Unidad 4 Ecuaciones 16

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1 Unidad 4 Ecuaciones 6 PÁGINA 80 ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE Clasifica las siguientes igualdades en identidades o ecuaciones: aa) ) bb) ) + ( - ) + 8 cc) ) ( + ) dd) ) ( - ) + 4 ee) ) ( 6)/ - f) ( )/0 + + La diferencia entre una ecuación y una identidad es que la segunda se cumple para cualquier valor de la variable ( normalmente ) y la primero sólo para uno o para algunos valores de la variable ( que entonces llamamos incógnita). Para distinguirlas operamos ambos miembros y si obtenemos epresiones iguales se trata de una identidad, en caso contrario es una ecuación. aa) ) Es una ecuación pues no coinciden los dos miembros. bb) ) ( ) , luego es una identidad. cc) ) ( + ) ) , luego es una identidad. dd) ) ( ) 6, luego es una ecuación. ee) ) Si pasamos el multiplicando al segundo miembro nos queda el primer miembro, luego es una identidad. f) f) , luego es una ecuación. Despeja las variables que se indican en cada una de las siguientes igualdades: aa) ) y m + b; b, m bb) ) I Crt/ 00; C y t cc) ) A D d/; D dd) ) e e0 + v0t + gt / ; v0 ee) ) A πrg + πr ; g f) A a + b/c; b y c gg) ) (B+b) h/; B, h hh) ) + ; t, t y aa) ) y m + b b y m m y b m y b

2 Unidad 4 Ecuaciones 7 00I C Crt bb) ) I rt 00 00I t Cr D d A cc) ) A D d e e gt 0 e e dd) ) e e v t gt v gt t t ee) ) A πrg + πr A πr g πr b c(a a) b f) A a + b b c A a c c A a gg) ) A hh) ) t B + b h + y B h t t A h A B + b + y b y + y + y y y ty y t t y Identifica cada una de las ecuaciones siguientes con su correspondiente solución: aa) ) + (+4) - bb) ) ( + )/ + 6 cc) ) ( )/ (6 )/ soluciones: 9; -; 0. Podemos probar en cada una las tres soluciones posibles o resolverlas y saber directamente cuales son para cada una aa) ) + ( + 4) - Quitar denominadores reduciendo a común denominador ( mediante el m.c.m.) No tiene. Quitar paréntesis Trasposición de términos (los que tienen la incógnita a uno y los independientes al otro) Reducir términos semejantes - 0 Despejar la incógnita

3 Unidad 4 Ecuaciones bb) ) + 6 Quitar denominadores reduciendo a común denominador ( mediante el m.c.m.) + ( + 6) Quitar paréntesis Trasposición de términos (los que tienen la incógnita a uno y los independientes al otro) 6 Reducir términos semejantes 0 Despejar la incógnita 0 6 cc) ) Quitar denominadores reduciendo a común denominador ( mediante el m.c.m.) m.c.m.(,) 6; ( ) (6 ) 6) Quitar paréntesis Trasposición de términos (los que tienen la incógnita a uno y los independientes al otro) Reducir términos semejantes 99 Despejar la incógnita Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado y discútelas: aa) ) ( + )/ bb) ) ( - ) ( ) cc) ) dd) ) ( - 7) + - ee) ) 4 + f) gg) ) 4 hh) ) 4 i) i) 6 - ( + ) - ( - ). j) j) - 4 ( + ) - 7

4 Unidad 4 Ecuaciones kk) ) l) + + A estas alturas del tema el alumno ya debe haber memorizado los pasos a seguir para resolver una ecuación de primer grado, si no es así, debe tenerlos a la vista pues no los repetiremos. + aa) ) ; + 4 ; 4 ; ; /, compatible y determinada. bb) ) ( - ) - + ; 0 + ; ; 0 4, incompatible. 4 4( ) cc) ) ; ; ; 0 8, incompatible. dd) ) ( - 7) + ; + ; - + ; 7, compatible y determinada. ee) ) determinada. f) f) 4 + ; + ; ; 8, compatible y + 7 ; ; ; - 04; - 04, 4 m.c.m.(,, 4) compatible y determinada gg) ) ; + 0; 0; 7 0; 0/7, compatible y determinada. 4 hh) ) ; (4 ) 4( ); 0 0 8; 0 0 8; 0 4 7; incompatible. i) 6 - ( + ) - ( - ); 6 + 6; ; 0 8, incompatible. j) - 4 ( + ) 7; ; 4 7; - 6-6;, compatible y determinada. + 4 kk) ) ; ( + 4); + 0; 0; - 0; - 0, compatible y determinada.

5 Unidad 4 Ecuaciones 0 l) + + ; ; ; 0 0, compatible e indeterminada. Un padre tiene 0 años y su hijo 0, cuántos años han de pasar para que la edad del hijo sea la tercera parte de la del padre? Años que han de pasar Cuando pasen años: El padre tendrá 0 + El hijo tendrá 0 + Edad del padre triple ( edad del hijo), dentro de. Sustituyendo nos queda la ecuación: 0 + (0 + ); ; 0 60 ; - 0, -, es decir, se cumplía la condición del enunciado hace años, cuando el padre tenía 4 y el hijo, ya que Cuál es el número cuya cuarta parte es igual a la mitad del número inmediato inferior? Número n cuarta parte del número mitad del número inferior, que sustituyendo nos da: n 4 n ; n n ; n n - ; -n - ; n Comprobación: 4 77 La edad actual de un padre es 40 años y la de su hija años. Cuántos años han de pasar para que la edad del padre sea doble que la de su hija? Edad actual del padre 40 años. Edad actual de la hija años. Dentro de años, tendrán: El padre 40 + años y la hija + años, como entonces la edad del padre ha de ser el doble de la de la hija: 40 + ( + ); ; 40 4 ; 6 ; luego han de transcurrir 6 años y entonces el padre tendrá años y la hija + 6 8, que es la mitad de la edad que tendrá el padre. 88 Las dos cifras de un número suman. Si restamos del número dado el que resulta de invertir sus cifras obtenemos 8. Calcula el número dado. Cifra de las unidades Cifra de la decenas ( ya que entre las dos han de sumar ).

6 Unidad 4 Ecuaciones Número dado es pues + 0 (- ) Si invertimos las cifras ( la de las unidades pasa a ser de las decenas y viceversa), el número es + 0. Como la diferencia ha de ser 8, se cumplirá: + 0( ) ( + 0 ) 8, ecuación que resolvemos ; ; ; 90/8. Por tanto la de las unidades es y la de las decenas 7 y el número buscado es el 7, que invirtiendo sus cifras se convierte en el 7 y cuya diferencia es En un viaje turístico participan 60 personas, entre hombres, mujeres y niños. Hay doble número de niños que de hombres y el número de mujeres es / del número de hombres y de niños juntos. Cuántos hombres, mujeres y niños van de viaje? Nº de hombres Nº de niños doble que de hombres. Nº de mujeres (hombres + niños) ( + ) Como el total de personas 60, se cumplirá: Niños + hombres + mujeres 60, es decir, , 60 ; 60/. Por tanto: Nº de hombres Nº de niños doble que de hombres 4. Nº de mujeres (hombres + niños) ( + ) 4 Total personas son las participantes. 0 Halla las dimensiones de los lados de un rectángulo de perímetro m y cuya base ecede en 8 m a su altura. Altura Base altura Perímetro m Como el perímetro es la suma de los lados: Perímetro Base + Altura ; + ( +8) ; ; 4 6; 4 96; 96/4 4 m Altura 4 m Base m. Perímetro m.

7 Unidad 4 Ecuaciones Una moto a 80 km/h trata de alcanzar a otra que va a una velocidad de 60 km/h y que salió del mismo punto 4h antes. Cuánto tiempo tardará en alcanzarla? Velocidad de la primera moto v 60 km/h. Velocidad de la segunda moto v 80 km/h. Sea t el tiempo que transcurre desde que sale la primera moto. Cuando la ª alcance a la ª el espacio recorrido por ambas es el mismo: e e ; v t v t ; 60t 80(t 4); 60t 80t - 0; 80t 60t 0; 0t 0; t 0/0 6 h. Luego la segunda tarda en alcanzar a la primera 6 4 h. Espacio que recorre la primera v t km. Espacio que recorre la segunda v t km. Calcula la capacidad de un depósito de agua sabiendo que si se saca la mitad del contenido, después la seta parte del resto y, por último, la quinta parte del resto quedan 800 L. Saca : Queda : Sea la capacidad del depósito. Saca : Queda : 6 6 Saca : 4 Queda : Como quedan 800 l, 800 ; 400 l tenía inicialmente el depósito. Comprobación: Saca 400 / Saca Quedan Saca 00 Quedan Quedan Entre dos mecanógrafas realizan un trabajo en 4 horas. Cuánto tiempo tardaría cada una de ellas por separado si una invierte doble número de horas que la otra? Tiempo que emplea una mecanógrafa en realizar el trabajo, por sí sola t. Tiempo que emplea la otra mecanógrafa el doble t Parte del trabajo que hace la primera por hora: t

8 Unidad 4 Ecuaciones Parte del trabajo que hace la ª :. t Entre ambas hacen : + que ha de ser igual a la parte que hacen trabajando juntas: t t t t horas tarda la primera en hacer ella sola el trabajo, y la t t 4 segunda tardaría el doble 0 horas. 4 Qué tres múltiplos consecutivos de suman 70? Primer múltiplo de Segundo múltiplo de +. Tercer múltiplo de ( + ) Suma ; ; 9 69; 69/9 77. Luego : Primer múltiplo de 77. Segundo múltiplo de + 4. Tercer múltiplo de María tiene el triple de años que Ana y dentro de años tendrá el doble de años que Ana. Cuántos años tiene Ana? Edad actual Dentro de María + Ana + Luego + ( + ); + + 4; 4 ;. Las edades son pues: Edad actual Dentro de María Ana A un número natural le sumamos unidades, duplicamos el número resultante y restamos 4 unidades, obteniendo el duplo del número natural dado. Cuál es este número? Número natural. Sumamos unidades +. Duplicamos el anterior ( + ).

9 Unidad 4 Ecuaciones 4 Restamos 4 unidades ( +) - 4. Obtenemos el doble del número inicial: ( + ) 4 ; ; 0 0, es decir la ecuación es compatible e indeterminada y por lo tanto lo cumple cualquier número natural. 7 Resuelve las ecuaciones siguientes y discute sus soluciones: ) + ;{ m.c.m(,4) 4 };4( 9) + ( 4) 4( + ) aa) bb) ; ; 60; 60/ ; ; 7. ) { m.c.m(4,6,9) };6( ) 9( ) 4( ) cc) ) ( ) - ; {m.c.m(,4) }; 6( ) 4(4 ) (8 ) 4 4 ; ; ; - 4 ; / (-4) -/. dd) ) ; 4( ) ( ) + 4; ; m.c.m.(, 4,, 6) ; 0 9; es incompatible, no tiene solución. ee) ) + ; m.c.m.(6,, 9) ( ); ; ; - - ; /. ( 7) f) 4 m.c.m.(,, 4) 4( ) ( 7) 6( ) ; ; ; - - 7; 7/. gg) ) a b a b ab ;b( a) a( b) ab;b ba a + ab ab; (b a) ab; a b en donde a b.

10 Unidad 4 Ecuaciones hh) ) a b a b + c a + b c + y c 0. c 8 Resuelve los sistemas siguientes por el método que se indica, sustitución (S), igualación (I), reducción (R). aa) ) y + y Sustitución Despejamos una incógnita de una de las ecuaciones Si despejamos y de la primera: y. Sustituimos en la otra ecuación la epresión de la incógnita obtenida Sustituimos la epresión de y en la ª: + ( ) Resolvemos la ecuación obtenida y tenemos la solución de una incógnita ; ; 7 7; Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en donde la despejamos y damos la solución y - -, La solución del sistema es (, y -) Comprobamos que se cumplen todas las ecuaciones ( ) + y + ( ) bb) ) + y 4 Igualación 4 y 6 Despejamos la misma incógnita( o y) de las dos ecuaciones 4 y + y 4 4 y y 4 Igualamos las epresiones obtenidas y resolvemos la ecuación resultante. 4 y 6 + y 4 6 8y 0 + y y + 8y y 46 y 46 Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en cualesquiera de las despejadas

11 Unidad 4 Ecuaciones , La solución del sistema es ( 0, y ) Comprobamos que se cumplen todas las ecuaciones y cc) ) y 6 4y 7 Sustitución Despejamos una incógnita de una de las ecuaciones Si despejamos y de la primera: y. Sustituimos en la otra ecuación la epresión de la incógnita obtenida Sustituimos la epresión de y en la ª: Resolvemos la ecuación obtenida y tenemos la solución de una incógnita 6 ( 6) 4; ; 0 ; Lo que no es cierto pues la ecuación carece de solución. + y 0 dd) ) Reducción 4 y Multiplicamos las dos ecuaciones por los números que hagan los coeficientes de la incógnita a eliminar opuestos y sumamos miembro a miembro: 9 + 6y 0 + y y 0 8 6y 4 y 8 6y Despejamos la incógnita de la ecuación obtenida. 7 7 Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en cualesquiera de las ecuaciones o repitiendo el proceso de reducción para la otra incógnita y -/ - 6/4 - /7, La solución del sistema es ( /7, y -/7)

12 Unidad 4 Ecuaciones 7 8y 0 4 9y + y 0 8y 0 Sumamos O bién: y 4 y 9y 7y Comprobamos que se cumplen todas las ecuaciones y y 0 ee) ) Reducción + y 0 Multiplicamos las dos ecuaciones por los números que hagan los coeficientes de la incógnita a eliminar opuestos y sumamos miembro a miembro: + y 0 igual + y 0 + y 0 4 y 0 y 0 4 y Despejamos la incógnita de la ecuación obtenida Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en cualesquiera de las ecuaciones o repitiendo el proceso de reducción para la otra incógnita y 0 0, La solución del sistema es ( 0, y 0) 6 4y 0 6 y 0 + y 0 6 4y 0 Sumamos 0 O bién: y 0 y 0 6 y y 0 Comprobamos que se cumplen todas las ecuaciones y f) + 4y y Igualación Despejamos la misma incógnita( o y) de las dos ecuaciones

13 Unidad 4 Ecuaciones 8 + 4y y 4y y Igualamos las epresiones obtenidas y resolvemos la ecuación resultante. 4y y 4y y y + 4y y y Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en cualesquiera de las despejadas y 6 6, La solución del sistema es (, y ) Comprobamos que se cumplen todas las ecuaciones gg) ) y 4 y Sustitución + y 6 Despejamos una incógnita de una de las ecuaciones 8 Si despejamos y de la primera: y 4 +. Sustituimos en la otra ecuación la epresión de la incógnita obtenida 4 + Sustituimos la epresión de y en la ª: + 6 Resolvemos la ecuación obtenida y tenemos la solución de una incógnita 9 + (4 + ) -48; ; ; 9-8; -. Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en la despejada ( ) y. Comprobamos que se cumplen todas las ecuaciones ( ) ( ) y ( ) + ( ) 6 0 6

14 Unidad 4 Ecuaciones 9 hh) ) y 4 Igualación 0 + 4y 8 Despejamos la misma incógnita( o y) de las dos ecuaciones y y y 4y Igualamos las epresiones obtenidas y resolvemos la ecuación resultante. 4 + y 4y + 8 (4 + y) 4y y 4y + 8 4y 4y El sistema es, pues, compatible e indeterminado, tiene infinitas soluciones. 4 + t Si hacemos y t, entonces y las infinitas soluciones serán de la forma: 4 + t, y t Podemos obtener algunas dando algunos valores al parámetro t: t 4 + t y t Soluciones (0, -) - / - (/, -) 0 4/ 0 (4/, 0) 6/ (6/, ) 8/ (8/, ) (,) y 6 i) i) Reducción + y 4 Multiplicamos las dos ecuaciones por los números que hagan los coeficientes de la incógnita a eliminar opuestos y sumamos miembro a miembro: 6 + 9y 8 + y y y 8 + y y y 6 Despejamos la incógnita de la ecuación obtenida. 6 y -6 y

15 Unidad 4 Ecuaciones 0 Hallamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en cualesquiera de las ecuaciones o repitiendo el proceso de reducción para la otra incógnita (-) - -6, 6-6; 0. La solución del sistema es ( 0, y -) Comprobamos que se cumplen todas las ecuaciones 0 ( ) y 0 + ( ) En un aparcamiento hay 4 vehículos entre coches y motos. Halla el número de vehículos que hay de cada tipo sabiendo que en total suman 744 ruedas apoyadas en el suelo. Podemos resolverlo mediante una ecuación o un sistema, lo hacemos mediante un sistema: Nº de coches Nº de motos y y 904 Vehículos 4 + y 4 y y 744 Igual Ruedas y y Luego hay 840/ 40 coches. Despejamos la otra incógnita: y 4 40 motos. Comprobamos las ruedas: ruedas en total. 0 Descompón 7 en dos sumandos de manera que al dividir el mayor por el menor se obtenga de cociente y 4 de resto. Ahora optamos por aplicar una ecuación: Primer sumando Dividendo Segundo sumando 7 divisor Cociente Resto 4 La regla de la división es: Dividendo divisor cociente + resto, luego, aplicada a este caso nos da la ecuación: (7 ) + 4; ecuación de primer grado que resolvemos 6 + 4; ; 4 0; 0/4 0 que es el sumando mayor ( dividendo). El divisor Comprobamos :

16 Unidad 4 Ecuaciones Antonio dispone de un capital de de pesetas. Una parte del mismo lo coloca en un banco al % Y la otra en una caja de ahorros al 6 %. Encuentra qué parte de capital impone en cada una de las entidades bancarias sabiendo que el capital acumulado al cabo de un año es de pesetas. Si el capital acumulado fue , los intereses percibidos serán Dividimos el capital en dos partes: intereses, la fórmula es I Crt/00 ª parte. Además sabemos que para hallar los ª parte y Capital Intereses y y y y Sistema que resolvemos por el método de reducción: y y y y Igual + 6y y y La segunda parte del capital es y , y la primera Comprobación: Intereses generados por la primera parte : I Intereses generados por la segunda parte : I Suma de Intereses Queremos distribuir entradas de teatro entre varios chicos. Si a cada uno le damos 4 entradas nos faltan, pero si a cada uno le damos nos sobran 9. De cuántas entradas disponemos? Nº de chicos Nº de entradas y Primera distribución : 4 y + ( nos faltan para que el reparto sea eacto)

17 Unidad 4 Ecuaciones Segunda distribución : y 9 ( nos sobran 9 para que el reparto sea eacto) Resolvemos el sistema: 4 + y 4 y 4 + y y 9 Igual chicos. Sumamos y 9 y 9 Hallamos las entradas y entradas. Si repartimos a 4 por chico necesitamos 4 48, como tenemos 4 nos faltan. Si repartimos a por chico necesitamos 6, como tenemos 4 nos sobran 9. Dos amigos vienen del mercado de comprar naranjas. Antonio le dice a Pilar: «Si tú me das un kilo tendremos los dos la misma cantidad». A lo que Pilar le contesta: «Si tú me das a mí un kilo yo tendré doble número de kilos que tú». Cuántos kilos compraron cada uno? Antonio : kg de naranjas Pilar : y kg de naranjas Inicialmente Pilar da kg a Antonio Antonio da kg a Pilar Antonio + - Pilar y y y + Relación Antonio Pilar; + y - Pilar (Antonio); y + ( ) Resolvemos el sistema: + y + y y + y y ; Sumamos y + ( ) y y luego Antonio + 0 compró kg de naranjas y Pilar y kg. Inicialmente Pilar da kg a Antonio Antonio da kg a Pilar Antonio Pilar Relación Antonio Pilar Pilar (Antonio) 4 Una botella y su tapón cuestan juntos 0 pesetas. La botella cuesta 00 pta más que el tapón. Cuánto cuesta cada uno? Precio de la botella Precio del tapón 0

18 Unidad 4 Ecuaciones Precio de la botella Precio del tapón + 00; ; + 0; 0; 0/ 0 y el tapón 0 que son 00 menos. Disponemos de un cierto número de fotos para colocar en las hojas de un álbum. Si en cada hoja ponemos fotos nos sobran 0 fotos Y si ponemos nos sobran hojas. Cuántas hojas tiene el álbum y de cuántas fotos disponemos? Fotografías Hojas y Si en cada hoja ponemos dos fotos: y 0 ( sobran 0) Si en cada hoja ponemos tres fotos: y ( sobran ) Resolvemos el sistema por reducción: y 0 0 y y 0 y 0 + y sumamos y y + y 0 + y El álbum tiene hojas, y tenemos fotografías. Si las colocamos a por hoja tendremos 0 colocadas con lo que nos sobrarán 0 Si las colocamos a por hoja tendremos 0 colocadas con lo que nos sobrarán. 6 Resuelve los siguientes sistemas por el método que consideres más adecuado: y + y + 4 y 6 8 aa) ) mcm(,) 6 + y y sumamos 4 y Despejamos y de la primera: y Solución : (, y ). Método : reducción. + y bb) ) y + y 6 reducción. + y mc.m(,6) 6 + y Método de y y 0 ( y) y y 0 + y + y + y + y 4 y sumamos y 0 + y y luego y

19 Unidad 4 Ecuaciones 4 ( y) y y y 4y 9 + y 6 cc) ) 4 (y ) 4 y + 4 y 8 y 4 por tanto, despejando de la primera y ; y y + 4 m.c.m.(,) 6 + dd) ) ( ) (y ) 4 4y 4 m.c.m.(,) 4y y 9 60y 0 9 4y 9 y m.c.m.(4,60) 60 ( 9) y y ; 6 4; luego y ee) ) + y y 6 realizamos los cambios de variable: t u y con lo que el sistema se convierte en: t + u t u 4t 6u sumando0t t t u 6t 6u 6t 6u 0 6 como u t y deshaciendo los cambios tenemos la solución: t u y y f) + y a y a a + b a + b a + 4 b b + a y a y b (a ) b a 4a b y a b

20 Unidad 4 Ecuaciones 7 Halla el número de dos cifras que dividido por la cifra de las unidades da y el número que resulta de invertir sus cifras dividido por la cifra de sus unidades da 6. Número y 0 + y Número invertido y 0y y 0y y y 0 0y 0 0 0y + 0y y y las posibilidades son: y 4 Número Comprobamos que los cuatro cumplen el enunciado: ; 6 4 ; ; Los alumnos de un grupo de 0 de ESO practican natación y tenis de manera que cada alumno practica uno y sólo uno de estos dos deportes. La razón entre los que practican tenis y los que practican natación es como es a. Calcula el número de alumnos que practican tenis sabiendo que en el grupo hay 0 alumnos. Sea: alumnos que practican natación. Los alumnos restantes ( de un total de 0) practican tenis 0. tenis 0 90 (0 ) alumnos natación practican la natación y, por tanto 0 8 practican tenis. Se cumple que Los que practican tenis Los que practican natación 8 : 6 8 : 6 9 Cada mochuelo a su olivo y sobra un mochuelo y si en cada olivo se posan dos mochuelos falta un mochuelo, cuántos mochuelos hay? Sea : Nº de mochuelos Nº de olivos y Nº de mochuelos nº de olivos +

21 Unidad 4 Ecuaciones 6 Nº de mochuelos nº de olivos y + y + y Igualamos + y + y y + y y + y Hay pues mochuelos y olivos, si cada mochuelo se posa en un olivo sobra un mochuelo y para que se posen de dos en dos falta un mochuelo para 4. 0 Sea el sistema de ecuaciones siguiente: + y + y Como y son iguales a la misma epresión, entonces, dónde está el error o falacia de este razonamiento? Si en dos igualdades, son iguales los primeros miembros ( + y) los segundos miembros no pueden ser distintos ( ) para que se cumplan simultáneamente. Un reloj señala las, a qué hora coincidirán las manecillas por primera vez? El minutero da una vuelta completa en 60 minutos y la que marca las horas en horas es decir 60 minutos, luego el minutero es veces más rápido que la aguja horaria. Mientras que el horario recorre un ángulo hasta las y pico, el minutero recorre 90º +, en el mismo tiempo, luego: e T minutero T m eh 90º + 90º + 90º horario 90º + 90º v v v v m h Como 90º minutos los minutos que pasan de las son Coinciden a las h min s min,8. s A un poste de palmos lo partió un rayo. El trozo roto quedó apoyado en el suelo formando un triángulo de 6 palmos de base. A qué altura se partió el poste? Si llamamos a la longitud del trozo que queda vertical, el otro trozo medirá formando con el suelo un triángulo rectángulo como se muestra en la figura de al lado. Si aplicamos a es triángulo el teorema de Pitágoras: ( ) ; ; que 64 mide el trozo que queda vertical