Matemáticas II Bachillerato Ciencias y Tecnología 2º Curso. Espacio vectorial Espacio vectorial

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1 4.1. Introducción: los conjuntos Espacio ectorial R y R Espacio ectorial Vectores libres del espacio tridimensional Producto escalar Producto ectorial Producto mixto Anexo I.- EJERCICIOS Anexo II.- NORMATIVA Enlaces de interés: Representación de ectores en el plano y operaciones: Actiidades sobre ectores en el plano: Representación de ectores en el espacio y operaciones: pacio_d/vectores_espacio_indice.htm Ángel Luis Tapial Romo - 1 -

2 4.1. Introducción: los conjuntos R y R. El conjunto de pares ordenados El conjunto de ternas ordenadas Operación interna y externa sobre un conjunto. R. Operaciones y propiedades. R. Operaciones y propiedades. 4.. Espacio ectorial. 4..a. Definición. Propiedades respecto a la suma de ectores Propiedades respecto al producto de escalares por ectores. Notación 4..b. Ejemplos. Pares ordenados, ternas ordenadas, polinomios de grado menor o igual que n, números complejos, matrices cuadradas de orden n, ectores libres del plano y del espacio. 4..c. Propiedades. Siete propiedades, demostradas en el libro de texto, página d. Subespacio ectorial. Definición y ejemplo. 4..e. Combinación lineal. Sistema generador. Definición de combinación lineal y ejemplo. Definición de sistema generador y ejemplos. 4..f. Dependencia e independencia lineal. Recordatorio de estos conceptos aplicados a líneas de una matriz. Definiciones de ectores linealmente dependientes e independientes. Ejemplos en V. Ejemplos en R y R. 4..g. Base de un espacio ectorial. Teorema de la base. Coordenadas de un ector. Definición de base de un espacio ectorial. Teorema de la base. Ejemplos en R y R.Bases canónicas en V y V. Coordenadas de un ector en una base: definición, notación y ejemplo. Ángel Luis Tapial Romo - -

3 4.. Vectores libres del espacio tridimensional. 4..a. Vector libre. Vector fijo: o Definición. Coordenadas. Módulo Pg. 108 Vector libre: o Definición. Coordenadas. Módulo Pg b. Operaciones con ectores libres. Suma de ectores libres o Definición. Propiedades. Interpretación geométrica Pg. 109 Producto de un número real por un ector o Definición. Propiedades. Interpretación geométrica Pg c. Dependencia e independencia de ectores. Bases. Vectores linealmente dependientes: o Criterio para dos y para tres ectores Pg. 110 Vectores linealmente independientes: o Criterio para dos y para tres ectores Pg. 110 Base del espacio de ectores libres del espacio tridimensional: o Definición. Coordenadas de un ector Pg. 110 Ángel Luis Tapial Romo - -

4 4.4. Producto escalar. No es una operación interna ni externa del espacio ectorial. El resultado es un número real. 4.4.a. Definición y propiedades. Definición: (igual que el curso anterior para ectores del plano) Pg. 1 Propiedades Pg b. Proyección de un ector sobre otro. Proyección de un ector sobre otro u : o El ector se puede descomponer de manera única como = 1 +, con 1 en la dirección de u y en 1 u la dirección perpendicular a u. o La componente 1 1= proy u ( ). o Es importante obserar que ( ) o se llama proyección ortogonal de sobre proy u u y se denota es proporcional a u, es decir: 1 = λ u. Para calcular esta proyección usaremos la expresión siguiente: = proy u u 1 u ( ) = u ya que λ = u u pues u u u = u + = u + u = u + 0 = u = u λ u = λ u u o También hay que tener en cuenta que 1 componente de perpendicular a u. 4.4.c. Interpretación geométrica. =, por si fuera necesario calcular la El producto escalar de dos ectores es un NÚMERO. Su alor absoluto es igual al producto del módulo de uno de los ectores por el módulo de la proyección del otro sobre él. = =, y lo comprobamos caso por caso: Es decir proy proy (, ) = 0 0 <, < 90 ( ), = <, < 180, = 180 = ; ya que proy proy = = = proy ( ) = proy ( ) ; = 0; 0 proy = proy = 0 ( R ) ya que ( ) ( ) = proy = proy ; = ; ya que proy proy = = OBSERVACIÓN IMPORTANTE: Libro de texto (pg. 1 Apartado 1.1) Pg. 1 o Aquí se identifica la proyección de un ector sobre otro con el módulo de dicha proyección. Nosotros no seguiremos este criterio, sino que distinguiremos entre ambos conceptos. Ángel Luis Tapial Romo - 4 -

5 o Donde dice proy ( ) debe decir proy ( ). También, donde dice ( ) debe decir ( ) proy proy Y los razonamientos que se exponen, únicamente son álidos si. 0 (, ) 90. NOTACIÓN: o Proyección del ector sobre el : ( ) proy. Es un VECTOR. o Módulo de la proyección del ector sobre el : ( ) 4.4.d. Expresión analítica. proy. Es un NÚMERO. En una base ortonormal el producto escalar se calcula Pg. 1 u = u1i + u j + uk = ( u1, u, u ) u = ( u1, u, u ) ( 1,, ) = i j k,, = u + u + u = + + = 4.4.e. Aplicaciones Módulo de un ector, ectores unitarios Pg. 14 Ángulo de dos ectores, ectores ortogonales Pg Producto ectorial. Es una operación interna en el conjunto de los ectores libres del espacio. El resultado es un ector. Por la propia definición esta operación no puede extenderse a todos los espacios ectoriales. 4.5.a. Definición y propiedades. Definición y propiedades Pg b. Interpretación geométrica. El producto ectorial de dos ectores es un VECTOR cuyo módulo es igual al área del paralelogramo que forman dichos ectores. Pg c. Expresión analítica. En una base ortonormal el producto ectorial se calcula Pg. 159 u u i u j u k u, u, u i j k,, = + + = 1 1 (,, ) (,, ) = + + = 1 1 i j k u u u u u u u = u u u = i j + k = u u u 4.5.d. Aplicaciones Áreas de paralelogramos y triángulos Pg. 160 Cálculo de ectores perpendiculares a dos conocidos Pg. 160 Ángel Luis Tapial Romo - 5 -

6 4.6. Producto mixto. No es una operación interna ni externa del espacio ectorial. El resultado es un número real. 4.6.a. Definición y propiedades. Definición: Pg. 164 Propiedades Pg b. Interpretación geométrica. El producto mixto de tres ectores es un NÚMERO cuyo alor absoluto es igual al olumen del paralelepípedo que forman dichos ectores. Pg c. Expresión analítica. En una base ortonormal el producto mixto se calcula Pg. 165 u = u1i + u j + uk = ( u1, u, u ) = 1i + j + k = ( 1,, ) i j k,, 4.6.d. Aplicaciones. = + + = [ u ] u ( ) ( u u u ) 1 1,,,,,, u u u = u u + u = = det u,, 1 1 = = 1 = Volumen de paralelepípedos y tetraedros Pg. 166 Ángel Luis Tapial Romo - 6 -

7 Anexo I.- EJERCICIOS. Apartado: Página Ejercicios Espacio ectorial: Pg. 10 6, 7, 9, 10, 4 Vectores libres del espacio: Pg. 16,, 5 Producto escalar: Pg ,, 4ad, 5 Productos ectorial y mixto: Pg ,, 5, 6, 5 Ángel Luis Tapial Romo - 7 -

8 Anexo II.- NORMATIVA. Contenidos: Bloque. Geometría: - Vectores en el espacio tridimensional. Producto escalar, ectorial y mixto. Significado geométrico. - Ecuaciones de la recta y el plano en el espacio. Resolución de problemas de posiciones relatias. Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, distancias, áreas y olúmenes. Criterios de ealuación. Transcribir situaciones de la geometría a un lenguaje ectorial en tres dimensiones y utilizar las operaciones con ectores para resoler los problemas extraídos de ellas, dando una interpretación de las soluciones. Este criterio alora el uso del lenguaje ectorial y las técnicas apropiadas en cada caso, como instrumento para la interpretación de fenómenos diersos. Se pretende alorar especialmente la capacidad para realizar transformaciones sucesias con objetos geométricos en el espacio de tres dimensiones (objetios 1,, 5,6 y 8).. Transcribir problemas reales a un lenguaje gráfico o algebraico, utilizar conceptos, propiedades y técnicas matemáticas específicas en cada caso para resolerlos y dar una interpretación de las soluciones obtenidas ajustada al contexto. Este criterio alora la competencia para representar un problema en lenguaje algebraico o gráfico y resolerlo aplicando procedimientos adecuados e interpretar críticamente la solución obtenida. Se trata de ealuar la capacidad para elegir y emplear las herramientas adquiridas en álgebra, geometría y análisis, y combinarlas adecuadamente (objetios 1,, 5, 6 y 8). Ángel Luis Tapial Romo - 8 -

9 Indicadores: La aloración de los criterios de ealuación anteriores se realizará mediante la obseración de los siguientes indicadores asociados a cada unidad didáctica: Se indican en negrita los indicadores considerados mínimos. C.E. Indicadores 1. Aplica los conceptos asociados a: combinaciones lineales de ectores, dependencia lineal y base de un espacio ectorial.. Realiza operaciones elementales (suma y producto por un número) con ectores, gráficamente o con sus coordenadas.. Conoce el producto escalar de dos ectores, su significado geométrico, su expresión analítica y sus propiedades. 4. Conoce el producto ectorial de dos ectores, su significado geométrico, su expresión analítica y sus propiedades. 5. Conoce el producto mixto de tres ectores, su significado geométrico, su expresión analítica y sus propiedades. 1. Resuele actiidades con contextos en las que aparecen matrices.. Resoler problemas de la realidad social y natural utilizando sistemas de ecuaciones lineales.. Resoler diferentes problemas reales utilizando elementos de la geometría ectorial, afín y euclídea. 4. Resolución de problemas de la ida ordinaria para los que se requiera el estudio y representación de funciones. 5. Plantear y resoler problemas de optimización, en especial los relacionados con la geometría. U. D. 1,, 4, 5, 6, 1, 1 4. Espacio ectorial Resoler problemas Ángel Luis Tapial Romo - 9 -