CUADERNILLO DE REFUERZO DE OPTATIVA DE MATEMATICAS 1º ESO. Si la división de un número A, entre otro número B, es exacta, entonces decimos que:

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1 CUADERNILLO DE REFUERZO DE OPTATIVA DE MATEMATICAS 1º ESO Si la división de un número A, entre otro número B, es exacta, entonces decimos que: El número A es divisible por el número B. El número A es múltiplo de B. El número B es un divisor del número A. Por ejemplo: 28:7 = 4 es exacta, decimos: 28 es divisible por 7, 28 es múltiplo de 7 ó 7 es un 1.- Completa las frases con las siguientes expresiones: «múltiplo de», «divisor de», «divisible por». a) 15 es... 5 b) 28 es c) 10 es d) 18 es e) 15 es f) 3 no es Marta celebra su cumpleaños un día del mes de octubre cuyo número es divisible por 2, por 3 y por 5. Qué día del mes de octubre nació Marta?. Los múltiplos de un número A se obtienen al multiplicar A por cualquier otro número k. Por ejemplo: Los múltiplos de 5 son 5x1, 5x2, 5x3, 5x4,. Es decir: 5, 10, 15, 20, etc. 3.- Escribe los cinco primeros múltiplos de 2, 3, 4, 6 y 7 Múltiplos de 2: Múltiplos de 3: Múltiplos de 4: Múltiplos de 6: Múltiplos de 7: 4.- Cuál es el múltiplo más pequeño de un número? Cuántos múltiplos tiene un número? Cuál es el múltiplo más grande de un número? 5.- Busca: a) Los cuatro primeros múltiplos de 8: b) Los cinco primeros múltiplos de 13: c) El primer múltiplo de 10 mayor que 70: d) Los múltiplos de 4 comprendidos entre 10 y 20: e) El múltiplo más pequeño de 33: f) El múltiplo mayor de 33: 6.- Continúa las series escribiendo tres términos más: a) 4, 8, 16, 32,,, b) 4, 12, 36,,, 1

2 Los divisores de un número A se obtienen buscando las divisiones exactas: Si A : b = c es exacta, entonces A : c = b es exacta y b y c son divisores de A Por ejemplo: Los divisores de 10 son 1, 2, 5 y 10 pues son los únicos números que al dividir a 10 el resto es cero (división exacta). 7.- Busca todos los divisores de: a) 6 - Div(6) = b) 7 - Div(7) = c) 8 - Div(8) = d) 13 - Div(13) = e) 16 - Div(16) = f) 25 - Div(25) = g) 48 - Div(48) = h) 20 - Div(20) = i) 19 - Div(19) = 8.- Busca: a) El mayor y el menor divisor de 36: b) Un número que sólo tenga un divisor: c) Un número que sólo tenga dos divisores: d) Cuál es el menor divisor de un número?: e) Y el mayor?: f) Cuántos divisores tiene un número?: 9.- Tacha los números que no sean: a) Divisores de 4: 1, 2, 3, 4 c) Divisores de 15: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15 b) Divisores de 5: 1, 2, 3, 5 d) Divisores de 50: 1, 2, 5, 10, 15, 20, 50 Un número se dice que es primo si sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad. Un número se dice que es compuesto si tiene más de dos divisores. El número uno sólo tiene un divisor por eso no se considera ni primo ni compuesto. Ejemplo: El número 7 es primo porque sólo tiene dos divisores 1 y 7. El número 15 es compuesto porque tiene más de dos divisores, 1, 3, 5 y Entre estos números hay dos primos, búscalos:

3 Expresa cada uno de los compuestos como un producto de dos factores: = = = 11.- Vamos a localizar todos los números primos entre 1 y 50, tachando los que sean compuestos: Los criterios de divisibilidad son unas reglas que sirven para saber si un número es divisible por 2, 3, 5, 10,... Un número es divisible por 2 si termina en 0 o cifra par (2, 4, 6, 8). Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Un número es divisible por 5 si termina en 0 ó 5. Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9. Un número es divisible por 10 si termina en cero. Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de De los siguientes números rodea con un círculo los múltiplos de 2: De los siguientes números rodea con un círculo los múltiplos de 3: De los siguientes números rodea con un círculo los múltiplos de 5: De los siguientes números rodea con un círculo los múltiplos de 10: Para los siguientes números indica cuáles son sus divisores:

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5 Máximo Común Divisor (M.C.D.) Lo veremos con un ejemplo: Vamos a calcular los divisores de los números 12 y 36: Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 Cuáles son los mayores divisores comunes a ambos? Los divisores comunes a ambos son varios: 1, 2, 3, 4, 6 y 12, pero el mayor de ellos es 12 y se dice que 12 es el máximo común divisor de 12 y de 36. Definición: Se llama máximo común divisor de varios números naturales al mayor de los divsores comunes a todos ellos y se escribe M.C.D. En el ejemplo anterior, escribiríamos: M.C.D (12, 36) = 12 Cálculo del M.C.D. 1. Hacemos la descomposición factorial en números primos de los números 2. Tomamos los factores primos comunes a todos los números elevados el menor exponente. 3. El producto de los factores considerados en el paso 2 es el M.C.D. Ejemplo: Vamos a calcular el máximo común divisor de los números: 24, 36 y Descomponemos en factores primos cada número y nos da estos resultados: Ejemplo: Factores comunes (a todos los números): 2, y elevado al menor exponente (dentro de un recuadro) sería: 2 2. Por tanto, M.C.D (24, 36 y 40) = 2 2 = 4 *Nota: 2 números son primos entre sí cuando el único divisor común que tienen es la unidad Calcula : a) M.C.D. (15, 18) = d) M.C.D. (12, 15)= 5

6 f) M.C.D. (15, 45) = e) M.C.D. (24, 60) = g) M.C.D. (8, 10, 20) = Mínimo común múltiplo (m.c.m.) El mínimo común múltiplo de varios números naturales es el menor de los múltiplos que tienen en común, y se escribe m.c.m. Ejemplo: Vamos a calcular m.c.m (10, 15) aplicando esta definición: Múltiplos de 10 10, 20, 30, 40, 50, 60, Múltiplos de 15 15, 30, 45, 60, 75, 90, Como vemos, múltiplos comunes a ambos son: 30, 60, 90, pero el menor de ellos es el 30. Por tanto: m.c.m (10, 15) = 30 Cálculo del m.c.m. 1. Hacemos la descomposición factorial en números primos de los números 2. Tomamos los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente. 3. El producto de esos factores del paso anterior es el m.c.m. Ejemplo: Veamos cómo calcular el mínimo común múltiplo de 16, 24, 40 siguiendo estos pasos: 1. Descomponemos en factores primos los números 16 = = = Tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. En nuestro caso: 2 4, 3 y 5 3. Multiplicando estos factores tenemos que: = 240 m.c.m(16, 24, 40) = 24 6

7 18.- Calcula : a) m.c.m. (15, 18) = d) m.c.m. (15, 45) = b) m.c.m. (12, 15)= c) m.c.m. (24, 60) = e) m.c.m. (8, 10, 20) = PROBLEMAS DE DIVISIBILIDAD Tengo una colección de 30 minerales, guardados cada uno en una cajita cuadrada, todas iguales. Deseo poner esas cajitas en exposición de manera que formen un rectángulo completo. De cuántas maneras lo puedo hacer? Cuál es la disposición que más se parece a un cuadrado? 20.- Sabiendo que 18 x 15 = 270, busca 5 números que sean divisores de Hay postes de luz cada 7 kilómetros y postes de teléfono cada 8 kilómetros. Cuándo coinciden los dos? 22.-El jueves de la semana pasada fui al supermercado y al gimnasio. Voy al gimnasio cada 2 días y al supermercado cada 3 días. Qué día de esta semana iré a ambos lugares? 7

8 23.- En mi rebaño hay menos de 3 docenas de ovejas. Si las agrupo de a 2, de a 3, de a 5 ó de a 6, siempre sobra una. Cuántas ovejas tengo? Producto con la misma base: a m a n =a m+n Al multiplicar potencias de la misma base, se deja la misma base y se suman los exponentes Ejemplo: =6 3+5 = Multiplicación de potencias Cociente con la misma base: a m :a n =a m-n Al dividir potencias de la misma base, se deja la misma base y se restan los exponentes Ejemplo: 5 8 :5 2 =5 8-2 = División de potencias 8

9 Potencia de una potencia: (a m ) n =a m*n La potencia de una potencia es otra potencia con la misma base y se multiplican los exponentes. Ejemplo: (4 5 ) 3 =4 5*3 = Potencia de potencias 27. Ejercicios mixtos de potencias 28.-Expresa con una única potencia: a. (7 5 :7) 7 2 = b :( 5 2 5) = c. ( ): 3 2 = d :2 4 = e :( 10 7 :10 0 )= f :( ) 2 = g. (m 2 m 3 :m 0 ) 5 :(m m 4 ) = h. (10 3 ) 4 : ( ) = i. (6 5 : 6 2 ) (6 3 ) 4 = j. (3 5 : 3 2 ) 3 = 9

10 Jerarquía de las operaciones El orden para realizar operaciones es: 1) Operaciones entre paréntesis 2) Multiplicaciones y divisiones 3) Sumas y restas Si solo hay multiplicaciones y divisiones o solo hay sumas y restas, se realizan de izquierda a derecha. 29. Calcula como en el ejemplo. Ejemplo: = 12 8 = 4 a) = b) = c) : 3 = d) : 5 = e) = f) = g) 15 : = h) = 30. Opera como en el ejemplo. Ejemplo: (17 5) : 3 = 12 : 3 = 4 a) (7 + 2) : 3 = b) (8 5) 2 = c) (8 + 2) 4 = d) (13 5) : 4 = e) 5 (7 + 5) = f) 3 (15 10) = g) 36 : (2 + 7) = h) 15 : (18 13) = 31. Opera expresando los pasos seguidos. a) = b) = e) (142 25) : 9 = f) = g) = h) 40 : (116 96) = 32. Resuelve siguiendo los pasos del ejemplo. Ejemplo: = = 8 2 = 6 a) = 10

11 b) = c) = d) = e) : 4 = f) : = g) 15 : = h) = La Numeración Romana utiliza siete letras mayúsculas, a las que corresponden los siguientes valores: Letras I V X L C D M Valores Para escribir los Números Romanos, se deben cumplir las siguientes reglas: 1ª Si a la derecha de una cifra romana se escribe otra igual o menor, el valor de ésta se suma a la anterior. Ejemplos: VI = 6; XXI = 21; LXVII = 67 2ª La cifra "I" colocada delante de la "V" o la "X", les resta una unidad; la "X", precediendo a la "L" o a la "C", les resta diez unidades y la "C", delante de la "D" o la "M", les resta cien unidades. Ejemplos: IV = 4; IX = 9; XL = 40; XC = 90; CD = 400; CM = 900 3ª En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas. Ejemplos: XIII = 13; XIV = 14; XXXIII = 33; XXXIV = 34 4ª La "V", la "L" y la "D" no pueden duplicarse porque hay otras letras "X", "C", "M" que representan su valor duplicado. Ejemplos: X (no VV) = 10 ; C (no LL) = 100 ; M (no DD) = ª Si entre dos cifras cualesquiera existe otra menor, ésta restará su valor a la siguiente. Ejemplos: XIX = 19; LIV = 54; CXXIX = 129 6ª El valor de los números romanos queda multiplicado por mil tantas veces como rayas horizontales se coloquen encima de los mismos. 11 Ejemplos: VI = 6 000; IX = ; IV = ;

12 33. Escribe con números romanos los siguientes años: a. 344 = b. 519 = c = d. 48 = e. 980 = 34. Escribe en sistema decimal los siguientes números romanos: a. XIX = b. CCXLIII = c. MCMLXXXIV = d. MMXIII = e. XXXV = f. LXVI = La descomposición polinómica con potencias en base 10 la veremos con un ejemplo: En el número tenemos: - La cifra de las unidades: el 2 - Luego la cifra de las decenas: el 4, cuyo valor en el número es 10 veces más que el anterior, luego su valor será: 4 10 = 40 - En tercer lugar, las centenas: el 3, cuyo valor será el que resulte de multiplicar la cifra situada en tercer lugar por 100 ( o por 10 2 ) =300 - En cuarto lugar las unidades de millar :8, cuyo valor obtenemos multiplicando por 1000 ( o por10 3 ) la cifra situada en ese lugar : = Luego, las decenas de millar: 7 cuyo valor será: = En sexto lugar, las centenas de millar: 6, cuyo valor se obtiene multiplicando la cifra por = Y, por último, las unidades de millón: 5, cuyo valor obtenemos multiplicándolo por 10 6 : = Con esto observamos que el número se puede escribir utilizando potencias de 10 de la forma: =

13 35. Escribe mediante potencias de 10 los siguientes números: a) = b) = c) = d) = e) = Primero se separan las cifras de tres en tres empezando por la derecha. Después se leen de izquierda a derecha como si fuesen números de tres cifras. Se añaden las palabras mil, millones, billones, trillones,... donde corresponda. 36. Escribe con palabras los siguientes números: a b c d Divisiones: a) : 456 b) : 30 c) : 981 d) 386 : 45 Prueba: Prueba: Prueba: Prueba: 13

14 e) :60 f) : 16 g) : 42 h)56.700: 100 Prueba: Prueba: Prueba: Prueba: 14