form semestrl. Un migo suyo invierte $000 en un cerificdo de depósito que pg un 8.5% compuest en form continu Quién tendrá ms dinero después de 0 ños, usted o su migo? R/ Usted obtiene $6.7 y su migo $ ) Usted est pensndo en dquirir 00 cciones en l bols de vlores $5 cd un, sin recibir dividendos. L histori de ls cciones indic que deben crecer un ts nul del 5% por ño. Cuánto vldrán ess cciones dentro de 5 ños? R/ $0.7 por cción, ó $07 ls 00 cciones. Pág. 58 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

66 Mtemátic Universitri Cp. : Aplicciones Interés Compuesto Ejemplo.: Cálculo de P (Vlor Presente) Un bono puede ser mortizdo en 0 ños por $000 Cuánto dinero estrí dispuesto pgr por él hor si quiere obtener un rendimiento de: () 8% compuesto en form mensul? (b) 7% compuesto en form continu? Solución: ()Se debe clculr el vlor presente P con los dtos A = $000 n = t = 0 ños r = 0.08 (8% escrito en form deciml) A P r n nt Se us l formul de interés compuesto con los dtos indicdos (0) P Se despej P de l fórmul ((0)) 0.08 P 000 = $50.5 Se clcul en dto (b) En este cso se utiliz l fórmul de interés compuesto en form continu. rt A P e 000 P e P e 0.07(0) (0) Se despej P de l fórmul con los dtos ddos P = $96.59 Se debe pgr por el bono Ejercicios de Práctic 8) En los siguientes ejercicios, indique el cpitl ( P ) necesrio pr obtener l cntidd indicd.. 9) Pr $00 después de ños l 6% compuesto mensulmente. R/ $ ) Pr $000 después de ños y medio l 6 % compuesto dirimente. R/ $ ) Pr $600 después de ños l % compuesto en form trimestrl. R/ $55.09 ) Pr $80 después de ños y curto l 9% compuesto en form continu. R/ $59.7 ) Pr $00 después de ño l 0% compuesto en form continu. R/ $6.9 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 59

67 Mtemátic Universitri Cp. : Aplicciones Interés Compuesto ) Usted cb de heredr un nillo de dimntes vlordo en $5000. Si los dimntes hn umentdo de vlor con un ts nul del 8%. Cuál er el vlor del nillo hce 0 ños cundo fue dquirido? R/ $5.97 5) El de enero de 99 se colocron $000 en un cuent de retiro que pgrá un interés del 0% nul compuesto de mner continu A cuánto scenderá l cuent el de enero del 008? A cuánto scenderá si se coloc l % compuesto mensulmente? R/ )$5$ b)$7987. Ejemplo.5: Cálculo de r (Ts de interés) Cuál es l ts de interés nul, compuest en form nul, necesri pr duplicr un inversión en 5 ños? Solución: Si P es el cpitl y queremos duplicrlo, l cntidd futuro será A = P. Entonces, usndo l fórmul de interés compuesto, con: A = P n= (nul) t = 5 ños P= $000 A P r n nt P P( r) 5 Se us l formul de interés compuesto con los dtos indicdos P ( r) P 5 r 5 ( ) Se ps dividir P y se cncel ( r ) ( r) Se plic ríz quint mbos ldos pr poder despejr r 5 r.8698 r Se ps restr y se clcul r r 0.87 r.87% En porcentje. Ejercicios de Práctic 6) Cuál es l ts de interés compuest en form nul necesri pr duplicr un inversión en ños? R/ 6% 7) Un empres dquirid por $ en 99 se vende en 997 por $ Cuál es l ts nul de rendimiento de est inversión? R/ 9.5% 8) Cuál es l ts de interés nul que gn un depósito, que en tres ños pso de $ $ si es compuesto mensulmente? R/ 9.75% 9) Cuál es l ts de interés compuest en form mensul, necesri pr que un inversión pse de $5000 $8000 en cinco ños? R/ 8.75% Pág. 60 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

68 Mtemátic Universitri Cp. : Aplicciones Interés Compuesto 0) Cuál es l ts de interés compuest en form mensul, necesri pr que un inversión pse de $00000 $80000 en tres ños? R/ 9,75% Ejemplo.6: Cálculo de t (Tiempo o plzo de l operción finncier) Un universidd cuent con un cpitl pr invertir en infrestructur, pero necesit triplicr el monto que tiene ctulmente. Cuántos meses trdrá en logrrlo si los invierte l 6.5% nul compuesto mensulmente? Y si l hubier invertido en form continú? Solución: En este cso los dtos que se mnejn son los siguientes: A = P n = t = ños? P = P r = 6.5% () Pr el modo compuesto mensulmente: A = P( + r/n) nt P = P(+0.065/) t Se us l formul de interés compuesto con los dtos = (.005) t ln() = tln(.005) Se ps P dividir, se plic ln mbos ldos pr bjr el eponente t = ln() / (ln(.005)) = 6.99 ños Se despej t psndo dividir lo que lo multiplic. t = 6.99* t 0 meses Pr psr meses se multiplic por (b) Pr el modo compuesto en form continu: A = P rt P = P 0.065t Se us l fórmul de interés continuo con los dtos ddos = 0.065t ln() = 0.065t t = ln()/0.065 = 6.90 ños Se plic ln mbos ldos pr poder despejr t Se ps dividir lo que multiplic t t= 0.8 meses Se multiplic por pr tener los meses Ejercicios de Práctic ) Cuánto tiempo trdrá un inversión en duplicr su vlor si se h contrtdo l 8% compuesto mensulmente? Y compuesto en form continu? R/ 0. meses y 0.97 meses respectivmente. Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 6

69 Mtemátic Universitri Cp. : Aplicciones Interés Compuesto ) Cuántos ños son necesrios pr que un inversión inicil de $0.000 crezc hst $5.000? Supong un ts de interés del 6% compuesto en form continu. R/ 5.7 ños ) Cuántos ños son necesrios pr que un inversión inicil de $00 crezc hst $50? Supong un ts de interés del 8% compuesto en mensulmente. R/ 6.0 meses Supong un ts de interés continuo. R/ 60.8 meses ) Cuntos ños trdr en duplicrse un inversión, si l ts de rendimiento es del.5% compuesto trimestrlmente? R/. ños Ejercicios dicionles 5) Usted decide invertir $000 en diferentes entiddes finnciers de l siguiente form: El primer ño y medio trbj l 5% compuesto en form trimestrl. El dinero obtenido luego lo trbj por dos ños y medio l 0% compuesto en form continu. ) Cuánto dinero obtiene el finl de los ños? R/$50.6 b) Cuántos meses hubier trddo l inversión inicil en duplicr su vlor si l hubier contrtdo l 8% nul compuesto mensulmente? R/ 0. meses 6) Usted cb de dquirir un cs, l cul tiene un hipotec de $50000, y se compromete pgrle l vendedor $50000 más el interés cumuldo en 5 ños prtir de hor. El vendedor le ofrece dos opciones de interés sobre l hipotec: ).5% de interés compuesto en form continu. b).5 % de interés compuesto mensulmente. Cul opción es l mejor? 7) Se invierten $0000 en un fondo de horro en el cul el interés se compone continumente un ts de % nul. ) Cundo hbrá $5000 en l cuent? R/.8 ños. b) Cuánto tiempo necesit pr duplicr l cntidd de dinero? R/ 6. ños. 8) A qué interés compuesto nulmente deben invertirse 00000, pr que se duplique en 5 ños? R/.7% 9) Cuánto tiempo trdrá un inversión en duplicrse l 8% nul compuesto semestrlmente? R/ 8.8 ños 0) A qué interés compuesto nulmente deben invertirse $00 pr que se dupliquen en ños? R/ 5.9% ) Si se invierten $ 6000 l 7% de interés nul compuesto trimestrlmente, cuánto se tendrá cumuldo en 7 ños? R/ $ ) Qué cntidd de dinero, invertid hoy l.5% de interés compuesto trimestrlmente, se convertirá en $5000 l finl de 8 ños? R/$9 Pág. 6 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

70 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí. TRIGONOMETRÍA L histori de l trigonometrí se remont ls primers mtemátics conocids, en Egipto y Bbiloni. Los egipcios estblecieron l medid de los ángulos en grdos, minutos y segundos. Sin embrgo, hst los tiempos de l Greci clásic no empezó hber trigonometrí en ls mtemátics. Rm de ls mtemátics que estudi ls relciones entre los ldos y los ángulos de triángulos, de ls propieddes y plicciones de ls funciones trigonométrics de ángulos. Ls dos rms fundmentles de l trigonometrí son l trigonometrí pln, que se ocup de figurs contenids en un plno, y l trigonometrí esféric, que se ocup de triángulos que formn prte de l superficie de un esfer. Ls primers plicciones de l trigonometrí se hicieron en los cmpos de l nvegción, l geodesi y l stronomí, en ls que el principl problem er determinr un distnci inccesible, como l distnci entre l Tierr y l Lun, o un distnci que no podí ser medid de form direct. Otrs plicciones de l trigonometrí se pueden encontrr en l físic, químic y en csi tods ls rms de l ingenierí, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente ltern. Pr medir terrenos, los topógrfos los dividen en triángulos y mrcn cd ángulo con un "punto de referenci", que hoy en dí es, menudo, un plc de ltón redond fijd en el suelo con un gujero en el centro, sobre el que ponen sus vrills y teodolitos A estos puntos se les conoce como monumentos o mojón (George Wshington hizo este trbjo cundo er un dolescente). Conceptos básicos ANGULO Es l bertur formd por dos semirrects (ldo inicil y ldo finl) con un mismo origen (vértice). Usulmente prte de un sistem crtesino de ejes, de mner que el ldo inicil coincide con el eje +, y el vértice coincide con el origen del sistem de coordends. Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 6

71 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí LADO FINAL θ α ANGULO POSITIVO, ANGULO DE ELEVACIÓN, (sentido horrio) VERTICE LADO INICIAL β ANGULO NEGATIVO, ANGULO DE DEPRESIÓN, (sentido ntihorrio) En ls clculdors podremos hllr ls tres forms de medir los ángulos: Sistem Segesiml: modo en l clculdor: DEG o D círculo = 60 prtes igules = 60º º = 60 minutos = 60 = 60 segundos = 60 Por ejemplo: 0º5 5 = 0.597º º Sistem Circulr: modo en l clculdor: RAD o R rdián = es l bertur entre semi-rects de longitud r y cuy longitud de rco entre ells es r tmbién. S R Su relción con el sistem segesiml es: 80º Sistem Centesiml: modo en l clculdor: GRAD o G círculo = 00 prtes igules = 00º º = 00 minutos cent. = 00 = 00 segundos cent. = 00 EJES CARTESIANOS No podemos dejr de ldo tmbién el concepto de ejes crtesinos. Estos se formn l dividir el plno en cutro prtes llmds cudrntes medinte dos rects perpendiculres entre sí (horizontl y verticl respectivmente). Dichs rects se cortn en un punto que recibe el nombre de origen de coordends Pág. 6 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

72 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Ls funciones trigonométrics son vlores sin uniddes que dependen de l mgnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situdo en un plno de coordends rectngulres está en su posición norml si su vértice coincide con el origen y su ldo inicil coincide con l prte positiv del eje. El estudir los ángulos nos permite definir ls funciones trigonométrics, ls cules se pueden estudir de dos forms: Por ls relciones entre ctetos y l hipotenus de un TRIÁNGULO RECTÁNGULO Por los ángulos de rotción en el plno crtesino Del triángulo rectángulo: r y donde r θ = cteto y = cteto Ls seis funciones trigonométrics más utilizds se definen de l siguiente mner: Dds sus rspecftivs definiciones, tres funciones son ls inverss de ls otrs tres: csc sen sec cos cos cot sin INVERSA TRIGONOMÉTRICA Cómo su nombre lo indic, hce l operción invers de ls funciones trigonométrics: Funciones trigonométrics: se utilizn cundo se quiere conocer l relción entre ldos de un triángulo rectángulo, y lo que se conoce es el vlor de un ángulo interno. Invers trigonométric: se utiliz cundo se quiere conocer el vlor de un ángulo interno, y lo que se conoce es el vlor de l relción entre ldos del triángulos rectángulo. El siguiente cudro se indic clrmente l relción entre mbos conceptos. Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 65

73 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí RAZÓN senθ EN EL TRIÁNGULO INVERSA TRIGONOMÉTRICA opuesto y y y rcsin sin hipotenus r r r RELACIÓN csc cosθ tnθ dycente y y rccos cos hipotenus r r r opuesto y y y rctn tn dycente sec sin cos cscθ secθ cotθ hipotenus r opuesto y sin hipotenus r dycente cos dycente cos opuesto y sin IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS Se refiere fórmuls que muestrn ls relciones entre ls diverss funciones trigonométrics, que se cumplen pr culquier ángulo, o prej de ángulos. Tmbién se les conoce como IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS sin cos 6 sin( b) sin cos b sin bcos tn sec 7 sin( b) sin cos b sin bcos cot csc cos( b) cos cos b sin sin b 8 cos u cos cos u cos u sin cos u sin u u u 5 cos( b) cos cos b sin sin b 9 sin u sin u cos u Otr identidd muy útil es l siguiente: sin tn cos Pág. 66 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

74 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí. Cálculo de funciones trigonométrics y vlores de ángulos USO DE CALCULADORA En ls clculdors científics solo se tienen ls funciones principles, seno, coseno, tngente y sus inverss trigonométrics rcsen, rccos, rctn. Pr clculr ls otrs funciones se tiene que usr l relción del cudro nterior. Si el ángulo est en grdos use l clculdor en modo o deg Si el ángulo est en rdines (frcciones de п ) en modo 5 o rd Ls rzones trigonométrics estblecen 6 relciones diferentes entre ls distncis estblecids del triángulo rectángulo: r,, y. Ls inverss trigonométrics nos sirven pr clculr el ángulo θ. En cunto l medición de ángulos, se usrán los GRADOS y los RADIANES. Y se mencionó nteriormente l form de hcer l conversión entre ests uniddes, pero l repsmos nuevmente: Pr convertir de GRADOS RADIANES:, donde θ es el ángulo ddo. 80 Pr convertir de RADIANES GRADOS: 80, donde θ es el ángulo ddo. En el cso del uso de l clculdor, sólo tienen ls funciones principles seno, coseno y tngente y sus inverss trigonométrics rcsen, rccos y rctn. Pr clculr ls otrs funciones se tiene que usr ls relciones del cudro nterior. Ejemplo : A continución se muestr un ejemplo de cálculo de ángulos usndo l clculdor. Usndo el modo DEG de l clculdor, clcule: sec 67º = / cos 67º =.559 csc º = / sen º =.66 cot 9º = cos 9º / sen 9º = 6. Usndo el modo RAD de l clculdor, clcule: csc (/) = / sen (/) =.55 sec (/) = /cos (/)= - Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 67

75 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí Ejercicios de práctic ) ) ) ) 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) ) ) sen7 R/0.956 tn sec55 cos cos 6 sen sec 8 R/0.0 R/.7 R / 0.90 R / R / R /.08 sen5 cos 0 tn60 sen 0 cos 0 tn0sec5 sec cot 6 cos csc 70 sec tn0 cot 0 tn5 tn sen cos( ) sec sen cos( ) tn R /. R / 0 R /.866 R / 0.5 R / R / cot cos ) R / sen Pág. 68 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

76 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí sen sec sen 5) / csc cos 6) R / sen R 7) 8) 9) 0) csc 5 sec tn (tn 60 sec60) sen cos (tn 60 tn0) sen cos sen cot sen 6 6 R / R / R /.5 R / 6.6 Cálculo de ángulos prtir de un rzón trigonométric Ejemplo :Cálculo de ángulos usndo l clculdor tn θ =.6 θ = rctn(.6) θ = tn - (.6) θ = 69.5 sec β =.0 / cosβ =.0 /.0 = cosβ β = rcos( /.0) = 6.69 sec α = 6/5 / cosα = 6/5 5/6 = cosα α = rccos(5/6) = cos - (5/6) α =.56 cot θ = 7/ tnθ = /7 θ = rctn (/7) = tn - (/7) θ = 7.7 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 69

77 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí Ejercicios de práctic De el vlor del ángulo en grdos con 0.0 uniddes de proimción 8 7 ) cos R / 6.9º ) tn.6 R/ ) csc. R/ sen 5 ) / ) cos R / 6. 9 tn 5 6) /. 6 R R 7) 8) csc R/. 8 6 sec 5 R /. 56 Pág. 70 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

78 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí. Triángulos rectángulos Por qué triángulos? Porque son los bloques básicos de construcción pr culquier figur rectilíne que se pued construir. El cudrdo, el pentágono u otro polígono puede dividirse en triángulos por medio de línes rects rdindo desde un ángulo hci los otros. Entre ls diverss plicciones práctics de l trigonometrí está l de determinr distncis que no se pueden medir directmente. Estos problems se resuelven tomndo l distnci buscd como el ldo de un triángulo, y midiendo los otros dos ldos y los ángulos del triángulo. Ejemplo : Usndo el Teorem de Pitágors, clcule ls vribles indicds. β c.6 α Clculr los vlores de los ángulos indicdos, sí como el vlor de c c..6.9 Usndo el teorem de Pitágors clculmos c tn α = rctn(0.89) β = 90 - α = β = 68.7 Usndo l función que relcion el opuesto y el dycente. Se us el inverso trigonométrico pr obtener el vlor del ángulo L sum de todos los ángulos internos es 80 o por lo tnto 90 despejndo se tiene el vlor de Ejercicios de práctic De ls siguientes figurs, clcule ls vribles indicds. 5 9) R/. 06 0) 00 60º R/ = 6. Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 7

79 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí ) 57,º R/ = c ) R/ =7.08, c=,67, =56º 0.5 º c =6 ) sec=.57 R/ =0º, =60º d=,6, c=6,9 d 0. h ) 8. R/ =5.0, h= sec.69 csc.8 5) h R/ =8º, =6º 0 h=5,6, c=66,6 Pág. 7 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

80 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí. Problems de plicción usndo Triángulos rectángulos En el primer triángulo, depresión": En este tipo de problems es de vitl importnci dominr los conceptos vistos nteriormente, y que detllmos nuevmente, guiándonos con l figur djunt: Teorem de Pitágors: h y Función trigonométric seno : Función trigonométric coseno : sen cos y h h h θ = ct y = ct Función trigonométric tngente : tn y Ejemplo : Un observdor tiene un nivel visul de.70 m de ltur, y se encuentr 0 m de un nten. Al ver l punt de l nten, su vist form un ángulo de elevción de o. Cuál es l ltur de l nten? Solución: Utilizmos l siguiente figur, en l cul clculremos h primero. Por lo tnto: (Altur de nten) = h + (nivel visul del observdor) (Altur de nten) = (Altur de nten) =.8 m. Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 7

81 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí Ejemplo 5: Desde un punto Y situdo 00 metros de un edificio, se observ un nten en l zote del mismo.. Desde Y se miden ángulos de elevción A y B y se indic l informción djunt. Determine l ltur de l nten. cot A =.6 sec B =.0 H Y A B h E h E+A 00m cot A =.6 / tn A =.6 sec B =.0 / cos B =.0 Determinr el vlor de los ángulos usndo l identidd trigonométric tn A = 0.75 A = rctn (0.75) = 5.76 cos B = B = rccos(0.958) = Usr l invers trigonométric A 00 tn 5.76 = h E / 00 h E = 00tn 5.76 = h E Seprr los dos triángulos rectángulos y usr un identidd que relciones los dtos que se tienen. r B 00 tn = h E+A / 00 h E+A = 00tn = 59.87m h E+A Se us tngente nuevmente pr clculr l ltur hst l H = h E+A h E = H =.87m Pág. 7 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

82 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí Ejemplo 6: Se tiene un estructur de 7.5m de ltur, l cul debe ñdirse otro trmo de estructur, con l itción de que junts deben quedr 0.70m por debjo del nivel del techo de l bodeg donde se encuentrn. Pr esto, un observdor 6m de distnci de l bse de l estructur midió un ángulo de 75º entre l bse de l estructur y el techo. Indique l ltur del trmo de estructur que debe gregrse. Nivel del techo 0.7m Se y l ltur de l estructur gregr. Del esquem se deduce que: y H tn 75 = H / 6m H = 6tn 75 =.9m Se tiene entonces que: H = y m y = H ( ) y = y =.9m θ=75 6.0m Ejemplo 7: Desde l zote de un edificio de 5m de ltur, un person observ un uto que se lej. Si el ángulo de depresión del observdor cmbi 5 0 mientrs observ l uto, encuentre l distnci que este h recorrido. α β 5m α = 0 β = 5 α β X X X α α β β 5 5 Se seprn los dos triángulos rectángulos del problem y se trsldn los ángulos dentro del triángulo. tn α = 5 / Del primer triángulo se relcion con Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 75

83 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí = 5 / tn 0 = 68.7m tngente y se obtiene el vlor de tn β = 5 / = 5 / tn 5 = 5.0m Del segundo triángulo se clcul = = =.70 m Por diferenci se obtiene l distnci recorrid Ejemplo 8: Un hombre se dirige un edificio, y se detiene observndo que el ángulo de elevción l cúspide es 55. Avnz 6 m en líne rect, se vuelve detener y observ que el nuevo ángulo de elevción es de 68.º Encuentre l ltur del edificio. h E α = 68. β = 55 β α 6 α h E tn α = h E / = h E / tn α = h E / tn 68. Se seprn los triángulos rectángulos, usndo tngente se despej el vlor de ß 6+ h E tn β = h E / (6+) 6 + = (h E / tn β) = (h E / tn 55 ) 6 En el segundo triángulo tmbién se despej el vlor de = h E / tn 68. = (h E / tn 55 ) 6 h E = tn 68. (h E / tn 55 ) 6tn 68. h E =.75h E h E = h E 87m Se iguln los términos de pr despejr h E L ltur del edificio es proimdmente 87 metros Pág. 76 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

84 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí Ejemplo 9: Desde un punto A situdo 8. metros de ltur, el ángulo de elevción l punt del edificio es de,º y el ángulo de depresión l bse del mismo es de,8º. Clcule l ltur del edificio. h = 8. m θ =. β =.8 θ ß y A h P Se seprn los dos triángulos rectángulos que se formn. tn β = h / = h / tn β = 8.m / tn.8 = 6.00m 8. Se utiliz tngente pr determinr el vlor de. θ 6 tn θ = y A / y A = 6.00 tn. =.9m H = y A + h = H = 0.m y A En el segundo triángulo tmbién se utiliz el vlor de, y se us tngente pr clculr y A Sumndo ls lturs obtenemos l ltur totl del edificio 0. m Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 77

85 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí Ejercicios de práctic 6) Un observdor tiene un nivel visul de.0 m de ltur, y se encuentr 65 m de un árbol. Al ver l punt del árbol, su vist form un ángulo de elevción de o. Cuál es l ltur del árbol? ( nivel visul se refiere un líne horizontl imginri ubicd l nivel de los ojos de un person) R/ 0. m 7) Un observdor sobre un edificio tiene un nivel visul de.50 m de ltur. Al ver un utomóvil estciondo, el ángulo de depresión de su vist es de 5 o. Si l bse del edificio se encuentr 70 m del utomóvil, cuál es l ltur del edificio? R/ 5.9 8) Un observdor tiene un nivel visul de.80 m de ltur. Al ver l punt de un árbol de 5 m de ltur, su vist form un ángulo visul de elevción de o. A qué distnci horizontl se encuentr el observdor de l bse del árbol? R/7.5 o 9) Un observdor sobre un muelle tiene un nivel visul de.0 m. El muelle sobresle.5 m por encim del gu. Al mirr un roc, el ángulo de depresión de su vist es de 7 o. Cuál es l distnci mínim (digonl) entre los ojos del observdor y l roc? R/.8 0) El st de un bnder, se encuentr en l prte superior de un edificio. Desde un punto A situdo 00 m del edificio el ángulo de elevción de l prte inferior del st es de 0,6 o. Si l ltur del st es de 5.5m de lto,. Clcule el ángulo de elevción, con que se observ l prte superior del st, desde el punto A. R/.56 o. 5,5 m A 00 m ) Cundo un globo erostático sube verticlmente su ángulo de elevción desde un punto P, cmbi de 9 o 0 o 50. Si P está sobre el terreno horizontl 0 km de distnci del punto Q (directmente bjo el globo) clcule el scenso proimndo h lcnz el globo bjo ests circunstncis. R/ 9.7km P 0 km Q h Pág. 78 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

86 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí ) Se tiene un nten de rdio sujet cd ldo por dos cbles que sirven de tensores. Los tensores y l bse de l nten están linedos de tl form que proyect un líne rect en el suelo. El primer tensor sujet l nten desde l cúspide y está sujeto l suelo un distnci de 0 m de l bse de l nten, mientrs que el segundo tensor sujet l nten 5 m más bjo de l cúspide. Encuentre l longitud de cd uno de los cbles tensores, considerndo demás l informción de los ángulos que se d dicionlmente. R/ 7,.69 csc.906 csc 5 ) Desde un punto A situdo metros de ltur, el ángulo de elevción l punt del edificio es de 5,º y el ángulo de depresión l bse del mismo es de 5,8º. Clcule l ltur H del edificio. R/ m 0 h = m θ = 5, β = 5,8 h A θ β H ) Un teleférico trnsport psjeros del punto A l punto C. El punto A está. mills del punto B en l bse de l montñ. Los ángulos de elevción desde A y B hci C son y 65, respectivmente. Indique l distnci proimd de A P, y l ltur proimd de l montñ. R/ Dist. AP =.566 mills, y h=0.56 mills C h A º 65º. mills B P 5) Un observdor P, situdo l izquierd de un colin observ l cim de l mism con un ángulo de elevción de 9,6º. Un observdor Q, situdo l derech de l colin, observ l cim con un ángulo de elevción de 5,º. Si l colin tiene 00m de ltur con respecto l nivel de los observdores, indique l l distnci entre P y Q? R/ 6.5 m Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 79

87 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí 6) Un escler de 8.65m de lrgo descns sobre un poste del tendido eléctrico y el ángulo que form l escler y el poste es de 58º. El operrio se perct de que l escler podrí resblr debido que el punto de poyo en el poste está muy bjo, por lo que l vuelve colocr de form que l distnci entre el poste y l prte inferior de l escler qued en.75 m Encuentre distnci entre el primer punto de poyo en l pred, y el nuevo punto de poyo en l pred. R/.887 m ESCALERA NUEVA POSICIÓN DE LA ESCALERA 7) Un escler de 0 pies de lrgo descns sobre l pred de un edificio. Si el ángulo que se form entre l escler y el edificio es de o A qué distnci del edificio est el punto de poyo de l escler en el suelo?. Si se increment en pies Qué tnto se mueve l prte superior de l escler hci bjo? R/ 7.9pies y.5pies respectivmente. 8) En un plnt de procesmiento de lcohol, prtir de cñ de zúcr, se tiene un equipo de destilción cuy torre (verticl) tiene un ltur de 6.5 m. A est torre se le quiere ñdir en l prte superior un equipo etr que debe quedr 0.5 m del techo. Se necesit sber l ltur máim que debe ocupr este equipo etr y debido que es imposible medir l ltur directmente. Un observdor 5 m de distnci de l bse de l torre mide un ángulo de 7 0 entre l prte superior de l torre y el techo Que ltur puede tener el equipo? R/ 6.7m 9) Desde l zote de un hotel de ply, un hombre observ un bote que nveg directmente hci él. Si el hombre se encuentr 00 metros sobre el nivel del mr y el ángulo de depresión del bote cmbi de durnte el periodo de observción, encuentre l distnci proimd que h recorrido el bote durnte ese tiempo. R/ m 50) Un poste de tendido eléctrico con un ltur de 0 metros, tiene dos ncljes. Uno de los cbles es metros más lrgo que el otro y el ángulo que se form entre el suelo y el cble más corto es de 68º. Clcule entonces: ) L longitud de cd cble? R/ m y.785 m b) El ángulo que se form entre el cble más lrgo y el suelo. R/.56º c) L distnci de seprción entre los cbles. R/.9m Pág. 80 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

88 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí.5 Identiddes trigonométrics. Se le llm sí ls igulddes en ls que precen epresiones trigonométrics. Además ests igulddes siempre se cumplen, se cul se el vlor del ángulo o ángulos involucrdos. Aunque nteriormente se hbín menciondo, nuevmente ls repsmos en l siguiente tbl: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS sin cos 6 sin( b) sin cos b sin bcos tn sec 7 sin( b) sin cos b sin bcos cot csc cos( b) cos cos b sin sin b 8 cos u cos cos u cos u sin cos u sin u u u 5 cos( b) cos cos b sin sin b 9 sin u sin u cos u Procedimiento pr l demostrción de identiddes:. Si hy ángulos dobles o medios sustituir por ls identiddes 8 ó 9 de l tbl.. Si hy sum o rests dentro de los ángulos sustituir por identiddes 7 de l tbl.. Si hy términos l cudrdo, ver si se puede sustituir por identiddes de l tbl.. Sustituir todo en términos de seno y coseno, utilizndo tmbién ls relciones básics entre ls funciones trigonométrics, sber: csc sen sec cos cos cot sin sin tn cos Hy que recordr pr en el cso de ls identiddes trigonométrics, se trbj desrrollndo o simplificndo (según se el cso) sólo un ldo de l epresión. Esto lejos de ser un problem, v fcilitr l comprobción de l identidd, y que sbemos cul resultdo vmos llegr. Ejemplo 0: Demuestre l siguiente identidd sec sin tn cos sin sin cos csc csc Psr sen y cos Unir con común denomindor Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 8

89 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí cos cos csc sin cos sin cos Multiplicr etremos y medios (cos ) cos cos (sin cos sin ) csc Simplificr y scr fctor común cos sin (cos ) csc Simplificr de nuevo csc csc csc Se comprueb l identidd sin Ejemplo : Demuestre l siguiente identidd tn cot cos tn cot sin cos cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin cos cos sin (sin (sin (sin cos cos cos ) cos sin cos ) cos sin ) cos Psr sen y cos Unir con común denomindor Hcer etremos y medios. Usr l identidd sen +cos = Simplificr lo que se pued. Verificr en l list de identiddes cos cos Identidd comprobd Pág. 8 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

90 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí Ejemplo : Demuestre l siguiente identidd cos tn sin Psr sen y cos (cos sin ) sin cos tn Multiplicr el negtivo cos sin tn sin cos Usr l identidd Sen = - cos sin sin tn sin cos Sumr los sin. sin tn sin cos Simplificr lo que se pued sin tn tn tn Identidd comprobd cos Ejemplo : Demuestre l siguiente identidd cos sin sin cos tn Unir con común denomindor cos ( sin ) ( sin ) cos tn Desrrollr fórmul notble cos ( sin sin ( sin ) cos ) tn Multiplicr por el - (cos ) sin sin ( sin ) cos tn Psr términos de sen sin sin ( sin ) cos tn Fctorizr sin ( sin ) ( sin ) cos tn Simplificr sin cos tn tn tn Identidd comprobd Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 8

91 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí Ejercicios de práctic 5) cos tn sen 5) cos cot sen csc 5) sen(csc sen) cos 5) tn sen cos sec 55) sen tn sen cos cos 56) tn 57) 58) cos sen sen cos tn sen sec sen cos 59) sec sen sen 60) sec csc sen tn 6) cos tn sen 6) sen cos csc sen cos 6) tn sen tn 6) sen sen cos 65) sec csc sec csc 66) cos sen tn sen cos 67) tn cot cos tn cot 68) tn csc sec 69) sen ysen y sen sen y Pág. 8 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

92 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí 70) sen y sen y sen cos y 7) tn 7) 7) sen cos sen cos tn tn tn tn sec tn 7) sec cos sen tn 75) ctg sec sec tn tn tn tn 76) tn 77) cos sen cos 78) cot tn cot() 79) sen cos csc sec sen sen cos cos sen cot cot( cot sen tn sec sen sen cos tn cot sen cos 80) tn sec 8) 8) ) 8) 8) Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 85

93 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí.6 Círculo trigonométrico. Los vlores de ls 6 funciones trigonométrics tienen signos diferentes según el cudrnte donde está el ldo terminl del respectivo ángulo. Recordemos l formción del CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO: 90 (/ rd) II cudrnte I cudrnte 80 ( rd) 0 (0 rd) 60 ( rd) III cudrnte IV cudrnte 70 (/ rd) Definición de ángulo de referenci: Todo ángulo tiene un ángulo de referenci R, el cul es un ángulo gudo formdo entre el ldo terminl de y el eje. Es decir: cudrnte er cudrnte R = 80 - = R R = - 80 R = 60 - er cudrnte cudrnte Los vlores de ls seis funciones trigonométrics tienen signos diferentes según el cudrnte donde está el ldo terminl del respectivo ángulo. Este signo se determin según los signos de ls componentes y y, y según l definición de cd función trigonométric. Así por ejemplo: er cudrnte: = (+) y y = (+) r = (+) do cudrnte: = (-) y y = (+) r = (+) er cudrnte: = (-) y y = (-) r = (+) to cudrnte: = (+) y y = (-) r = (+) Pág. 86 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

94 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí Note que en todos los csos, el vlor de l hipotenus r es positivo. En cd cudrnte ls funciones trigonométrics positivs son ls siguientes: II CUADRANTE = (-), y = (+), r = (+) SEN (CSC) III CUADRANTE = (+), y = (+), r = (+) TAN (COT) I CUADRANTE = (+), y = (+), r = (+) TODAS IV CUADRANTE = (+), y = (+), r = (+) COS (SEC) De cuerdo l cudrnte sí será el signo de l función: I todos positivos. II seno y cosecnte positivos. III tngente y cotngente positivos IV coseno y secnte positivos TODOS SENTIMOS TANTAS COSITAS Ejemplo : Clcule tl que: cos = -0.5 y tn > 0 cos = -0.5 II y III cudrntes en III cudrnte tn > 0 I y III cudrntes cos = -0.5 R = 0 = 60 - R = 60 0 = 0 Ejemplo 5: Clcule tl que: cot = y sec < 0 cot = / tn = tn = cot = II y IV cudrntes sec < 0 II y III cudrntes en II cudrnte R = -6.6 = 80 - R = = 7.6 Ejemplo 6: Clcule csc tl que: cot = y sec < 0: cot = ½ I y III cud. en I cudrnte sen > 0 I y II cud. cot = / tn = 0.5 tn =.0 R = 6. = R csc = / sen = / sen6. csc =. Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 87

95 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí Ejercicios de práctic Pr ls epresiones indicds, clcule el vlor del ángulo (en grdos segesimles) que cumplen ls condiciones indicds. ctg ) R / 7.6 sec 0 86) 87) tn R / 00 cos / 0 sen 0 tn 0 88) cos tn 0 sec.5 89).8 tn 0 90) cot.5 sen 0 clcule sec R/sec. 9) cot. sen 0 clcule sec R/sec. 09 9) cot sec 0 clcule sen R/ sen ) cot sen 0 clcule csc,tn R / csc. y tn 9) cot csc 0 clcule sen R/ sen Pág. 88 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

96 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí.7 Ecuciones trigonométrics. Ls ecuciones trigonométrics tienen l prticulridd de que l incógnit está relciond con un ángulo. Este ángulo se puede escribir en grdos o en rdines. Los métodos pr resolver un ecución trigonométric son similres los utilizdos pr resolver ecuciones lgebrics. Igul que en l verificción de identiddes trigonométrics, con frecuenci se requiere el uso de lguns propieddes trigonométrics. Ejemplo 7: Resuelv l ecución cos + = 0 cos = II y III cudrntes = cos - ( ) = 5 II = 5 III = 60 5 = 5 Finlmente: = 5, 5 Ejemplo 8: Resuelv l ecución: cos - = 0 cos = ¾ cos = (+): I y IV / (-): II y III (note que hy coseno (+) y (-)) Pr cos = = cos - (0.866) = 0 I = 0 IV = 60 0 = 0 Pr cos = = cos - (-0.866) = 50 II = 50 III = = 0 Finlmente: = 0, 50, 0 y 0 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 89

97 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí Ejemplo 9: Resuelv l ecución: sin + cos = 7/ sin + sin - 7/ = 0 sin - sin + ¾ =0 ¾ = 0 = {.5, 0.5} (note que se usó l sustitución = sen) Como = sen, entonces se evlún ls posibles soluciones tl que: ) sin =.5 (I y II cudr.) b) sin = 0.5 (I y II cudr.) (no tiene solución) = sin - (0.5) = 0 Finlmente: = 0, 50 I = 0 II = 80-0 = 50 Ej. 5 Resuelv l ecución: cos () = cos() - cos () - cos() + = = 0 ( - )( - ) = 0 (fctorizndo) ( cos - )(cos - ) = 0 culquier de los fctores vle 0: ) cos - = 0 b) cos - = 0 cos = / (I y IV cudr.) cos = (I y IV cudr.) Note l form de evlur: Note l form de evlur: = 60 () R = 60 = 0 () R = 0 () I = 60 I = 0 () I = 0 I = 0 () IV = 00 IV = 50 () IV = 60 IV = 80 Finlmente: = 0, 0, 50º, 80 Pág. 90 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

98 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí Ejercicios de práctic Resuelv ls ecuciones trigonométrics indicds. 95) sen 0 R/ 90 96) sen 0 R / 5 97) cos 0 R /, 5 98) tn sec 0 R / 6.,., 5,5. 99) cos 0 R / ) sen sen cos 0 R / cos cos R/ 0 0) 0,, 0 0) tn tn 0 R / 0 80, 60, 0, 00. sen cos sen R / 80 0) 90, 0) 6sen cos R/ 8.,.8, 0, 0. 05) sen sen R/ 0, 50, ) sen sen R/ 90, 0, 0. 07) cos cos 0 R/0 60, 00, ) tn sec 0 R/ 5, 5. 09) sen sen sen 0 R / 90, 70, 0, 0. 0) cos cos 0 R / 0, 0 80 ) cos cos R/ 0, ) 6sen 60 sen 5sen 0 R / 0, Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 9

99 Mtemátic Cp. : Universitri Trigonometrí ) csc cot 0 R / 5, ) 7 sec tn cos R / 8.05, 7.95,.87, ) tn sen tn sen R/ 5, ) sec sen tn R/ 0, 90, 80 7) sen cos cos 0 R / 90, 70, 0, ) cos 0 R /, 9) 8cos cos R / 0.8; 55.5 ;60; 00. 0) cos sen R/ 0;50. ) cos sen R/ 0, 80. ) sen sen 0 R / 0, 80, 0, 0 ) sen cos cos sen 0 R / 0 00, 0,80, ) sen tn sen R / 0 5) tn 5 tn 0 R / 5 5, 5,5 6., 96,57 6,57. Pág. 9 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

100 Mtemátic Universitri Cp. 5: Introd. l Cálculo 5. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO Cundo se hbl de límites en culquier fenómeno socil o científico, se refiere vlores máimos o mínimos en el tiempo. Imginemos por ejemplo ests situciones:. Sbemos que l umentr l tempertur, un cuerpo se dilt, pero lcnzrá un tempertur límite, posterior l cul el cuerpo probblemente se derrit.. Tmbién sucede que cundo disminuye l tempertur, un cuerpo se contre, pero esto no sucede en form indefinid, sino que lcnz un límite de contrcción, hst que está totlmente solidificdo o cristlizdo. En otrs plbrs, sbemos que mbos fenómenos tendrán un límite, que es muy útil en l descripción de funciones con ls crcterístics nteriormente citds. Escrito en form mtemátic: f ( ) L se lee como el límite de f() cundo tiende un vlor es L Otro concepto importnte en el tem de funciones es l continuidd. Gráficmente, es práctico decir que un función es continu si l dibujrl de izquierd derech, no hy necesidd de levntr el lápiz. Pero considerndo el concepto de límites, un función será continu en si: f ( ) f ( ) es decir, el límite eiste y demás es igul l vlor de l función cundo =. 5. Interpretción gráfic de límites Antes de interpretr un gráfic vemos unos conceptos previos de los límites. Iniciemos con un ejemplo que nos ilustrrá lgunos conceptos. Ejemplo conceptul: Se f() = +. Qué ps cundo tom vlores cercnos? Con un tbl de vlores, evlumos el comportmiento de l función pr vlores cercnos, tnto menores como myores: F() Vijndo sobre l rect numéric, me cerco por l izquierd =, es decir, vijo de menor myor. De est form clculmos el Límite lterl por l izquierd: f ( ) 9 Vijndo sobre l rect numéric, me cerco por l derech =, es decir, vijo de myor menor. De est form clculmos el Límite lterl por l derech: f ( ) 9 Finlmente: ( ) 9 En efecto, notemos como cundo está próimo l, + está próimo +=9. Decimos entonces que el límite de +, cundo tiende, es 9 y lo escribimos de l form indicd nteriormente. Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 9

101 Mtemátic Universitri Cp. 5: Introd. l Cálculo Límites lterles: son quellos límites que se obtienen l recorrer l función por l izquierd o por l derech, pero siempre cercándose un vlor 0 determindo. Mtemáticmente: f ( ) Note que sí los límites lterles pr un mismo vlor, dn resultdos distintos, eso quiere decir que hy un discontinuidd en l gráfic pr el punto evludo, mientrs que como se muestr en el ejemplo conceptul, si los límites lterles coinciden en vlor, entonces l gráfic es contínu. Asíntots: representn un límite de f() cundo est tiende infinito, o tmbién pueden ser discontinuiddes de f() debido vlores que l indeterminn. Asíntot horizontl: pueden ser trvesds por l función; cortn l eje y. f ( ) L el gráfico de y = f() es muy cercno l rect horizontl y = L. Límite lterl por l izquierd: f ( ) Límite lterl por l derech: f ( ) b y=f() y=f() Asíntot verticl: no pueden ser trvesds por l función, cortn l eje. f ( ) el gráfico de y = f() es muy cercno l rect verticl y =. y=f() y=f() Pág. 9 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

102 Mtemátic Universitri Cp. 5: Introd. l Cálculo Otros conceptos importntes en el nálisis de límites gráficos se detlln en ls siguientes figurs: y=f() En este cso, f() no está definid en 0, sin embrgo f ( ) 0 f() 0 y=f() f() En este cso, f( 0 )=, pero f ( ). 0 L función es discontinu. Es decir, el límite de f() puede ser diferente l vlor de l función, pr el mismo punto 0. 0 y=f() 9 6 f() En este cso f ( ). 0 L función es discontinu en 0, y que pr ese punto, no tiende un vlor único. 0 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 95

103 Mtemátic Universitri Ejercicios de práctic Cp. 5: Introd. l Cálculo Clcule los límites indicdos según l gráfic. Recuerde que debe estudir detenidmente l gráfic, pr entender bien el comportmiento de l función, sí como l escl indicd. ) ) A.V.= A.H.= f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) A.V.= A.H.= f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 f ( ) f ( ) f ( ) 6 f ( ) Pág. 96 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

104 Mtemátic Universitri Cp. 5: Introd. l Cálculo ) ) A.V.= A.H.= f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) A.V.= A.H.= f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 f ( ) f ( ) f ( ) 5 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 97

105 Mtemátic Universitri Cp. 5: Introd. l Cálculo 5) A.V.= A.H.= f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 6) A.V.= A.H.= f ( ) 0 6 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Pág. 98 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

106 Mtemátic Universitri Cp. 5: Introd. l Cálculo 7) A.V.= A.H.= f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 6 8) 6 8 A.V.= A.H.= f ( ) 0 6 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 99

107 Mtemátic Universitri Cp. 5: Introd. l Cálculo 5. Interpretción nlític de límites 0 Pr interpretr nlíticmente un límite, f ( ), se procede de l siguiente form:. Se sustituye el vlor de 0 en l epresión de f(). Si l epresión no se indefine, el vlor obtenido es el vlor buscdo del límite.. Si l epresión se indefine, se recomod o fctoriz l epresión (usndo fórmuls notbles o división sintétic) pr evitr l indefinición. Es decir, el proceso de fctorizción y el de rcionlizción se plicn pr einr el fctor que está cusndo que l función se indefin.. L nuev epresión de l función se vuelve probr con el vlor de, y si todví hy discontinuidd, se repite el proceso de fctorizción o rcionlizción, según lo que plique. Recordemos que un función se indetermin o se indefine si l sustituir el vlor de, se obtienen los siguientes resultdos: LIMITES POR FACTORIZACIÓN 0 0 A continución se indicn ejemplos pr ver el cso de fctorizción. 0 0 Pág. 00 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

108 Mtemátic Universitri Cp. 5: Introd. l Cálculo Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 0

109 Mtemátic Universitri Ejercicios de práctic Cp. 5: Introd. l Cálculo Clcule los límites indicdos. 9) R / 8 0) R/ / ) R / ) 0 R / 7 ) 7 9 R / 7 ) 6 5 R / ) 8 8 R/ 80 6) 7) 8) 9) 0) 9 R / R / R / R / R / 6 Pág. 0 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl

110 Mtemátic Universitri ) ) 7 5 / 8 0 R / R / Cp. 5: Introd. l Cálculo LIMITES POR RACIONALIZACIÓN Si el denomindor contiene dos términos uno de los cules, o mbos, son ríces cudrds. Se rcionliz pr einr l ríz del denomindor. Pr esto se us l formul de diferenci de cudrdos: Ejemplo 6: Se tiene l frcción: ( + b)( b) = b Se multiplic y divide por el conjugdo del denomindor: Se multiplicn los términos y se obtiene: Ejemplo 7: Evlur el siguiente límite: Al sustituir directmente por, se lleg l form indetermind. Pr trtr de einr l indeterminción, se multiplic numerdor y denomindor de l frcción por l epresión conjugd del denomindor y del numerdor. Así: ( ) 9 ( ) Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 0

111 Mtemátic Cp. 5: Introd. Universitri l Cálculo Pág. 0 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl 8 ) ( 8 Ejemplo 8: ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( Ejemplo 9: ) ( ) ( ) ( = 0 =

112 Mtemátic Cp. 5: Introd. Universitri l Cálculo Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Pág. 05 Rcionlizción doble Cundo es necesrio einr l ríz del numerdor y del denomindor, hcemos l rcionlizción doble, multiplicndo por mbos complementos. Ejemplo 0: 6 8 ) 8 ( ) ( ) ( 8 9 ) ( ) ( Ejemplo : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

113 Mtemátic Cp. 5: Introd. Universitri l Cálculo Pág. 06 Derechos reservdos. Prohibid su reproducción prcil o totl Ejercicios de práctic Clcule los límites indicdos. ) ) 6 / 9 0 R 5) 6 / 0 R 6) / 5 R 7) 8) 9) 0) 6 / 5 R ) 9 5 / R ) 8 5 / R ) / 0 R ) 6 / 0 R 8 / 6 0 R 7 / R 5 / 9 0 R / R

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