x 1 x 2 5 x 4 5x 2 x x 3x x x x x d) 2x 4 + 9x 2 68 = 0 equivale a 2z 2 + z 68 = 0, siendo z = x no hay solución real.

Transcripción

1 ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EJERCICIO : Resuelve las siguientes ecuaciones: a) b) + = 0 c).( + ) 9 = 0 d) + 9 = 0 e 0 f) g) h) i) 9 = 0 j) k) l) 0 = 0 ( )( ) 7 m) n) ñ) o) p) q) r) s) t) ( + )( 7)( - ) = 0 u) (9 )( + ) = 0 v) w) 0 ) 7 ) 0 ) ) 7 a) Multiplicamos los dos miembros por : 0 7 Las soluciones son. b) Por ser bicuadrada, hacemos el cambio : 0 Si Si Las soluciones de esta ecuación son,,. 0 c) Sabemos que si a b, entonces, o bien a b o bien a b. En este caso: Así: Las soluciones son. 0

2 d) + 9 = 0 equivale a + = 0, siendo =. 7 Si Si Las soluciones pedidas son. e Hacemos el cambio: Así obtenemos: 0 Si Si f) no ha solución real. Por tanto, ha cuatro soluciones:,,, 0 g). Elevamos al cuadrado operamos: 9 9 h) 0 ( ) 9 ( ( ) ) ( ( 9 7 i) - 9 = 0 ( 9) = 0 j) k) Elevamos al cuadrado operamos: ) ) Ha tres soluciones: 0,, 0 0 no válida 0

3 l) Haciendo, se obtiene: 0 0 Si Si no ha solución real m) Multiplicamos ambos miembros por : 7 Las soluciones son n) Elevamos al cuadrado ambos miembros: Las soluciones son. Volvemos a elevar al cuadrado: 9 9 es la posible solución. Lo comprobamos: 9 9 Luego 9 es la solución buscada. ñ) Multiplicamos ambos miembros por ( ): Comprobamos estas soluciones sobre la ecuación: 7 es solución. 7 Las soluciones son. es solución. o) Multiplicamos ambos miembros por : Comprobación de las posibles soluciones: es solución ; es solución

4 p) Elevamos ambos miembros al cuadrado: Comprobamos las posibles soluciones sobre la ecuación: es solución no es solución La única solución es. q) Hacemos común denominador: Comprobamos las soluciones: es solución Las soluciones son. es solución. r) Multiplicamos ambos miembros por : 7 Comprobamos si es, o no, solución en la ecuación inicial: es solución 7 s) Elevamos ambos miembros al cuadrado: 9 Volvemos a elevar al cuadrado: Comprobamos si es, o no, solución: ; Ambos miembros coinciden, luego 9 es la solución buscada.

5 t) Para que el producto de varios factores sea 0, alguno de ellos tiene que ser 0. Así: Las soluciones son 0,,,. u) Tenemos un producto de factores igualado a 0, luego se ha de cumplir que: Las soluciones son 0,,. 0 v) Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad: Comprobamos estas soluciones sobre la ecuación: 9 es solución. no es solución. w) Tenemos un producto de factores igualado a 0, luego se ha de cumplir: Las soluciones son 0,,. ) Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por : Comprobamos si son o no solución, sustituendo en la ecuación inicial: 7 es solución. : 7 es solución. ) Haciendo, obtenemos 0 Así: no ha solución. Las soluciones son:, 9

6 Comprobamos estas soluciones sobre la ecuación: no es solución. es solución. ) Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por : Comprobamos estas soluciones en la ecuación: es solución. 9 es solución. 9 Las soluciones son:, EJERCICIO : Escribe una ecuación cuas soluciones sean,. La ecuación 0 tiene como soluciones las pedidas. Multiplicando estos tres factores se llega a la ecuación buscada: es la solución. SISTEMAS DE INECUACIONES EJERCICIO : Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones b) 7 a) c) e) i) m) f) g) j) n) 0 k) ñ) 0 0 d) h) l) o)

7 7 a Comenamos por simplificar cada una de las ecuaciones del sistema: 0 Despejamos de la ª ecuación de la ª, e igualamos: 7 7 La solución es: 7, b) 0 7 Aplicamos el método de reducción en multiplicando la segunda ecuación por : Luego: La solución es:, c Despejamos de la ª ecuación sustituimos en la primera: 9 9 Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad: 0 Así: Comprobamos si ambas soluciones son válidas sustituendo en la ª ecuación: 0, es solución del sistema., no es solución del sistema. d) Simplificamos cada una de las ecuaciones del sistema: 9 Aplicamos el método de reducción en, multiplicando por la ª ecuación: La solución del sistema es:,

8 e Despejamos de la ª ecuación sustituimos en la primera: Así: Las soluciones del sistema son: ; ; 0 0 f) Método de sustitución Despejamos de la primera ecuación sustituimos en la segunda: 0 0 Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por : Se calcula el valor de : Comprobamos con la calculadora: a b/c 0 a b/c / a b/c a b/c 0 a b/c / g) Comenamos por simplificar el sistema: 0 7 Utiliaremos el método de reducción en, multiplicando la primera ecuación por : Calculamos el valor de : La solución que cumple el sistema es: 7, Comprobamos dicha solución: 7 7 h) Utiliaremos el método de reducción en ; para ello multiplicamos la ª ecuación por : Calculamos sustituendo el valor de en la ª ecuación: La solución buscada es:, Comprobamos la solución:

9 9 i) Comenamos por simplificar cada una de las ecuaciones del sistema: Despejamos de la primera ecuación sustituimos en la segunda: Calculamos el valor de : Comprobamos con la calculadora: 7 a b/c / 7 a b/c / j) Comenamos por simplificar la segunda ecuación transformándola en otra equivalente: El sistema es: 0 Resolvemos por el método de sustitución: Luego: La solución al sistema es:, 0 0 Comprobamos la solución: k) Transformamos la segunda ecuación en una equivalente sin denominadores: El sistema a resolver es: Despejamos de la segunda ecuación sustituimos en la primera: Si Si Las soluciones al sistema son:

10 0 l) Multiplicamos la segunda ecuación por para aplicar el método de reducción: si Como si Las soluciones son: m) Despejamos de la segunda ecuación sustituimos en la primera: Hacemos el cambio: Así obtenemos: 0 Si Si Si 9 Si Si Si n) El sistema inicial es equivalente a Aplicamos el método de igualación: Elevamos al cuadrado los dos miembros de la última igualdad: Si Si Comprobamos las soluciones sobre el sistema: Luego ambas soluciones son válidas: 0 0 ñ) Despejamos de la segunda ecuación sustituimos en la primera: Las soluciones son:

11 En la actualidad: edad del padre edad hijo o) Empeamos simplificando la primera ecuación multiplicándola por :: Como : Por tanto, el sistema a resolver es: Despejamos en la segunda ecuación sustituimos en la primera: ; Ecuación bicuadrada: Si Si Si Si Comprobemos si las dos primeras soluciones son, o no, válidas: Análogamente se cumpliría para las otras dos. Luego, las soluciones son: PROBLEMAS 9 EJERCICIO : Un grupo de amigos alquilan un piso por 00 al mes para vivir en él. Con el fin de ahorrar en los gastos del piso, deciden que dos personas más compartan con ellos el piso; de esta manera pagarían 0 menos. Calcula cuántas personas van a vivir inicialmente en el piso la cantidad que pagaría cada una por el alquiler. nº de personas que alquilan el piso precio que paga cada una por el alquiler 00 Aplicamos el método de sustitción: El sistema a resolver será: NO SIRVE Luego el número de personas que alquilan el piso es, cada una paga mensualmente EJERCICIO : Hace cinco años, la edad de un padre era seis veces superior a la del hijo; sin embargo, en la actualidad solo es años más que el triple de la edad del hijo. Calcula las edades actuales de ambos. EDAD DEL HACE AÑOS HOY PADRE HIJO

12 EJERCICIO : Halla dos números que sumen tales que la diferencia de sus cuadrados sea. Llamamos e a los dos números buscados planteamos un sistema: 9 9 Los números buscados son. EJERCICIO 7 : Antonio gastó la tercera parte del dinero de una herencia en un televisor nuevo, del resto en reformar la casa, el 0, los ahorró. Cuánto dinero heredó? dinero heredado Televisor le quedan por gastar Casa de Ropa de 0 Ahorro 0 La ecuación que resuelve el problema será: 0 Multiplicamos ambos miembros por 0: es la cantidad heredada. EJERCICIO : El área de un rombo es de 0 cm. Calcula la longitud de las diagonales sabiendo que suman cm. Llamamos A ROMBO Diagonal maor Diagonal menor a las longitudes de ambas diagonales. Así: Si 0 0 Si 0 Luego, la longitud de las diagonales es de cm 0 cm. EJERCICIO 9 : La diagonal de un rectángulo mide cm más que uno de los lados. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que su perímetro es de cm.

13 7 Despejamos en la primera ecuación sustituimos en la segunda: Calculamos el valor de : Si 7 Si 7 no sirve una longitud no puede ser negativa Luego las dimensiones del rectángulo son cm cm. EJERCICIO 0 : Un grupo de estudiantes organia una ecursión para lo cuál alquilan un autocar cuo precio es de 0. Al salir, aparecen estudiantes más esto hace que cada uno de los anteriores pague menos. Calcula el número de estudiantes que fueron a la ecursión que cantidad pagó cada uno. nº de estudiantes que van a la ecursión precio que paga cada estudiante 0 El sistema a resolver será: 0 Aplicamos el método de sustitución: no sirve 0 El precio por alumno será: Luego, van estudiantes a la ecursión cada uno paga. EJERCICIO : Un bodeguero quiere meclar vino de calidad superior cuo precio es de /l con otro más corriente de /l. Dispone en total de l. Calcula el número de litros de cada clase para que la mecla cueste, /l. litros del vino que cuesta /l, litros del vino que cuesta /l, 0 El sistema a resolver será:, Luego, 9. Ha de meclar 9 l de vino bueno con l del más corriente. 7 9 EJERCICIO : Pablo tiene unos ingresos anuales de 000. Parte de ese dinero está en una cuenta en la que le dan el % anual; el resto lo gasta. Calcula la cantidad de dinero gastado ahorrado, sabiendo que al final del año recibe 0 de intereses. Dinero gastado Dinero ahorrado de Gasta 000 ahorra

14 EJERCICIO : Halla las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que tiene cm de área que su diagonal mide 0 cm. Llamamos a la base e a la altura del rectángulo. Por tanto, tenemos que: 0 Despejamos en la primera ecuación sustituimos en la segunda: Hacemos el cambio: Así obtenemos: Si Si Observa que las soluciones negativas no son válidas, pues representa una longitud. El rectángulo es, por tanto, de cm cm. EJERCICIO : Un rectángulo tiene 0 cm de área. Su perímetro es de cm. Halla sus dimesiones. Llamamos a la base del rectángulo e a su altura. 7 0 Por tanto, tenemos que: 7 Despejamos en la segunda ecuación sustituimos en la primera: El rectángulo es, por tanto, de cm cm. EJERCICIO : El producto de dos números es la suma de sus cuadrados es. De qué números se trata? Llamamos e a los números que buscamos. Por tanto, tenemos que: Despejamos en la primera ecuación sustituimos en la segunda: 7 7 Hacemos el cambio: Así obtenemos: 7 0 Si Si 7 Si 7 9 Si Si 7 Si 7