Números primos y criterios de divisibilidad

Transcripción

1 Números primos y criterios de divisibilidad Taller de Álgebra I 1er cuatrimestre de 2014

2 Verificando si un número es primo Ejercicio: ( para hacer ahora!) Escribir una función que determine si un número natural es primo.

3 Verificando si un número es primo Ejercicio: ( para hacer ahora!) Escribir una función que determine si un número natural es primo. primo :: Integer -> Bool

4 Verificando si un número es primo Ejercicio: ( para hacer ahora!) Escribir una función que determine si un número natural es primo. primo :: Integer -> Bool primo 2 = True

5 Verificando si un número es primo Ejercicio: ( para hacer ahora!) Escribir una función que determine si un número natural es primo. primo :: Integer -> Bool primo 2 = True primo n =...

6 Verificando si un número es primo Ejercicio: ( para hacer ahora!) Escribir una función que determine si un número natural es primo. primo :: Integer -> Bool primo 2 = True primo n =... En este caso, se complica un poco pensarlo directamente en forma recursiva. No es tan evidente cómo plantear primo n en función de primo (n-1).

7 Verificando si un número es primo Ejercicio: ( para hacer ahora!) Escribir una función que determine si un número natural es primo. primo :: Integer -> Bool primo 2 = True primo n =... En este caso, se complica un poco pensarlo directamente en forma recursiva. No es tan evidente cómo plantear primo n en función de primo (n-1). Pero si planteamos esto: primo n = length (factorizar n) == 1

8 Verificando si un número es primo Ejercicio: ( para hacer ahora!) Escribir una función que determine si un número natural es primo. primo :: Integer -> Bool primo 2 = True primo n =... En este caso, se complica un poco pensarlo directamente en forma recursiva. No es tan evidente cómo plantear primo n en función de primo (n-1). Pero si planteamos esto: primo n = length (factorizar n) == 1 O esto: primo n = length (divisores n) == 2

9 Verificando si un número es primo Ejercicio: ( para hacer ahora!) Escribir una función que determine si un número natural es primo. primo :: Integer -> Bool primo 2 = True primo n =... En este caso, se complica un poco pensarlo directamente en forma recursiva. No es tan evidente cómo plantear primo n en función de primo (n-1). Pero si planteamos esto: primo n = length (factorizar n) == 1 O esto: primo n = length (divisores n) == 2 Y ahora, Cómo podemos escribir la función divisores?

10 Criba de Eratóstenes Fue el primero en calcular y dejar registro el radio de la Tierra. Le dió R = /2π = km Las mediciones actuales dan 6378 km Para el curioso: se basó un método basado en las sombras de objetos de referencia. La criba de Eratóstenes es un algoritmo para hallar todos los números primos menores que un natural dado n.

11 Criba de Eratóstenes Fue el primero en calcular y dejar registro el radio de la Tierra. Le dió R = /2π = km Las mediciones actuales dan 6378 km Para el curioso: se basó un método basado en las sombras de objetos de referencia. La criba de Eratóstenes es un algoritmo para hallar todos los números primos menores que un natural dado n. 1 Escribir una tabla con todos los números entre 2 y n. 2 El primer entero no tachado es primo. Imprimirlo y tachar todos sus múltiplos. 3 Repetir el paso anterior hasta que no queden números sin tachar.

12 Criba de Eratóstenes Fue el primero en calcular y dejar registro el radio de la Tierra. Le dió R = /2π = km Las mediciones actuales dan 6378 km Para el curioso: se basó un método basado en las sombras de objetos de referencia. La criba de Eratóstenes es un algoritmo para hallar todos los números primos menores que un natural dado n. 1 Escribir una tabla con todos los números entre 2 y n. 2 El primer entero no tachado es primo. Imprimirlo y tachar todos sus múltiplos. 3 Repetir el paso anterior hasta que no queden números sin tachar. Esta descripción no es muy funcional... Cómo se implementaría en Haskell?

13 Criterios de divisibilidad Representamos números naturales como listas de enteros, de modo tal que cada posición de la lista corresponde a un dígito en base 10: Ejemplos: = [1,4,5] 2 13 = [1,3] 3 0 = [0] Ya sabemos cómo pasar de un Int a una [Int] que lo represente en base 10!

14 Ejercicios Implementar una función en Haskell que reciba un número natural como parámetro e indique si el mismo es primo. Utilizar la criba de Eratóstenes. Conjetura (Christian Goldbach, 1742) Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

15 Ejercicios Implementar una función en Haskell que reciba un número natural como parámetro e indique si el mismo es primo. Utilizar la criba de Eratóstenes. Conjetura (Christian Goldbach, 1742) Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos. Ejercicio Hacer un programa en Haskell que chequee la conjetura de Goldbach: Dado un número natural n, determinar si puede escribirse como suma de dos números primos. Ejercicio Programar los siguientes criterios de divisibilidad: 1 Un número es múltiplo de 2 cuando termina en una cifra par.

16 Ejercicios Implementar una función en Haskell que reciba un número natural como parámetro e indique si el mismo es primo. Utilizar la criba de Eratóstenes. Conjetura (Christian Goldbach, 1742) Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos. Ejercicio Hacer un programa en Haskell que chequee la conjetura de Goldbach: Dado un número natural n, determinar si puede escribirse como suma de dos números primos. Ejercicio Programar los siguientes criterios de divisibilidad: 1 Un número es múltiplo de 2 cuando termina en una cifra par. 2 Un número es múltiplo de 5 cuando termina en 0 o 5.

17 Ejercicios Implementar una función en Haskell que reciba un número natural como parámetro e indique si el mismo es primo. Utilizar la criba de Eratóstenes. Conjetura (Christian Goldbach, 1742) Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos. Ejercicio Hacer un programa en Haskell que chequee la conjetura de Goldbach: Dado un número natural n, determinar si puede escribirse como suma de dos números primos. Ejercicio Programar los siguientes criterios de divisibilidad: 1 Un número es múltiplo de 2 cuando termina en una cifra par. 2 Un número es múltiplo de 5 cuando termina en 0 o 5. 3 Un número es múltiplo de 10 cuando termina en 0.

18 Ejercicios Implementar una función en Haskell que reciba un número natural como parámetro e indique si el mismo es primo. Utilizar la criba de Eratóstenes. Conjetura (Christian Goldbach, 1742) Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos. Ejercicio Hacer un programa en Haskell que chequee la conjetura de Goldbach: Dado un número natural n, determinar si puede escribirse como suma de dos números primos. Ejercicio Programar los siguientes criterios de divisibilidad: 1 Un número es múltiplo de 2 cuando termina en una cifra par. 2 Un número es múltiplo de 5 cuando termina en 0 o 5. 3 Un número es múltiplo de 10 cuando termina en 0. 4 Un número es múltiplo de 4 cuando el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 4.

19 Ejercicios Implementar una función en Haskell que reciba un número natural como parámetro e indique si el mismo es primo. Utilizar la criba de Eratóstenes. Conjetura (Christian Goldbach, 1742) Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos. Ejercicio Hacer un programa en Haskell que chequee la conjetura de Goldbach: Dado un número natural n, determinar si puede escribirse como suma de dos números primos. Ejercicio Programar los siguientes criterios de divisibilidad: 1 Un número es múltiplo de 2 cuando termina en una cifra par. 2 Un número es múltiplo de 5 cuando termina en 0 o 5. 3 Un número es múltiplo de 10 cuando termina en 0. 4 Un número es múltiplo de 4 cuando el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 4. 5 Un número es múltiplo de 8 cuando el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 8.

20 Criterios de divisibilidad Más ejercicios! Sumando cifras... 1 Un número es múltiplo de 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3 ( y esto último se decide recursivamente!). 2 Un número es múltiplo de 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Ejercicios sencillos. Aprovechando lo que ya tenemos... 1 Un número es múltiplo de 6 cuando es múltiplo de 2 y de 3. 2 Un número es múltiplo de 12 cuando es múltiplo de 3 y 4, o bien es múltiplo de 6. 3 Un número es múltiplo de 15 cuando es múltiplo de 3 y 5.

21 Criterios de divisibilidad Nuevos ejercicios! Criterios de cinturón negro... 1 Un número es múltiplo de 7 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes, la diferencia es múltiplo de 7. 2 Para determinar si un número es múltiplo de 11, sumar las cifras en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. El número es múltiplo de 11 si el resultado es múltiplo de Un número es divisible por 17 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 5 y restarla de las cifras restantes la diferencia es múltiplo de Un número es divisible por 19 si al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 2 y sumar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de 19.