Apuntes de Lógica Matemática 2. Lógica de Predicados

Transcripción

1 Apuntes de Lógica Matemática 2. Lógica de Predicados Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Abril de 2005

2 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii

3 Lección 2 Lógica de Predicados Contenido 2.1 Definiciones Predicado Universo del Discurso Predicados y Proposiciones Cuantificadores Cuantificador Universal Valor de Verdad del Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Valor de Verdad del Cuantificador Existencial Alcance de un Cuantificador Cálculo de Predicados Implicación Lógica Equivalencia Lógica Leyes de De Morgan Generalizadas Regla general Proposiciones al Alcance de un Cuantificador Predicados al Alcance de un Cuantificador Asociatividad y Distributividad Definiciones Cualquier teoría científica aspira a enunciar leyes, postulados, definiciones, teoremas, etc... con una validez más o menos universal y, en cualquier caso, bien precisada. A menudo interesa afirmar que todos los individuos de un cierto campo tienen la propiedad p o que algunos la tienen. El cálculo proposicional no es suficientemente fuerte para hacer todas las afirmaciones que se necesitan en matemáticas. Por ejemplo, afirmaciones como x = 5 ó x y no son proposiciones ya que no son necesariamente verdaderas o falsas. Sin embargo, asignando valores concretos a las variables x e y, las afirmaciones anteriores son susceptibles de ser verdaderas o falsas, es decir, se convierten en proposiciones. En castellano también ocurren situaciones similares, por ejemplo, 27

4 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Ella es alta y rubia. El vive en el campo. Ella, él y el campo se utilizan como variables, x es alta y rubia. x vive en y Predicado Es una afirmación que expresa una propiedad de un objeto o una relación entre objetos. Estas afirmaciones se hacen verdaderas o falsas cuando se reemplazan las variables (objetos) por valores específicos. Ejemplo 2.1 La afirmación p(x) : x es alta y rubia es un predicado que expresa la propiedad del objeto x de ser alta y rubia. Si sustituimos la variable x por un valor determinado, por ejemplo Laura, entonces el predicado se transforma en la proposición Laura es alta y rubia que podrá ser verdadera o falsa. El predicado q(x) : x vive en y expresa una relación entre los objetos x e y. Si sustituimos x por Pedro e y por Madrid, obtendremos la proposición Pedro vive en Madrid. Ejemplo 2.2 Los predicados se usan frecuentemente en sentencias de control en lenguajes de programación de alto nivel. Por ejemplo, la sentencia Si x > 5, entonces z := y incluye el predicado x > 5. Cuando se ejecuta la sentencia, el valor de verdad de la afirmación x > 5 se determina usando el valor que tenga la variable x en ese momento. El predicado se convierte en una proposición cuyo valor verdadero es verdad o falso. Ejemplo 2.3 El predicado p(x, y) : x + y > 5 tiene dos variables Universo del Discurso Llamaremos de esta forma al conjunto al cual pertenecen los valores que puedan tomar las variables. Lo notaremos por U y lo nombraremos por conjunto universal o, simplemente, universo. Debe contener, al menos, un elemento. Ejemplo 2.4 En una posible evaluación del predicado p(x) : x > 5, elegiríamos probablemente un conjunto numérico, por ejemplo los números enteros, como universo del discurso. No tendría sentido elegir el conjunto de los colores del arco iris ya que podríamos encontrarnos con situaciones tales como azul > Predicados y Proposiciones Si p(x 1, x 2,..., x n ) es un predicado constante con n variables y asignamos los valores c 1, c 2,..., c n a cada una de ellas, el resultado es la proposición p(c 1, c 2,..., c n ). Para transformar un predicado en proposición, cada variable del predicado debe estar ligada. 28

5 Lógica Matemática Francisco José González Gutiérrez Ejemplo 2.5 Consideremos el predicado p(x, y) : x + y = 5 en el universo de los números enteros. En principio las variables x e y pueden tomar cualquier valor entero, es decir están libres. Si asignamos a x el valor 2 y a la y el valor 3, entonces el predicado p(x, y) se transforma en la proposición p(2, 3) : = 5 que es verdad. Si hubiéramos asignado los valores 1 y 2 a las variables x e y, respectivamente, entonces resultaría la proposición p(1, 2) : = 5 que es falsa. En ambos casos, las variables x e y han pasado de estar libres a estar ligadas. Hemos ligado las variables asignándoles unos valores determinados del universo del discurso. Ejemplo 2.6 Las variables enteras x e y tienen los valores iniciales 3 y 8, respectivamente. Determinar los valores de x e y después de la ejecución de cada una de las proposiciones siguientes. (El valor de x después de la ejecución de (a) se convierte en el valor de x para la proposición del apartado (b) y así sucesivamente). (La operación Div devuelve la parte entera de un cociente; por ejemplo, 8 Div 4=2 y 9 Div 2=4). (a) Si y x = 5, entonces x = x 2; (b) Si [(2y = x) y (x Div 4 = 1)], entonces x = 4y 3; (c) Si [(x < 8) ó (y Div 2 = 2)], entonces x = 2y, de lo contrario y = 2x; (d) Si [(x < 20) y (x Div 6 = 1)], entonces y = y x 5; (e) Si [(x = 2y) ó (x Div 2 = 5)], entonces y = y + 2; (f) Si [(x Div 3 = 3) e (y Div 3 1)] entonces y = x; (g) Si yx 35, entonces x = 3y + 7; Los valores iniciales son x:=3, y:=8 (a) y x = 5 x := x 2; y x = 8 3 = 5, es decir la hipótesis es verdadera. Consecuentemente se sigue la conclusión y x := x 2 = 3 2 = 1. Los nuevos valores de x e y son, por tanto, (b) (2y = x) (x Div 4 = 1) x := 4y 3; x:=1, y:=8 2y = x es falsa y x Div 4 también (1 Div 4 = 0), luego (2y = x) (x Div 4) es falsa y, consecuentemente, no se sigue la conclusión. mismos que en el apartado anterior. (c) (x < 8) (y Div 2 = 2) x := 2y, de lo contrario y := 2x; x < 8 es verdadera y y Div 2 = 2 es falsa (8 Div 2 = 4) luego (x < 8) (y Div 2 = 2) Los valores de x e y siguen siendo los es verdad y, consecuentemente, se sigue la primera de las dos conclusiones, de aquí que los nuevos valores de x e y sean x:=16, y:=8 29

6 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas (d) (x < 20) (x Div 6 = 1) y := y x 5; x < 20 es verdad y x Div 2 = 5 es falsa, luego (x < 20) (x Div 6 = 1) es falsa y, consecuentemente, no se sigue la conclusión, es decir, los valores de x e y no varían. (e) (x = 2y) (x Div 2 = 5) y := y + 2; x = 2y es verdad y x Div 2 = 5 es falsa, luego la hipótesis, (x = 2y) (x Div 2 = 5) es verdadera y, consecuentemente, y := y + 2 = = 10. Los nuevos valores de x e y son, por tanto, x:=16, y:=10 (f) (x Div 3 = 3) (y Div 3 1) y := x; x Div 3 = 3 es falsa e y Div 3 1 es verdadera, por lo tanto la hipótesis es falsa y los valores de x e y no cambian. (g) yx 35 = x := 3y + 7; (x Div 3 = 3) (y Div 3 1) Como yx = = , la hipótesis es verdadera de aquí que se siga la conclusión y x := 3y + 7 = = 37. Los valores finales de x e y son, por tanto, x:=37, y:=10 Nota 2.1 En los lenguajes de programación, aparecen estructuras de decisión del tipo Si...Entonces. En este contexto, el condicional si p entonces q significa que se ejecutará q únicamente en caso de que p sea verdadera. Si p es falsa, el control pasa a la siguiente instrucción del programa. Ejemplo 2.7 Para cada segmento de programa contenido en los apartados siguientes, determinar el número de veces que se ejecuta la sentencia x := x + 1 (a) y := 1 (b) y := 2 (c) y := 1 Si y < 2 ó y > 0 entonces x := x + 1 de lo contrario x := x + 2 Si (y < 0 e y > 1) ó y = 3 entonces x := x + 1 de lo contrario x := x + 2 Hacer mientras y < 3 Comienzo x := x

7 Lógica Matemática Francisco José González Gutiérrez (d) y := 1 (e) y := 1 y := y + 1 Fin Hacer mientras (y > 0 e y < 3) ó y = 3 Comienzo x := x + 1 y := y + 1 Fin Hacer mientras y > 0 e y < 4 Comienzo Si y < 2 entonces y := y + 1 de lo contrario y := y + 2 x := x + 1 Fin (a) Sean p(y) : y < 2 q(y) : y > 0 Otra forma de escribir el segmento de programa propuesto sería y:=1 Si p(y) q(y) es verdad entonces x := x + 1 Si p(y) q(y) es falso entonces x := x + 2 Como el valor de y es 1, ambos predicados se convierten en proposiciones verdaderas, por lo tanto p(y) q(y) es verdad y la sentencia x := x + 1 se ejecuta una vez. (b) Sean p(y) : y < 0 q(y) : y > 1 r(y) : y = 3 Otra forma de escribir el segmento de programa propuesto sería: y := 2 Si [p(y) q(y)] r(y) es verdad entonces x := x + 1 Si [p(y) q(y)] r(y) es falso entonces x := x

8 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Pues bien, para que [p(y) q(y)] r(y) sea una proposición verdadera, bastará con que lo sea una de las dos. Como el valor de y es 2, r(y) será una proposición falsa, de aquí que tenga que ser verdad la conjunción p(y) q(y) para lo cual lo tendrán que serlo ambas, lo cual es imposible ya que cuando p(y) sea verdad, q(y) será falsa y viceversa. Consecuentemente, la sentencia x := x + 1 no se ejecuta ninguna vez. (c) Sea p(y) : y < 3. Entonces, el segmento de programa propuesto será y := 1 Hacer mientras p(y) sea verdad Comienzo x := x + 1 y := y + 1 Fin El predicado p(y) será una proposición verdadera para aquellos valores de y que sean estrictamente menores que 3 y dado que el valor inicial de y es 1 y aumenta en una unidad (y := y + 1) cada vez que se ejecutan las sentencias entre comienzo y fin, la sentencia x := x + 1 se ejecutará dos veces. (d) Sean p(y) : y > 0 q(y) : y < 3 r(y) : y = 3 Utilizando notación lógica, el segmento de programa propuesto se escribirá: y := 1 Hacer mientras [p(y) q(y)] r(y) sea verdad Comienzo x := x + 1 y := y + 1 Fin Pues bien, los valores de y que hacen del predicado [p(y) q(y)] r(y) una proposición verdadera serán aquellos que conviertan en proposiciones verdaderas, al menos, a uno de los dos predicados, [p(y) q(y)] ó r(x). Los valores de la variable y que hacen de p(y) q(y) una proposición verdadera son aquellos que hacen proposiciones verdaderas a los dos predicados p(y) y q(y), es decir y > 0 e y < 3, o lo que es igual y = 1 ó y = 2. Para que el predicado r(y) sea una proposición verdadera, la variable y ha de valer 3. Consecuentemente, [p(y) q(y)] r(y) es verdad para y = 1 y = 2 y = 3 Dado que el valor inicial de y es 1 y aumenta en una unidad cada vez que se ejecuta comienzo...fin, la sentencia x := x + 1 se ejecutará tres veces. (e) Sean p(y) : y > 0 q(y) : y < 4 r(y) : y < 2 Podemos escribir el segmento de programa en la forma: 32

9 Lógica Matemática Francisco José González Gutiérrez y := 1 Hacer mientras p(y) q(y) sea verdad Comienzo Si r(y) es verdad entonces y := y + 1 Si r(y) es verdad entonces y := y + 2 x := x + 1 Fin El primer y el segundo condicional entre comienzo y fin se ejecutarán para los valores de la variable y que hagan de los predicados p(y) q(y) r(y) y p(y) q(y) r(y), respectivamente, proposiciones verdaderas. Pues bien, es decir, y o sea, p(y) q(y) r(y) : (y > 0) (y < 4) (y < 2) p(y) q(y) r(y) : y = 1 p(y) q(y) r(y) : (y > 0) (y < 4) (y 2) p(y) q(y) r(y) : (y = 2) (y = 3) Como el valor inicial es y = 1, se ejecutará el primer condicional y el valor de y será 2. La segunda vez se ejecutará el segundo condicional, la sentencia x := x + 1 y la variable y toma el valor 4 que ya no verifica la condición inicial, con lo que el programa termina. Consecuentemente, la sentencia x := x + 1 se ejecuta una vez. Ejemplo 2.8 Cuántas veces se imprime el valor de x en el siguiente programa? x := 10 y := 1 Hacer mientras y 7 Comienzo Fin z := 1 Hacer mientras z y + 3 Comienzo Si [(x > 8) ó ((y > 5) y (z < 10))] entonces imprimir x z := z + 1 Fin x := x 1 y := y + 1 Sean p(y) : y 7 33

10 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas q(z, y) : z y + 3 r(x) : x > 8 s(y) : y > 5 t(z) : z < 10 los predicados cuyas variables son x, y, z perteneciendo las tres al universo de los enteros positivos. Utilizando estos predicados, el programa podrá escribirse en la forma: x := 10 y := 1 Hacer mientras p(y) sea verdad Comienzo Fin z := 1 Hacer mientras q(z, y) sea verdad Comienzo Si [r(x) (s(y) t(z))] es verdad entonces imprimir x z := z + 1 Fin x := x 1 y := y + 1 La variable x se imprimirá para los valores de x, y, z que hagan que el predicado [p(y) q(z, y)] [r(x) (s(y) t(z))] sea una proposición verdadera. Aplicando la distributividad de respecto de, obtendremos [p(y) q(z, y) r(x)] [p(y) q(z, y) s(y) t(z)] que será una proposición verdadera para los valores de las variables que hagan verdadera, al menos, a una de las dos. Pues bien, p(y) q(z, y) r(x) será verdad únicamente para aquellos valores de x, y, z que hagan de los tres predicados, tres proposiciones verdaderas. Si observamos los valores iniciales de las tres variables, p(y) será verdad siete veces y por cada una de ellas, q(z, y) será verdad y + 3 veces. Sin embargo, la variable x sólo puede tomar dos valores. En efecto, como su valor inicial es 10, tendremos x := 10 r(x) : x > 8 de donde resulta que Por lo tanto, r(x) : (x = 9) (x = 10) p(y) q(z, y) r(x) [p(y) q(z, y) (x = 10)] [p(y) q(z, y) (x = 9)] Ahora bien, para x = 10 y para x = 9, la variable y toma los valores 1 y 2, respectivamente, luego p(y) q(z, y) r(x) [p(1) q(z, 1) (x = 10)] [p(2) q(z, 2) (x = 9)] Como p(1) : 1 7 y p(2) : 2 7 son verdad siempre, las dos proposiciones entre corchetes serán verdad cuando lo sean q(z, 1) y q(z, 2), respectivamente. Resumiendo p(y) q(z, y) r(x) q(z, 1) q(z, 2) (z 4) (z 5) 34

11 Lógica Matemática Francisco José González Gutiérrez Por otra parte, p(y) q(z, y) s(y) t(z) al igual que la anterior, será verdad únicamente para los valores de las variables que hagan de los cuatro predicados, cuatro proposiciones verdaderas. Ahora bien, observemos lo siguiente: luego, p(y) s(y) (y 7) (y > 5) (y = 6) (y = 7) p(y) q(z, y) s(y) t(z) [(y = 6) q(z, y) t(z)] [(y = 7) q(z, y) t(z)] [q(z, 6) t(z)] [q(z, 7) t(z)] [q(z, 6) (z < 10)] [q(z, 7) (z < 10)] [(z 9) (z < 10)] [(z 10) (z < 10)] (z 9) (z 9) En definitiva, [p(y) q(z, y) r(x)] [p(y) q(z, y) s(y) t(z)] = (z 4) (z 5) (z 9) (z 9) Luego x se imprime un total de veintisiete veces. 2.2 Cuantificadores Otra forma de ligar las variables individuales es cuantificarlas Cuantificador Universal Si p(x) es un predicado cuya variable es x, entonces la afirmación para todo x, p(x) es una proposición en la cual se dice que la variable x está universalmente cuantificada. La frase para todo se simboliza con, símbolo que recibe el nombre de cuantificador universal. Así pues, para todo x, p(x) se escribe x, p(x). El símbolo x puede interpretarse también como para cada x, para cualquier x y para x arbitrario. Ejemplo 2.9 En el universo del discurso de los números enteros, la proposición todo número es estrictamente menor que el siguiente puede escribirse en la forma x, x < x + 1. Ejemplo 2.10 Sean p(x, y, z) : xy = z, q(x, y) : x = y y r(x, y) : x > y y sea el universo del discurso U, el conjunto de los números enteros. Transcribir las siguientes proposiciones a notación lógica. (a) Si y = 1, entonces xy = x para cualquier x. (b) Si xy 0, entonces x 0 e y 0. (c) Si xy = 0, entonces x = 0 ó y = 0. (d) 3x = 6 si, y sólo si x = 2. (e) No existe solución para x 2 = y, a menos que y 0. (f) x < z es una condición necesaria para que x < y e y < z. 35

12 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas (g) x y e y x es una condición suficiente para que y = x. (h) Si x < y y z < 0, entonces xz > yz. (i) No es cierto que x = y y x < y. (j) Si x < y, entonces para algún z tal que z < 0, xz > yz. (k) Existe un x tal que para cada y y z, es xy = xz. (a) Si y = 1, entonces xy = x para cualquier x. y [q(y, 1) x, p(x, y, x)] (b) Si xy 0, entonces x 0 e y 0. x, y [ p(x, y, 0) q(x, 0) q(0, y)] (c) Si xy = 0, entonces x = 0 ó y = 0. x, y [p(x, y, 0) q(x, 0) q(0, y)] (d) 3x = 6 si, y sólo si x = 2. x [p(3, x, 6) q(x, 2)] (e) No existe solución para x 2 = y, a menos que y 0. y [r(0, y) x : p(x, x, y)] (f) x < z es una condición necesaria para que x < y e y < z. x, y, z [r(y, x) r(z, y) r(z, x)] (g) x y e y x es una condición suficiente para que y = x. x, y [ r(x, y) r(y, x) q(x, y)] (h) Si x < y y z < 0, entonces xz > yz. x, y, z [r(y, x) r(0, z) u, v (p(x, z, u) p(y, z, v)) r(u, v)] (i) No es cierto que x = y y x < y. x, y [ q(x, y) r(y, x)] (j) Si x < y, entonces para algún z tal que z < 0, xz > yz. x, y [r(y, x) z : (r(0, z) u, v (p(x, z, u) p(y, z, v) r(u, v)))] (k) Existe un x tal que para cada y y z, es xy = xz. x : [ y, z, u, v (p(x, y, u) p(x, z, v) q(u, v))] 36

13 Lógica Matemática Francisco José González Gutiérrez Valor de Verdad del Cuantificador Universal Sea p(x) un predicado cuya variable x toma valores en un universo del discurso U. x, p(x) es verdad si el predicado p(x) es una proposición verdadera para todos los valores de x en el universo U. x, p(x) es falsa si hay, al menos, un valor de x en U para el cual el predicado p(x) sea una proposición falsa. Ejemplo 2.11 afirmaciones: Estudiar en el universo de los números enteros, el valor de verdad de las siguientes (a) x, x < x + 1 (b) x, x = 5 (a) x, x < x + 1 El predicado p(x) : x < x + 1 es una proposición verdadera si sustituimos x por cualquier número entero, luego la proposición cuantificada x, x < x + 1 es verdad. (b) x, x = 5 Esta proposición dice que todos los números enteros son iguales a 5. Pues bien, el predicado p(x) : x = 5 es una proposición falsa, por ejemplo, para x = 1, luego la proposición cuantificada x, x = 5 es falsa Cuantificador Existencial Si p(x) es un predicado cuya variable es x, entonces la afirmación existe un x tal que p(x) es una proposición en la que diremos que la variable x está existencialmente cuantificada. La frase existe [al menos] se simboliza con, símbolo que recibe el nombre de cuantificador existencial. Por tanto, existe un x, tal que p(x) se escribe x : p(x) y puede leerse también como para algún x, p(x) o existe, al menos, un x, tal que p(x) Valor de Verdad del Cuantificador Existencial Sea p(x) un predicado de variable x que toma valores en un universo del discurso U. x : p(x) es verdadera, si el predicado p(x) es una proposición verdadera para, al menos, uno de los valores de x en U. x : p(x) es falsa, si el predicado p(x) es una proposición falsa para todos los valores de x en U. Nota 2.2 Un cuadro resumen de los valores de verdad de los cuantificadores podría ser el siguiente: Verdad Falso x, p(x) p(x) es verdad para cada x p(x) es falsa para, al menos, un x x : p(x) p(x) es verdad para, al menos, un x p(x) es falsa para todos los valores de x 37

14 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Ejemplo 2.12 siguientes: Estudiar en el conjunto de los números enteros, el valor de verdad de las afirmaciones (a) x : x < x + 1 (b) x : x = 5 (c) x : x = x + 1 (a) x : x < x + 1 La proposición es existe, al menos, un entero que es menor que el siguiente. El predicado p(x) : x < x + 1 es una proposición verdadera para cualquier entero x, por tanto, la proposición cuantificada es verdad. (b) x : x = 5 La traducción de la proposición al lenguaje ordinario es existe, al menos, un entero igual a 5. El predicado p(x) : x = 5 es una proposición verdadera cuando x toma el valor 5, luego la proposición cuantificada es verdad. (c) x : x = x + 1 La proposición es existe, al menos, un número entero que es igual al siguiente El predicado p(x) : x = x + 1 es una proposición falsa para cualquier número entero x, por tanto la proposición cuantificada es falsa Alcance de un Cuantificador En una expresión x [p(x)...] o x : [p(x)...], la porción de la expresión a la que se aplica x ó x se llama alcance del cuantificador y se indicará entre corchetes a menos que sea evidente. Ejemplo 2.13 En cada una de las expresiones simbólicas siguientes, describir el alcance de cada cuantificador y decir que variables están ligadas y cuáles están libres. (a) x [p(x) y : (t(x, y) r(x))] (b) x : [p(x) y : (t(x, y) r(z))] (c) x : [p(x) y : (t(x, y) r(y))] (a) El alcance de es toda la fórmula. El alcance de es la fórmula (t(x, y) r(x)). La variable x está ligada por el cuantificador y la y por el, luego no hay variables libres. (b) El alcance de es el resto de la fórmula y el alcance de es t(x, y) r(z). La variable z está libre, pero x e y están ligadas por el cuantificador. (c) Los alcances son los mismos que en (b). La y en r(y) está libre, pero en t(x, y) está ligada. Ejemplo 2.14 Consideremos el universo de los números enteros y sea p(x, y, z) el predicado x y = z. Transcribir las siguientes afirmaciones a notación lógica. 38

15 Lógica Matemática Francisco José González Gutiérrez (a) Para cada x e y, existe algún z tal que x y = z. (b) Para cada x e y, existe algún z tal que x z = y. (c) Existe un x tal que para todo y, y x = y. (d) Cuando el 0 se resta de cualquier entero, el resultado es el entero original. (e) 3 restado de 5 da 2. (a) Para cada x e y, existe algún z tal que x y = z. x [ y( z : p(x, y, z))] (b) Para cada x e y, existe algún z tal que x z = y. x [ y( z : p(x, z, y))] (c) Existe un x tal que para todo y, y x = y. x : [ y, p(y, x, y)] (d) Cuando el 0 se resta de cualquier entero, el resultado es el entero original. x, p(x, 0, x) (e) 3 restado de 5 da 2. p(5, 3, 2) Ejemplo 2.15 respectivamente. Sean p(x, y, z), q(x, y, z) y r(x, y) los predicados x + y = z, x y = z y x < y, Expresar en el universo de los números enteros no negativos las afirmaciones siguientes: (a) Para cada x e y, existe un z tal que x + y = z. (b) Ningún x es menor que cero. (c) Para todo x es x + 0 = x. (d) Para todo x, x y = y para todo y. (e) Existe un x tal que x y = y para cada y. (a) x [ y( z : p(x, y, z))] (b) x [ r(x, 0)] o bien, x : r(x, 0) (c) x, p(x, 0, x) (d) x [ y, q(x, y, y)] (e) x : [ y, q(x, y, y)] 39

16 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Ejemplo 2.16 Determinar cuáles de las siguientes proposiciones cuantificadas son verdad si el universo es el conjunto de los números enteros. (a) x [ y : (x y = 0)] (b) y : [ x (x y = 1)] (c) y : [ x (x y = x)] (a) x [ y : (x y = 0)] Dado cualquier número entero, existe otro tal que el producto de ambos es cero La proposición y : x y = 0 es verdad para cualquier entero x ya que bastaría tomar y = 0. Por lo tanto, es una proposición verdadera. (b) y : [ x (x y = 1)] x [ y : (x y = 0)] Puede encontrarse un número entero tal que su producto por cualquier entero sea 1 La proposición x, x y = 1 es falsa ya que bastaría tomar x 1 para que x y 1 cualquiera que sea el y que se elija. Por lo tanto, la proposición y : [ x (x y = 1)] es falsa. (c) y : [ x (x y = x)] Existe, al menos, un número entero tal que al multiplicarlo por cualquier entero lo deja igual. La proposición x, x y = x será verdadera o falsa dependiendo del y que elijamos. En particular, si tomamos y = 1, la proposición x, x y = x es verdad para todos los enteros. Consecuentemente, es una proposición verdadera. y : [ x (x y = x)] Nota 2.3 Una afirmación con variables cuantificadas se puede expresar mediante las proposiciones que se obtienen asignando valores a las variables de los predicados que ocurren en la afirmación. Si el universo del discurso es finito esta relación puede hacerse explícita. Por ejemplo, supongamos que el universo consiste en los enteros 1,2,3 y 4, entonces la proposición: x, p(x) equivale a la proposición y la proposición es equivalente a la p(1) p(2) p(3) p(4) x : p(x) p(1) p(2) p(3) p(4) 40

17 Lógica Matemática Francisco José González Gutiérrez Si el universo del discurso es infinito una proposición con cuantificadores no puede representarse siempre por un número finito de conjunciones o disyunciones de proposiciones sin cuantificadores. Sin embargo, podemos extender el concepto y a veces es conveniente expresar una afirmación universal o existencialmente cuantificada como una conjunción o disyunción infinita, respectivamente. Por ejemplo, consideremos como universo del discurso el conjunto de los números enteros no negativos y sea p(x) el predicado x > 4. Entonces, la proposición, puede interpretarse como la conjunción infinita x, p(x) p(0) p(1) p(2) p(3) p(4) la cual es falsa ya que, por ejemplo, p(0) es falsa. Asimismo, la proposición puede interpretarse como la disyunción infinita x : p(x) p(0) p(1) p(2) p(3) p(4) la cual es verdad, ya que al menos uno de los operandos, por ejemplo p(5), es verdad. Ejemplo 2.17 Sea el universo del discurso U = {0, 1}. Encontrar conjunciones y disyunciones finitas de proposiciones que no usen cuantificadores y que sean equivalentes a las siguientes: (a) x, p(0, x) (b) x [ y, p(x, y)] (c) x [ y : p(x, y)] (d) x : [ y, p(x, y)] (e) y [ x : p(x, y)] (a) x, p(0, x) La forma equivalente pedida es p(0, 0) p(0, 1) (b) La proposición cuantificada x [ y (p(x, y))] puede expandirse en la forma: [ y, p(0, y)] [ y, p(1, y)] la cual puede interpretarse como [p(0, 0) p(0, 1)] [p(1, 0) p(1, 1)] que por la asociatividad de equivale a p(0, 0) p(0, 1) p(1, 0) p(1, 1) (c) Expandimos la proposición x [ y : p(x, y)] a [ y : p(0, y)] [ y : p(1, y)] 41

18 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas la cual equivale a [p(0, 0) p(0, 1)[ [p(1, 0) p(1, 1)] y aplicando la distributividad de respecto de, [(p(0, 0) p(0, 1)) p(1, 0)] [(p(0, 0) p(0, 1)) p(1, 1)] es decir, (p(0, 0) p(1, 0)) (p(0, 1) p(1, 0)) (p(0, 0) p(1, 1)) (p(0, 1) p(1, 1)) (d) x : [ y, p(x, y)] se expande en la forma: [ y, p(0, y)] [ y, p(1, y)] la cual equivale a la proposición [p(0, 0) p(0, 1)] [p(1, 0) p(1, 1)] y por la distributividad de respecto de, [(p(0, 0) p(0, 1)) p(1, 0)] [(p(0, 0) p(0, 1)) p(1, 1)] es decir, (p(0, 0) p(0, 1)) (p(0, 1) p(1, 0)) (p(0, 0) p(1, 1)) (p(0, 1) p(1, 1)) (e) La proposición con cuantificadores y [ x : p(x, y)] puede expandirse a: [ x : p(x, 0)] [ x : p(x, 1)] que es equivalente a la proposición, p(0, 0) p(1, 0) p(0, 1) p(1, 1) En el ejemplo siguiente veremos como el orden en que se ligan las variables es vital y puede afectar profundamente el significado de una afirmación. Ejemplo 2.18 siguientes: Si el universo del discurso es el conjunto de las personas casadas, evaluar las afirmaciones (a) x [ y : (x está casada con y)] (b) y : [ x (x está casada con y)] Si el universo es el conjunto de los números enteros, evaluar: (c) x [ y : (x + y = 0)] (d) y : [ x (x + y = 0)] Los cuantificadores se evalúan de izquierda a derecha. 42

19 Lógica Matemática Francisco José González Gutiérrez (a) x [ y : (x está casada con y)] La transcripción de la proposición es para cada persona que elijamos en el universo del discurso, existe otra que está casada con ella. Pues bien, dada una persona cualquiera x, la proposición y : x está casada con y es verdadera, por lo tanto, es verdad. x [ y : (x está casada con y)] (b) y : [ x (x está casada con y)] La transcripción es Existe una persona y del universo del discurso tal que todas las demás están casadas con ella. Pues bien, la proposición x(x está casada con y) es falsa para cualquier y que tomemos en el universo, por tanto, es una proposición falsa. (c) x [ y : (x + y = 0)] y : [ x (x está casada con y)] Dado cualquier número entero, existe otro tal que la suma de ambos es cero. Pues bien, dado cualquier número entero x, la proposición y : x + y = 0 es verdad ya que siempre puede encontrarse otro entero y que cumpla la ecuación x+y = 0 (bastaría tomar y = x). Por lo tanto la proposición es verdad. (d) y : [ x (x + y = 0)] x [ y : (x + y = 0)] Existe, al menos, un número entero y tal que su suma con cualquier otro número entero es cero. La proposición x, x + y = 0 es falsa para todos los y del universo del discurso. En efecto, bastaría tomar un x 0 y x y para que x + y 0. Por lo tanto, y : [ x (x + y = 0)] es una proposición falsa. Obsérvese que las dos parejas de proposiciones se diferencian únicamente en el orden de los cuantificadores universal y existencial y, sin embargo, sus valores de verdad son distintos. Nota 2.4 Cuando se asignan valores a las variables de un predicado para transformarla en una proposición, los valores de verdad de ésta pueden cambiar dependiendo del universo del discurso que se elija. Por ejemplo, la proposición x, x es negativo será verdad si el universo del discurso son los números enteros negativos y falsa si son los enteros positivos. En el ejemplo siguiente buscamos universos que hagan que determinadas proposiciones sean verdaderas. Ejemplo 2.19 Especificar un universo del discurso para el cual las proposiciones siguientes sean verdad. Elegir el universo como un conjunto de números enteros tan grande como sea posible. 43

20 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas (a) x, x > 0 (b) x, x = 3 (c) x [ y : (x + y = 248)] (d) y : [ (x, x + y < 0)] (a) La proposición x, x > 0 significa que x sea mayor que cero, cualquiera que sea x, luego U es el conjunto de los enteros positivos. (b) x, x = 3, significa que cualquiera que sea x, valga 3, luego U es el subconjunto de los enteros formado únicamente por el 3. (c) x [ y (: x + y = 248)]. El universo del discurso que hace que esta proposición sea verdad es el conjunto de los enteros, ya que dado cualquier entero x, bastaría tomar y = 248 x para que la proposición y : x + y = 248 fuese verdad. (d) y : [ x (x + y < 0)]. El universo que hace verdadera esta proposición es el de los enteros negativos, ya que fijando un y en él la proposición x(x + y < 0) es verdad. 2.3 Cálculo de Predicados La versión de la lógica que trata con proposiciones cuantificadas se llama lógica de predicados. La introducción de cuantificadores no sólo amplía la fuerza expresiva de las proposiciones que se pueden construir, sino que también permite elaborar principios lógicos que explican el razonamiento seguido en casi todas las demostraciones matemáticas. Una transcripción cuidadosa de los desarrollos matemáticos incluyen, a menudo, cuantificadores, predicados y operadores lógicos. Ejemplo 2.20 Consideremos como universo del discurso el conjunto de los números enteros y sean p(x) : x es no negativo. q(x) : x es par. r(x) : x es impar. s(x) : x es primo. Expresar en notación lógica las siguientes afirmaciones: (a) Existe un entero par. (b) Todo número entero es par o impar. (c) Todos los números primos son no negativos. (d) El único número primo par es el 2. (e) No todos los enteros son pares. (f) No todos los primos son impares. (g) Si un entero no es impar, entonces es par. 44

21 Lógica Matemática Francisco José González Gutiérrez (a) Existe un entero par. (b) Todo número entero es par o impar. x : q(x) x [q(x) r(x)] (c) Todos los números primos son no negativos. x [s(x) p(x)] (d) El único número primo par es el 2. x [s(x) q(x) x = 2] (e) No todos los enteros son pares. (f) No todos los primos son impares. [ x, q(x)] x, [s(x) r(x)] (g) Si un entero no es impar, entonces es par. x [ r(x) q(x)] Obsérvese que en el ejemplo anterior, los cuantificadores están al comienzo de cada afirmación. Sin embargo, no siempre es así, los cuantificadores pueden ir en cualquier parte y su situación es importante. Ejemplo 2.21 Consideremos en el universo de los números enteros el predicado p(x, y, z) : xy = z. Transcribir a notación lógica las afirmaciones siguientes: (a) Si x = 0, entonces xy = x para todos los valores de y. (b) Si xy = x para cada y, entonces x = 0. (c) Si xy x para algún x, entonces x 0. Sea p(x, y, z) : xy = z, entonces (a) Si x = 0, entonces xy = x para todos los valores de y. x [x = 0 y, p(x, y, x)] (b) Si xy = x para cada y, entonces x = 0. x [ y (p(x, y, x) x = 0)] (c) Si xy x para algún x, entonces x 0. x : [ p(x, y, x) x 0] 45

22 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas La proposición (b) afirma que si xy = x para todos los valores de y, entonces x vale cero. Si en su lugar escribimos x [ y (p(x, y, x) x = 0)] la transcripción no es correcta, ya que en tal caso estaríamos afirmando que si xy = x, entonces x = 0 para cada x y para cada y, lo cual es falso ya que, por ejemplo, tomando x = y = 1, tendremos que xy = x y, sin embargo, x no es cero. Por tanto, el lugar en el que se coloca el cuantificador es fundamental. Los ejemplos anteriores ilustran la gran variedad de formas en las que pueden hacerse afirmaciones que contengan predicados, cuantificadores y operadores lógicos. Nota 2.5 El valor de verdad de una proposición compuesta depende, generalmente, del conjunto universal donde las variables ligadas están cuantificadas. Sin embargo, existen ejemplos importantes donde el valor de verdad no depende ni del universo del discurso ni de los valores que las variables tomen en el mismo Implicación Lógica Sean A 1 y A 2 dos afirmaciones que contienen predicados. Diremos que A 1 implica lógicamente A 2 si para cualquier universo del discurso que elijamos y para cualquier valor de las variables en el mismo, A 2 es verdad cuando A 1 lo sea Equivalencia Lógica Sean A 1 y A 2 dos afirmaciones que contienen predicados. Diremos que A 1 equivale lógicamente a A 2 si para cualquier universo del discurso que elijamos y para cualquier valor de las variables en el mismo, A 1 y A 2 tienen los mismos valores de verdad. Obsérvese que las definiciones son análogas a las dadas para la implicación y equivalencia lógica de proposiciones. Ahora se exige que las condiciones se verifiquen para cualquier universo del discurso y cualquier valor de las variables en el mismo Leyes de De Morgan Generalizadas Constituyen una clase importante de equivalencias lógicas y son las siguientes: 1. x, p(x) x : p(x) 2. x : p(x) x, p(x) 3. x, p(x) x : p(x) 4. x : p(x) x, p(x) Demostración Sea U un universo del discurso arbitrario, p(x) un predicado cualquiera, y x cualquiera de U. Veamos que en todos los casos las dos proposiciones tienen los mismos valores de verdad. 1. x, p(x) x : p(x) Si x, p(x) es verdad, entonces x, p(x) es falso, luego existe, al menos, un x en U para el cual p(x) es falso, o lo que es igual para el que p(x) es verdad, es decir x : p(x) es verdad. 46

23 Lógica Matemática Francisco José González Gutiérrez Si x, p(x) es falso, entonces x, p(x) es verdad, luego p(x) es verdad para cualquier valor de x y p(x) falso. Por lo tanto, x : p(x) es falso. 2. x : p(x) x, p(x) Si x : p(x) es verdad, entonces x : p(x) es falso, luego p(x) es falso para todos los valores de x, es decir p(x) es verdad para cualquier x de U y, consecuentemente, x, p(x) es verdad. Si x : p(x) es falso, entonces x : p(x) es verdad, luego p(x) es verdad para algún valor de x, de aquí que exista un x para el cual p(x) es falso y, por lo tanto, x, p(x) es falso. 3. x, p(x) x : p(x) Si x, p(x) es verdad, entonces p(x) es verdad para cualquier x o lo que es igual p(x) es falso para todo x de U, es decir x : p(x) es falso y, por tanto, x : p(x) es verdad. Si x, p(x) es falso, entonces hay, al menos, un valor de x para el cual p(x) es falso o para el que p(x) es verdad, es decir x : p(x) es verdad y, consecuentemente, x : p(x) es falso. 4. x : p(x) x, p(x) Si x : p(x) es verdad, entonces p(x) es verdad para algún valor de x en U, luego existe un x en U para el cual p(x) es falso, es decir, x, p(x) es falso y, consecuentemente, x, p(x) es verdad. Si x : p(x) es falso, entonces p(x) es falsa para todos los valores de x en U, es decir p(x) es verdad, luego x, p(x) es verdad y, por lo tanto, x p(x) es falso. Tenemos, pues, que cada una de las proposiciones anteriores son verdaderas independientemente del conjunto universal que elijamos y las variables de predicado que utilicemos, por lo tanto de acuerdo con la definición, son lógicamente equivalentes. Nota 2.6 Obsérvese que según lo que acabamos de probar, la equivalencia 1. es cierta para cualquier predicado luego será cierto para p(x). Entonces, y si sustituimos p(x) por p(x), resulta x, p(x) x : p(x) x, p(x) x : p(x) que es la cuarta ley de De Morgan, de la cual, negando ambos miembros, y en virtud de la equivalencia lógica entre una proposición y su contrarrecíproca, obtenemos, es decir, x, p(x) x : p(x) x, p(x) x : p(x) que es la segunda ley de De Morgan. Si ahora se la aplicamos a p(x), obtendremos x, p(x) x : p(x) o sea, que es la tercera ley de De Morgan. x, p(x) x : p(x) Nota 2.7 Las leyes de De Morgan generalizadas pueden utilizarse repetidamente para negar cualquier proposición con cuantificadores. Por ejemplo, podemos utilizarlas para negar la proposición w : [ x ( y : ( z : p(w, x, y, z)))] 47

24 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas En efecto, w : [ x ( y : ( z : p(w, x, y, z)))] w [ x( y : ( z : p(w, x, y, z)))] {Segunda ley} w [ x : ( y : ( z : p(w, x, y, z)] {Primera ley} w [ x : ( y( z : p(w, x, y, z)))] {Segunda ley} w [ x : ( y( z, p(w, x, y, z)))] {Segunda ley} Regla general La negación de una proposición con cuantif icadores es lógicamente equivalente a la proposición que se obtiene sustituyendo cada por, cada por y reemplazando el predicado por su negación. Ejemplo 2.22 Construir la negación de la proposición x [ y ( z : x < z < y)] De acuerdo con la regla general, la negación de la proposición anterior es: x : [ y : ( z, (x < z < y))] si ahora aplicamos las leyes de De Morgan del cálculo proposicional a la proposición (x < z < y), tendremos (x < z < y) [(x < z) (z < y)] (x < z) (z < y) x z z y Por tanto, la negación de x [ y( z : (x < z < y))] es lógicamente equivalente a x : [ y : ( z, x z z y)] Negar la afirmación todas las empresas fabrican algún componente de todos los orde- Ejemplo 2.23 nadores. Sean los predicados p(x, y): la empresa x produce el componente y y q(y, z): y es un componente del ordenador z La afirmación propuesta escrita en lenguaje simbólico sería x [ z( y : (p(x, y) p(y, z)))] y su negación, de acuerdo con la regla general será: x : [ z : ( y : (p(x, y) q(y, z)))] 48

25 Lógica Matemática Francisco José González Gutiérrez la cual, a su vez, es lógicamente equivalente a x : [ z : ( y : p(x, y) q(y, z))] que podemos escribir en forma de condicional sin más que utilizar la implicación lógica conocida como implicación, x : [ z : ( y : p(x, y) q(y, z))] cuya interpretación es pueden encontrarse una empresa y un ordenador tales que si un componente cualquiera está fabricado por la empresa, entonces no pertenece al ordenador. Obsérvese que también podíamos haber escrito cuya interpretación es x : [ z : ( y : q(y, z) p(x, y))] pueden encontrarse una empresa y un ordenador tales que si un componente cualquiera pertenece al ordenador, entonces no está fabricado por la empresa. Obsérvese también que otra forma equivalente de la negación es cuya interpretación es x : [ z : ( y : p(x, y) q(y, z))] existen una empresa y un ordenador tales que la empresa no fabrica ningún componente del ordenador o también existen una empresa y un ordenador tales que el ordenador no tiene ningún componente fabricado por la empresa. Ahora estudiaremos de que forma afectan a los cuantificadores lo conectores lógicos conjunción y disyunción Proposiciones al Alcance de un Cuantificador Si una proposición está dentro del alcance de un cuantificador mediante una conjunción o una disyunción, entonces puede situarse fuera del alcance del mismo. (a) x [p(x) q] [ x, p(x)] q (b) x : [p(x) q] [ x : p(x)] q (c) x : [p(x) q] [ x : p(x)] q (d) x [p(x) q] [ x, p(x)] q Demostración Supondremos que U es un universo del discurso arbitrario, p(x) cualquier predicado, x un elemento cualquiera de U y q una proposición cualquiera. 49

26 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas (a) x [p(x) q] [ x, p(x)] q. Veamos que ambas proposiciones tienen los mismos valores de verdad. Si x [p(x) q] es verdad, entonces p(x) q es verdad para todos los valores de x en U luego una de las dos proposiciones ha ser verdad para todo x. Si p(x) es verdad para todos los valores de x en U, entonces x, p(x) es verdad y, consecuentemente [ x, p(x)] q es verdad. Si q es verdad, entonces [ x, p(x)] q es verdad. luego en ambos casos, [ x, p(x)] q es verdad. Si x [p(x) q] es falso, entonces existe al menos un x para el cual p(x) q es falso de aquí que p(x) sea falso para ese x y q también, luego [ x, p(x)] es falso, q es falso y, consecuentemente, [ x, p(x)] q es falso. (b) x : [p(x) q] [ x : p(x)] q. Veamos si ambas proposiciones tienen los mismos valores de verdad. Si x : p(x) q es verdad, entonces existe un x, para el cual p(x) q es verdad, luego una de las dos proposiciones ha de ser verdad. Si p(x) es verdad para algún x, entonces x : p(x) es verdad y, consecuentemente, [ x : p(x)] q también lo es. Si q es verdad, entonces [ x : p(x)] q también lo es. es decir, en cualquier caso [ x : p(x)] q es verdad. Si x : [p(x) q] es falso, entonces p(x) q es falso para todos los valores de x, luego p(x) es falso para cualquier x de U y q también, es decir x : p(x) es falso y q falso, luego [ x : p(x)] q es falso. (c) x : [p(x) q] [ x : p(x)] q. Si x : [p(x) q] es verdad, entonces p(x) q es verdad para algún valor de la variable x, luego p(x) y q han de ser verdad para este x de aquí que x : p(x) sea verdad y q también y, consecuentemente, [ x : p(x)] q es verdad. Si [ x : p(x) q] es falso, entonces p(x) q es falso para todos los valores de la variable x, luego p(x) y q han de ser, ambos, falsos para todos esos valores, de aquí que x : p(x) sea falso y q también. Consecuentemente, [ x : p(x)] q es falso. También podemos probarlo de otra forma. En efecto, en el apartado (a) hemos visto que x [p(x) q] [ x, p(x)] q de aquí que sustituyendo los predicados por sus negaciones, tengamos y negando ambos miembros, x [ p(x) q] [ x, p(x)] q x [ p(x) q] [( x, (p(x)) q] y aplicando las leyes de De Morgan en el segundo miembro y por las leyes de De Morgan generalizadas, x [ p(x) q] [ x, p(x)] q x : [ (p(x) q] [ x : p(x)] q es decir, y, consecuentemente, x : [ p(x) q] [ x : p(x)] q x : [p(x) q] [ x : p(x)] q 50

27 Lógica Matemática Francisco José González Gutiérrez (d) x [p(x) q] [ x, p(x)] q. Si x(p(x) q) es verdad, entonces p(x) q es verdad para todos los valores de x en U de aquí que p(x) y q sean, ambos, verdad para cualquier x. Por lo tanto, x, p(x) es verdad y q también y, consecuentemente, [ x, p(x)] q es verdad. Si x [p(x) q] es falso, entonces hay algún valor de la variable x para el cual p(x) q es falso, de aquí que una de las dos proposiciones sea falsa. Si p(x) es falsa para algún valor de la variable x, entonces x, p(x) es falsa y, consecuentemente, [ x, p(x)] q será falsa, independientemente del valor de verdad de q. Si q es falsa, entonces [ x, p(x)] q es falsa. Al igual que el apartado anterior, lo probaremos de otra forma. En efecto, en el apartado (b) vimos que x : [p(x) q] [ x : p(x)] q luego si sustituimos cada proposición por su negación, tendremos y negando ambos miembros, es decir, x : [ p(x) q] [ x : p(x)] q x : [ p(x) q] [( x : p(x)) q] x : [ p(x) q] [ x : p(x)] q de aquí que, por las Leyes de De Morgan generalizadas, tengamos x, [ p(x) q] [ x, p(x)] q o sea, y, consecuentemente, x [ p(x) q] [ x, p(x)] q x [p(x) q] [ x, p(x)] q Ejemplo 2.24 Probar las siguientes equivalencias: (a) x [p q(x)] p [ x, q(x)] (b) [ x, p(x)] q x : [p(x) q] (a) x [p q(x)] p [ x, q(x)] En efecto, x [p q(x)] x [ p q(x)] {Implicación} x [q(x) p] {Conmutatividad de } [ x, q(x)] p {2.3.5 (a)} p [ x, q(x)] {Conmutatividad de } p [ x, q(x)] {Implicación} 51

28 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas (b) [ x, p(x) q] x : [p(x) q] En efecto, [ x, p(x)] q [ x, p(x)] q {Implicación} [ x : p(x)] q {Leyes de De Morgan} x : [ p(x) q] {2.3.5 (a)} x : [p(x) q] {Implicación} Predicados al Alcance de un Cuantificador Los predicados con variables no ligadas por un cuantificador que estén dentro del alcance del mismo mediante una conjunción o una disyunción pueden situarse fuera del alcance del cuantificador. (a) x [p(x) q(y)] [ x, p(x)] q(y) (b) x [p(x) q(y)] [ x, p(x)] q(y) (c) x : [p(x) q(y)] [ x : p(x)] q(y) (d) x : [p(x) q(y)] [ x : p(x)] q(y) Demostración La demostración es idéntica a la hecha en la proposición anterior Asociatividad y Distributividad (a) x [p(x) q(x)] [ x, p(x)] [ x, q(x)] (b) x : [p(x) q(x)] = [ x : p(x)] [ x : q(x)] (c) x : [p(x) q(x)] [ x : p(x)] [ x : q(x)] (d) [ x, p(x)] [ x, q(x)] = x, [p(x) q(x)] Demostración Sea U un universo del discurso cualquiera y p(x), q(x) dos predicados arbitrarios, siendo x cualquier elemento de U (a) x [p(x) q(x)] [ x, p(x)] [ x, q(x)] Veamos que ambas proposiciones tienen los mismos valores de verdad. Si x [p(x) q(x)] es verdad, entonces p(x) q(x) es verdad para todos los valores de x en U, luego p(x) y q(x) son, ambas, verdad para cualquier x de U, es decir x, p(x) es verdad y x, q(x) también, luego [ x, p(x)] [ x, q(x)] es verdad. Por otra parte, si x [p(x) q(x)] es falso, entonces existe, al menos, un valor de x en U para el cual p(x) q(x) es falsa luego una de las dos ha de ser falsa. Si p(x) es falsa para algún valor de x, entonces x, p(x) es falsa y, consecuentemente, la proposición [ x, p(x)] [ x, q(x)] es falsa. Si q(x) es falsa, el razonamiento es idéntico al anterior. Por lo tanto, en ambos casos, la proposición es falsa. 52

29 Lógica Matemática Francisco José González Gutiérrez La relación anterior suele enunciarse informalmente diciendo que el cuantificador universal es distributivo respecto del conectivo lógico conjunción. (b) x : [p(x) q(x)] = [ x : p(x)] [ x : q(x)] Veamos que si la primera de las proposiciones es verdad, entonces la segunda también lo es. En efecto si x : [p(x) q(x)] es verdad, entonces p(x) q(x) es verdad para algún x en U, luego p(x) y q(x) son verdad, ambas, para ése x, de aquí que x : p(x) sea verdad y x : q(x) también y, consecuentemente, [ x : p(x)] [ x : q(x)] es verdad. Veamos que, sin embargo, no se da la equivalencia lógica como en el apartado anterior. En efecto, la afirmación x : [p(x) q(x)] nos dice que existe un valor de x en el universo para el cual p(x) y q(x) son, ambas, verdad. Por otra parte, [ x : p(x)] [ x : q(x)] afirma que existe un valor de x en el universo tal que p(x) es verdad y que existe un valor de x para el cual es verdad q(x). Veamos un contraejemplo que pone de manifiesto lo que decimos. Supongamos que U es el conjunto de los números enteros y sea p(x) : x es un número par y q(x) : x es un número impar. Entonces, existe, al menos, un número entero par y existe, al menos, un número entero impar, luego [ x : p(x)] [ x : q(x)] es una proposición verdadera, en tanto que existe, al menos, un número entero que es, al mismo tiempo, par e impar, es decir, x : [p(x) q(x)] es una proposición falsa, luego no se verifica la implicación contraria. (c) x : [p(x) q(x)] [ x : p(x)] [ x : q(x)] Veamos que si la segunda es falsa, entonces la primera también lo es (equivale a probar que si la primera es verdad, la segunda también). En efecto, si [ x : p(x)] [ x : q(x)] es falsa, entonces x : p(x) es falsa y x : q(x) también, luego p(x) y q(x) son, ambas, falsas para todos los valores de x en U, de aquí que para cualquier valor de x, p(x) q(x) sea falsa y, consecuentemente, x : [p(x) q(x)] es una proposición falsa. Por otra parte, si x : [p(x) q(x)] es falsa, entonces p(x) q(x) es falsa para todos los valores de x en U, luego p(x) es falsa y q(x) es falsa para cualquier x, de aquí que x : p(x) sea falsa, x : q(x) también y, consecuentemente, [ x : p(x)] [ x : q(x)] sea una proposición falsa. Veamos otra forma de demostrar lo mismo. En el apartado (a), hemos visto que x [p(x) q(x)] [ x, p(x)] [ x, q(x)] siendo cierto este resultado para cualquier predicado, luego también lo será para sus negaciones, es decir, x [ p(x) q(x)] [ x, p(x)] [ x, q(x)] negando ahora ambos miembros, resulta así pues, es decir, de aquí que x [ p(x) q(x)] [( x, p(x)) ( x, q(x))] x : ([ p(x) q(x)]] [ x, p(x)] [ x, q(x)] x : [ p(x) q(x)] [ x : p(x)] [ x : q(x)] x : [p(x) q(x)] [ x : p(x)] ( x : q(x)] La relación anterior suele enunciarse informalmente diciendo que el cuantificador existencial es distributivo respecto del conectivo lógico disyunción 53

30 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas (d) [ x, p(x)] [ x, q(x)] = x, [p(x) q(x)] En efecto, si [ x, p(x)] [ x, q(x)] es verdad, entonces una de las dos proposiciones ha de ser verdad. Si x, p(x) es verdad, p(x) ha de ser verdad para todos los valores de x, luego p(x) q(x) es verdad y, consecuentemente, x [p(x) q(x)] es verdad. Si x, q(x) es verdad, se razona exactamente igual. Otra forma de demostrar lo mismo es la siguiente: en el apartado (b) vimos que x : [p(x) q(x)] = [ x : p(x)] [ x : q(x)] Si ahora sustituimos los predicados por sus negaciones, x : [ p(x) q(x)] = [ x : p(x)] [ x : q(x)] negamos ambos miembros, y aplicamos la contrarrecíproca, resulta [ x : p(x)] [ x : q(x)] = x : [ p(x) q(x)] luego, [ x : p(x)] [ x : q(x)] = x [ p(x) q(x)] es decir, [ x, p(x)] [ x, q(x)] = x [ p(x) q(x)] de donde se sigue que [ x, p(x)] [ x, q(x)] = x [p(x) q(x)] Por razones análogas a las del apartado (b) no se da la equivalencia lógica. 54