Universidad de Antioquia

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1 Números reales Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Instituto de Matemáticas Grupo de Semilleros de Matemáticas (Semática) Matemáticas Operativas Taller 0 Julius WilhelmRichard Dedekind(6deoctubrede8-defebrero de 96), matemático alemán que se destacó por sus importantes aportes en el álgebra abstracta, la teoría de números y en la fundamentación rigurosa de los números reales. En 848 ingresa al Colegium Carolinum, donde su padre trabajaba, obtieniendo una sólida formación en matemáticas. En 850 ingresa a la Universidad de Gotinga, enfocando su trabajo en la teoría de números y se convierte en el último estudiante de Gauss, recibiendo su título de doctor en 85. En 858 se vincula como profesor a la Escuela Politécnica Federal de Zúrich e introduce el concepto de cortadura de Dedekind, que fundamenta el concepto de número real a partir de los números racionales. Una de sus contribuciones principales fue publicada en 87, en un artículo en el que caracterizó los números reales como un cuerpo ordenado y completo. El trabajo de Dedekind sobre números naturales fue también de vital importancia en la fundamentación de la teoría de conjuntos, junto con Frege y Cantor, proporcionando un caracter de rigurosidad de los llamados Axiomas de Peano (publicados por Peano un año más tarde). Objetivo general Emplear con habilidad las propiedades básicas de los números reales para enfrentar diversas situaciones problema propias de la aritmética. Objetivos específicos. Efectuar con destreza operaciones aritméticas entre números fraccionarios.. Manipular potencias con exponentes con diversas clases de exponentes. Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática,. Esta obra es distribuida bajo una licencia Creative Commons Atribución - No comercial.5 Colombia.

2 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática,. Sistemas numéricos Los números reales son utilizados en una gran variedad de problemas matemáticos para representar cantidades discretas y continuas como distancias, tiempos, velocidades, aceleraciones, temperaturas, etc. Dependiendo de las cantidades que deseemos medir, podemos encontrar los siguientes sistemas numéricos:.. Números naturales Los números naturales son,,,... Surgen de la necesidad de contar o enumerar objetos, sirven para designar el número de elementos de algunos conjuntos y constituyen el fundamento a la aritmética. El conjunto de los números naturales se denota con el símbolo N: N = {,,,...} y N 0 = {0,,,...} = N {0} El cero(0) representa el número de elementos del conjunto vacío y muchos autores no lo consideran un número entero... Números enteros 0 n n+ Los números enteros están formados por los números naturales,,,... y por sus inversos aditivos,,,... El conjunto de los números naturales se denota por el símbolo (Z): Z = {...,,,0,,,,...} A diferencia de lo que ocurre en N, la resta de dos números enteros siempre es un número entero. Observemos que el conjunto de los números naturales es un subconjunto del conjunto de lo números enteros, en símbolos: N Z. n 0 n Los números enteros se clasifican en enteros positivos (Z + ) y en enteros negativos (Z ): y Z = Z + Z {0}... Números racionales Z + = {,,,...} = N y Z = {...,,, } (Q): representan el cociente de dos enteros, el término racional hace referencia a razón, proporción o fracción : { m } Q = n : m Z,n Z,n 0 Todo entero n se puede escribir como el número racional n/ y en consecuencia Z Q

3 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, Los números racionales admiten una representación decimal finita o infinita pero periódica:.4. Números irracionales 9 4 =.5 y 77 = =.8 55 (Q ): losnúmeros que no sonracionalesse denominan números irracionales. Ejemplos de números irracionales son el número e (base del logaritmo natural), π (la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro) y (la diagonal de un cuadrado de lado ) entre otros. Las representaciones decimales de estos números son siempre infinitas y no repetitivas:. π = = e = Números reales e π 4 El conjunto de los números reales está constituido por todos los números racionales e irracionales. Así, R = Q Q y N Z Q R. Los números reales los podemos considerar como puntos sobre una recta infinita: a cada punto de la recta le corresponde uno y sólo un número real y recíprocamente, a cada número real le corresponde un punto de la recta... Axiomas de campo 0 e π 4 En R existen dos operaciones llamadas suma (+) y producto ( ) que satisfacen las siguientes propiedades: R

4 4 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, Propiedad. (Axiomas de campo)... Para cada par de números reales a y b, la suma a+b es un número real.. La suma es conmutativa: a+b = b+a. La suma es asociativa: a+(b+c) = (a+b)+c 4. Existe un número real denotado por 0 (neutro aditivo) que satisface a+0 = a 5. Para cada número real a, existe un único elemento denotado por a (inverso aditivo) que satisface a+( a) = Para cada par de números reales a y b, el producto a b es un número real. 7. La producto es conmutativa: a b = b a 8. La producto es asociativa: a (b c) = (a b) c 9. es el neutro multiplicativo y satisface a = a para todo a R. 0. Si a 0, a es el inverso multiplicativo y satisface a a = para todo a R.. La producto es distributiva sobre la suma: Observación (Sobre axiomas de campo).. a (b+c) = a b+a c y (a+b) c = a c+b c. A la propiedad (.) se le denomina axiomas de campo de los números reales.. Los axiomas ()-(5) hacen referencia a las propiedades que satisface la operación suma. Los axiomas (6)-(0) hacen referencia a las propiedades que satisface la operación producto 4. El axioma()(propiedad distributiva), relaciona las propiedades de la suma con el producto. 5. Si a 0, su inverso multiplicativo a se denota por a = a. 6. En lugar de escribir a b, se acostumbra escribir ab. 7. En lugar de escribir a+( b), se acostumbra escribir a b. Ejemplo.. Por la propiedad distribuitiva, (a+b)(c+d) = a(c+d)+b(c+d) = ac+ad+bc+bd. Proposición.. Para todo a,b R se cumple que:. a 0 = 0. si ab = 0, entonces a = 0 ó b = 0. El inverso aditivo de todo número real satisface las siguientes propiedades: Proposición. (Ley de los signos). Para todo a,b R se cumple que:. ( )a = a. ( a) = a. ( a)b = a( b) = (ab) 4. ( a)( b) = ab

5 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, 5 El inverso multiplicativo o recíproco a = a de un número real a 0 se caracteriza por ser el único número que satisface ( ) a a = a =. a Por ejemplo, ( ) 4 5 = 5 4 porque = y en general ( m ) = n m/n = n m.. Axiomas de orden La representación geométrica de los números reales como puntos sobre una recta a nos permite establecer de manera informal un orden en R: si a está a la izquierda de b, se dice que a es menor que b y se escribe a < b. De manera análoga, si a está a la derecha de b, se dice que a es mayor que b y se escribe a > b. Esta idea intuitiva de ser mayor que (>) o menor que (<) se puede presentar formalmente: Propiedad.4 (Axiomas de orden). Existe en R una relación de orden < tal que para todo a,b,c R se cumple que:. Una y sólo una de las siguientes situaciones se presenta: a = b ó a < b ó a > b.. a < b = a+c < b+c.. a > 0 y b > 0 = ab > a > b y b > c = a > c. Observación (Sobre axiomas de orden)... a > b significa lo mismo que b < a.. Un número real x se dice que es positivo si x > 0 y negativo si x < 0.. El número cero no es positivo ni negativo. 4. Los números positivos están ubicados a la derecha del cero y los negativos a la izquierda. 5. El conjunto formado por todos los números positivos se donota con el símbolo R El conjunto formado por todos los números negativos se donota con el símbolo R. 7. Del axioma () se infiere que todo número real es positivo, negativo o cero. 8. El axioma () nos dice que el producto de números positivos es positivo. 9. Cuando tengamos que a < b y b < c escribiremos a < b < c. A partir sólo de los axiomas de orden se pueden demostrar formalmente enunciados intuitivamente evidentes como por ejemplo que > 0. Otros enunciados que se pueden demostrar son: Teorema.5. Para todo a,b,c R se cumple que:. a < b y c > 0 = ac < bc.. a < b y c < 0 = ac > bc. b. a 0 = a > a < b y c < d = a+c < b+d. R

6 6 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, De la propiedad () del teorema anterior (.5), se deduce que NO existe un número real x tal quex =.Existennúmerosque satisfacenestapropiedad,nosonnúmerosrealesysedenominan números complejos. El conjunto de los números complejos se denotada por C y tanto su definición como sus propiedades serán estudiadas más adelante. Teorema.6. Si a,b R y a < b, entonces b < a. Teorema.7. Si a,b R y ab > 0, entonces una de las siguientes condiciones se cumple:. a > 0 y b > 0.. a < 0 y b < 0. El símbolo a b indica que a < b ó a = b. Por ejemplo porque < mientras que π π porque π = π. De manera similar se define la relación. La relación satisface las siguientes propiedades: Propiedad.8. Para todo a,b,c R se cumple que:. Propiedad reflexiva: a a.. Propiedad antisimétrica: a b y b a = a = b.. Propiedad transitiva: a b y b c = a c.. Desigualdades.. Intervalos Es muy común en el día a día encontrarse con cantidades que oscilan entre ciertos valores; diversos son los fenómenos que no poseen una solución numérica exacta (única), lo cual nos lleva a la necesidad de limitar a cierto rango las posibles soluciones, basdos en estas necesidades recurrimos a la noción de intervalo, la cual se presenta a seguir. Definición. (Intervalos). Sean a,b R con a b.. (a,b) = {x R : a < x < b}. [a,b] = {x R : a x b}. [a,b) = {x R : a x < b} 4. (a,b] = {x R : a < x b}.. Valor absoluto 5. (a, ) = {x R : a < x} 6. [a, ) = {x R : a x} 7. (,b) = {x R : x < b} 8. (,b] = {x R : x b} Definición. (Valor absoluto). El valor absoluto de un número real x se define como { x, si x 0 x = x, si x < 0

7 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, 7 Ejemplo.. 5 = ( 5) = 5, 5 = 5. Observación. Note que por definición el valor absoluto de x siempre será mayor o igual que cero, y nunca negativo. Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real x corresponde a la distancia a lo largo de la recta numérica real desde x hasta el número cero. Gráficamente es lo siguiente 5 5 unidades 5 unidades El valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. Gráficamente es lo siguiente y x x De este modo, la distancia entre los puntos y 4 es 4 ( ) = 6. Propiedad. (valor absoluto). Para todo x, y R:. x 0. x = 0 si, y sólo si x = 0 y. x y = x y 5. x+y = x+y 4. x = x 6. x y = y x Otra propiedad muy importante del valor absoluto es la siguiente: Propiedad. (valor absoluto). Para todo a,b R con b > 0:. a < b si, y sólo si b < a < b. a > b si, y sólo si a < b ó a > b Ejemplo.... Si x >, entonces x = x, pues x > 0; pero si x <, entonces x = (x ), pues x < = 5 = 5 = +, sin embargo +( ) = = 5 = +. En cada caso se cumple x+y x+y.. = = =. 4. Exponentes y radicales Definición 4.. Para todo a R y todo entero positivo n,. a n = } a a a {{}.. a 0 =, si a 0.. a n = Ejemplo 4... n veces 5 a n. R R

8 8 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática,. 4 = = 6. 4 = = 64 Observación = 6 6 = 6 4. = = = 9. Se denomina potencia al producto que resulta al multiplicar una cantidad o expresión por sí misma una o varias veces. Por ejemplo, 6 es potencia de porque 4 = 6.. La operación cuya finalidad es hallar las potencias de un número se denomina potenciación o elevación a potencias.. a se lee a elevado al cuadrado, a se lee a elevado al cubo, a n se lee a elevado a la n. 4. En la expresión a n = b, a es la base, n es el exponente y b es la potencia. Propiedad 4. (Leyes de los exponentes). Para todo a,b R y m,n Z,. a m a n = a m+n. (a m ) n = a mn Ejemplo a a 5 = a +5 = a, con a 0.. ( b 4) 5 = b 4 5 = b 0 = b0, con b 0.. (ab) n = a n b n 4. ( ) a n b = a n b, b 0. n a 5. m a = a m n, a 0 n 6. a m a n = a n m, a 0. (x) = x = 9x, con x z z 5 = z ( 5) = z, con z 0. La operación inversa a la potenciación se denomina radicación. La radicación nos permite calcular la base de una potencia, conociendo el exponente y la potencia. Por ejemplo, la operación inversa de elevar al cuadrado un número se denomina encontrar una raíz cuadrada del número. Las raíces cuadradas de 5 son 5 y 5 porque 5 = 5 y ( 5) = 5. El símbolo se utiliza para designar la raíz cuadrada no negativa. Así, 5 = 5, 6 = 6, etc. En general, definimos la raíz n-ésima como se indica a continuación: Definición 4. (Raíz n-ésima). Si n es un número natural y a un número real, definimos n a de la siguiente forma: Ejemplo Si a = 0, entonces n a = 0 Si a > 0, entonces n a = b, si, y sólo si, b n = a y b > 0. Si a < 0 y n es impar, entonces n a = b, si, y sólo si, b n = a y b < 0. Si a < 0 y n es par, entonces n a no es un número real. 5 =, porque 5 = y > =, porque ( ) = 8 y < no es un número real.

9 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, 9 Propiedad 4. (Propiedades de la raíz n-ésima). Para todo a R y n N,. ( n a) n = a si n a es un número real. n an = a si a 0 Observación 5... Afirmar que x = x para todo número real x es falso.. x = x para todo número real x. Ejemplo n an = a si a < 0 y n es impar n an = a si a < 0 y n es par. ( 5) = 5. ( 5) = 5 = 5. 5 = 5 Propiedad 4. (Propiedades de la radicación). Para todo a,b R y m,n N,. n ab = n a n b Ejemplo n a n a. b =. n b. x y = x y = x y. 4.. Exponentes racionales m n a = mn a 4 x6 y = 4 x 4 x y = 4 x 4 4 x y Definición 4. (Exponentes racionales). Para todo a R y todo par de enteros positivos m y n, con n para el cual n a existe, definimos:. a /n = n a.. a m/n = n a m = ( n a) m.. a m/n = a m/n. Ejemplo Ejercicios ( ) ( /5 ) ( ) 5 5 = = [Problemas ()-(9)] Realiza las operaciones indicadas ///6// ( ) = = ( 5 + ) ( 4 6) ( 6 7 ) ( ) 6

10 0 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, 0. El triple de la sexta parte del doble de 7 es: a) 9 b) 8 c) 7 d) 6. Las/partesde una tuberíade 50m. de longitud se encuentran dañadas. La longitud en metros de tubería dañada es: a) 75 b) 00 c) 50 d) 5. Vendí una bicicleta por los /4 de los 6/5 de lo que me costó originalmente. Qué fracción del costo original gané o perdí en la venta? a) Gané /0. b) Perdí 9/0 c) Gané /0 d) Perdí /0 [Problemas ()-(6)] Sea x < 0 y y > 0, determine el signo del número real.. xy 4. x y +x x y 5. xy 6. y(x y) Reescriba la expresión sin utilizar valor absoluto y simplifique el resultado: / 0. π 4. x+ si x <. x+7 si x 7. m n si m < n 4. z Utilice desigualdades para describir el intervalo (o intervalos) de números reales x x [,) 9. (,] 0. (0, ) Exprese el número en la forma a/b con a y b enteros: =. 4 + =. 4. ( 4 ) 4 = / +64 / = 6. ( 0.008) / = Resuelva lo siguiente: 7. 4 ( ) = 8. 6 (4 ( 7 (5 5)+6)) = 9. 5(4 (5( 4 )+4( 7))) = 40. ( (4 (8+5) )+ ( 4)) = 4. Multiplicar y simplificar: ( )( +5) 4. Racionalice 5 En los siguientes enunciados utiliza una de las palabras: Siempre, A veces o Nunca para indicar si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca. 4. n xy = x /n y /n 44. n x+y=x /n +y /n x = 46. x = x x = x 6 x = x 50. x 0 = 5. x = x x4 +9 = x + x

11 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, 6. Pequeños retos. Completar la siguiente tabla usando o / según el número pertenezca o no al conjunto dado 8 / 7+i ,75 / π N Z Q I R C. Exprese el enunciado como desigualdad: i) y es no negativo ii) d está entre 4 y iii) El negativo de z no es mayor que iv) El cociente de p y q es a lo sumo 7 v) El valor absoluto de x es menor que 4 vi) w es mayor o igual que 4. Reescriba la expresión sin utilizar el símbolo de valor absoluto y simplifique el resultado i) x +4 ii) x 4. Demuestre que 5 0 =. Referencias 5. Encuentre el valor de: a) b) c) 4 a+b 4 a b d) 5 5 e) f) g) h) i) j) + ( ) ( 5 ) Si x y = 5 x y, encuentre el valor de y x. 7. Escriba en orden creciente los siguientes racionales: i) ii) 7 9, 5, 8, y 6., 5 8, 4, y. 8. Si a b = 4 y x y =, encuentre el valor de. ax by 4ax+by [] Notas de clase y talleres desarrollados por profesores de Departamento de Matemáticas de la para el curso Álgebra y trigonometría (CNM-08): [] E.W. Swokowski, J.A. Cole, Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, undécima edición, editorial Thomson, 006. [] M. Sullivan., Álgebra y Trigonometría, séptima edición, editorial Pearson, 006. [4] F.D. Demana, B.K. Waits, G.D. Foley, D. Kennedy, Precálculo, séptima edición, editorial Pearson, 006.