PLAN DE REFUERZO NOMBRE ESTUDIANTE: Nº GRADO: 9º

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1 COLEGIO BETHLEMITAS PLAN DE REFUERZO Fecha: Dia 25 Mes 03 Año 2015 META DE COMPRENSIÓN: La estudiante desarrolla comprensión acerca de las definiciones y propiedades geométricas en los diferentes tipos de demostraciones. DOCENTE: Yeiler Cordoba Asprilla PERIODO: AREA: Matemáticas ASIGNATURA: Geometría NOMBRE ESTUDIANTE: Nº GRADO: 9º 1. OBSERVACIONES Y RECOMENDACIONES: El siguiente plan de refuerzo contiene la ejercitación básica de los tópicos desarrollados durante el período. Se debe tener en cuenta para su realización las guías de desarrollo e informativa trabajadas, los apuntes de clase, las guías de control corregidas y los referentes bibliográficos que encontrará al final del plan. La metodología bajo la cual se desarrollará este consiste en el desarrollo guiado -por el docente. La participación en la jornada de retroalimentación y el desarrollo del plan de refuerzo equivale al 20% del porcentaje total de la nota de recuperación. (El estudiante debe presentarse a la retroalimentación con su respectivo plan de refuerzo impreso), la asistencia a dicha retroalimentación será de obligatorio cumplimiento para todos los estudiantes que hayan reprobado alguna de las asignaturas. Si el estudiante no se presenta a la jornada de retroalimentación, se asume como juicio valorativo 1.0 y se deja constancia en el anecdotario en Atención especializada. (SIEE Art 2, Nota 2) 2. IDENTIFICACIÓN DE TÓPICOS Propiedades geométricas Demostración Demostración directa Contraejemplo Demostración indirecta 3. DESARROLLO CONCEPTUAL DEMOSTRAR: Es argumentar lógicamente teoremas a partir de postulados, definiciones, axioma y propiedades para llegar a una conclusión valida. METODOS DIRECTO: Consiste en afirmar que la hipótesis es cierta y llegar a la validez de la tesis. La demostración directa se presenta en dos columna, en una va la proposición y en la otra la justificación. PASOS PARA UNA DEMOSTRACIÓN DIRECTA: 1. Hacer una gráfica que ilustre la hipótesis. 2. Se identifica la hipótesis y la tesis del teorema. 3. Se efectúa las argumentaciones, justificando cada una de ellas. NOTA: Para realizar demostraciones se pueden seguir dos caminos, uno es utilizando los criterios de congruencia de triángulos, las definiciones de los diferentes ángulos y ángulos especiales o construcciones auxiliares. DEMOSREACIONES UTILIZANDO LOS CRITERIOS DE CONGRUENCIA: EJEMPLOS: 1. Los lados de los ángulos diferentes de un triángulo isósceles son congruentes. HIPÓTESIS: ABC es isósceles AB CB TESIS: A C 1. Se traza la bisectriz del B, que intercepta al lado AC en D Construcción auxiliar 2. Por ser BD bisectriz 1

2 3. AB CB 4. CD DC 5. ACD DCB 5. Por tanto A C 3. Por hipótesis 4. Propiedad reflexiva 4. Criterio de congruencia L A L 5. Por proposición 4 2. Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces sus lados opuestos son congruentes. HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo TESIS: AB DC y AD BC 1. ABCD es un paralelogramo 2. Construimos la diagonal DB 3. AB // DC AD // BC 7. BD DB 8. ABD DBC 9. Por tanto AB DC y AD BC 2. Construcción auxiliar geométrica 3. Propiedad de los paralelogramos 4. Por ser ángulos alternos internos entre paralelas 5. Por ser ángulos alternos internos entre paralelas 6. Propiedad de los paralelogramos 7. Propiedad reflexiva 8. Por criterios de congruencia L A L 9. Por proposición 8 3. La diagonal de un rectángulo determina dos triángulos congruentes. HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo BD es una diagonal TESIS: DAB DCB 1. ABCD es un rectángulo 2. BD es una diagonal 3. BD DB 4. AD BC 5. DC AB 6. Por tanto DAB BCD 2. Por hipótesis 3. Propiedad reflexiva 4. Propiedad de los rectángulos 5. Propiedad de los rectángulos 6. Por criterios de congruencia L L L DEMOSREACIONES UTILIZANDO LAS DEFINICIONES DE ÁNGULOS Ejemplos: 1. En todo triángulo se cumple que la suma de los ángulos interiores es igual a 180º HIPÓTESIS: ABC A, B y C TESIS: A + B + C = 180º 1. Trazamos por el punto B una // a AC (m // AC) 2. m x + m B + m y = 180º 3. Además m x m A 4. m y m C 5. A + B + C = 180º 1. Construcción Auxiliar geométrica 2. Definición de ángulo llano 3. Por ser ángulos alternos internos entre paralelas. 4. Por ser ángulos alternos internos entre paralelas. 5. Sustituimos 3 y 4 en 2 2

3 2. Si dos ángulos son opuestos por el vértice entonces son congruentes. HIPÓTESIS: y son opuesto por el vértice TESIS: 1. y son opuesto por el vértice 2. En la figura m + m x = 180º 3. Además m + m x = 180º 4. m + m x = m + m x 5. m m 6. Por tanto 2. Por formar ángulo llano 3. Por formar ángulo llano 4. Igualamos 2 y 3 5. Por proposición 4 6. Por proposición 4 y 5 CONTRAEJEMPLOS: A veces, la validez de una propiedad se refuta dando un ejemplo en el que no se cumple dicha propiedad: habremos probado entonces que, en general, la propiedad en cuestión es falsa. A dichos ejemplos que echan abajo la validez de la propiedad se les conoce con el nombre de contraejemplos. En muchas ocasiones, cuando nos enfrentamos a resolver un problema y vemos que la propiedad que queremos demostrar no tiene un ataque sencillo, nos podemos plantear la posibilidad de encontrar un contraejemplo. MÉTODO INDIRECTO O REDUCCIÓN AL ABSURDO. Consiste en negar la tesis del teorema y a partir de esta proposición y con ayuda de las reglas de la lógica y la teoría desarrollada encontrar una contradicción respecto a las premisas, una proposición verdadera o respecto a la suposición. Aquí se interrumpe el desarrollo práctico de la demostración, puesto que una proposición y su negación no pueden ser verdaderas a un mismo tiempo. Y de aquí se concluye que la tesis del teorema es verdadera. niega la tesis no Q, se construye una proposición de la forma P y no P, lo cual implica una contradicción. Ejemplo: Demuestre que si m y n son enteros tales que n + n 2 + n 3 = m + m2, entonces n es par Solución. Supongamos que n es impar. A partir de esto debemos conseguir una contradicción. Como n es impar, entonces n 2 y n 3 son ambos impares, de donde n + n 2 + n 3 es impar (ya que es la suma de tres impares). Entonces, como m + m2 = n + n 2 + n 3, se tiene que m + m2 es impar. Sin embargo m + m2 es siempre par (ya que m + m2 = m(m + 1) y necesariamente alguno de los números m o m+1 es par). Hemos llegado a una contradicción. De allí se tiene que n es par, que es lo que queríamos demostrar. MÉTODO INDIRECTO O REDUCCIÓN AL ABSURDO. Consiste en negar la tesis del teorema y a partir de esta proposición y con ayuda de las reglas de la lógica y la teoría desarrollada encontrar una contradicción respecto a las premisas, una proposición verdadera o respecto a la suposición. Aquí se interrumpe el desarrollo práctico de la demostración, puesto que una proposición y su negación no pueden ser verdaderas a un mismo tiempo. Y de aquí se concluye que la tesis del teorema es verdadera. Si se quiere demostrar que la proposición P Q es verdadera empleando el método indirecto, se niega la tesis no Q, se construye una proposición de la forma P y no P, lo cual implica una contradicción. Ejemplo: Demuestre que si m y n son enteros tales que n + n 2 + n 3 = m + m2, entonces n es par Solución. Supongamos que n es impar. A partir de esto debemos conseguir una contradicción. Como n es impar, entonces n 2 y n 3 son ambos impares, de donde n + n 2 + n 3 es impar (ya que es la suma de tres impares). Entonces, como m + m2 = n + n 2 + n 3, se tiene que m + m2 es impar. Sin embargo m + m2 es siempre par (ya que m + m2 = m(m + 1) y necesariamente 3

4 alguno de los números m o m+1 es par). Hemos llegado a una contradicción. De allí se tiene que n es par, que es lo que queríamos demostrar. 4. EJERCITACIÓN: 4.1. Escriba las siguientes proposiciones de la forma si p entonces q e identifica la hipótesis y la tesis de cada una. a. Una persona nacida en Quito es ecuatoriana. b. Los escritores de literatura tienen buena ortografía. c. Los ángulos agudos miden menos de 90º. d. Algunas frutas son naranjas. e. Fran no nación en Colombia, luego es extranjero. f. Todo triángulo que tiene dos lados congruentes, tendrá dos ángulos congruentes. g. Dado una recta y un punto exterior a ella, existe un único plano que contiene a la recta y al punto. h. Cuando dos rectas son perpendiculares, forman cuatro ángulos rectos. j. Cuando dos ángulos son opuestos por el vértice estos son congruentes. HIPÓTESIS: B es punto medio de AE y de CD TESIS: ABC BDE g) En todo cuadrilátero se cumple que las diagonales se cortan en un punto medio. HIPÓTESIS: AC y BD son diagonales paralelogramo. TESIS: O es el punto medio de AC y BD. h) En la figura, el ABC es equilátero y D, E y F son los puntos medios de los lados. Demostrar que el DEF es equilátero En las siguientes proposiciones identifica la hipótesis y la tesis de cada una, y determina si es verdadera o falsa. a. Un triángulo es isósceles si tiene dos lados congruentes. b. Todos los triángulos equiláteros tiene tres ángulos congruentes. c. La intersección de dos planos es un punto. d. Por dos puntos distintos pasan infinitas rectas. e. Una recta divide un plano en dos semiplanos Demostrar por el método directo los siguientes teoremas: a) Si AD es la bisectriz del ángulo BAC y AB AC, entonces BD DC. b) La diagonal de un paralelogramo determina dos triángulos congruentes. c) Si en un triángulo isósceles ángulos de la base son iguales, entonces los lados son iguales. d) Si un rectángulo es un paralelogramo, entonces sus diagonales son iguales. e) En todo trapecio isósceles se cumple que sus dos diagonales son iguales f) Si B es el punto medio de AE y CD; demostrar que ABC BDE i) La suma de las medidas de dos ángulos suplementarios es igual a 180º. j) Demostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares. k) Si dos rectas son perpendiculares, entonces forman cuatro ángulos rectos Hallar el contraejemplo de las siguientes proposiciones: a. Todo número par es múltiplo de 4 b. Todos los números primos son impares c. Todo polígono equiángulo es regular d. Por un punto de una recta pasa una y solo una recta perpendicular a la recta dada. e. Todos los triángulos tienen los ángulos agudos. f. En Colombia está habitada solo por colombianos. g. Todos los países centroamericanos limitan con dos océanos. h. Un número es divisible por 5 si termina en cero. i. El único cuadrilátero que tiene los lados congruentes es el cuadrado. j. El único cuadrilátero que tiene sus ángulos rectos es el rectángulo. k. Gabriel García Márquez nació en Antioquia. l. Los triángulos rectángulos son escalenos. 4

5 5. METODOLOGÍA DE ESTUDIO PROPIA DE LA ASIGNATURA 1. Lea e interprete los enunciados de los ejercicios. 2. Seleccione los datos que le proporciona el enunciado y que sirven para solucionar el ejercicio. 3. Determine los datos que debe hallar y el procedimiento que debe seguir. 4. Realice el algoritmo o procedimiento que debe seguir para la solución del ejercicio. 5. Verifique que el procedimiento realizado este correcto. 6. Escriba claramente la respuesta con su procedimiento. 6. BIBLIOGRAFÍA: URIBE CÁLAD, Julio Alberto y ORTIZ DÍEZ, Marco Tulio. Matemática experimental geometría 8º. Medellín: Uros editores, Páginas OBONAGA G. Edgar, PEREZ A. Jorge y CARO M. Victor E. Matemáticas 3: álgebra y geometría. Cali: Pime Ltda. Editores, páginas SERRANO DE PLAZAS, Nelly. Conexiones Matemáticas 9º. Bogotá: Editorial Norma, páginas