Unidad 4 Ecuaciones 1

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1 Unidad 4 Ecuaciones 1 PÁGINA 67 ACTIVIDADES INICIALES 1 Indica cuáles de las siguientes igualdades son ecuaciones y cuáles identidades. aa) ) x (x - 3) x - 6x bb) ) 3 (x - 4) 6 cc) ) (x - 3) 4x - 9 La diferencia entre una ecuación y una identidad es que la segunda se cumple para cualquier valor de la variable ( normalmente x) y la primero sólo para uno o para algunos valores de la variable ( que entonces llamamos incógnita). Para distinguirlas operamos ambos miembros y si obtenemos expresiones iguales se trata de una identidad, en caso contrario es una ecuación. aa) ) x(x 3 ) x 6x, luego es una identidad. bb) ) 3( x- 4) 3x 1, que es distinto de 6, luego se trata de una ecuación. cc) ) (x 3) 9x 1x + 9, que es distinto del segundo miembro 4x 9, luego es una ecuación. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones que obtengas: aa) ) 4 - (3x - 1) 3 (x + ) - 18 x 7 + 5x bb) ) 4 3 aa) ) 4 6x + 3x Quitar paréntesis x + 6x Trasponer términos. 18 9x Reducir término semejantes x 18/9 Despejar la incógnita. Ahora comprobamos la solución sustituyendo en ambos miembros para ver si obtenemos el mismo resultado: (3 1) 4 (6 1) ( + ) bb) ) m.c.m(3,4) (x ) 4(7 + 5x) 3(x ) 4(7 + 5x) 3x x 3x 0x ; -17x 34; 1 1 x 34/ Comprobación: ( )

2 Unidad 4 Ecuaciones 3 Encuentra las longitudes de los lados de un triángulo isósceles de perímetro 90 cm, sabiendo que cada uno de los lados iguales mide cm más que el lado desigual. Lado desigual x Lados iguales x + Perímetro p 90 cm Como el perímetro es la suma de los tres lados, tendremos la ecuación: x + x + + x + 90; 3x ; 3x 90 4; 3x 86, x 86/3 8,67 cm. Los lados miden : Lado desigual x 8,67 cm. Lados iguales x + 30,67 cm PÁGINA 68 ACTIVIDAD para resolver 1 Clasifica las siguientes igualdades en identidades y ecuaciones: aa) ) (x - 3) (x + 3) x - 9 bb) ) x cc) ) 3( - x) 6 + 3x dd) ) 5 - (x + l) 3x + 3 ee) ) 4x (x - ) 4x - 8x 3(x - l) 3x - 6x + l La diferencia entre una ecuación y una identidad es que la segunda se cumple para cualquier valor de la variable (normalmente x) y la primero sólo para uno o para algunos valores de la variable (que entonces llamamos incógnita). Para distinguirlas operamos ambos miembros y si obtenemos expresiones iguales se trata de una identidad, en caso contrario es una ecuación. aa) ) (x 3) ( x + 3) x 3 x 9, luego es una identidad. bb) ) x 3, es diferente de 5, luego la igualdad es una ecuación. cc) ) Como 3( x) 6 3x, se trata de una ecuación. dd) ) 5 (x + 1) 5 x 3 x, que es diferente del º miembro, es una ecuación. ee) ) 4x (x ) 4x 3 8x, luego es una identidad. 3(x 1) 3(x x + 1) 3x 6x + 3, luego es una ecuación.

3 Unidad 4 Ecuaciones 3 PÁGINA 69 ACTIVIDADES para resolver 1lComprueba 1 si los valores que se indican son soluciones de las ecuaciones correspondientes: aa) ) p 4 y p - 4 de p + 3p 4 bb) ) a 3, b de a + 4 b + 3 cc) ) a 3, b de 8 a + b dd) ) a 15 y a 17 de a Sustituimos las variables por sus valores para ver si se cumplen las igualdades. aa) ) p p 4 ( 4) No es solución de la ecuación + 3 ( 4) Sí es solución de la ecuación bb) ) , luego esos valores no son solución de la ecuación. cc) ) , luego esos valores sí son solución de la ecuación dd) ) a a 15, no es solución de la ecuación a a 17, sí es solución de la ecuación Encuentra valores numéricos de p y q que sean solución de las ecuaciones siguientes: aa) ) p q bb) ) p - q 1 cc) ) p + q O dd) ) p + p q ee) ) p + q 1 p - p q aa) ) Si despejamos una en función de la otra tenemos p ± q. bb) ) p 1+ q p ± 1+ q. cc) ) p -q, luego la única solución posible es p q 0. dd) ) Si tomamos p como incógnita y resolvemos la ecuación de º grado en p, tenemos: 1± 1+ 4q 1 p y q >, para q 0, p 0 ó p -1, por ejemplo. 4 ee) ) Si despejamos p en función de q, tenemos: p ± 1 q y 1 q 1, luego una solución sería q 0 y p ± 1.

4 Unidad 4 Ecuaciones 4 Si tomamos p como incógnita y resolvemos la ecuación de º grado en p, tenemos: 1± 1+ 4q 1 p y q >, para q 0, p 0 ó p 1, por ejemplo. 4 PÁGINA 71 ACTIVIDAD para resolver 1 Despeja en las siguientes fórmulas las variables que se indican: aa) ) v at; t bb) ) v e/t; t cc) ) C + V A + ; A y V dd) ) d M/V M y V. ee) ) A (z + ) m; z y m T ph + a; h ya gg) ) R r (1 + at); a y r. hh) ) h1/a + 1/b; a. aa) ) v t a e e bb) ) v e v t t t v A C + V cc) ) C + V A + V A C + M M d V dd) ) d M V V d A A z + z ee) ) A (z +) m m m A m z + T a ph T a h T ph + a p T ph a T ph a R R 1+ at at 1 a gg) ) R r(1 + at) r r R r 1+ at b hh) ) h + h a a b a b 1 hb 1 h b R r 1 t R r r t R r tr

5 Unidad 4 Ecuaciones 5 PÁGINA 73 ACTIVIDADES para resolver 1 Resuelve las ecuaciones siguientes: aa) ) 4x + l8 1 - x. bb) ) 8-3(x - 5) x +7. cc) ) 3 (x + 1) - (x - ) 4 - x dd) ) (x + 1) x (x - 3) ee) ) 3x/ 3 9/4. 3(z + ) t 8 6 t gg) ) 5 3 hh) ) 3 (1 + y) y aa) ) 4x x 4x + x x x 1 6 bb) ) 8 3(x 5) x x + 15 x x + 3x

6 Unidad 4 Ecuaciones x 16 x 4 4 cc) ) 3(x + 1) (x ) 4 x 3x + 3 x x. 3x x + x x x dd) ) (x +1) x(x 3) x + x + 1 x 3x x x + x + 3x -1 5x x 5 ee) ) 3x m.c.m.(,4) 6x x No hay. 6x 1-9 6x x 6

7 Unidad 4 Ecuaciones 7 3(z + ) (z + ) 10 8 m.c.m.(3,5,15) z z z 0. 0 z 0 9 3t 8 6 t gg) ) 5 3 3(3t 8) (6 t) 30 m.c.m.(,3) 3 6 9t t 30. 9t + t t t 6 11 hh) ) 3 (1 + y) y (1 + y) y + 6 m.c.m.(,10) y y y y y -9 9 y 14

8 Unidad 4 Ecuaciones 8 Escribe tres ecuaciones que tengan como solución x -1 y las siguientes características: aa) ) La primera ecuación con paréntesis y sin denominadores. bb) ) La segunda ecuación con denominadores. cc) ) La tercera ecuación con paréntesis y monomios de segundo grado. En cada una de las ecuaciones que obtengas comprueba que tiene por solución x -1. aa) ) 3(x + ) 3 x +, sustituimos la x por 1: 3( 1+ ) 3 0 ( 1) + 0 bb) ) 3 x + x + 5 x ( 1) , comprobación cc) ) x(x+ 3) + 4x x - 1(-1+ 3) + 4(-1) x, comprobación (-1) + 7(-1) PÁGINA 74 ACTIVIDAD para resolver 1 Discute las siguientes ecuaciones de primer grado: aa) ) 4 (x + ) - 5x 3 - (x - 5) bb) ) 3 (x + 1) - 3x x 3x cc) ) + x + 4 dd) ) 7(x + 1) - 3( x - l) 4(x+7) x + x 3 ee) ) x x Hay que reducirlas a la ecuación equivalente de la forma ax b y pueden ocurrir tres a 0 compatible det er min ada casos : a b 0 compatible in det er min ada a 0yb 0 incompatible o imposible aa) ) 4 (x + ) - 5x 3 - (x - 5) 4x + 8 5x 3 x x 5x + x

9 Unidad 4 Ecuaciones 9 x 5, es compatible y determinada. x 5 bb) ) 3 (x + 1) - 3x + 1 3x + 3 3x x 3x x 0, es compatible e indeterminada ( infinitas soluciones). cc) ) x 4 x + 3x 5 + 4x (4 x) + 3x m.c.m.(,4) x 8 x + 6x. 4x + x 6x 8-5 0x 3, es incompatible( carece de solución). dd) ) 7(x + 1) - 3( x - l) 4(x+7) x + 7 3x+ 3 4x x 3x - 4x x 0, es compatible e indeterminada. 3x + x 3 ee) ) 1 3 (3x + ) 3(x 3) 6 m.c.m.(,3) 6

10 Unidad 4 Ecuaciones 10 6x + 4-6x x 6x x -7, es incompatible( carece de solución). 16 x x (16 x) x + 1 m.c.m.(3,9) x x x x x -36, es compatible y determinada. 36 x 9 4 PÁGINA 79 ACTIVIDAD para resolver 1 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas por los tres métodos conocidos: aa) ) bb) ) cc) ) dd) ) x + y 7 3x y 5 8x y 11 3x 5y 18 x 3y x y 4x 3y 1 8x 6y Antes de emplear cualquiera de los tres métodos el sistema es conveniente que esté de la forma: ax + by c a' x + b' y c' si no lo estuviera haya hacer las operaciones necesarias para llegar hasta ella

11 Unidad 4 Ecuaciones 11 aa) ) x + y 7 3x y 5 1 Método de sustitución Despejamos una incógnita de una de las ecuaciones Si despejamos x de la primera: x 7 y Sustituimos en la otra ecuación la expresión de la incógnita obtenida Sustituimos la expresión de x en la ª: 3(7 y) y 5 Resolvemos la ecuación obtenida y tenemos la solución de una incógnita y y 5; 1 5 6y + y; 16 8y; y 8 Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en donde la despejamos y damos la solución x 7 y , La solución del sistema es (x 3, y ) Método de igualación x Despejamos la misma incógnita(x o y) de las dos ecuaciones x + y 7 x 7 y 5 + y 3x y 5 x 3 Igualamos las expresiones obtenidas y resolvemos la ecuación resultante. 5 + y 3 7 y 5 + y 1 6y y + 6y 1 5 8y 16 y 16 8 Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en cualesquiera de las despejadas x 7 y , La solución del sistema es (x 3, y ) x

12 Unidad 4 Ecuaciones 1 3 Método de reduccíon Multiplicamos las dos ecuaciones por los números que hagan los coeficientes de la incógnita a eliminar opuestos y sumamos miembro a miembro: Si elegimos la y como incógnita a eliminar, como ya tienen coeficientes opuestos, no hay que multiplicar por ningún número, sumamos miembro a miembro x + y 7 3x y 5 x + y 7 Sumamos 3x y 5 4x Despejamos la incógnita de la ecuación obtenida. 1 4x 1 x 3 4 Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en cualesquiera de las ecuaciones o repitiendo el proceso de reducción para la otra incógnita x 7 y , La solución del sistema es (x 3, y ) 3x 6y 1 3 3x y 5 x + y 7 3x 6y 1 Sumamos 16 O bién: y igual 3x y 5 3x y 5 8 8y 16 bb) ) 8x y 11 3x 5y 18 x Método de sustitución Despejamos una incógnita de una de las ecuaciones Si despejamos y de la primera: y 8x 11 Sustituimos en la otra ecuación la expresión de la incógnita obtenida Sustituimos la expresión de y en la ª: 3x - 5(8x - 11) 18 Resolvemos la ecuación obtenida y tenemos la solución de una incógnita 37 3x 40x ; x 3x; 37 37x; x 1 37

13 Unidad 4 Ecuaciones 13 Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en donde la despejamos y damos la solución y 8x , La solución del sistema es (x 1, y -3) Método de igualación x ( 3) ( 3) Despejamos la misma incógnita(x o y) de las dos ecuaciones 8x y 11 y 8x 11 3x 18 3x 5y 18 y 5 Igualamos las expresiones obtenidas y resolvemos la ecuación resultante. 3x x 11 3x 18 40x 55 3x 40x x 37 x 1 Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en cualesquiera de las despejadas y , La solución del sistema es (x 1, y -3) x ( 3) ( 3) Método de reduccíon Multiplicamos las dos ecuaciones por los números que hagan los coeficientes de la incógnita a eliminar opuestos y sumamos miembro a miembro: Si elegimos la y como incógnita a eliminar: 40x + 5y x 5y 18 8x y 11 40x + 5y 55 Sumamos Igual 3x 5y 18 3x 5y 18 37x Despejamos la incógnita de la ecuación obtenida x -37 x 1 37

14 Unidad 4 Ecuaciones 14 Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en cualesquiera de las ecuaciones o repitiendo el proceso de reducción para la otra incógnita 8x - y 11; y 8x , La solución del sistema es (x 1, y -3) x ( 3) ( 3) cc) ) x 3y x 3y 0 x y x y 1 Método de sustitución Despejamos una incógnita de una de las ecuaciones Si despejamos x de la ª: x + y Sustituimos en la otra ecuación la expresión de la incógnita obtenida Sustituimos la expresión de x en la 1ª: (-+y) 3y Resolvemos la ecuación obtenida y tenemos la solución de una incógnita y 3y; 4y 3y 4; y 4 Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en donde la despejamos y damos la solución x - + y , La solución del sistema es (x 6, y 4) Método de igualación x Despejamos la misma incógnita(x o y) de las dos ecuaciones x 3y 3y x x y x + y Igualamos las expresiones obtenidas y resolvemos la ecuación resultante. 3y + y 3y 4 + 4y 4y 3y 4 y 4

15 Unidad 4 Ecuaciones 15 Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en cualesquiera de las despejadas x - + y , La solución del sistema es (x 6, y 4) x Método de reduccíon Multiplicamos las dos ecuaciones por los números que hagan los coeficientes de la incógnita a eliminar opuestos y sumamos miembro a miembro: Si elegimos la x como incógnita a eliminar: x 3y 0 Igual x + 4y 4 x 3y 0 x 3y 0 Sumamos x y x + 4y y 4 Despejamos la incógnita de la ecuación obtenida. y 4 Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en cualesquiera de las ecuaciones o repitiendo el proceso de reducción para la otra incógnita dd) ) x - + y , La solución del sistema es (x 6, y 4) x x 3y 1 8x 6y 1 Método de sustitución Despejamos una incógnita de una de las ecuaciones Si despejamos x de la ª: x + 6y y 4 Sustituimos en la otra ecuación la expresión de la incógnita obtenida 11+ 3y Sustituimos la expresión de x en la 1ª: 4 3y 1 4 Resolvemos la ecuación obtenida y tenemos la solución de una incógnita 11+ 3y 3y No tiene solución