ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

Transcripción

1 ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA ASIGNATURA: ANÁLISIS GEOMÉTRICO DEPARTAMENTO: MATEMÁTICAS PLANES DE ESTUDIO: CÓDIGO: 1. OBJETIVOS Mnemónico AGEO Numérico GENERALES Estudiar los conceptos básicos y los métodos de demostración de la Geometría que son indispensables para abordar con éxito cursos posteriores. Desarrollar habilidades tanto para la demostración de teoremas como para la obtención de conclusiones sólidas a partir de hipótesis dadas. Desarrollar habilidades para hacer construcciones geométricas con regla y compás. Desarrollar en el estudiante un pensamiento matemático, en el que vayan a la par la comprensión clara de los diferentes conceptos y una experiencia importante en la modelación y resolución de problemas utilizando las técnicas estudiadas en el curso. Involucrar al estudiante de manera activa en el proceso de aprendizaje mediante lecturas previas de los diferentes temas a tratar y mediante la asignación de problemas que deben ser sustentados en el aula. Propiciar que el estudiante aprenda a trabajar adecuadamente en grupo y también de manera individual. Posibilitar que el estudiante aprenda a usar eficientemente las herramientas tecnológicas a su alcance, en la solución de los problemas. 2. JUSTIFICACIÓN Este es un primer curso en el que el estudiante aprende a hacer deducciones y justificaciones de manera adecuada dentro de la teoría de la geometría Euclideana. Se hace un especial énfasis en el método deductivo, en el que se pasa de las observaciones a las conjeturas y de éstas a las comprobaciones o a los contraejemplos, con lo cual se inicia en el razonamiento lógico. Se desarrolla tanto el pensamiento geométrico como la ubicación espacial, que son indispensables en nuestro diario vivir. Los temas tratados en este curso que tienen como eje fundamental las nociones geométricas en el plano y en el espacio son el soporte fundamental para cursos posteriores. 1/8

2 3. REQUISITOS ACADÉMICOS: ICFES NIVEL BAJO ó MEDIO 4. CRÉDITOS ACADÉMICOS: 4 INTENSIDAD SEMANAL Teórica 3.0 Práctica 3.0 Independiente 6.0 Total de horas/semana BIBLIOGRAFÍA Texto principal: Clemens, S., O Daffer, G. y Cooney, T. (1998). Geometría. Pearson - Addison Wesley. Otras referencias: 1. Caro, J. y Karpf, E. (1998). Apuntes para el estudio de la Geometría. Escuela Colombiana de Ingeniería. 2. Caro, J., Wills, M. y O bonaga, E. (2002). Análisis geométrico. Edición Preliminar. Escuela Colombiana de Ingeniería. 3. Geltner, P. y Peterson, D. (1998). Geometría. International Thomson Editores. 4. Hemmerling. (1996). Geometría Elemental. Limusa Noriega Editores. 5. Moise, E. y Downs, F. (1986). Geometría Moderna. Addison Wesley. 6. CONTENIDO PROGRAMÁTICO RESUMIDO En este curso se estudian los conceptos y proposiciones básicas de la geometría plana, relacionados con puntos, rectas, planos y polígonos; transformaciones; las relaciones de congruencia, proporcionalidad y semejanza y la medición de áreas y volúmenes. También se tratan algunas nociones de geometría del espacio. 7. CONTENIDO PROGRAMÁTICO DETALLADO 1. Introducción y definiciones básicas Identificar segmentos, ángulos, polígonos y círculos, y sus características fundamentales Puntos, rectas, planos Relaciones entre puntos, rectas y planos. Puntos colineales y puntos coplanares. Rectas paralelas y rectas concurrentes Figuras geométricas básicas. Segmento, rayo, ángulo, triángulo, cuadrilátero y círculo Segmentos y ángulos. Segmentos congruentes. Ángulos congruentes. Ángulo agudo, ángulo recto y ángulo obtuso. Dos construcciones: segmento congruente con un segmento dado, ángulo congruente con un ángulo dado. 2/8

3 1.5. Bisectriz de un ángulo. Construcción de la bisectriz de un ángulo Rectas y planos perpendiculares. Rectas perpendiculares a planos. Punto medio de un segmento y mediatriz de un segmento. Distancia de un punto a una recta. Dos construcciones: recta perpendicular a una recta, que pasa por un punto dado de esa recta; recta perpendicular a una recta, que pase por un punto no perteneciente a ésta Polígonos. Diagonales de un polígono. Polígonos convexos. Polígonos regulares. Triángulos equiláteros y triángulos isósceles. 2. Razonamiento Iniciar el estudio del razonamiento en geometría, especialmente del razonamiento deductivo a partir de un sistema lógico Proceso de razonamiento inductivo Generalizaciones falsas y contraejemplos El razonamiento deductivo en el desarrollo de la Geometría De los postulados a los teoremas, y de estos a las aplicaciones Proposiciones del tipo Si...entonces Proposición recíproca, proposición inversa y proposición contrarrecíproca Esquemas de razonamiento. Afirmación de la hipótesis, negación de la conclusión, regla de la cadena Postulados de la Geometría Postulados sobre medición Postulados de la regla y del transportador. 3. Triángulos y congruencia Comparar triángulos del mismo tamaño y forma Transformaciones de congruencia: traslación, rotación, simetría axial y simetría central Triángulos congruentes Criterios de congruencia: LAL, ALA, LLL. Usos de estos criterios Uso de las definiciones y de los postulados en las pruebas Uso de la congruencia de triángulos para la prueba de la congruencia de ángulos y segmentos mediante la proposición elementos correspondientes de triángulos congruentes son congruentes Cadenas de congruencias. 4. Demostraciones de teoremas Demostrar nuevas proposiciones mediante propiedades básicas, definiciones y proposiciones ya demostradas Pasos en la demostración de un teorema Uso de la suma y resta de igualdades Ángulos suplementarios y ángulos complementarios. Teoremas de los complementos congruentes y de los suplementos congruentes Ángulos opuestos por el vértice. Teorema de los ángulos opuestos por el vértice Ángulos exteriores a un triángulo. Teorema del ángulo exterior (comparación entre la medida de un ángulo exterior de un triángulo y la de cualquier ángulo interior no adyacente). 3/8

4 4.6. Uso de las pruebas indirectas. 5. Rectas y planos paralelos Aplicar el postulado fundamental de la geometría Euclidiana en la solución de problemas Conceptos básicos: rectas alabeadas, recta paralela a un plano, planos paralelos, recta transversal a dos rectas coplanares. Ángulos alternos internos, ángulos exteriores, ángulos correspondientes Formas de probar que dos rectas son paralelas El postulado de las rectas paralelas Teoremas acerca de rectas paralelas y ángulos alternos internos, y de rectas paralelas y ángulos correspondientes. 6. Triángulos Aplicar los conceptos y teoremas sobre rectas paralelas para deducir propiedades importantes de los triángulos Triángulos escalenos, acutángulos, obtusángulos y rectángulos. Altura de un triángulo Congruencia de los ángulos de la base de un triángulo isósceles. Congruencia de los ángulos en un triángulo equilátero. Congruencia de los lados opuestos a ángulos congruentes en un triángulo Medidas de los ángulos de un triángulo. Suma de los ángulos interiores de un triángulo. Relación entre la medida de un ángulo exterior de un triángulo y la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes El teorema de la congruencia LAA Criterios de congruencia para triángulos rectángulos. 7. Otras propiedades de los triángulos Aplicar el Teorema de Pitágoras, los teoremas de la concurrencia y las desigualdades para triángulos en la solución de problemas El teorema de Pitágoras. Recíproco del teorema de Pitágoras Características de los triángulos y Concurrencia de las mediatrices de un triángulo, de las bisectrices de un triángulo, de las alturas de un triángulo, de las medianas de un triángulo Desigualdades para un triángulo ( En un triángulo, a mayor ángulo se opone mayor lado, etc.) 7.5. Desigualdades para dos triángulos (Teoremas LAL y LLL para desigualdades). Desigualdad triangular. 4/8

5 8. Cuadriláteros y polígonos Identificar los diferentes cuadriláteros, conocer y aplicar sus propiedades Cuadriláteros, paralelogramos Propiedades de los paralelogramos. Formas de probar que un cuadrilátero es un paralelogramo. Teorema del segmento medio Paralelogramos especiales y sus propiedades: rectángulo, rombo, cuadrado Trapecios y sus propiedades Acerca de las medidas de los ángulos de un polígono convexo. 9. Semejanza Estudiar las propiedades de las figuras que tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño Razón y proporción Propiedades de las proporciones Teorema fundamental de la proporcionalidad Homotecias Polígonos semejantes Postulado AA para la semejanza Criterios LAL y LLL para la semejanza Propiedades de los triángulos rectángulos deducidas mediante la semejanza de triángulos Una demostración del Teorema de Pitágoras usando semejanza Razones trigonométricas Razones trigonométricas de triángulos especiales. 10. Círculos Identificar los elementos de una circunferencia y utilizar las proposiciones que los relacionan en la solución de problemas Conceptos básicos: radio y centro de un círculo. Cuerda, diámetro, tangente, secante. Ángulo central, ángulo inscrito, ángulo semi-inscrito. Arcos. Arco menor y arco mayor. Círculos congruentes y círculos concéntricos Relación entre cuerdas congruentes y sus arcos, y entre cuerdas congruentes y sus distancias al centro del círculo Otras propiedades de las cuerdas ( La mediatriz de una cuerda contiene al centro del círculo, etc.) Propiedades de las rectas tangentes a un círculo Arco subtendido por un ángulo inscrito, y la relación entre sus medidas Ángulos semi-inscritos y sus medidas Ángulos determinados por dos tangentes a un mismo círculo, o por una tangente y una secante Ángulos determinados por cuerdas Relación entre longitudes de cuerdas, segmentos secantes y segmentos tangentes. 5/8

6 11. Área y perímetro Calcular áreas y perímetros de regiones poligonales y circulares Regiones planas Postulados del área Áreas de paralelogramos, triángulos, trapecios, polígonos regulares Perímetro de un polígono regular Relación entre las áreas y los perímetros de polígonos semejantes Área de un círculo y de un sector circular Longitud de un arco. 12. Sólidos Definir los sólidos básicos (prismas, pirámides, cilindro, cono, esfera), y calcular sus áreas y volúmenes Rectas y planos perpendiculares en el espacio Rectas y planos paralelos en el espacio Sólidos importantes y sus elementos: prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas Área lateral y área total de un prisma, una pirámide, un cilindro y un cono. Área de superficie de una esfera El principio de Cavalieri. Volumen de un prisma, de una pirámide, de un cilindro, de un cono y de una esfera Sólidos semejantes y la relación entre sus áreas y sus volúmenes Troncos de pirámide y troncos de cono Poliedros convexos regulares. 13. Geometría Analítica Estudiar aspectos de la Geometría Euclidiana desde los sistemas de coordenadas. Estudiar la recta. Estudiar las secciones cónicas Geometría en coordenadas cartesianas Punto medio de un segmento Pendiente de una recta Fórmula de la distancia Ecuación de la recta Rectas perpendiculares y paralelas Uso de las coordenadas en la prueba de teoremas Cónicas Circunferencia Elipse Hipérbola Parábola Traslación de ejes Ecuación general de segundo grado. 6/8

7 8. METODOLOGÍA Un estudiante de la Escuela debe estar en permanente búsqueda del perfeccionamiento en su formación académica, ser un apasionado por el conocimiento, buscar constantemente la excelencia y su independencia intelectual. El estudiante entonces será el principal responsable de su aprendizaje. De acuerdo con estas características, la metodología de los cursos de matemáticas busca involucrar al estudiante de manera activa en el proceso de aprendizaje mediante lecturas previas a los diferentes temas a tratar y la asignación de problemas que deben ser discutidos en el aula. Se privilegia una metodología que propicie el dominio adecuado de los conceptos matemáticos estudiados y el desarrollo tanto de habilidades de pensamiento como de competencias para la resolución de problemas. Así mismo, debe permitir la incorporación del uso de la tecnología computacional al currículo de matemáticas, para facilitar los procesos de comprensión y representación de los temas matemáticos, y para potenciar el desarrollo de algunas habilidades cognitivas. Teniendo en cuenta las características del grupo se da inicio al curso desde lo que los estudiantes conocen, con el fin de facilitarles la conexión de los nuevos conocimientos con los previos. Simultáneamente a lo largo del mismo se evalúa permanentemente el desempeño del estudiante con el fin de tomar las decisiones pertinentes para el buen desarrollo del curso. Dentro de las actividades didácticas desarrolladas en los cursos se incluyen los talleres y/o laboratorios (cursos de Cálculo diferencial e integral). Los primeros van dirigidos a la práctica y refuerzo de los temas vistos en las sesiones teóricas y se desarrollan completamente en el aula con la guía del profesor. Los segundos apuntan al desarrollo de habilidades en la modelación, resolución de problemas, trabajo en equipo y presentación de informes, una parte del trabajo se realiza en el aula con la guía del profesor y otra de manera independiente. 9. EVALUACIÓN La gestión universitaria en la Escuela está enmarcada por la evaluación continua de sus actividades y es de acuerdo con los Lineamientos Curriculares integral, coherente, flexible e interpretativa. La evaluación del desempeño de los estudiantes es un proceso permanente que valora el cumplimiento de los objetivos propuestos y los compromisos adquiridos en cada asignatura. Se tienen en cuenta tres tipos de evaluación del aprendizaje de los estudiantes: la sumativa de los avances en el aprendizaje, la del proceso para reflexionar sobre la marcha del proceso educativo y el cumplimiento de las responsabilidades asumidas, y la comprensiva para valorar la calidad del trabajo realizado por el 7/8

8 estudiante al finalizar el curso. Las calificaciones son la expresión cuantitativa de los resultados de las pruebas académicas. En esta asignatura se consideran cinco calificaciones con el mismo valor porcentual: nota de cada uno de los tres tercios, un examen final común obligatorio, y una valoración del trabajo independiente del estudiante y de su desempeño durante el semestre, en esta última se debe tener en cuenta la asistencia, el interés demostrado, el trabajo dentro y fuera del aula y el esfuerzo del estudiante entre otros criterios. 10. VIGENCIA Y MODIFICACIONES Contenidos vigentes desde: Contenidos vigentes hasta: Última fecha de actualización: Penúltima fecha de actualización: 01/04/2002 Nueva Modificación 20/11/ /06/2008 Aprobado: EDGARD OBONAGA GARNICA Firma: 8/8