Unidad I: Electrostática (2da parte)

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Ramón Poblete Miguélez
hace 6 años
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1 Unidad I: Electrostática (2da parte) Potencial electrostático. a) Trabajo de la fuerza electrostática. Considere el sistema de dos cargas formado por las cargas puntuales Q y q, mostrado en la Figura 2.1. Si la carga q (denominada carga de prueba), inicialmente está ubicada en la posición a dada por r a y se mueve a la posición b que está a la distancia r b de la carga Q, se habrá realizado un trabajo sobre ella; el trabajo realizado por la fuerza eléctrica para cualquier cambio infinitesimal en la posición estará dado por: (producto escalar de la fuerza y el desplazamiento infinitesimal). Como la fuerza eléctrica actúa en la misma dirección que el movimiento de la carga: De la ley de Coulomb: Por lo cual, el trabajo hecho por la fuerza eléctrica sobre un desplazamiento infinitesimal es: Para encontrar el trabajo total realizado por la fuerza eléctrica al mover la carga de prueba desde la posición a hasta la posición b, se integra la expresión anterior: La ecuación 2.1 permite determinar el trabajo realizado por el campo eléctrico de la carga Q al mover una carga q positiva de la posición a a la posición b. Q q(+) a b r a r b Figura 2.1

2 b) Energía potencial electrostática. En un campo conservativo, el cambio en la energía potencial es igual al negativo del trabajo para llevar un cuerpo de un punto a otro del campo. El campo eléctrico es un campo conservativo. Así pues, de la ecuación 1.1, podemos escribir: Y, si se hace que la energía potencial asociada al punto a queda expresada por: Se define entonces, la energía potencial eléctrica de un sistema de dos cargas Q y q, separadas una distancia r, como el trabajo realizado contra las fuerzas eléctricas para llevar la carga q(+) desde el infinito hasta el punto en cuestión. Eliminando el subíndice en la ecuación anterior: La energía potencial de un sistema de dos cargas será positiva si las cargas son del mismo signo; será negativa si las cargas son de signo contrario. La ecuación 2.3 determina la energía potencial asociada a un sistema de dos cargas Q y q, separadas una distancia r. c) Potencial eléctrico. El potencial V en un punto situado a una distancia r de una carga Q es igual al trabajo por unidad de carga realizado contra las fuerzas eléctricas para transportar una carga positiva q desde el infinito hasta dicho punto. La unidad de potencial eléctrico es: (joule/coulomb) = volt. d) Diferencia de potencial. La diferencia de potencial entre dos puntos es el trabajo por unidad de carga positiva que realizan fuerzas eléctricas para mover una pequeña carga de prueba desde el punto de mayor potencial al punto de menor potencial. En general, el trabajo realizado por un campo eléctrico para mover una carga q del punto A al punto B se determina por:

3 Ejemplo 2.1 Los puntos A y B se ubican a 68 y 26 mm de una carga de 90 µc. Calcule la diferencia de potencial entre los puntos A y B. Cuánto trabajo realiza el campo eléctrico cuando una carga de 5 µc se traslada de A hacia B? Solución. Se calcula el potencial en cada punto por medio de la Ec. 2.4: La diferencia de potencial entre los puntos A y B es: El trabajo que realiza el campo eléctrico se encuentra con la Ec. 2.5: Ejemplo 2.2 Los puntos A y B están a 40 y 25 mm de una carga de 6 µc. Cuánto trabajo es necesario hacer contra el campo eléctrico (por medio de fuerza externas) para trasladar una carga de 5 µc del punto A al punto B? Solución. Primero se calculan los potenciales en cada punto: ) El trabajo realizado por el campo eléctrico es, usando la Ec. 2.5: El trabajo que debe realizar una fuerza externa es el negativo del trabajo hecho por el campo eléctrico: Trabajo de la fuerza externa: 4.05 J. e) Relación entre V y E. Si en la expresión para el trabajo Sustituimos que obtenemos:

4 De donde: Y, dividiendo por q : Ejemplo 2.3 Suponga que se tiene un arreglo de dos placas conductoras paralelas cargadas. La carga en una placa es Q(+) y en la otra es Q(-); es decir, las placas tienen la misma cantidad de carga pero de signos opuestos. Cuál es la relación entre la diferencia de potencial de las placas y el campo eléctrico entre ellas? Ya que el campo eléctrico entre las placas es constante, la integral de la Ec. 2.6 queda: V ab r b r E dr E b dr r a r a Y (r b r a) d por lo que: V ab Ed La ecuación obtenida en este ejemplo, resulta útil para calcular la diferencia de potencial entre dos placas paralelas separadas una distancia d si se conoce la intensidad de campo eléctrico entre las placas. Actividad 02: Potencial eléctrico. A. Seleccione la respuesta correcta, anotando la justificación de su escogencia. 1. La energía potencial electrostática del sistema de cargas de la Figura 2.2 es: a) 21.6 J b) 35.1 J c) J 2. El potencial en el punto P de la Figura 2.2 es: a) 1.60 X 10 7 V b) 5.4 X 10 6 V c) 5.2 X 10 6 J

5 3. El trabajo que debe hacer una fuerza externa para mover una carga de + 2 µc del punto P, en la Figura 2.2, a un punto M donde el potencial es V M = 2.00 X 10 5 V es: a) 0 (cero) b) 31.6 J c) 31.6 J Figura 2.2: Q 1 = Q 3 = 3 µc; Q 2 = 5 µc. B. Resuelva. 1. La intensidad del campo eléctrico entre dos placas paralelas separadas 25 mm es 8,000 N/C. Cuánto trabajo realiza el campo eléctrico al mover una carga de 2 µc desde la placa negativa hasta la placa positiva? Cuál es el trabajo que realiza el campo al llevar la misma carga de regreso a la placa negativa? Resp: x 10-4 J, x10-4 J. 2. Una carga de + 8 nc se coloca en un punto P, a 40 mm de una carga de + 12 nc. Cuál es la energía potencial por unidad de carga en el punto P en J/C? Sufrirá algún cambio si se quita la carga de 8 nc? Resp: 2.70 x 10 6 J/C, no. 3. Calcule el potencial en el punto A que está a 50 mm de una carga de 40 µc. Cuál es la energía potencial si una carga de + 3 µc se coloca en el punto A? Resp: MV, J. 4. El punto A está a 40 mm arriba de una carga de 9 µc y el punto B se localiza 60 mm debajo de la misma carga. Una carga de 3 nc se traslada del punto B al punto A. Cuál es el cambio registrado en la energía potencial? Resp: mj. 5. Para la configuración de cargas que muestra la Figura 2.3, encuentre el potencial en los puntos A, B y C. Cuánto trabajo es realizado por el campo eléctrico al trasladar una carga de + 2 µc desde C hasta A? En qué punto P el potencial eléctrico es igual a cero? Resp: V A = V; V B = V; V C = V; W CA = +0.6 mj.

6 Figura 2.3 Capacidad o capacitancia eléctrica. Capacidad eléctrica del conductor aislado. Un conductor aislado, es decir, no sometido a influencia eléctrica alguna, que posee una carga Q, adquiere un potencial V que es el mismo en todas sus partes. La teoría y la experiencia enseñan que si la carga del conductor varía, su potencial también varía, pero no de cualquier manera; sino de modo que la relación entre carga y el potencial correspondiente es un número constante que depende de la forma y de las dimensiones del conductor. A este valor constante se le llama capacitancia del conductor y se define como: La capacidad o capacitancia del conductor, infinitamente alejado de toda carga, es la relación constante entre su carga y el potencial correspondiente. En forma algebraica: Unidad: (coulomb/volt) = farad La capacitancia depende de la forma y dimensiones del conductor. Para una esfera de radio R está dada por: C = 4πε 0 R (esfera en el vacío) Si la esfera está rodeada por un dieléctrico: C = 4πεR, donde ε es la permisividad (o permitividad), del dieléctrico.

7 Capacitor. Cuando se disponen dos conductores a y b uno frente al otro, o uno en el interior del otro separados cierta distancia, y se les aplica la misma cantidad de carga pero de signo opuesto se conforma un dispositivo que se llama capacitor o condensador. La capacitancia del capacitor vendrá dada por la razón entre la carga Q que adquiere uno cualquiera de los conductores y la diferencia de potencial que se establece entre ellos. El capacitor de placas paralelas. Se llama capacitor de placas paralelas a un dispositivo formado por placas planas paralelas conductoras colocadas una frente a la otra y, entre ellas un relleno de un material dieléctrico, como se ilustra en la Figura 2.4. placa placa a b (+) ( ) Capacitancia del capacitor: C = Q/(V a V b ) Material dieléctrico d Figura 2.4 La capacitancia del capacitor de placas paralelas se expresa a partir de la Ec. 2.8, como: Q = carga eléctrica en cualquiera de las placas. V ab = V a V b : diferencia de potencial entre las placas. d = separación entre las placas (igual al espesor del dieléctrico). En términos de la geometría del capacitor, la capacitancia del capacitor de placas paralelas se expresa por la siguiente ecuación: Donde

8 Ejemplo 2.4 Dos placas paralelas, ambas de 2 cm de ancho y 4 cm de largo, están colocadas horizontalmente de modo que la intensidad de campo entre ambas es de 10,000 N/C hacia arriba, cuál es la carga en cada placa? Solución. Con la ley de Gauss se obtuvo que el campo entre las placas está dado por: Y, por definición: Por consiguiente:

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