Tema 2. Potencial eléctrico.

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María Antonia Moreno Contreras
hace 7 años
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1 Tema Potencial eléctrico Problemas resueltos Problema - En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno el electrón se mueve en una órbita circular de radio r alrededor del protón jo a) Hallar una expresión de la energía cinética del electrón en función de r Demostrar que para cualquier valor de r la energía cinética es la mitad de la energía potencial b) Calcular los valores de las energías cinética y total del electrón para r = 0, m (Datos: q e =, Culombios, m e = 9, 0 3 Kg) c) ¾Cuánta energía debe suministrarse al átomo de hidrógeno para ionizarlo, es decir, para llevar el electrón al innito con energía cinética nula? a) Primeramente escribiremos la condición de estabilidad de la órbita, que es el equilibrio entre fuerza de atracción electrostática y fuerza centrífuga: e 4πɛ o r = mv r De ahí se puede despejar v y sustituir posteriormente en la expresión para la energía cinética, para obtener: E c = mv = Por otra parte la energía potencial del electrón es: e 8πɛ o r con lo que se demuestra lo que se pedía b) Para la energía total tenemos: e V = 4πɛ o r E = E c + V = E c E c = E c =, J mientras que E c =, J c) Para ionizar un átomo de hidrógeno es necesario aportar una energía E igual o superior al módulo de su energía total E, ya que en el innito su energía potencial es nula y como la cinética también debe serlo, basta con llevarlo a un estado de energía total nula Por tanto: E = E =, J Problema - Las placas de un condensador plano tienen un área A y están separadas una distancia d, estableciéndose entre ellas una diferencia de potencial V a) Si introducimos entre las placas (véase gura) una lámina metálica de espesor x, ¾cuál es la nueva capacidad del condensador? b) ¾Cuál es la nueva diferencia de potencial entre las placas? c) Si A = 30 cm, d = 5 mm, V =,000 V, x = 3 mm y ɛ o = 8, 85 0 F/m ¾cuáles son los valores numéricos de la capacidad y la diferencia de potencial después de introducir la lámina?

2 a) Supongamos que la carga de las placas del condensador antes de introducir la lámina metálica es q Al colocar la lámina metálica, aparece en ella una carga +q frente a la placa cargada negativamente y una carga q frente a la placa cargada positivamente Por lo tanto, es como si tuviéramos dos condensadores iguales en serie, cada uno de ellos son una capacidad = C = q V = ɛ o A (d x)/ Esto signica que la capacidad del nuevo condensador será la capacidad equivalente a la combinación en serie de los dos nuevos condensadores: esto es, C = + C =, C = ɛ oa d x b) La nueva diferencia de potencial entre las placas será la suma de las que hay en los condensadores que hemos caracterizado por y C : c) C = 3, 98 0 Faradios; V = 400 Voltios V = q V (d x) = d Problema 3- Calcular la capacidad equivalente del circuito de la gura, con = C = µf, y C 3 = 6 µf Si se aplica al conjunto una diferencia de potencial V 0 = 0 V, calcular: a) la carga de, b) la diferencia de potencial a través de, c) la carga de C y C 3 Se trata de una asociación de condensadores en la que dos (C y C 3 ) se encuentran en paralelo, mientras que el tercero ( ) está en serie con el condensador equivalente de los dos anteriores La capacidad de este último será C e = C + C 3 = 8 µf Por lo tanto, la capacidad equivalente total C e,t = C e C e + =, 6 µf a) Una vez que los condensadores se han cargado hasta el valor que pueden cargarse para una determinada diferencia de potencial (es decir, cuando el circuito ha adquirido su régimen estacionario) tenemos que: Q = Q e Por otra parte, al estar en serie, V 0 = Q + Q e C e = Q ( + C e ) = Q C e + C C e donde hemos hecho uso de la descomposición de V 0 como una suma de la diferencia de potencial existente entre los extremos de y de la que hay entre los de C e Al aplicar una diferencia de potencial de 0 V, obtenemos: Q = 6 µc

3 b) La diferencia de potencial a través de vale: V = Q = 8 V c) La suma de cargas de C y C 3 es igual a 6 µc Ambos condensadores tienen entre sus placas la misma diferencia de potencial, ya que están conectados en paralelo; por consiguiente, Q + Q 3 = Q /C = Q 3 /C 3 = Q = 4 µc Q 3 = µc Problema 4- Se elimina del circuito del problema anterior el condensador C, quedando y C 3 en serie, a los que se le aplica una diferencia de potencial V 0 = 0 V a) ¾Qué energía se almacena en cada condensador? Supongamos que se desconectan de la fuente V 0 y se vuelven a conectar los condensadores en paralelo, b) ¾Qué carga nal adquiere cada uno de ellos? c) ¾Qué energía está almacenada, en estas circunstancias, en cada condensador? a) Al eliminar del circuito el condensador C, se tendrá que Q = Q 3, de manera que la energía almacenada en cada condensador valdrá U = Q, U 3 = Q 3 C 3 Para calcular Q y Q 3 vamos a determinar la capacidad equivalente en cada caso: C equiv = C 3 + C 3 =, 5 µf = Q = C equiv V 0 = 5 µc Por lo tanto, U = 56, J, U 3 = 8, J b) Al desconectar los condensadores de la fuente, y conectarlos entre sí en paralelo, lo que hemos hecho es unir las placas del mismo signo de cada uno de ellos entre sí, más que conectarlos en paralelo o en serie (medite el estudiante el por qué esto es así) Al hacer esta nueva conexión, es evidente que la diferencia de potencial entre los extremos de uno es igual a la que existe entre las placas del otro, y por tanto Q = Q 3 C 3, Q Q 3 = /3 Además, la carga que tiene el sistema ha de ser la misma que en la situación anterior: Q + Q 3 = Q = 30 µc Como consecuencia, Q = 7, 5 µc y Q 3 =, 5 µc c) La energía almacenada en cada uno de los condensadores se puede calcular fácilmente utilizando las fórmulas que ya se han utilizado en el apartado (a), y viene dada por U = 4, J, U3 = 4, J Problema 5- Cuatro cargas iguales Q se encuentran en los vértices de un cuadrado de lado L Las cargas se van dejando en libertad una a una, siguiendo el sentido de las agujas del reloj y de manera que se espera a que cada carga alcance su velocidad nal a una gran distancia del cuadrado antes de liberar la siguiente ¾Cuál será la energía cinética nal de (a) la primera carga liberada, (b) la segunda, 3

4 (c) la tercera y (d) la cuarta? Como el campo electrostático es conservativo, en el proceso de liberación y alejamiento de cada una de las cargas la energía total se conserva, por lo que cada carga que liberamos adquiere una energía cinética E c = E pot = q V = q(v i V f ) Además, si tomamos el origen de la energía potencial a una gran distancia del cuadrado inicial, y como la energía cinética inicial de cada carga es nula, podemos escribir que la energía cinética nal de cada carga que liberamos viene dada por E cf = qv i, donde V i es la suma de los potenciales electrostáticos creados en esa carga que se libera por las otras cargas que aón no se han liberado De este modo obtenemos: a) E ci = qv i = q ( q 4πɛ 0 L + q ) ( = q L 4πɛ 0 L 4 + ) b) E ci = q ( + ) 4πɛ 0 L c) E ci = q 4πɛ 0 L d) La cuarta carga no se ve sometida a potencial alguno, por lo que permanecerá en reposo: su energía cinética nal será nula Problema 6- En un condensador cargado, de placas plano-paralelas, un electrón abandona la placa cargada negativamente y acaba chocando con la placa positiva Se sabe que el electrón ha partido del reposo, que choca con la placa cargada positivamente después de, s, y que la distancia entre las placas es d = cm Calcular: (a) la diferencia de potencial entre las placas del condensador (b) la densidad supercial de carga del condensador Dato: e/m e =, 76 0 C/kg Este problema es equivalente a otro que se ha resuelto en un tema anterior, pero aquí se usa el potencial en vez del campo (a) El potencial eléctrico en un condensador de placas plano-paralelas se puede escribir como V + V = σd ɛ 0 El movimiento del electrón se realiza bajo los efectos de un campo eléctrico, que es un campo conservativo Por lo tanto, la energía total del electrón, E = E cin + U = m ev + qv se conserva Por consiguiente, si llamamos V + y V, v + y v, a los potenciales y velocidades del electrón en las placa positiva y negativa, respectivamente, podemos escribir m ( e v + v ) = q (V V + ) = m ev + = e (V + V ), 4

5 ya que el electrón parte del reposo y tiene carga negativa Por otro lado, dado que el campo es constante en el interior del condensador, el movimiento del electrón será uniformemente acelerado Utilizando los conocimientos de cinemática que ya tenemos, calculamos la velocidad con la que alcanza la placa positiva y obtenemos V + V = m ev + e v + = at = d t t = d t = m ed et = 0, V (b) Para calcular la densidad supercial de carga del condensador utilizamos la fórmula de la diferencia de potencial en un condensador de placas plano-paralelas: σ = ɛ 0 (V + V ) d 5

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