1. Traducción al lenguaje algebráico

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1 1. Traducción al lenguaje algebráico Resuelva los siguientes problemas, traduciendo primero al lenguaje algebráico. Esto es, planteando las ecuaciones correctas para cada situación. 1. El mayor de tres números enteros cosecutivos impares menos dos veces el menor, es igual a 13 menos dos veces el de en medio. ¾Quienes son los números impares? Solución. La primera pregunta que tenemos que responder para resolver el problema es: ¾Cómo representamos un número impar? Nosotros representaremos a un número impar como 2n 1 (Algunos utilizan 2n + 1. Sin embargo, de ésta manera no podemos obtener el número 1). Así, podemos tomar a los tres números impares como sigue: 2n 1, 2n + 1 y 2n + 3 Luego, el mayor menos dos veces el menor es: 2n + 3 2(2n 1) y 13 menos dos veces el de en medio es: 13 2(2n + 1). Luego, la ecuación que corresponde al enunciado es la siguiente: Resolvemos la ecuación: 2n + 3 2(2n 1) = 13 2(2n + 3) (1) 2n + 3 2(2n 1) = 13 2(2n + 3) 2n + 3 4n + 2 = 13 4n 6 5 2n = 7 4n 4n 2n = 7 5 2n = 2 n = 1. Por lo tanto, los números que buscamos son: 2(1) 1, 2(1) + 1 y 2(1) + 3, es decir, 1, 3 y La suma de tres números enteros consecutivos es 48. Hallar los tres números. Solución. Representamos tres números consecutivos mediante n, n + 1 y n + 2. De ésta manera, la ecuación correspondiente a éste enunciado es la siguiente: Resolvemos: n + (n + 1) + (n + 2) = 48 (2) n + (n + 1) + (n + 2) = 48 3n + 3 = 48 3n = 45 n = 15 Por lo tanto, los números que buscamos son: 15, y (15, 16 y 17). 3. Demuestre que si un número divide a dos números entonces también divide a su suma. Recordemos que un número a divide a un número b si podemos encontrar un número entero k de manera tal que b = ak. Esto es, dicho de otra manera, que b sea múltiplo de a. Como ejemplo tomemos a 8 y a divide a 24 puesto que 24 = 8( 3). Dicho esto podemos pasar a la solución del problema. Solución. El enunciado del problema queda como sigue: Si b = ar y c = as para algunos números enteros r y s, respectivamente. Entonces: b + c = at para algún número entero t. 1

2 Demostración. Es decir: [b = ar y c = as] entonces [(b + c) = ar + as] b + c = a(r + s) Por último, como r y s son números enteros, por la propiedad de cerradura, el número r + s también es número entero. Así, el número que buscamos es t = r + s. Por lo tanto a divide a b + c. 4. Un coleccionista de sellos tiene un sello de 3c que es 25 años más viejo que un sello de 5c. Dentro de 18 años el sello de 3c será el doble de viejo que el sello de 5c. ¾Cuántos años tiene cada sello? Solución.Notemos que para resolver éste problema es necesario plantear dos ecuaciones. Si x es la edad del sello de 3c y y es la edad del sello de 5c entonces las ecuaciones quedan como siguen: x = y + 25 (3) x + 18 = 2(y + 18) (4) Resolvemos el sistema para obtener: (y + 25) + 18 = 2y + 36, sustituyendo (3) en (4) y = y = 7 Luego, el sello de 5c tiene 7 años. Y, por último, sustituyendo éste valor en la ecuación (3) tenemos que la edad del sello de 3c es de 32 años. 5. Juan tiene 25 años y Javier tiene 15 años. ¾Hace cuantos años Juan tenía el doble de años que Javier? Solución. Éste problema puede ser abordado de varias maneras. Puede plantearse una ecuación en términos de las edades de Juan y Javier. Algunos de ustedes durante la sesión hicieron una tabla de comparación de las edades. Sin embargo, éste último procedimiento no es muy recomendable, pues si en vez de comparar las edades de personas, estuvieramos comparando edades de edicios de 350 y 550 años de antiguedad, hacer una tabla llevaría bastante tiempo. Recordemos que tenemos al álgebra como herramienta. Ahora bien, si x es el número de años que nos pide el problema. Entonces debe ser que: 2(15 x) = 25 x (5) Resolvemos para obtener: 30 2x = 25 x 5 x = 0, sumando x 25 en ambos lados. x = 5. Por lo tanto, hace 5 años Juan tenía el doble de años que Javier. 6. Hallar tres enteros pares consecutivos tales que tres veces el segundo es cuatro más que la suma del primero y el tercero. Solución. En éste caso, el primer paso es representar un número par. En la práctica decimos que un número es par si la cifra de las unidades es un número par, cuando es múltiplo de 2 o bien, cuando es divisible por 2. Nosotros representaremos un número par cómo un número que podemos escribir como 2n para algún número entero n. Por ejemplo, 18 es par puesto que podemos escribirlo como 2(9). De ésta manera podemos representar cualquier número par. 2

3 Así, representamos tres números pares consecutivos mediante: 2n, (2n + 2) y (2n + 4). Luego, la ecuación que nos plantea el problema queda como sigue: Resolvemos para obtener: 3(2n + 2) = 4 + (2n) + (2n + 4) (6) 6n + 6 = 4 + 4n + 4 6n 4n = 8 6 2n = 2 n = 1. Así, los números que buscamos son: 2(1), [2(1) + 2] y [2(1) + 4]. Es decir: 2, 4 y Demuestre que si MCD(a, b) = d. Entonces: ı. MCD ( a d, b d) = 1. ıı. MCD(a, a b) = d. Demostración. ı. Dado que MCD(a, b) = d. Tenemos que: a = dr para algún entero r. (7) b = ds para algún entero s. (8) Además, si x es otro divisor común de a y b, entonces x d. Ahora bien si b = a, entonces d = a y el problema se reduce a ver que MCD(1, 1) = 1 lo cual es cierto. Supongamos entonces que a b. De ésta manera, como d es el máximo común divisor concluimos que r s. Notemos también que r y s no tienen divisores en común pues si tuvieran algún divisor común sería una contradicción al hecho de que d es el MCD. Esto quiere decir que MCD(r, s) = 1. Por último, notemos que: ( a MCD d, b ) d = MCD(r, s) dividiendo por d en (7) y (8) = 1, por la observación que acabamos de hacer. Por lo tanto, MCD ( a d, b d) = 1 y asi, nuestra armación es cierta. ıı. Dado que MCD(a, b) = d sabemos que d divide a b, es decir, b = rs para algún entero s. Notemos que d también divide a b pues b = d( s). De esta manera, se cumple que MCD(a, b) = d. Ahora bien, dado que d divide a a y a b también divide a a + ( b) (esto por lo que hicimos en el ejercicio 3). Además, sabemos que a b = d(r s). Ahora, supongamos que MCD(a, a b) = t y t > d. Es decir, hay un entero t > d tal que t divide a a y a a b. Esto quiere decir que hay números enteros m y n tales que: pero, notemos que: a = tm a b = tn b = a tn,despejando b de la ecuación anterior. = tm tn,sustituyendo el valor de a. = t(m n). 3

4 Luego, dado que m y n son enteros, por la propiedad de cerradura, m n también es un entero. Por lo cual, hemos demostrado que t divide a b. Así, t es divisor común de a y b. Y, como t > d, entonces MCD(a, b) = t. Lo cual es una contradicción, pues d es el MCD. Luego, el entero t que satisface las condiciones que dimos NO existe. Por lo tanto, MCD(a, b c) = d. Observación 1 Es importante notar que, con argumentos similares a los que dimos para resolver éste par de incisos, podemos demostrar que: M CD( a, b) = M CD(a, b) = MCD( a, b) = MCD(a, a + b). Es un buen ejercicio ver que efectivamente así es. 8. Denición 1 Decimos que dos números enteros a y b son primos relativos si MCD(a, b) = 1. Demuestre que si a y b son primos relativos entonces (a b) y (a + b) también lo son. Contraejemplo. La armación es falsa. Es decir, que no siempre ocurre que si MCD(a, b) = 1, entonces MCD(a b, a + b) = 1. Para ver esto damos el siguiente contraejemplo: MCD(3, 7) = 1, pues son 3 y 7 son primos. 2 = MCD(3 7, 3 + 7). 9. Demuestre que el producto de dos números naturales consecutivos es siempre múltiplo de dos. Demostración. Tenemos que demostrar que dado cualquier número natural n se cumple que: n(n + 1) = 2m para algún número natural m n. Notemos que podemos resolver éste problema rápidamente analizando la paridad de n. Sin embargo, practicaremos la inducción: (BI) La armación se cumple para n = 1 pues: 1(1 + 1) = 2(1). (HI)Supongamos ahora que la armación es cierta para n = k. Esto es, que existe algún entero m k tal que: k(k + 1) = 2m k (PI)Ahora bien, tenemos que encontrar el natural m k+1 tal que (k + 1)(k + 2) = 2m k+1. Para esto, notemos que: k(k + 1) = 2m k por la HI entonces k(k + 1) + 2(k + 1) = 2m k + 2(k + 1) es decir, (k + 1)(k + 2) = 2(m k + k + 1). De aquí que el número m k+1 que buscamos es m k+1 = m k + (k + 1). Así, la armación es cierta para n = k + 1. Por lo tanto, por el PIM, la armaciónn es cierta para todos los números naturales. Observación 2 Nótese que aquí estamos utilizando los subíndices de las m's para indicar que el número m depende del valor de n. De ésta manera, no estamos diciendo que m k y m k+1 sean números consecutivos. 10. Demuestre que el producto de tres números naturales consecutivos es múltiplo de seis. Demostración. El enunciado nos pide demostrar que para cualquier número natural n hay un número m n (que depende del n que tomamos) tal que: n(n + 1)(n + 2) = 6m n (9) Igual que antes, podemos hacer la demostración analizando la divisibilidad por 2 y por 3 de n(n+1)(n+2). Pero, igual que en el ejercicio anterior, aprovecharemos para practicar la inducción: 4

5 B.I. La armación se cumple para n = 1 pues: 1(1 + 1)(1 + 2) = 6(1), aquí m 1 = 1. H.I. Supongamos que la armación se cumple para n = k. Es decir, que hay un número natural m k tal que: k(k + 1)(k + 2) = 6m k P.I Ahora tenemos que ver que existe un número m k+1 tal que (k + 1)(k + 2)(k + 3) = 6m k+1. Para esto, notemos que de la hipótesis de inducción tenemos que: [k(k + 1)(k + 2)] + 3(k + 1)(k + 2) = [6m k ] + 3(k + 1)(k + 2) Lo cual, factorizando (k + 1)(k + 2) del lado derecho de la igualdad, queda como sigue: (k + 1)(k + 2)(k + 3) = 6m k + 3(k + 1)(k + 2) Ahora bien, es claro que 3 divide a 3(k+1)(k+2). Además 2 también divide a 3(k+1)(k+2) pues, por el ejercicio anterior, (k + 1)(k + 2) es par. Por esta razón 6 también divide a 3(k + 1)(k + 2). Así, existe un número j tal que 3(k + 1)(k + 2) = 6j. Por lo tanto: (k + 1)(k + 2)(k + 3) = 6m k + 6j = 6(m k + j) De aquí que el m k+1 que buscamos es m k+1 = m k + j. Así, hemos demostrado que la armación es cierta para n = k + 1. Por lo tanto, por el PIM, la armación es cierta para todos los números naturales. Observación 3 En éste último ejercicio hemos utilizado el hecho de que si p y q son dos números primos tales que ambos dividen a un número a entonces pq también divide a a. 5