INTEGRANTES: DOCENTE: AMADOR ALEJANDRO GONZALES PISCOYA CURSO: HABILIDADES LÓGICO - MATEMÁTICAS

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Virginia Santos Aguirre
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1 INTEGRANTES: LLONTOP UCAÑAY DIANA OLANO HUAMÁN ARELIS QUISPE PARIONA ROSMERI ROMERO CRUZADO ZORELL VELÁZQUEZ MILLONES YESSICA QUISPE CÉSPEDES ELIZABETH ISABELA SÁNCHEZ COTRINA DOCENTE: AMADOR ALEJANDRO GONZALES PISCOYA CURSO: HABILIDADES LÓGICO - MATEMÁTICAS

3 Una ecuación es de segundo grado o cuadrática cuando después de sus denominadores, reducir términos semejantes y pasar todos sus términos a un miembro, adopta la forma típica: ax 2 + bx + c = 0, donde a, b y c Є IR, a 0 Una ecuación de segundo grado o cuadrática puede adoptar las siguientes formas. Completa Incompleta ax 2 + bx + c = 0 Si c = 0 ax 2 + bx = 0 Si: a 0; b 0 Λ c 0 Si: b = 0 ax 2 + c = 0 Si c = b = 0 ax 2 = 0

4 Ecuación Completa: Se puede resolver a través de los siguientes métodos: 1. Método de Factorización: Se realiza a través del aspa. Hallar el conjunto solución de la ecuación: x x -12 = 5x + 2 Procedimiento utilizado Primero se debe llegar a la forma: ax 2 + bx + c = 0 Proceso x x 12 = 5x + 2 x x 12 5x 2 = 0 x 2 + 5x 14 = 0 Factorizamos el termino x + 7 x - 2 Se obtiene los factores. (x +7)(x - 2) = 0 Se separan los factores para obtener las raíces. x 1 y x 2 x + 7 = 0 v x -2 = 0 X 1 = -7 v x 2 = 2 Se forman el conjunto solución. C. S. = {- 7; 2}

5 2. Método de la Formula General: Cuando el método del aspa simple no se puede hallar las raíces de la ecuación cuadrática entonces se emplea la formula general: x = - b ± b 2 4ac Donde: a, b y c son los coeficientes de la ecuación de segundo grado. 2a

6 Ejemplo: Hallar el conjunto de la ecuación: x x -12 = 8x - 11 Procedimiento utilizado Primero se debe llegar a la forma: ax 2 + bx + c = 0 Identificamos el valor de los coeficientes: a, b y c. Reemplazamos en la forma general. Se obtienen Reducimos la raíz. Extraemos el factor común al numerador. Simplificando, obtenemos. Proceso x x -12 = 8x - 11 x x -12-8x + 11 = 0 x 2 + 2x 1 = 0 a = 1, b = 2 y c = -1 x = - 2 ± 6 (2) 2 4 (1)(-1) x = - 2 ± 8 2 x = - 2 ± x = 2(- 1 ± 2) 2 x = -1 ± 2 2 (1) Desdoblamos la ecuación para obtener las raíces x 1 y x 2 x = v x = -1-2 Se forma el conjunto solución. C.S. = {-1 + 2; -1-2}

de a siempre debe ser uno. Se traslada el termino independiente al segundo miembro.

7 3. Método de Completamiento de Cuadrados: Se realiza basándose en el desarrollo del cuadrado de un binomio. a 2 ± 2ab + b 2 = (a ±b) 2 Hallar el conjunto solución de la ecuación: x x -120 = 4x + 15 Procedimiento utilizado Primero se debe llegar a la forma: ax 2 + bx + c = 0 Nótese que el valor de a siempre debe ser uno. Se traslada el termino independiente al segundo miembro. Proceso x x -120 =4x + 15 x x x - 15 = 0 x 2 + 6x -135 = 0 x 2 + 6x =135 x 2 + 6x = Con el primer miembro se forma el cuadrado de un binomio. Extraemos la raíz cuadrada a ambos miembros. (x + 3) 2 = 144 Desdoblamos la ecuación para obtener sus raíces. x 1 y x 2 Se forma el conjunto solución. C.S = {9; - 15} x + 3 =+ 12 v x + 3 = - 12 X 1 = 9 v x 2 = -15

8 Ecuación Incompleta: Las ecuaciones de segundo grado pueden ser de formas incompletas de acuerdo al valor nulo de sus coeficientes. Así tenemos: ax 2 + bx + c = 0 Si: c = 0 ax 2 + bx + c = 0 Si: b = 0 ax 2 + bx + c = 0 Si: c = b = 0 ax 2 + bx + c = 0 x 1 = 0 x 2 = 0

9 NATURALEZA DE LAS SOLUCIONES Sea la ecuación: ax 2 + bx + c = 0, definimos su discriminación por: D = b 2 4ac Entonces las raíces son:

10 El uso del discriminante nos permite conocer el número de segundo grado sin necesidad de resolverla. Así tenemos: DISCRIMINANTE SI RAÍCES FORMA C.S Cero D = 0 Iguales y reales Positiva D > 0 Diferentes y reales Negativa D < 0 Complejas (no reales y conjugadas) x 1 = x 2 Posee solución única. x 1 x 2 Posee dos soluciones. x 1 = a + bi x 2 = a - bi Posee dos soluciones.

11 D = 0 x 1 = x 2

12 PROPIEDAD FORMA PROPIEDAD FORMA Suma de raíces Producto de raíces.

13 x 2 Sx + P = 0 x 2 (x 1 + x 2 )x + (x 1. x 2 ) = 0

14 2. Hallar las raíces de una ecuación de segundo grado, considerando que la suma de estas es -12, y su producto 35. Si: S = -12 Λ P = 35 Entonces la ecuación que se forma es: x 2-12x + 35 = 0 Por el método del aspas: x -7 x +5 Obtenemos los factores: (x - 7)(x + 5) = 0 Luego: x -7 = 0 Λ x + 5 = 0 Sus raíces son: x 1 = 7 Λ x 2 = - 5 C.S = {-5, 7}

15 INTERVALOS(YESSICA) Las desigualdades son importantes ya que sus propiedades se aplican en diversas ramas de la ciencia y tecnología, puesto que en cualquier fenómeno natural o problema práctico en la vida real, las mediciones que se realizan no son exactas sino que son aproximaciones y desde ese punto de vista ya hablamos de desigualdad. Es por eso que el estudiante debe comprender bien lo que es desigualdad, sus propiedades y saber aplicar estas propiedades en los diversos problemas que se presentan, no solo en el curso sino en cualquier rama de las ciencias.

16 INTERVALO a x b a x b

17 a x b a x b

18 x a x a a x a x

19 - 2 x 7 x

20 INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE(ARELIS)

21 FORMA GENERAL DE UNA INECUACIÓN LINEAL ax + b > c

22 MÉTODO DE RESOLUCIÓN

23 x

24 INECUACIÓN DE PRIMER GRADO DESIGUALDAD PROPIEDADES FORMAS GENERALES ax + b > c ax + b < c MÉTODO DE RESOLUCIÓN

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETA INCOMPLETA

Imaginarias FACTORIZACIÓN RAICES x 1 = x 2 = 0

25 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETA INCOMPLETA DISCRIMINANTE D = b 2 4ac METODOS DE SOLUCIÓN COMPLETANDO CUADRADOS FÓRMULA GENERAL D=0 D>0 D<0 x = - b ± b 2 4ac 2a x 1 = x 2 x 1 x 2 Imaginarias FACTORIZACIÓN RAICES x 1 = x 2 = 0 PROPIEDADES ECUACIÓN x 2 Sx + P = 0 S P x (ax + b) = 0

26 INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE PROPIEDADES DE LA DESIGUALDAD

28 DEFINICIONES BÁSICAS(ROSMERY) A a b x d e p q y r s t B

29 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL Y [No es función] X

30 y Y f y 1 y 2 x [No es función] x x f(x) x [Si es función] Y f(x) f x [Si es función] X

32 FUNCIÓN REAL

33 ELEMENTOS BÁSICOS DE UNA FUNCIÓN DOMINIO O CAMPO DE EXISTENCIA. RECORRIDO O IMAGEN GRAFICA O GRAFO.

34 DOMINIO O CAMPO DE EXISTENCIA(ZOREL) RECORRIDO O IMAGEN

35 GRÁFICA O GRAFO

37 FUNCIÓN LINEAL y = mx +n

38 FUNCIÓN CUADRÁTICA

40 FUNCIÓN POLINÓMICA(AMERICA)

41 EJEMPLO

42 FUNCIÓN RACIONAL

43 ASÍNTOTAS Las asíntotas son rectas a las cuales se aproxima una función sin llegar a ellas. Trabajaremos con dos tipos de asíntotas: 1. Asíntota Horizontal 2. Asíntota Vertical

44 ASÍNTOTA HORIZONTAL

45 ASÍNTOTA VERTICAL(ISABELA)

46 EJEMPLOS

47 FUNCIONES IRRACIONALES

48 FUNCIÓN EXPONENCIAL

49 FUNCIÓN LOGARÍTMICA

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