UNIVERSIDAD NACIONAL Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas. TALLER IV Profesor: H. Fabian Ramirez Cálculo Vectorial INTEGRALES TRIPLES

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1 UNIVERSIA NAIONAL Facultad de iencias epartamento de Matemáticas 1. alcule TALLER IV Profesor: H. Fabian Ramirez álculo Vectorial INTEGRALES TRIPLES 3dV, donde está limitado por las superficies z =, y =, y = x, x+y =, x+y +z = 3 R/=3. alcule z dv, donde está limitado por las superficies z =, x + z =, y +z = 1. R/= alcule x dv, donde está limitado por las superficies y +z = 4ax, y = ax, (3 x = 3a R/=7a 5 3+π 4. alcule la integral π/4 π/4 4 x cos(6y dzdydx. R/= *Encuentreelvolumendelsólidolimitado,porarriba,porelparaboloidez = 4 x y y, por abajo, por el plano z = 4 x. R/= π 6. * Encuentre el volumen del sólido en el primer octante acotado inferiormente por el plano xy, superiormente por el plano z = y, lateralmente por el cilindro y = x, y el plano x = 1. R/= (Interesante alcule el volumen del sólido limitado por los planos z = 1, z = 1 y por el hiperboloide x +y z = 1. R/= 8π 3 8. * alcule el volumen del sólido interior a los cilindros y = x, x + y = 4x (parte mayor debajo del plano x + z = 5 y por encima del plano z =. R /=6π ** Si se sabe que el volumen de una bola de radio 3 es 36π, calcule el volumen del sólido encerrado por el elipsoide x 36 + y 16 + z 5 = 1 Ayuda: transforme el elipsoide en una esfera de coordenada uvw de radio 3. Rs/=16π. 1. (Poderoso.Halleelvolumendelsólidolimitadoporlassuperficiesx +y = 9,z = 9 x y, x +y +(z 16 = 9 en la región y x >. Rc/= π. 11. Halle el volumen del sólido sobre el cono z = x +y e interior a la esfera x +y +z = az. Re/=πa 3 1. Halle el volumen del cono de helado seccionado en una esfera de radio 6 por un cono con un semi-ángulo de 3. ver Figura. Re/=7π( (Interesante alcule x +y +z dv donde es el sólido limitado a la derecha por la esfera x + y + z = ay (a > y a la izquierda por el cono y = ( x +z. Re/=a 4 π (Interesante Utilice coordenadas esféricas para calcular el volumen del sólido limitado por las superficies x = y y +z +z, x = y el plano x = 4. R/= π 1

2 15. (Poderoso Sea S un sólido interior del cilindro y +z = 4 y limitado por las superficies cilíndricas x = z y x 6 = (z. Halle el volumen de S. Rc=4π ( 16. alcule I = 1 x a y b z c dxdydz donde es el sólido encerrado por el elipsoide 1 x a + y b + z c = 1. abc Res/=π Halle el volumen del sólido interior a las superficies x + z = 4y, x + z = 5 y y exterior al cilindro x +z = 1. Rc/= 45π alcule 16 y 4x dv sobre el sólido limitado superiormente por el paraboloide z = 16 y 4x ( e inferiormente por el plano z = 7. Rc/= 7 3 π 19. Halle el volumen de la región limitado por los cilindros hiperbólicos xy = 1, xy = 9, xz = 4, xz = 36, yz = 5, yz = 49 Rc/=64. ** alcule x +y +z dv, donde es el sólido limitado por las superficies z = ( x +y, z = 3. Rcyci/= 7 7 π 1. Encuentre el centro de masa de un objeto material homogéneo limitado por los planos coordenados, el plano x+y = 1 y el paraboloide z = 4 x 4y. R/=( 33 95, 7 95, 5 3. Un cuerpo está limitado por dos superficies esféricas concéntricas cuyos radios son igualesar yr(r > r.teniendoencuentaqueladensidaddelmaterialesinversamente proporcional a la distancia desde el centro de las esferas, halle la masa total del cuerpo. R/=π(R r 3. Halle el momento estático de la parte común de las esferas x + y + z < R y x +y +z < Rz respecto al plano xy. La densidad en cualquier punto del cuerpo es igual a la distancia entre este punto y el plano xy. R/= R5 π 4. Si es la región limitada por los planos x = 1, x = y por los cilindros y +z = 4, y +z = 9, calcule e x y +z dxdydz R/= 56eπ 3 (e 1 5. emuestre que x +y +z e (x +y +z dxdydz = π 6. HalleelvolumendelaregiónRqueestáentrelosparaboloidesz = x +y,z = 4(x +y y los planos z = 1, z = Encuentre el volumen del sólido T que está bajo el paraboloide z = x +y y sobre el triángulo R en el plano xy con vértices en (,,, (1,1, y (,,. 8. Encontrar el volumen y centroide de la región sólida que se halla dentro de la esfera ρ = 3, bajo el como φ = π/3 y arriba del plano φ = π/. 9. considere los siguientes sólidos y plantee, pero NOOO evalúe, las integrales que producen el volumen V del sólido utilizando los órdenes de integración indicados.

3 3. alcule x y 3. (4z+x ydv donde es el paralelepípedo 1 y+z 3, 1 y+z 1, 31. etermine el volumen del sólido que se muestra en la Figura 3 3. Encuentre el área de la superficie de la porción de la gráfica de x = yz dentro del cilindro y +z = Encuentre los límites de integración para evaluar la integral triple de una función f(x, y, z sobre el tetraedro con vértices (,,, (1,1,, (,1, y (,1, Halle el volumen de la región del primer octante acotada por los planos coordenados, el plano y +z = y el cilindro x = 4 y. (Fig Halle 4 x x 36. Encuentre a tal que sin(z 4 z dydzdx 1 4 a x 4 x y a dzdydx = Para qué valor de c ocurre que el volumen del elipsoide x + y 4 + z c = 1 es igual a 8π? Fig alcule los volúmenes de los siguientes sólidos Fig Sea el cuarto de círculo definido por x = 4cost, y = 4sint, t π/. alcule a xy dx b xy dy c xy ds 4. alcule (x+yds a lo largo de los caminos indicados a El triángulo con vértices (,, (4, y (,3 recorrido en sentido antihorario. R/=3 b El círculo x +y = x desde (, a (, recorrido en sentido horario. R/=π+ c El círculo x + y = 16 desde (4, a ( 4, recorrido en sentido antihorario. R/=3 41. * Jaimito piensa pintar una cerca de un parque por ambos lados. La cerca tiene como base la curva : x /3 + y /3 = (4 /3 (x >, y > y altura para cada punto (x,y está dada por la función f(x,y = 4 + y. Si le proporcionan la pintura y le van a pagar US 1 por pintar m, cuál es su ganancia de Jaimito para salir de fiesta? R/=US 7 3

4 4. ibuje una muestra representativa de vectores del campo vectorial F(x,y = 1 3 ( y,x 43. alcule [ ( 1 x x x +z 1/ dx+y ( 1 y y +z ( 1 z dy +z x +z ] dz donde es la curva de intersección de las superficies x = y y x + z = 1 en el primer octante, recorrida en el sentido contrario a las agujas del reloj. R/= alcule (x,y,z dr, donde es la curva intersección de las superficies x +y +z = 16 y x +y = 4y, z recorrida en sentido horario. R/= 45. alcule F dr, donde F(x,y,z = ( yx,x +z,e xy +tan(z y es la curva intersección de las x 4 + y 9 = 1 y 9x + 4y + z = 49 en el primer octante, recorrida en el sentido contrario al de las agujas del reloj. R/=( alcule (x + z, y z,x y dr, siendo la curva de intersección entre la esfera x +y +z = 16 y el cilindro x +y = 4x R/= 47. * alcule I = (y zdx+(x zdy+(y xdz+ 1 (3+xsen( y x ycos(y x dx+xcos( y x dy siendo 1 elsegmentoderectaquevade(1,,a( 1,,y elarcodelasemielipse superior 4x +y 16x+1 = que va de (1, a (3,. R/=6+6 = alcule F dr siendo F(x,y = (e y +yex,xe y +e x y es la curva descrita en cada caso. a es el segmento de recta que va de (a, a ( a, sobre el eje x. R/= a b es la trayectoria que va de (a, al punto ( a, sobre la mitad superior de la elipse b x +a y = a b. R/= a c es la circunferencia x +y = a recorrida en sentido horario. R/= xdx+ydy +zdz 49. alcule x +y +z donde es el arco de la curva x = t, y = t+1, z = t +t que une los puntos P 1 (,1, y P (,3,. R/= 1 ln(17 x dy +y dx 5. alcule α x 5/3 +y donde α es la cuarta parte de la astroide x = 5/3 Rcos3 t, y = Rsen 3 t desde el punto (R; hasta el punto (,R (Fig. R/= 3πR4/ alcule (4,4,4 (1,1,1 (1,1,1 y (4,4,4. R/=3 3 xdx+ydy +zdz x +y +z x y +z a lo largo de la recta que une los puntos 5. etermine la masa y la coordenada z del centro de masa de un alambre en forma de hélice descrita por la curva r(t = (cost,sent;t entre t = y t = π, si la densidad es ρ(x,y,z = x +y +z R/m = (π + 4π3 3, z = 3(π+π3 3+4π 53. Halle el trabajo realizado por el campo de fuerza F(x,y = (y,x al mover una partícula desde (, hasta (, a lo largo de la curva descrita por el conjunto S = { (x,y R : y = 1 1 x } Fig 3. R/= 1 3 Fig. Fig. 3 4

5 54. Halle la masa del arco de la curva : x = e t cost, y = e t sent, z = e t desde el punto correspondiente a t = hasta un punto cualquiera t = t, si la densidad del arco es inversamenteproporcionalalcuadradodelradiopolar,yenelpunto(1,,1ladensidad es igual a 1. R/=m = 3(1 e t 55. Halle el momento de inercia sobre el eje y de un alambre semicircular que tiene la forma x +y = 1, y, si su densidad es ρ(x,y = x + y. etermine también la masa y el centro de masa del alambre. R/I y =, m = 4, (x,y = (, +π 8 ( 56. Sea F(x,y = ye xy 1 x y,xexy 1 xy un campo de fuerzas Halle el trabajo que realiza F al mover una partícula desde el punto (1,1 hasta el punto (, siguiendo la trayectoria compuesta por 1 3, donde 1 : es la semicircunferencia (x +(y 1 = 1, y 1 : es la recta que une (3,1 con (4,4 3 : es la recta que une (4,4 con (, R/=e 4 e Halle el trabajo realizado por la fuerza F(x,y,z = (y,z,x al desplazar una partícula a lo largo de la curva, intersección de las superficies z = xy y x +y = 1, recorrida en el sentido que vista desde encima del plano xy, es el contrario al de las agujas del reloj. R/= π 58. Halle el trabajo realizado por la fuerza F(x,y,z = (x y+z,x+y z,3x y+4z al desplazar una partícula alrededor de la elipse (x 4 + (y 3 9 = 1, recorrida en el sentido que, vista desde encima del plano, es el contrario al de las agujas del reloj. R/=1π Rotacional y ivergencia 59. Sea F = yi + x x +y j. a alcule F b Evalúe F dr alrededor de cualquier trayectoria cerrada, (que encierre el origen y que no encierre el origen. 6. ada φ = 6x 3 y z. Encuentre φ o bien φ o div ( φ. 61. emuestre que ( 1 r = 6. emuestre que div(ff = fdivf+( f F y despues demuestre que div( r r 3 = 63. etermine la constante a de modo que div(f = donde F = ( 4x 6y+3zi+( x+ y 5zj+(5x+6y +azk. 64. Suponga que A = x z i y z j+xy zk. Encuentre rot (rot A. 65. Suponga que F =. Evalúe (F r. 66. Sea F es un campo vectorial con segundas derivadas parciales continuas emuestre: a Si F es conservativo, entonces rot F =. b div(rot F = 67. Encuentre rot (rf(r, donde f(r es diferenciable. 68. Suponga que v = w r. emuestre que rot v = w, donde w es un vector constante 69. a Encuentre constantes a, b y c, de modo que F = ( 4x 3y +azi+(bx+3y +5zj+(4x+cy +3zk sea irrotacional. b emuestre que F es conservativo y halle la función potencial de F. 7. emuestre que si φ(x, y, z es cualquier solución de la ecuación de Laplace, entonces ψ es un vector que es tanto solenoidal (div ψ = como irrotacional (rot ψ = 5

6 EJERIIOS E URVAS (APENIE Funciones vectoriales 71. Halle el dominio de las siguientes funciones vectoriales f(t = (t,ln(t, 4 t R/ (,4 g(t = ( 1 t+, e t 9 t,ln(1 t R/ ( 3, (,1 7. Trace la imagen de las siguientes funciones a f(t = (1+t 3,t b g(t = (4cost,5sent c r(t = (cost,sent,t, con t. 73. Halle una función vectorial que represente a las siguientes curvas a 9x +4y = 36 b y = x 4x Halle una función vectorial que represente a la curva de intersección de las siguientes superficies. a x +y = 16 y z = xy R/ : f(t = (4cost,4sent,16costsent, t R b z = 16x +9y y y = x, R/ : g(t = (t,t,16t +9t 4, t R 75. Analizar la continuidad de las siguientes funciones vectoriales en los intervalos que se indican a f(t = ( 4 t,ln(3 t,e t 3, con t [,3 ( arcsent,tsen( π cos(πt,, si t (,1 b f(t = 3t t t ( π 3,t 1,lnt+1, si t [1,] ( t sent, c f(t = 1 t,t, si t [,1 ( 1,,3, si t [1,] ( 4t +5, arcsent,sentsen(, 1 d f(t = t t si t ( 5,,, si t = ( t 4 e f(t = t 3 1, et 1, si t = t 76. La imagen de la función vectorial r(t = (e t 1,e (t 1 describe la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano xy. a Trace la gráfica de la trayectoria de la partícula. (R: y = 1 x, x b ibuje los vectores velocidad y aceleración para t = 1. c Halle la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva imagen de r en el punto A(e,e. 77. ada la función vectorial r(t = (1 t,t ;e (t 1. Halle la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva descrita por r en el punto en que el vector r (t es paralelo al vector r(t. R/: l(x,y,z = ( 1,1, s(,,4. 6

7 78. Sean las curvas 1 y dadas por las funciones vectoriales ( 1 t 1 : f(t =,t+1,1+e t ( t 1 : g(t =,4 t,3 e t+1 a Halle el punto de intersección de las curvas 1 y R/: f( = g( 1 = ( 3,5, b alcule la medida del ángulo ( que forman las curvas 1 y en su punto de intersección. R/: θ = arccos La fuerza que actúa sobre una partícula de masa m = en el plano está dada en función del tiempo t por la ecuación ( F(t = (cost tsent,(sent+tcost uando t = la posición y la velocidad de la partícula son f( = (, y v( = (1,. Halle la velocidad y la posición de la partícula como funciones de t. Ayuda: Ley de Newton, F(t = ma(t. R: f(t = (tsent+cost+t+1, tcost+sent 8. Una partícula inicia su movimiento en f( = (,, con velocidad inicial v( = i j+k. Su aceleración es a(t = (t,3t,6t. etermine ( la función velocidad y la posición de la t partícula en cualquier instante t. R: f(t = 3 3 +t+, t4 4 t,t3 +t x +y +z = R R > 81. Halle una parametrización para la curva : z = a < a < R 8. Halle la longitud de arco de las siguientes curvas ( t a α(t = +t, t t, lnt, (t >, desde t = 1 hasta t =. R/ (3+ln( ( t cosu t senu b α(t = du, du,4t 1/, desde t = 1 hasta t = 4. R/ 3 u u Halle la longitud de la curva α(t = (t,1+t, desde el punto en que los vectores α(t y α (t son paralelos de sentidos opuestos hasta el punto en que los mismos vectores son ortogonales. R/ ln( Una partícula se mueve en el espacio de modo que en cualquier instante t su posición es α(t = (tcost,tsent, t +t a etermine la rapidez de la partícula en el instante t = 1 R/ b Si la partícula toca al plano xy en el instante t =, halle otro instante t 1 en que la partícula toca nuevamente el plano xy. R/ t = c Halle el espacio recorrido por la partícula desde t = hasta t = t En los siguientes ejercicios, represente la curva dada mediante la intersección de dos superficies. Halle ecuaciones paramétricas para cada curva. a x +z = 4, y +z = 4 (primer octante R/ x = t,y = t,z = 4 t b x +y +z = 16,xy = 4(primeroctante R/x = t,y = 4 t,z = 1 t t4 +16t Sea unacurvaenelespaciodadaporα(t = t β(ududondeβ(u = (ucos(u,usen(u,1. alcule la longitud de arco de la curva desde el punto α( hasta el punto α(1. 7

8 87. Halle las ecuaciones de los planos normal principal, rectificante y osculador de la curva intersección de las superfices x +y +z = 6 x y +z = 4 en el punto A(1,1,. osculador: y = 1 R/: P : y = 1. P N : x z =, P R : x+z 5 = Plano 8