Práctico 1: Precálculo

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1 Práctico 1: Precálculo 1. Representar en la recta real los siguientes números: 0.7, , 3,. Ordenar las siguientes series de números. 1, 1 3. (a) 0.45 ; 1.3 ; 1 3 ;0.33 ; ; 1 ; 5. (b) ; ; 3, ; π ; ; 1.41 ; Demostrar las siguientes proposiciones: (a) a<b b< a (b) a<b c<d a + c<b+ d (c) a<b c<0 ac > bc (d) ab > 0 (a >0 b>0) (a <0 b<0) (e) a, b, c, d > 0 a<b c<d ac < bd (f) a, b > 0 a<b a <b a< b (g) 0 < 1 4. Graficar los intervalos I 1 =,π ; I = 7 5, 3.5 Hallar I 1 I 5. Consideremos los intervalos I 1 =(, 1),I =( 1, 0),I 3 =(0, 1),I 4 =(1, ). Dado un número a en uno de estos intervalos I i encuentre a cuál intervalo I j pertenecerá 1. a 6. Resolver las siguientes inecuaciones: 1) 3x 1 < 4 ) 3x >6 3) (x +1)(x ) < 0 4) (x 1)(x +1)> 0 5) (x 5) 4 (x +10) 0 7. Resolver las siguientes inecuaciones 1) 1+ 1 x > 0 ) x 5 x 4 3) x 1 < 3 4) x 4x+3 (x ) < 0 1

2 8. Escribir expresiones equivalentes sin usar valor absoluto 1) 4 8 ) ) ) 5 x, dondex>5 5) 3 π 6) a b, dondea<b 9. Para las siguientes afirmaciones, pruebe las verdaderas y dé contraejemplos de las falsas. 1) a<b a < b ) a + b = a + b 3) ab = a b 4) a n = a n 10. Resolver las siguientes inecuaciones. 11. Resolver las siguientes inecuaciones 5) a a a 1) x +1 1 ) x 5 > 3) 3x ) 3x +8 < 5 1) x 1 1 x + ) x 40 < x 50 1 Nota: En 1), observe que x + no puede ser negativo. Y si es no negativo, es de aplicación el teorema 1. En ), considerando r = x 50, otra vez el teorma 1 convierte la inecuación en dos del tipo de la primera parte. Pero nótese también que una adecuada interpretación geométrica resuelve el problema de manera trivial: La inecuación ) dice que x está más cerca de 40 que de 50. Cabe de paso recordar a aquella ingeniosa señora que, bien pasados los 50 años, decía, sin mentir, que ella estaba más cerca de los 50 que de los Sea g(x) = x x. Calcule g(1), g( 1), g( 54) 13. Para qué números se podría definir una función f mediante la formula f(x) = 1 x? Cúal es el valor de esta función para x =5? 14. Para qué números se podría definir f mediante la formula f(x) = 3 x? Cuántovale f(7)? 15. Para qué números se podría definir una función f mediante la fórmula f(x) = 4 x? Cuánto vale f(16)?

3 16. La relación entre la temperatura del aire T (en o F )ylaaltitudh (altura en pies sobre el nivel del mar) es aproximadamente lineal. Cuando la temperatura a nivel del mar es de 60 o, un incremento de 5000 pies en la altitud disminuye aproximadamente en 18 o la temperatura. 1. Expresar T en terminos de h.. Calcular la temperatura del aire a una altitud de 1500 pies. 17. LaleydeBoyledice lapresióndeungasenunrecipienteesinversamenteproporcional a su volumen. Escriba esta ley expresando a la temperatura como una funcioón del volumen. 18. Determinar el dominio de definición de la función f en cada caso: (a) f(x) = 1 x 4 (b) f(x) = x (c) f(x) = 4 x 19. Se dice que una función es par si f(x) =f( x) para todo x. Se dice que es una función impar si f(x) = f( x) para todo x. Determinar si las funciones siguientes son impares, pares o ni una cosa ni la otra 1) f(x) =x ) f(x) =x 3) f(x) =x 3 4) f(x) = 1 x si x 6= 0y f(0) = 0. 5) f(x) =x + x 6) f(x) = x 3 0. Calcular f + g, f g, fg y f g para las siguientes funciones. En todos los casos calcular el dominio de la nueva función. a) f (x) =x +, g(t) = t 4 b) f (x) = x, g(x) =x 4 1. En los siguientes casos calcular f g, g f y los dominios de f,g yambas composiciones. a) f (x) = x 1, g(x) =x b) f (x) = 1 1 x, g(x) = x 1 x. Escribir la función f (x) = x 3 +1 comocomposicióndedos,detresydecuatro funciones. 3. Localizar los puntos siguientes: ( 1, 1); (0, 5); ( 5, ); (1, 0). 4. Localizar los puntos siguientes ( 1, 3); ( 1 3, 1 ); ( 4 3, ); ( 1 4, 1 ). (a) Sean (x, y) las coordenadasde un punto en el segundo cuadrante. Es x positivo o negativo? Es y positivo, o negativo? 3

4 (b) Sean (x, y) las coordenadas de un punto en el tercer cuadrante. Es x positivo, o negativo? Es y positivo, o negativo? (a) Localizar los puntos (1.,.3); (1.7, 3) y calcular su distancia (b) Localizar los puntos (.5, 1); ( 3.5, 5 ) y calcular su distancia. 3 4 (c) Localizar los puntos ³ 1,, ³0, 1 y calcular su distancia. 5. Trazar las gráficas delasfuncionessiguientes: 1. f(x) = 3x +. g (x) =x 3 3. h (x) = 1 x+ 6. Esbozar la gráfica de la función f(x) definida por las condiciones: 1. f(x) =0si x 0. f(x) =1si x>0.. f(x) =x si x<0. f(x) =x si x 0 3. f(x) = x + x si 1 x 1. f(x) =3si x>1[f(x) no está definida para otros valores de x.] 4. f(x) =x 3 si x 0. f(x) =1si 0 <x<.f(x) =x si x. 5. f(x) =x si 0 <x 1. f(x) =x 1 si 1 <x. Cómoexpresaríalaideade continuar definiendo f de manera similar en los siguientes intervalos <x 3, 3 < x 4...etc.? 7. Trazar las gráficas de y = x n ydey = x 1 n para n =1,, 3, 4, Hallar y graficar 3, T (1, 3) T 1 ³ T 1 3 3, T 1 3 1, 3 9. Sea C el cuadrado de vértices (1, 1), (3, 1), (3, 3) y (1, 3). Hallar los vértices y graficar los cuadrados T 1 (C) y T [T 1 (C)]. 30. Hallar y graficar S (C) y S 1 [S (C)] para el cuadrado C de vértices (, ), (, 1), (1, 1 y (1, ) (a) Hallar el punto simétrico de ( 1, ) respecto de (0, 0). (b) Hallar el punto simétrico de ( 1, ) respecto de (1, 0). (c) Hallar el centro de simetría de los puntos (1, 5) y (3, 1). (d) Hallar el centro de simetría de los puntos (x 1,y 1 ) y (x,y ). (e) Respecto de qué recta son simétricos los puntos (1, 5) y (3, 1)? 4

5 (f) Hallar y graficar el simétrico respecto de la diagonal d del triángulo de vértices (4, 1), (6, 1) y (1, ). 31. Dadas las funciones f(x) = 1 y f(x) = x. trazar para cada una de ellas la gráfica x de: a) f(x 1), b) f(x +3), c) f(x), d) 3f(x), e) 1 f(x), f) f(x) g) f(x), h) f(x), i) f( x) 3. Hallar la ecuación de un círculo con centro en 1, 3 yradio9.5. Pertenece el origen de coordenadas a ese círculo? 33. Trazar la gráfica de la elipse (x +3) (y 1) Dar las coordenadas de los cuatro vérices. = Trazar la gráfica de la siguiente ecuación: x + (y 1) 4 = Graficar las siguientes curvas paramétricas: ½ ½ x =t x =10t 1) y =4 t, 0 t ) y = 5t +t, 0 t 36. Dar una parametrización del segmento que une los puntos (, 1) y (4, ) 37. Completar la siguiente tabla de valores exactos (sin calculadora) θ 0 π 4 π 3π 5π π 4 4 3π 7π 4 cosθ 0 sinθ Probar que para ángulos del primer cuadrante (0 θ π), sin θ =cos π θ 39. Calcular sin y cos de π yde π Hallar los siguientes valores 1. sin π 3. sin(π π 6 ) 3. cos(π + π 6 ) 4. cos(π π 6 ) 5. cos 5π 4 6. cos(π + π 6 ) 5

6 41. Las coordenadas de Gob. Ing. Virasoro, en la provincia de Corrientes, son 8 o S, 54 o W. La localidad Los Amores, en la provincia de Santa Fe, se ubica también en los 8 o S de latitud, pero a 60 o W de longitud. Si el radio de la tierra es de 6375 km, calcularla distancia entre ambas localidades medida sobre la superficie de la tierra. 4. Probar las siguientes identidades de las funciones trigonométricas: 43. Hallar los valores siguientes: 1) cos ( x) =cosx ) sin ( x) = sin x 3) tan ( x) = tan x 4) sin (x + π) = sin x 5) cos (x + π) = cos x 6) tan(x + π) =tanx 1). tan π 4 ). tan π 6 3). tan 5π 4 4). tan(π π 4 ) 5). sin 7π 6 6). cos 7π 6 7). cos π 8). cos π 9). cos 5π Trazar las gráficas de las siguientes funciones 10). cos π 3 1). y =sinx ). y =cos3x 3). y =sin(x + π 4 ) 4). y =sin x 5). cos(x π ) 6). y = +cos(x 1) Trazar las gráficas de las funciones y =sin 1 x,y = x sin 1 x,y = x sin 1 x. 46. Trazar las siguientes curvas definidas paramétricamente: 1) 3) ½ x =cost y =sint ½ x =3cost y =sint, 0 t π ), 0 t π 4) ½ x =cost y =sint ½ x = 1 cos t y =3sint, 0 t π, 0 t π 6

7 47. Probar las siguientes identidades 1. sin x =sinx cos x. cos x =cos x sin x 3. cos x = 1+cos x 4. sin 1 cos x x = 5. tan(x + y) = tan x+tan y 1 tan x tan y 6. sin nx cos mx = 1 [sin (n + m) x +sin(n m) x] 7. cos nx cos mx = 1 [cos (n + m) x +cos(n m) x] 8. sin nx sin mx = 1 [cos (n m) x cos (n + m) x] 48. Hallar una fórmula para sin 3x en términos de sin x y cos x. Análogamente para cos 3x. 49. Probar las siguientes identidades: 1) sin α = tan α 1+tan α ) cos α = 1 1+tan α (Es suficiente una demostración geométrica para 0 α π ) Ejercicios complementarios 53. Muchasvecesqueremosdecir"todoslospuntosentre a y b". Sabemos que se trata de un intervalo, (a, b) o (b, a), según cuál sea el mayor. En estos casos, cuando ignoremoscuáleselmayor,escribiremos (a, b). Esto es, ½ (a, b) (a, b) si a<b = (b, a) si b<a, y lo mismo para intervalos cerrados o mixtos. Probar que si I es un intervalo y x, y I, entonces [x, y] I 54. Resuelva la desigualdad y exprese en términos de interevalos. 1) 3 11x 41 ) 4x ) 3+x 5 > 4) 7 3x > x 5) > 6) 10 x 9 x Encuentre f(a),f( a), f(a),f(a + h),f(a)+f(h) cuando (a) f(x) =3x + x 7

8 (b) f(x) = 1 x Desde un punto P que se encuentra a distancia h de una circunferencia de radio r, se traza una tangente a la circunferencia. Sea y la distancia del punto P al punto de tangencia T. (a) Exprese y como función de h (Si C es el centro de la circunferencia, entonces PT es perpendicular a CT.) (b) Suponiendo que el radio de la tierra es de 3960 millas, calcule la distancia al horizonte desde un trasbordador que gira a una altura de 00 millas. 57. Un globo esférico se infla con helio. El radio del globo aumenta a razón de 1.5cm/seg, expresar el volumen V como una función del tiempo t (en segundos). 58. Determine el dominio de definición de las funciones siguientes. 1) f(x) = 3x ) f(x) = 3 x 5 3) f(x) = x 9 4) f(x) = 1 7x+9 5) f(x) = x+1 x 3 9x 59. Calcular la superficiedeunconosintapaenfuncióndelradio r de la base y de la altura h. Sugerencia: Desarrollado en el plano, el cono es un sector circular cuyo radio coincide con la directriz d de aquél. r h d d 60. Se sabe que el ángulo γ de inclinación del eje de la Tierra respecto de la perpendicular al plano en que vive su órbita es de 3,45 o. Conocidalalatitud λ de una ciudad, se pide calcular la duración de la noche más larga del año en ella. Como ayuda se dispone 8

9 de los dos croquis siguientes: γ θ R h l λ r h r Croquis n o Croquis n o 1 La vertical en el croquis 1 es el eje de la tierra. La recta que forma con ella un ángulo γ es la perpendicular al plano orbital. Uno puede imaginar que a su izquierda es de día y a su derecha es de noche. Las líneas horizontales en este croquis son el ecuador ylaórbitadelaciudad. R eselradiodelatierray r elradiodelaórbita,quees función de R ydelalatitud λ. Si uno calcula h, se traslada al segundo croquis, donde el círculo representa la órbita de la ciudad, y puede determinar θ. El sector de esa órbita que queda sumido en la noche, corresponde a un ángulo central de 180 o +θ. Algunosejemplosdelatitudes: Buenos Aires 34 o 36 Bahía Blanca 38 o 43 San Luis 33 o 18 Paris 48 o 51 Ushuaia 54 o Desde una altura de m se lanza horizontalmente un proyectil con una velocidad de m/seg. Dar una descripción paramétrica de la trayectoria. Suponer que la aceleración de la gravedad es de 10m/seg y recordar que la distancia recorrida en un movimiento uniformemente acelerado viene dada por la fórmula s (t) =s 0 + v 0 t + 1 at.suponer que no hay aire. 6. En el vacío, se dispara un proyectil con un ángulo de 45 o. La velocidad inicial es de 5 m/seg. Dar una descripción paramétrica de la trayectoria, bajo las condiciones adicionales del ejercicio anterior. 63. Un hombre dispone de 0m de malla de alambre para cercar un jardín rectangular. Sólo debe cercar tres lados porque el cuarto se apoyará contra un muro suficientemente largo. Exprese el área en función del ancho x del jardín y utilice su gráfica para determinar el area máxima que puede proteger. 9

10 64. El tiempo total empleado en detener un automóvil desde el momento en que el conductor se da cuenta de un peligro, se compone del tiempo de reacción (tiempo transcurrido desde el apercibimiento hasta que se acciona el pedal de freno) y del tiempo del frenado (tiempo que tarda el coche en detenerse desde que se presiona el pedal correspondiente). La tabla que figura a continuación relaciona la distancia d(metros)que recorre hasta detenerse un automóvil que marcha a una velocidad V (Km/h)en el instante en que se da cuenta del peligro. Representar gráficamente d en función de V. Velocidad V (km/h) Distancia d(m) Las ciudades de San Luis y Buenos Aires se encuentran a latitud similar, pero sus longitudes son: Buenos Aires 58 o 0 W y San Luis 66 o 0 1 W. Se quiere calcular la diferencia horaria (solar) entre ambas ciudades. *66. Se trata de completar la demostración del teorema 3 en la sección 1.4. De modo que sólo se puede usar de ese teorema lo que se probó efectivamente: que para 0 <β<α<π, cos (α β) =cosα cos β +sinα sin β. (1) (a) La extensión de la fórmula (1) para cualesquiera valores reales de α y β, se demuestra usando la definición de las funcions trigonométricas para números fuera del intervalo [0, π) y los resultados del ejercicio 45. Es un trabajo que no vale la pena. (b) Probar que cos (α + β) =cosα cos β sin α sin β. Sugerencia α + β = α ( β). (c) Probar que cos π α =sinα yque sin π α =cosα. (La primera sigue de (1)ylasegundadelaprimera). (d) Probar que sin (α ± β) =sinα cos β ± cos α sin β. (usar (c)). 10